D. Det almene gymnasium

D.1 Generelle kommentarer

I det almene gymnasium¹ undervises under den gældende bekendtgørelse i matematik på tre formelt kompetencegivende niveauer, hvis indhold og form groft kan skitseres som følger:

Matematik på C-niveau beskæftiger sig med nogle matematiske begreber og tankegange, man møder i hverdagen og i andre fag. Matematiske modeller står centralt i undervisningen. Formel kompetence på C-niveau kan opnås på forskellige måder (afhængigt af hvordan samspillet med naturfagsundervisningen er), som alle er forpligtet på, at omfanget svarer til 5 lektioner à 45 minutter pr. uge i et år.

Undervisningen på B-niveauet sigter mod, at eleverne erhverver indsigt i en række fundamentale matematiske tankegange, begreber og metoder, samt at eleverne opnår fortrolighed med matematik som et middel til at formulere, analysere og løse problemer inden for forskellige fagområder. Da undervisningen tillige sigter mod at tilvejebringe det faglige grundlag for A-niveauet, vil arbejdet med matematiske begreber og ræsonnementer være centralt i undervisningen, som skal tilrettelægges således, at tre såkaldte aspekter tilgodeses: "det historiske aspekt", "modelaspektet" og aspektet om "matematikkens indre struktur". Selvom der hvad pensum angår er en ikke ringe fællesmængde mellem B- og C-niveauet, er C-niveauet dog ikke en ægte delmængde af B-niveauet. Omfanget af B-niveau svarer til 5 lektioner à 45 minutter pr. uge i to år.

Det 1-årige forløb til A-niveau ligger i naturlig forlængelse af B-niveauet. Undervisningen sigter mod, at eleverne videreudvikler deres evne til at anvende matematiske begreber og metoder i rent matematiske sammenhænge og i sammenhænge, der kan bearbejdes og analyseres ved hjælp af matematik. I undervisningen er det derfor væsentligt, at begrebsopbygningen sker i vekselvirkning med anvendelsessituationer. I undervisningen arbejdes dybere med fagets abstrakte og ræsonnerende sider, således at eleverne får et tilstrækkeligt fagligt grundlag for senere at gå ind i matematikbaserede uddannelser, som kræver både regnemæssige færdigheder, kompetencer og teoretisk indsigt. Også her skal undervisningen tilrettelægges, så de tre ovennævnte aspekter tilgodeses. Omfanget af det 1-årige forløb til Aniveau svarer til 5 lektioner à 45 minutter pr. uge i et år.

Eleverne har også den mulighed allerede efter 1. g. at lægge sig fast på, at de vil stile efter at få matematik på A-niveau. Et sådant "langt" forløb til A-niveau ("det 3-årige forløb")giver selvfølgelig mulighed for at tilrettelægge arbejdet med det faglige stof anderledes, end når der i kraft af B-niveauet er bestemte krav til, hvad der skal være nået efter to af de tre år, forløbet til A-niveau under alle omstændigheder tager.

Udover A-, B- og C-niveau udbyder det almene gymnasium også matematikundervisning som en del af det såkaldte"naturfag". I dette fag, som er obligatorisk for - og kun tilbydes - elever på sproglig linje, er intentionen at undervise på en måde, der integrerer elementer, som inden for de traditionelle faggrænser hører under fysik, kemi og matematik.

Potentialer ved kompetencetilgangen

De synergieffekter, som naturfagets samtænkning af beslægtede fag lægger op til at skabe, mener vi, at en kompetencebeskrivelse af de respektive fag vil gøre det nemmere at sætte ord på og dermed bidrage til at stille skarpt på. Dette potentiale ved at se undervisningen gennem "kompetencebriller" er selvfølgelig ikke reserveret til en situation, hvor navnet på skoleskemaet direkte opfordrer hertil. Muligheden for at udnytte synergieffekter mellem fagene eksisterer ikke i kraft af, at fagene skemamæssigt er slået sammen, men i kraft af, at undervisningen kan tilrettelægges med tanke på samarbejde på tværs af fagene. Det er med dette som udgangspunkt, at vi i kapitel 11 anbefaler et "menugymnasium", der opererer med gennemtænkte og komponerede fagpakker.

Også hvad angår den mere snævre diskussion om forskelle og ligheder mellem de forskellige gymnasiale matematikniveauer, mener vi, at kompetencetilgangen potentielt kan virke afklarende. Det kan fx ske ved, at forskellige måder at opnå det formelt set samme matematikniveau på bringes til at handle om en eksplicit forskellig vægtning af de matematiske kompetencer, eventuelt kombineret med, at kompetencernes aktionsradius forsøges udviklet i forskellige retninger (sådanne forskelle er allerede en realitet for så vidt angår det "korte" og det "lange" forløb til A-niveau, men den svage artikulation heraf understreger behovet for at kunne supplere det eksisterende tilrettelæggelsesmæssige "ordforråd"). I kombination med eksistensen af forskellige niveauer vil det skabe en situation, hvor man kan diskutere og placere sig i forhold til forskellighed i to dimensioner; parallelle spor med hver deres "toning af kompetencepaletten" og niveauer inden for hvert spor som udtryk for "videre i samme retning".

At gå ind i en mærmere analyse af, hvordan disse og andre idéer eventuelt kan blive til mere end ord på papir, falder udenfor de rammer, vi har været nødt til at sætte for projektet her. Sådanne analyser bør være et led i det opfølgningsarbejde, som forhåbentlig følger efter afslutningen på KOM-projektet.

D.1.1 Læsevejledning

Karakteristikken i dette kapitel er normativ. Det betyder, at man som læser hverken skal se det som vores bud på "tingenes tilstand" eller som noget, man med rimelighed kunne forvente af eleverne her og nu. Karakteristikken gælder, hvad det efter vores mening er fornuftigt og realistisk at sætte op som pejlemærker for den almengymnasiale matematikundervisning i en tænkt fremtidig situation, hvor det almene uddannelsessystem, hvad matematikundervisningen angår, er reformeret i overensstemmelse med anbefalingerne i kapitel 11.

Vi har valgt at karakterisere, hvad der med den gældende bekendtgørelse svarer til det typiske C-niveau, det almengymnasiale B-niveau og dets etårige forlængelse til A-niveau som beskrevet ovenfor. At vi har foretaget dette valg, skal ikke ses som en anbefaling om at fastholde det omfang af de respektive niveauer eller den pensumfastlæggelse, som er inkorporeret i denne struktur, ej heller det modsatte. Det er en implementeringsrettet diskussion, som vi bevidst undlader at tage. Når vi refererer til de nævnte tre niveauer og (med få undtagelser) deres respektive pensum, er det således udelukkende, fordi vi mener, at det er hensigtsmæssigt med en eller anden form for niveaudeling, ikke mindst med tanke på at kunne fastsætte mål for den ønskede progression, og så har det været nemmest for os - og nok også for de fleste læsere af dette kapitel - at trække på vores erfaringer med det eksisterende.

Karakteristikken af den enkelte kompetence er for fleres vedkommende ikke, hvad dækningsgrad angår, afgrænset i forhold til grundkarakteristikken i kapitel 4 på noget af de tre trin. Det gælder problembehandlings-, modellerings-, repræsentations, kommunikations- og hjælpemiddelkompetence. Den udvikling i elevernes kompetencebesiddelse, som man selvfølgelig også på disse felter bør forvente finder sted ifm. den gymnasiale matematikundervisning, bør derfor fokusere på to ting: Dels bør der ske en udvikling i, hvor autonomt eleverne udøver kompetencen, dels bør der ske en udvikling i kompetencebesiddelsens aktionsradius og tekniske niveau, jf. omtalen af de tre dimensioner i besiddelsen af en kompetence i afsnit 4.4.4 (side 64) og af progression i forhold til disse dimensioner i afsnit 9.3 (side 127).

Eksemplificeringen refererer i afsnittene om disse kompetencer gennemgående ikke til bestemte niveauer. Det skal ses som et signal om, at vi mener, at alle de anførte eksempler principielt kan bruges på alle gymnasiale niveauer. Progression vil så jf. ovenstående bla. komme til udtryk ved, hvilke matematiske teknikker, metoder, begrebsdannelser etc. eleverne er i stand til at angribe problemstillingerne med. Hvad der på dette punkt konkret kunne komme på tale på de respektive niveauer, overlader vi generelt trygt til læseren af vurdere, da vi som nævnt flere gange tidligere i rapporten ikke som en del af dette projekt ønsker at fokusere på detaljeret pensumfastlæggelse.

D.2 Matematiske kompetencer i det almene gymnasium

D.2.1 Tankegangskompetence

Karakteristik

På alle tre gymnasiale niveauer består denne kompetence for det første i at være klar over, hvilke slags spørgsmål som er karakteristiske for matematik, i selv at kunne stille sådanne spørgsmål, og i at have blik for, hvilke typer af svar der kan forventes. Af særlig vigtighed er her matematikkens efterstræbelse af nødvendige og tilstrækkelige betingelser for et objekts besiddelse af en given egenskab.

Den består tillige i at kende, forstå og håndtere givne matematiske begrebers rækkevidde (og begrænsning) og deres forankring i diverse domæner, i at kunne forstå hvad der ligger i generalisering af matematiske resultater, og selv at kunne generalisere sådanne til at omfatte en større klasse af objekter.

Denne kompetence omfatter også det at kunne skelne, både passivt og aktivt, mellem forskellige slags matematiske udsagn og påstande, herunder "betingede udsagn", "destinitioner", "sætninger", "fænomenologiske påstande" om enkelttilfælde, og "formodninger" baseret på intuition eller erfaringer med specialtilfælde. Af særlig betydning er her forståelsen af den rolle, eksplicitte eller implicitte "kvantorer" spiller i matematiske udsagn, ikke mindst når de kombineres.

På A-niveau indgår desuden det at kunne følge udvidelsen af et begreb ved abstraktion af egenskaber i begrebet.

Kommentar

I forhold til grundskolens afsluttende trin er dækningsgraden her udvidet ved, at eleverne ud over kendskab til givne matematiske begrebers rækkevidde og begrænsning også skal kunne forstå og håndtere disse forhold som led i deres begrebsforståelse.

Fra C- til A-niveau er der, hvad dækningsgraden angår, lagt op til progression mht. hvor abstrakt, der arbejdes med de indgående begreber.

Der kan være grund til at understrege, at det at være i stand til at stille matematiske spørgsmål, som er karakteristiske for de respektive niveauer, ikke nødvendigvis indebærer, at man også kan besvare dem.

Eksemplificering

Nedenstående eksempler tjener til at belyse det at være klar over, hvilke slags spørgsmål som er typiske i matematik, i selv at kunne stille sådanne spørgsmål, og i at have blik for de typer af svar, der kan forventes.

• "Når grafen for en lineær funktion er en ret linje, vil enhver ret linje så kunne opfattes som graf for en lineær funktion?" (Nej, en lodret linje er ikke graf for en funktion).

• "Er en cirkel i et koordinatsystem nogensinde grafen for en funktion?" Et typisk svar på C-niveauet kan forventes at være: "Nej, for da vil der til samme x-værdi høre mere end én y-værdi", mens et svar på A-niveauet kan forventes at være: "Nej, for en funktion må have en entydig bestemt funktionsværdi i ethvert punkt i definitionsmængden".

• "Findes der et største tal i intervallet ]0;1[?" (Nej, fordi vi til ethvert forelagt "største tal" kan lave et der er endnu større ved at tilføje flere decimaler).

• "Er 0,99999 ikke det sidste tal før 1?" (Nej, det er lig med 1). Dette svar kan næppe forventes på C-niveauet, men derfor kan spørgsmålet sagtens stilles og forstås på dette niveau.

• "Hvorfor må man ikke gange med 0 på begge sider i en ligning?" På C-niveauet skal man næppe forvente et svar på dette spørgsmål, hvorimod et svar på B- eller A-niveau kan forventes at være: "Fordi man derved kan ændre løsningsmængden".

Med til tankegangskompetencen hører også at kende, forstå og håndtere begrebers rækkevidde (og begrænsning) og deres forankring i diverse domæner. Det kan fx være

• rækkevidden af et funktionsbegreb baseret på henholdsvis funktionsforskrifter og tilordninger. Domænet er her typisk en delmængde af de reelle tal, og når man blot siger at "vi indsætter et tal i forskriften", så skal eleverne være klar over, hvilket talområde der er på tale.

Med hensyn til at forstå, hvad der ligger i en generalisering og selv kunne gennemføre en generalisering af et matematisk resultat, vil vi nævne følgende eksempler:

• Eleverne skal på alle niveauer kunne gennemføre generaliseringen af sætningen om vinkelsummen i en trekant til en sætning om vinkelsummen i en n-kant. "Hvor mange trekanter kan en n-kant opdeles i?" vil være et oplagt spørgsmål at stille i denne sammenhæng.

• Sinus og cosinus til en spids vinkel defineres typisk vha. en standardtrekant - dvs. en trekant med hypotenusen 1. På B-niveauet kan dette begreb udvides vha. enhedscirklen til først til at omfatte alle vinkler og dernæst til en opfattelse af sinus og cosinus som egentlige funktioner.

Dette er et eksempel på en udvidelse af et matematisk begreb, hvor det sikres, at der til stadighed er overensstemmelse med den tidligere definition.

Udvidelsen af potensbegrebet og det bestemte integral er eksempler på udvidelser ved abstraktion af egenskaber i begrebet:

• Potensbegrebet introduceres på C-niveauet ved definitionen aⁿ=a×a...a, n ÎN, og udvides til a ^-n=1/aⁿ(nÎZ). På B-niveauet foregår udvidelsen ved at forlange, at reglen aⁿ×a^m=a^n-m også skal være opfyldt i udvidelsen. Dette fører til et potensbegreb, der omfatter a^p, pÎ Q. Den sidste del af udvidelsen klares ved at introducere eksponentialfunktionen med grundtal a, og definere ax x R a _ 0 ved hjælp af denne. På Aniveauet kommer kontinuitetsovervejelser og eksistens af eksponentialfunktionen ind i billedet.

• Det bestemte integral dx, hvor a < b, udvides til også at have mening for a > b ved abstraktion af egenskaber i begrebet. Her forlanger vi, at indskudssætningen skal bevare sin gyldighed i udvidelsen.

Til illustration af det at kunne skelne, både passivt og aktivt, mellem forskellige slags matematiske udsagn og påstande, anføres følgende eksempler:

Betinget udsagn: "Hvis a > 0, så er Ö a² =a."

destinitioner: "En lineær funktion er en funktion, som har en ret linje som graf." " f er differentiabel i et punkt x0, hvis. . . "

Sætninger: "En lineær funktion har forskriften f (x)=ax+b".

"Ö2 er et irrationalt tal."

"r er rod i polynomiet P (x), hvis og kun hvis x-r er divisor i P(x)".

"Ethvert tredjegradspolynomium har mindst én reel rod."

"Hvis en funktion er differentiabel i et punkt, så er den også kontinuert i punktet."

"Hvis f er kontinuert i [a;b], og f(a) og f(b) har modsatte fortegn, så findes der et c Î]a;b[,, således at f(c)=0."

Fænomenologisk påstand: "6 er et eksempel på et perfekt tal, fordi det er summen af sine egentlige divisorer."

Formodning: "Jeg tror, at kvadratroden af et primtal altid er irrationalt."

D.2.2 Problembehandlingskompetence

Karakteristik

På alle tre gymnasiale niveauer består denne kompetence dels i at kunne opstille, dvs. detektere, formulere, afgrænse og præcisere forskellige slags matematiske problemer, "rene" såvel som "anvendte", "åbne" såvel som "lukkede", dels i at kunne løse sådanne matematiske problemer i færdigformuleret form, egnes såvel som andres, og om fornødent eller ønskeligt på forskellige måder.

Kommentar

Et matematisk problem er en særlig type matematisk spørgsmål, nemlig ét hvor en matematisk undersøgelse er nødvendig for besvarelsen. Spørgsmål, som kan besvares alene ved hjælp af (få) specifikke rutinefærdigheder, henregnes således ikke som matematiske problemer.

Det er meget vel muligt at kunne formulere matematiske problemer uden at være i stand til at løse dem. Tilsvarende er det muligt at være en dygtig problemløser uden at være god til at finde og formulere matematiske problemer.

Ligesom det var tilfældet på grundskolens afsluttende trin, er dækningsgraden her ikke afgrænset i forhold til grundkarakteristikken i kapitel 4. Arbejdet med at udvikle elevernes besiddelse af kompetencen bør derfor fokusere på andre ting, jf. kommentarerne i afsnit D.1.1 (side 243).

Eksemplificering

Som eksempel på det at løse og i nogle af tilfældene eventuelt selv finde og formulere matematiske problemer, vil vi - i den "lukkede" afdeling, hvor der eksisterer ét entydigt rigtigt svar - nævne følgende:

• "Lav en målepind (eller en omsætningstabel eller en regneforskrift for en funktion) til bestemmelse af væskeindholdet af en cylinderformet beholder, der ligger på siden. Beholderen er 6 meter lang, og diameteren er 1 meter."

Problemet er naturligvis, at beholderen ligger på siden - var den placeret på endefladen, var opgaven triviel. For tre værdier kan indholdet let bestemmes: Når beholderen er tom, halvfyldt eller helt fyldt.

For at løse opgaven, må eleverne være bekendt med, at rumfanget svarende til en væskestand på h cm kan bestemmes som produktet af arealet af "grund fladen" og længden af beholderen. Herefter er problemet reduceret til at bestemme arealet af et cirkelafsnit.

Stilles opgaven på A-niveau, kan dette areal bestemmes som arealet mellem de to funktioner

Dette leder til et integral, der ikke er standard på A-niveau, hvorfor grafregner, CAS-program eller en integraltabel må anvendes.

Hvis opgaven stilles på B-niveau, kan arealet bestemmes som A=½r²(v-sin(v)), hvilket giver arealet som en funktion af v, men ikke af h, som ønsket. Udtrykt som funktion af h fås

Herefter kan man benytte en grafregner, et regneark eller et CAS-værktøj til at generere den ønskede omsætningstabel.

I de følgende eksempler vil vi overlade det til læseren selv eventuelt at forestille sig varianter af opgaveformuleringen eller den valgte løsningsstrategi, som kan gøre eksemplet egnet på alle de gymnasiale niveauer:

• "Hvor store er vinklerne i en regulær n-kant?"

• "Hvor mange cifre er der i tallet 2¹⁰²⁴?"

• "Opskriv tallene 2⁸⁰⁰, 3⁵⁰⁰, 4⁴⁰⁰ og 6³⁰⁰ i rækkefølge efter størrelse."

• "Opskriv et system af to ligninger med to ubekendte, hvis løsning er koordinatsæt til et punkt i fjerde kvadrant.

Hvilke ændringer af koefficienterne vil gøre, at løsningen flytter op i første kvadrant?"

• "Under udsalg får man ofte rabat som en procentdel af varens normale pris. Er det smartest at bede om at få rabatten trukket fra, før eller efter momsen lægges til prisen?"

• "En tur med en rulletrappe tager 20 sekunder, hvis man lader rulletrappen gøre hele arbejdet, og 10 sekunder, hvis man løber op ad den rullende trappe. Hvor lang tid tager det at løbe op, hvis rulletrappen står stille?"

• "En ny rapport fra Københavns Politi tegner et dystert billede. Mennesker af udenlandsk herkomst udgør 16 procent af indbyggerne i København, men står for 42 procent af voldssagerne." (Aktuelt 26. november 1999).

Hvor mange gange mere voldelige er mennesker af udenlandsk herkomst end mennesker af dansk herkomst i gennemsnit ifølge disse oplysninger?

• "Inden i en ligebenet trekant med sidelængderne 5, 5 og 6 lægges en anden ligebenet trekant på hovedet, således at grundlinjerne er parallelle. Hvad skal sidelængderne være i den indskrevne trekant, for at dens areal bliver så stort som muligt?"

• "Hvad er forholdet mellem arealet af en cirkels indskrevne og omskrevne ligesidede trekant?"

• "Hvor stor en del af en kugles volumen udgør den indskrevne terning?"

• "Ved en undersøgelse af ferieerfaringer, som omfattede 78 elever, havde 49 været i Sverige, 15 i Finland, 22 i Norge, 12 i både Sverige og Finland, 18 i både Sverige og Norge, 6 i både Finland og Norge og 5 i alle tre lande.

Hvor mange af de deltagende elever havde ikke besøgt nogen af de tre andre nordiske lande?" (som mulig graduering af sværhedsgraden kan eventuelt tilføjes: "Figuren her kan måske være en hjælp, hvis hvert land repræsenteres af en cirkel.")

• "To ens kvadrater tænkes anbragt, så et af hjørnerne i det ene kvadrat er placeret i midten af det andet kvadrat. Hvordan skal de drejes i forhold til hinanden for at arealet af det stykke, de overlapper, bliver størst muligt?"

• "Et muligvis lettere ubrugelig ordbog består af alle kombinationer af bogstaverne i ordet Bogstav. Dette ord er det første ord i ordbogen og de.nerer derved rækkefølgen af bogstaverne. Hvilket ord kommer lige efter "vogbast"?"

• "Fire cirkler er, som skitseret på figuren her, placeret symmetrisk, så de uden at overlappe danner et lukket område mellem sig.

Hvad er arealet af dette område?"

Det fremgår, at nogle af problemerne er af internt matematisk art, dvs. alene angår tal- eller størrelsesbegreber eller geometriske begreber om rummet (inklusive planen), mens andre refererer til genstande og fænomener fra verden uden for matematikken. De udenomsmatematiske problemer er (jf. kommentaren i afsnit 4.2.2) rubriceret under denne kompetence og ikke under modelleringskompetencen, fordi løsningen af dem ikke forudsætter hypoteser om og afgrænsning af det virkelighedsudsnit, der er tale om.

I den mere mere "åbne" afdeling, hvor det vil være selvmodsigende at anvise et kort og entydigt svar, kan følgende "rene" opgaver tjene som eksempler:

• "Opskriv 1/7 som sum af to eller flere stambrøker (dvs. brøker hvis nævner er 1).

Opskriv på samme måde en sum med resultatet 1/n ."

Hvad angår opgaver, som kan karakteriseres som "åbne" og "anvendte", har udfordringen en karakter, som gør, at det i første omgang er modelleringskompetence, der skal bringes i spil, jf. kommentarerne til nedenstående afsnit, som også rummer adskillige eksempler.

D.2.3 Modelleringskompetence

Karakteristik

På alle tre gymnasiale niveauer består denne kompetence på den ene side i at kunne analysere grundlaget for og egenskaberne ved foreliggende modeller og at kunne bedømme deres rækkevidde og holdbarhed. Hertil hører at kunne "afmatematisere" (træk ved) foreliggende matematiske modeller, dvs. at kunne afkode og fortolke modelelementer og -resultater i forhold til det felt eller den situation som er modelleret. På den anden side består kompetencen i at kunne udføre aktiv modelbygning i en given sammenhæng, dvs. at bringe matematik i spil og anvendelse til behandling af anliggender uden for matematikken selv.

Aktiv modelbygning indeholder en række forskellige elementer. Først at kunne strukturere det felt eller den situation, der skal modelleres. Dernæst at kunne gennemføre en matematisering heraf, dvs. en oversættelse af objekter, relationer, problemstillinger m.v. til et område af matematikken, resulterende i en matematisk model. At kunne behandle den opståede model, herunder løse de matematiske problemer den måtte give anledning til, samt at kunne validere den færdige model, dvs. bedømme dens holdbarhed både internt (i forhold til modellens matematiske egenskaber) og eksternt (dvs. i forhold til det felt og den situation modellen omhandler). Der indgår tillige at kunne analysere modellen kritisk, både i forhold til dens egen brugbarhed og relevans og i forhold til mulige alternative modeller, og at kunne kommunikere med andre om modellen og dens resultater. Endelig indgår det i aktiv modelbygning at have overblik over og kunne styre den samlede modelleringsproces.

Ligesom det var tilfældet på grundskolens afsluttende trin, er dækningsgraden her ikke afgrænset i forhold til grundkarakteristikken i kapitel 4. Arbejdet med at udvikle elevernes besiddelse af kompetencen bør derfor fokusere på andre ting, jf. kommentarerne i afsnit D.1.1 (side 243).

Eksemplificering

På trods af, at den "undersøgende" og den "produktive" side af modelleringskompetence i praksis oftest vil være på banen samtidigt, vil vi for illustrationens skyld splitte Eksemplificeringen op på udfordringer, som vi mener overvejende peger i henholdsvis den ene og den anden retning.

Den del af modelleringskompetencen, som består i at analysere grundlaget for og egenskaberne ved foreliggende modeller og at kunne bedømme deres rækkevidde og holdbarhed, kan fx igangsættes vha. følgende spørgsmål:

• "Hvordan virker en cykel-computer?"

• "Hvordan virker GPS-navigering?"

• "I forbindelse med en kampagne for at nedsætte farten i byerne bruges sloganet "10=44". Hvad er meningen?"

• "Hvor hurtigt svinger et pendul?"

• "Hvad er det optimale design af en vindmøllevinge?"

• "Hvordan benytter landmålere sig af matematik?"

• "Hvordan fastsættes prisen på en vare?"

• "Hvordan laver man stikprøveundersøgelser?"

• "Hvordan laver man opinionsundersøgelser?"

• "Hvordan kan man vurdere atomkraftværkers sikkerhed?"

• "Hvor sikker er en vejrudsigt?"

Med hensyn til det at kunne udføre aktiv modelbygning, er det som nævnt i karakteristikken et afgørende træk, at man som en del af udfordringen skal forholde sig strukturerende til virkeligheden. Denne del af arbejdsprocessen kan få meget forskelligt omfang, alt efter hvor kompleks og diffus udfordringen er i udgangspunktet, og hvor meget den mere eller mindre eksplicit kræver inddragelse af andre ting (hjælpemidler, data, udefrakommende personer etc.) end de i situationen forhåndenværende. Da det er en afgørende ting at forholde sig til, når man skal tilrettelægge arbejdet med sigte på modellleringskompetence, vil vi splitte eksemplificeringen op i oplæg til henholdsvis kortere- og længerevarende modelleringsaktiviteter. De korterevarende oplæg er karakteriseret ved, at vi forestiller os, at man meningsfyldt kan tage udfordringen op i klasseværelset inden for rammerne af en lektion eller to. Derimod vil de nævnte oplæg til længerevarende modelleringsprocesser givet kræve, at man sprænger disse rammer.

Først eksemplerne på korterevarende modelleringsforløb:

• Hvor højt skal et snapseglas skænkes for at være halvt fyldt?
  
  For at løse denne opgave skal man først bestemme sig for glassets form. Her vil det være nemmest at tage udgangspunkt i et kegleformet glas.
  
  På C- og B-niveau kan opgaven for et kegleformet glas løses vha. ensvinklede trekanter og formlen for en kegles rumfang. Opgaven kan lettes ved at sætte keglens højde til 1. Svaret bliver , eller med andre ord 79%.
  På A-niveau kan opgaven løses på en måske knap så elegant måde ved at bestemme rumfang af omdrejningslegemer.

• "Hvor meget kan en kran løfte?"

• "Når to personer sammen skal bære en stige (eller en anden lang genstand), vil man normalt tage fat i hver sin ende. Hvis de to personer ikke er lige stærke kan den stærkeste imidlertid aflaste den mindre stærke ved at tage fat længere inde på genstanden.
  Hvordan afhænger fordelingen af belastningen af, hvor den stærkeste tager fat?"

• "Hvor langt væk er horisonten?"

• "Hvilken vinkel skal en solfanger anbringes i?"

• "Hvor lang en stige kan man få rundt om et hjørne?"

• "Hvilken vej skal en livredder, som befinder sig et stykke oppe på en strand, vælge ud til en person, som er ved at drukne?"

• "Ved hvilken vinkel vælter et skævt tårn?"

• "Hvor langt bevæger nålen sig under afspilning af en grammofonplade?"

• "Karakterisér temperaturudviklingen i et glas isvand."

• "Karakterisér udviklingen i antallet af kinesere med den nuværende etbarnspolitik, hvor det gøres meget besværligt at have mere end ét barn."

Som eksempler på oplæg til længerevarende modelleringsforløb vil vi nævne følgende:

• "Hvad er sammenhængen mellem ens indkomst og den skat, man betaler?"

• "Hvor lang tid går der, før man er ædru, hvis man har drukket?"

• "Hvor dyrt er det at tale i mobiltelefon?"

• "Hvor mange molekyler er der i et stykke kridt?"

• "Hvor lang tid før man ønsker at drikke den, skal en øl sættes i køleskabet?"

• "Hvordan udvikler antallet af AIDS-tilfælde i Danmark sig?"

• "Hvordan kan man sejle i andre retninger end med vinden i en sejlbåd?"

D.2.4 Ræsonnementskompetence

Karakteristik

På alle tre gymnasiale niveauer består denne kompetence på den ene side i at kunne følge og bedømme et matematisk ræsonnement, dvs. en kæde af argumenter fremsat af andre på skrift eller i tale til støtte for en påstand, specielt at vide og forstå hvad et matematisk bevis er, og hvordan det adskiller sig fra andre former for matematiske ræsonnementer, fx heuristiske ræsonnementer hvilende på intuition eller på betragtning af specialtilfælde. Heri indgår at forstå den logiske betydning af et modeksempel.

På den anden side består kompetencen i at kunne udtænke og gennemføre informelle og formelle ræsonnementer (på basis af intuition). I den forbindelse bør eleverne gøre sig eksemplariske erfaringer med selv at omforme heuristiske ræsonnementer til egentlige (gyldige) beviser.

På B- og A-niveau indgår desuden det at kunne afgøre, hvornår et matematisk ræsonnement faktisk udgør et bevis, og hvornår ikke, samt det at kunne forstå en redegørelse for, hvad der er de bærende idéer i et matematisk bevis, herunder skelne mellem hovedpunkter og detaljer, mellem idéer og teknikaliteter.

På A-niveauet udvides dækningsgraden yderligere ved, at eleverne ikke blot forventes at kunne forstå en redegørelse for, men også selv at kunne afdække de bærende idéer i et matematisk bevis.

Kommentar

I forhold til grundskolens afsluttende trin er dækningsgraden her udvidet ved, at eleverne skal gøre sig mere end eksemplariske erfaringer med forbindelsen mellem ræsonnementer generelt og beviser som specialtilfælde. Desuden lægges der her på forskellig vis op til at tage fat på arbejdet med, hvad der er de bærende idéer i et matematisk bevis, hvilket ikke er på dagsordenen i grundskolekarakteristikken.

I forhold til grundkarakteristikken i kapitel 4 er dækningsgraden her afgrænset ved, at eleverne kun skal gøre sig eksemplariske erfaringer med at omforme heuristiske ræsonnementer til egentlige beviser, ikke som i grundkarakteristikken kunne det i nogen mere krævende betydning af dette ord.

Af mange betragtes matematisk bevisførelse, men også matematisk ræsonneren i almindelighed, som en sag, der først og fremmest angår retfærdiggørelsen af matematiske sætninger, endda ofte i form af ren og skær gengivelse af færdige beviser. Ræsonnementskompetencen omfatter også dette, men går videre, idet den kommer i spil overalt, hvor det gælder om at bedømme holdbarheden af matematiske påstande, inklusive at overbevise sig selv eller andre om den eventuelle gyldighed af sådanne. Det kan dreje sig både om reglers og sætningers rigtighed, men også om godtgørelsen af, at givne svar på spørgsmål, opgaver, eller problemer er korrekte og fyldestgørende. Ved således også at omhandle retfærdiggørelsen af svar og løsninger, er ræsonnementskompetencen intimt forbundet med både problembehandlings- og modelleringskompetencerne. Den udgør så at sige disses "juridiske" side.

De beviser, der arbejdes med, bør afspejle den begrebsforståelse, der i øvrigt arbejdes med i undervisningen. Hvis man eksempelvis på B-niveauet har et rent intuitivt grænseværdibegreb, bør beviser for regneregler for differentialkvotienter bygge herpå, medmindre man bevidst vælger at bruge arbejdet med velvalgte beviser som middel til netop at udfordre - og forhåbentlig dermed udvikle - den eksisterende begrebsforståelse.

Eksemplificering

Størstedelen af eksemplerne nævnt i forbindelse med problembehandlingskompetence vil kunne genbruges her, hvis man lægger fokus på måden, udfordringen tages op på. Her vil vi af pladshensyn nøjes med nogle få udfoldninger af sådanne tænkte reaktioner.

Scenario: I en klasse spiller eleverne to og to et spil: På udleverede ark er anbragt hjørnerne i en regulær 6-kant. Spillet går ud på, at man efter tur forbinder to hjørner i 6-kanten med hver sin farve (rød/grøn). Den, der først bliver nødt til at forbinde to punkter, så der dannes en ensfarvet trekant, har tabt spillet. Spillet spilles mindst 10 gange.

1. Findes der en vinderstrategi? (Nej, den der starter, vinder)

2. Prøv at spille spillene helt til ende. Hvad kan bemærkes? (At der altid er en rød trekant og en grøn trekant)

3. I ovenstående spil farves 6-kanten ved, at 8 sider farves rød og 7 sider farves grøn - eller omvendt. Antag nu, at vi dropper dette krav og ser på en vilkårlig farvning i to farver. Prøv at formulere og bevise en sætning om en vilkårlig farvning af en 6-kant med to farver.

Spilles spillet på A-niveauet kan man udbygge med:

• Bevis, at der i enhver forsamling på 6 personer er enten 3, der kender hinanden, eller 3, der ikke kender hinanden.

Lignende udspændinger hen over de forskellige niveauer kan tage udgangspunkt i opgaver som

• "En række punkter på et stykke papir forbindes med streger. Hvis der kun må gå én streg mellem to punkter er der selvfølgelig en grænse for hvor mange streger man kan tegne; én streg hvis der er to punkter; tre streger, hvis der er tre punkter, osv. Hvor mange streger kan man tegne, hvis der er n punkter?"

• Tegningen her skal illustrere en situation, hvor kvadrat 2 er drejet 45° i forhold til kvadrat 1, kvadrat 3 er drejet 45° i forhold til kvadrat 2, osv.

Hvad er forholdet mellem arealet af kvadrat 1 og kvadrat n?

• "I spillet "Tårnene i Hanoi" skal man flytte et antal cirkelskiver med hul i midten fra den ene af tre pinde til en anden af pindene. Man må kun flytte en skive ad gangen fra en pind til en anden. Cirkelskiverne er af forskellig størrelse og må ifølge reglerne aldrig ligge med en større skive oven på en mindre. Fra starten ligger de derfor også med den største skive nederst, så den næststørste osv. frem til den mindste, som ligger øverst.
    
  Hvad er det mindste antal skiveflytninger, der skal til, hvis der er n skiver at flytte?"

• "A, B og C har udfordret hinanden på pistol. A træffer dødeligt med 100% sikkerhed, B med 80% og C kun med 50%. De stiller sig op i en ligesidet trekant og må nu skyde et skud af gangen efter tur. Der trækkes lod om startrækkefølgen. Hvad er hver af de tre personers chance for at overleve?"

Med hensyn til det at kunne følge et matematisk bevis, hvor argumentationen bygger på udregninger og/eller geometriske ræsonnementer, skal eleverne på alle niveauer kunne forstå

• et bevis for, at vinkelsummen i en trekant er 180°.

• et bevis for, at hældningskoefficienten for en lineær funktion kan beregnes ud fra to punkter på grafen.

I kompetencen indgår også at kunne forstå, hvordan en "sætning" kan dementeres af et enkelt modeksempel. Det kan fx optræde ved

• arbejde med regneregler for kvadratrødder, hvor eleverne på den måde skal kunne indse, at "sætningen" Öa+b= Öa+Ö b ikke gælder.

På B- og A-niveauet hører det med til ræsonnementskompetencen at kunne følge mere komplicerede beviser, herunder at kunne skelne mellem et bevis for en sætning af typen "Hvis . . . så . . . " og et bevis for den omvendte sætning. I geometri kan man fx inddrage

• såvel Pythagoras' sætning for den retvinklede trekant som den omvendte sætning hertil, og eleverne skal kunne forstå forskellen mellem disse sætninger.

Tilsvarende skal de ved bevisførelse for sætninger om specielle funktioner fx kunne

• forstå forskellen mellem at bevise "hvis" og "kun hvis" i den sætning, der siger, at en funktion er en eksponentiel udvikling, hvis og kun hvis dens graf i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem er en ret linie.

På A-niveauet skal eleverne kunne magte mere krævende beviser, fx

• beviset for, at Ö2 er et irrationalt tal.

• beviset for, at metoden til løsning af førsteordens differentialligninger ved separation af de variable er korrekt.

Det indgår i kompetencen på B- og A-niveau at kunne afgøre, om et givet matematisk ræsonnement faktisk udgør et bevis. Eleverne skal således i simple situationer være i stand til at indse og forklare, om et givet ræsonnement udgør et korrekt bevis for en given påstand. Eksempelvis kan elever få opgaven

• at finde fejlen i et ukorrekt bevis og forklare, hvori det fejlagtige består.

I mere komplicerede situationer kan der være behov for at danne sig et overblik over bevisførelsen, som fx

• B- eller A-niveau at kunne forstå en redegørelse for, hvad der er de bærende ideer i ræsonnementerne i forbindelse med en generel behandling af andengradspolynomiets graf, herunder toppunkt og rødder.

Med til kompetencen hører desuden i simple situationer selv at kunne udtænke matematiske ræsonnementer, fx

• på baggrund af et bevis for, at Ö2 er et irrationalt tal, at kunne ræsonnere sig frem til, at Ö8 er et irrationalt tal, fordi Ö8=Ö4. 2=Ö4×Ö2=2×Ö2 og produktet af et rationalt og et irrationalt tal er irrationalt.

• på baggrund af et bevis for, at vinkelsummen i en trekant og en firkant er henholdsvis 180° og 360°, at kunne udtænke et ræsonnement for, at vinkelsummen i en n-kant er (n-2)× 180°.

• at skulle bevise, at summen af tre på hinanden følgende hele tal altid er delelig med 3.

• at bevise, at kvadratet på et lige tal igen er et lige tal, samt at kvadratet på et ulige tal igen er et ulige tal.

D.2.5 Repræsentationskompetence

Karakteristik

På alle tre gymnasiale niveauer består denne kompetence dels i at kunne forstå (dvs. afkode, fortolke og skelne mellem) og betjene sig af forskellige slags repræsentationer af matematiske objekter, fænomener, problemer eller situationer (herunder symbolske, specielt algebraiske, visuelle, geometriske, grafiske, diagrammatiske, tabelmæssige eller verbale repræsentationer, men også konkrete repræsentationer ved materielle objekter), dels i at kunne forstå de indbyrdes forbindelser mellem forskellige repræsentationsformer for det samme sagsforhold og have kendskab til deres styrker og svagheder, herunder informationstab og -tilvækst, dels i at kunne vælge blandt og oversætte imellem forskellige repræsentationsformer for et givet sagsforhold, alt efter situation og formål.

Ligesom det var tilfældet på grundskolens afsluttende trin, er dækningsgraden her ikke afgrænset i forhold til grundkarakteristikken i kapitel 4. Arbejdet med at udvikle elevernes besiddelse af kompetencen bør derfor fokusere på andre ting, jf. kommentarerne i afsnit D.1.1 (side 243).

Eksemplificering

Med hensyn til det at have kendskab til forskellige repræsentationsformer for de matematiske begreber, der er centrale på det pågældende niveau, og at kunne fastlægge én type repræsentation ud fra en anden, handler det i forbindelse med arbejdet med funktioner om at

• kende forskellige repræsentationsformer, bl.a. regneforskrift, graf og tabel.

• kunne tegne en graf ud fra en regneforskrift eller en tabel.

• kunne bestemme en regneforskrift for en eksponentiel udvikling ud fra en passende tabel for funktionen.

• kunne give en verbal repræsentation af en funktion i form af en sproglig formulering af den sammenhæng eller udvikling, funktionen beskriver.

Et andet eksempel - i forbindelse med arbejdet med geometri på B- og Aniveauet - er at kende til og kunne vælge hensigtsmæssigt mellem ligning, parameterfremstilling og grafisk repræsentation af en cirkel.

På B- og A-niveau er differentialkvotient et centralt begreb. Det indgår her i repræsentationskompetencen at kunne forstå og betjene sig af repræsentationsformer som

• en tangenthældning (altså en repræsentation af geometrisk karakter).

• ændringshastighed, fx med reference til erfaringer fra forskellige dagligdags situationer som bilkørsel, penge i banken etc.

• grænseværdien for en differenskvotient.

• en funktionsværdi for den afledede funktion.

Kompetencen indebærer også at kunne vælge den repræsentationsform og dertil hørende løsningsstrategi, der er bedst egnet til en given opgave eller problemstilling. I situationer, hvori der indgår en eller flere funktioner - på C-niveauet typisk i forbindelse med en konkret anvendelse - skal eleverne således kunne afgøre, om analytisk eller grafisk løsning er mest hensigtsmæssig. På A-niveau hører det fx med at kunne tage kvalificeret stilling til, om et bestemt integral i en given situation skal bestemmes ved analytiske, grafiske eller numeriske metoder.

I kompetencen indgår også at have kendskab til de informationstab (eller informationstilvækster), der optræder ved valget af en bestemt repræsentation. Fx skal eleverne kende til den forskel i information, der ligger i, om man for en funktion kender en regneforskrift eller kun en tabel over visse funktionsværdier.

D.2.6 Symbol- og formalismekompetence

Karakteristik

På alle tre gymnasiale niveauer består denne kompetence dels i at kunne afkode symbol- og formelsprog, i at kunne oversætte frem og tilbage mellem symbolholdigt matematisk sprog og naturligt sprog, og i at kunne behandle og betjene sig af symbolholdige udsagn og udtryk, herunder formler. Dels i at have kendskab til karakteren af og "spillereglerne" for formelle matematiske systemer (typisk aksiomatiske teorier).

På A-niveauet udvides dækninsgraden ved, at eleverne ikke blot forventes at have kendskab til, men også indsigt i karakteren af og "spillereglerne" for formelle matematiske systemer.

Kommentar

I forhold til grundskolens afsluttende trin er dækningsgraden på alle tre gymnasiale niveauer under ét udvidet i kraft af pointeringen af, at de formelle matematiske systemer, der er på dagsordenen, typisk er aksiomatiske teorier. Desuden skal eleverne gøre sig mere end eksemplariske erfaringer med forbindelsen mellem ræsonnementer generelt og beviser som specialtilfælde.

Den samlede karakteristik af dækningsgraden på A-niveau er identisk med grundkarakteristikken i kapitel 4.

Eksemplificering

Det at kunne oversætte frem og tilbage mellem symbolholdigt matematisk sprog og naturligt sprog kan komme til udtryk, når opgaver skal forstås, hvad enten det drejer sig om en præstruktureret tekstopgave ("grøftegraveropgave"), der skal omsættes til et matematisk symbolholdigt udtryk, eller et matematisk resultat, der skal beskrives i ord. Det kan fx dreje sig om at

Alle:	forstå, at den Pythagoræiske læresætning a2+ b2= c2 i mere dagligdags termer udtrykker, at "i en retvinklet trekant er summen af kateternes kvadrater er lig med hypotenusens kvadrat", og at kunne benytte den Pythagoræiske læresætning, uanset om trekantens sider hedder a, b og c eller ej.
Alle:	bestemme forskriften for prisen som funktion af den kørte distance, når det oplyses, at et taxaselskab har et startgebyr på 12 kr. og en kilometertakst på 3 kr.
B&A:	kunne afgøre, at mængden beskriver alle punkter på parablen med ligningen , og omvendt at kunne opskrive ligningen for parablen med opadvendte grene, som har toppunkt i (1/2,3/4) og 1 som koefficient til andengradsleddet.
B&A:	kunne udlede, at den af funktionerne fb(x)=sin(x+b), hvor b Î [0;2p] som i punktet 0 har værdien 1, må opfylde at fb(0)=sin(b)=1, hvorfor b = p/2.
A:	kunne oversætte differentialligningen y1=a×y til, at væksthastigheden er proportional med y - også i en iklædning, hvor y fx angiver størrelsen af en population.

Som eksempler på oversættelsesopgaver af "grøftegraverkarakter" kan vi nævne:

• "En kasse uden låg skal være 1_6 gange så lang, som den er bred, og have et bestemt rumfang. Hvordan skal kassen udformes, for at over.adearealet bliver mindst muligt?"

• "Fra man får sin løn, til man står med en vare i hånden, betaler man først indkomstskat og siden moms. Hvordan afhænger den samlede skat, man betaler, af indkomstskatte-procenten og moms-procenten?"

Det at kunne behandle og betjene sig af symbolholdige udsagn og udtryk, herunder formler, kommer i spil i arbejdet med formler, der kan benyttes i .ere sammenhænge ved at isolere en given størrelse. Fx skal eleverne kunne se, at sin(A)=a/c indeholder tre formler, og kunne udnytte styrken ved dette -- herunder kunne benytte formlen, uanset hvordan trekantens sider og vinkler er navngivet. Det anses således ikke på C-niveauet for tilstrækkeligt blot at kunne arbejde instrumentelt med formler.

Et kendskab til karakteren af og "spillereglerne" for formelle matematiske systemer kan man fx arbejde med gennem

D.2.7 Kommunikationskompetence

Karakteristik

På alle tre gymnasiale niveauer består denne kompetence dels i at kunne sætte sig ind i og fortolke andres matematikholdige skriftlige, mundtlige eller visuelle udsagn og "tekster", dels i at kunne udtrykke sig på forskellige måder og på forskellige niveauer af teoretisk eller teknisk præcision om matematikholdige anliggender, skriftligt, mundtligt eller visuelt over for forskellige kategorier af modtagere.

Ligesom det var tilfældet på grundskolens afsluttende trin, er dækningsgraden her ikke afgrænset i forhold til grundkarakteristikken i kapitel 4. Arbejdet med at udvikle elevernes besiddelse af kompetencen bør derfor fokusere på andre ting, jf. kommentarerne i afsnit D.1.1 (side 243).

Eksemplificering

Indenfor undervisningens rammer handler det at kunne sætte sig ind i og fortolke andres matematikholdige skriftlige, mundtlige eller visuelle udsagn og "tekster" om at kunne læse sædvanlig lærebogstekst samt andre tekster hvori der indgår matematik (bøger i matematikanvendende fag, avisartikler m.m.), at kunne forstå en mundtlig forklaring fra en lærer og på konstruktiv vis kunne "sende bolden tilbage", at kunne kommunikere meningsfuldt med klassekammerater i et gruppearbejde i en matematiktime osv.

En tænkt dialog mellem en lærer og en elev:

Et oplæg til skriftlig kommunikation på flere niveauer findes i dette eksempel:

• Anskaf det nyeste tilbudsmateriale om Den Store Danske Encyklopædi. Nedenfor er anført forskellige priser og betalingsmåder:

1. Udgaven i blåt helbind: 70 mdl. rater á 228,57kr. 16000kr.

2. Udgaven i særindbinding: 70 mdl. rater á 285,71kr. 20000kr.

3. Kontant betaling: Dette giver ret til særindbinding.

Forestil dig, at du arbejder ved Danmarks Nationalleksikon. Du har fået til opgave at udarbejde en skrivelse til alle boghandlere her i landet.

Skrivelsen skal sætte boghandleren og ekspedienterne i stand til at give en mulig køber af Encyklopædien en fyldestgørende økonomisk vejledning og skal indeholde

1. en regnearksudskrift af relevante beregninger - den skal være forståelig for boghandleren.

2. en tekst, der indeholder konklusionerne fra regnearket - den skal være forståelig for ekspedienten, som jo skal rådgive kunden.

Skrivelsen skal desuden indeholde svar på følgende spørgsmål:

1. Hvad er nutidsværdien af de 16000 kr. i betalingsmåden A og de 20000 kr. i B?

2. Hvor stort et engangsbeløb er det nødvendigt at sætte i banken for, at dette beløb netop kan betale de 70 mdl. rater?

3. Hvad kan bedst betale sig ved køb af udgaven i særindbinding:
   (a) At låne 16000 kr. i banken til kontant betaling?
   (b) At betale 20000 kr. over 70 månedlige rater?
   (c) At betale 16000 kr. kontant eller sætte pengene i banken og betale 16000 kr. over 70 rater?

D.2.8 Hjælpemiddelkompetence

Karakteristik

På alle tre gymnasiale niveauer består denne kompetence dels i at have kendskab til eksistensen og egenskaberne ved diverse former for relevante redskaber til brug for matematisk virksomhed og have indblik i deres muligheder og begrænsninger i forskellige slags situationer, dels i at være i stand til på reflekteret vis at betjene sig af sådanne hjælpemidler.

Kommentar

Ligesom det var tilfældet på grundskolens afsluttende trin, er dækningsgraden her ikke afgrænset i forhold til grundkarakteristikken i kapitel 4. Arbejdet med at udvikle elevernes besiddelse af kompetencen bør derfor fokusere på andre ting, jf. kommentarerne i afsnit D.1.1 (side 243).

De basale hjælpemidler på det gymnasiale niveau er lommeregnere, grafregnere, tekniske papirer og tabeller. Herudover kan regneark, grafiske tegneprogrammer, CAS-værktøjer og anden computersoftware komme på tale.

Hjælpemiddelkompetencen går ofte hånd i hånd med andre kompetencer, fx problembehandlingskompetencen, ikke blot som en kontrol af, at man har regnet rigtigt, men som en hjælp, hvis problembehandlingskompetencen skulle svigte.

Desuden kræver brugen af hjælpemidler, at man kan repræsentere problemet og de indgående matematiske objekter på en måde, der giver mening i relation til det aktuelle hjælpemiddel.

Eksemplificering

De nedenstående eksempler belyser de forskellige sider af hjælpemiddelkompetencen: Kendskab til eksistens og egenskaber, indsigt i muligheder og begrænsninger samt en reflekteret betjening af hjælpemidlet.

• To sammenhørende data sæt skal undersøges for lineær sammenhæng. På C-niveauet vil en typisk tilgang være at plotte datapunkterne på et millimeterpapir og med en lineal forsøge at indlægge bedste rette linje gennem datapunkterne, hvorefter "regressionslinjens" ligning bestemmes ved aflæsning (fx af to punkter).
  
  På B-niveauet vil data typisk blive tastet ind i en grafregner, der så vil give regressionslinjens ligning og en korrelationskoefficient. Dette vil dog ikke anses for at være en tilstrækkelig modelkontrol, hvorfor datapunkterne må plottes i millimeterpapir - eller der må foretages en kontrol af residualerne.

• Elever på B-og A-niveau må forventes at være fortrolig med forskellen på en funktions graf og det billede af grafen, der vises på en grafregner - herunder forstå, hvorfor grafen for funktionen sin ax_ for visse værdier af a og i visse vinduer fremstår som en ret linje på grafregnerens display.

• Hvad er summen af tallene fra 1 til 100? Den velkendte metode er:
  
  1+2+...+99+100=(1+100)+(2+99)+...=50×101=5050
  
  Prøver man på en lommeregner, får man med sikkerhed et svar, men ingen forståelse af, hvorfor svaret måske er korrekt.
  
  Ofte sker en kontrol af en lommeregnerberegning ved at gentage beregningen, indtil man får et resultat, man har haft tidligere. Den reflekterede betjening må da give anledning til, at enten er beregningen korrekt, eller også er den samme fejl lavet to gange.

• I forbindelse med ligningsløsning er der flere redskaber at vælge blandt: Millimeterpapir, tekniske papirer, tabeller, grafregnere og CAS-værktøjer. Et reflekteret valg af redskab forudsætter kendskab til hver type hjælpemiddels muligheder og begrænsninger.
  
  Ligningen x²=Öx²+6 fører ved almindelig beregning til en fjerdegradsligning, men denne kan ved substitution omformes til en andengradsligning og løses med standardmetoder. Grafisk løsning af denne ligning kræver indførelse af to funktioner, f(x)=x² og g(x)=Öx²+6, hvis grafer tegnes i samme koordinatsystem. Løsningerne findes som x-koordinaten til skæringspunkterne mellem de to grafer.
  
  For visse ligningers vedkommende lettes arbejdet betydeligt af en grafregner - måske endda med en indbygget numerisk ligningsløser. Dog må der alligevel ofte kombineres med en grafisk illustration, bl.a. til bestemmelse af startværdier for de numeriske algoritmer.
  
  For at løse ligningen x²=Öx²+6 på en grafregner, indtastes funktioner svarende til f(x)=x² og g(x)=Öx²+6, og graferne tegnes. Herefter benyttes grafregnerens værktøj til bestemmelse af skæringspunkter mellem to grafer. Der er dog intet til hinder for at indtegne grafen for (f-g)(x) og benytte grafregnerens værktøj til nulpunktsbestemmelse. Sidstnævnte metode vil almindeligvis ikke være hensigtsmæssig, hvis der benyttes millimeterpapir til graftegningen.
  
  Er grafregneren udstyret med en ligningsløser, indtastes ligningen på den krævede form (fx f(x)=g(x) eller 0=f(x)-g(x), og der gives en startværdi (fx fundet ved en grafisk illustration), hvorefter ligningsløseren startes. Der må forventes et vist kendskab til den algoritme, grafregneren benytter, så eleverne kan forklare, hvad der går galt, hvis ingen eller en forkert løsning bestemmes af algoritmen.
  
  Ikke alle ligninger egner sig til løsning med grafregnere. Fx hvis normalfordelingsfunktionen indgår i ligningen, vil et normalfordelingspapir være det oplagte valg, og hvis binomialfordelingen indgår, vil en tabel være det oplagte valg. I sidstnævnte tilfælde kan man dog lade grafregneren generere tabellen. Selv med CAS-værktøjernes symbolske ligningsløsere til rådighed kan man ikke undgå den grafiske tilgang. En ligning som fx x²=2^x vil give problemer for de fleste CAS-værktøjer, og selvom et symbolsk resultat skulle opnås, vil det være uforståeligt på det gymnasiale niveau.

D.3 Overblik og dømmekraft vedrørende matematik som fagområde i det almene gymnasium

Som tidligere nævnt er det en central bestræbelse for dette projekt at bidrage til at mindske problemer med utilstrækkelig sammenhæng mellem de forskellige niveauer og trin i matematikundervisningen. I den forbindelse er det - ikke mindst i forhold til uddannelser, som skal indgå i symbiose med andre uddannelser - afgørende at undgå, at undervisningens "toning" skifter så markant fra et niveau til et andet, at man ikke kan genkende det som malet med den samme "palet". En sådan situation fremprovokeres let, hvis der undervejs i en udvikling pludselig bringes helt nye "grundfarver" i spil. Så er det bedre fra starten at have alle "grundfarverne" med på "paletten" og være bevidst om, at nogle af farverne til en start mest er med netop for fuldkommenhedens skyld og derfor skal bruges med varsomhed.

Når vi vælger at fastholde de forskellige former for overblik og dømmekraft i karakteristikken af alle de tre gymnasiale matematikniveauer, er det således primært for at fastholde læreren og andre medtilrettelæggeres opmærksomhed på, at det på alle niveauer og trin gør en forskel, om de perspektiver på matematik, som der her er tale om, gøres til genstand for udtrykkelig behandling, refleksion og artikulation, når lejligheden byder sig. Sådanne metafaglige diskussioner er velegnede som træning i at kunne "hæve sig op over" de mange konkrete erfaringer, man gør sig undervejs i undervisningen, og en sådan generel evne til at kunne operere på flere vidensniveauer er en forudsætning for ad åre at udvikle bevidst og artikuleret overblik og dømmekraft som dem vi her beskæftiger os med, jf. kommentarerne i afsnit 4.5 (side 66).

Omvendt vil det være omsonst at gennemføre metafaglige diskussioner som dem, der opfordres til ovenfor, hvis ikke eleverne kan føre sådanne diskussioner tilbage til en lang række konkrete erfaringer, som de har erhvervet i arbejdet med at udvikle de otte kompetencer.

Der ligger derfor en spændende udfordring i løbende at vurdere, hvornår der skal arbejdes konkret med sigte på udvikling af kompetencerne, og hvornår der skal initiativ til metafaglige diskussioner med sigte på udviklingen af de forskellige former for overblik og dømmekraft.

Den tætte kobling mellem kompetenceudvikling og udvikling af overblik og dømmekraft er baggrunden for, at vi nedenfor nøjes med at nævne ganske få eksempler og i stedet her lægger op til at generere utallige andre ved for hver gruppe af kompetenceeksempler at stille sig selv spørgsmålet: "Er nogle af disse eksempler - eller omformuleringer heraf - velegnede som erfaringsgrundlag for at kunne diskutere nogle af spørgsmålene i afsnit 4.5 eller forlængelser heraf, og er her og nu et passende tidspunkt for en sådan diskussion?"

D.3.1 Matematikkens faktiske anvendelse i andre fag- og praksisområder

Karakteristik

På alle tre gymnasiale niveauer er genstanden for denne form for overblik og dømmekraft den faktiske anvendelse af matematik til udenomsmatematiske formål inden for områder af dagligdags, samfundsmæssig eller videnskabelig betydning. Denne anvendelse kommer i stand og til udtryk gennem bygningen og udnyttelsen af matematiske modeller.

På de gymnasiale niveauer består en vigtig del af udfordringen her i at sikre, at eleverne får et kendskab til centrale, faktiske anvendelser af matematik i nogle af de fag, der hører til den pågældende ungdomsuddannelse, samt kendskab til udvalgte, autentiske matematikanvendelser af samfundsmæssig betydning.

Eleverne skal herigennem udvikle en viden om og en forståelse af, at matematik har mange væsentlige anvendelser, og de skal kende nogle karakteristiske eksempler på, hvordan matematik rent faktisk anvendes, og hvilken betydning det har.

Karakteristikken her svarer til de mere overgribende dele (modelleringskompetence er også til dels omfattet i bekendtgørelsesteksten) af intentionerne bag indførelsen af "Modelaspektet", der er beskrevet i den pt. gældende bekendtgørelse for gymnasiet.

Eksemplificering

Eleverne kan eksempelvis få kendskab til anvendelse af

• matematiske vækstmodeller til beskrivelse af populationers vækst i biologi.

• logaritmer i forbindelse med syrer og baser i kemi.

• differential- og integralregning i arbejdet med kinematik og dynamik i fysik.

Matematikanvendelse af samfundsmæssig betydning kan eleverne fx møde ved

• analyse af avisartikler, hvori der optræder anvendelse af matematik.

• beskæftigelse med politiske værktøjer som de nationaløkonomiske modeller ADAM og SMEC.

D.3.2 Matematikkens historiske udvikling, såvel internt som i samfundsmæssig belysning

Karakteristik

På alle tre gymnasiale niveauer er genstanden for denne form for overblik og dømmekraft det forhold, at matematikken har udviklet sig i tid og rum, i kultur og samfund.

I den almentgymnasiale matematikundervisning skal eleverne erhverve et kendskab til den historiske udvikling inden for udvalgte dele af den matematik, der i øvrigt arbejdes med på det pågældende niveau. De centrale drivkræfter i den historiske udvikling skal diskuteres, herunder påvirkningen fra forskellige anvendelsesområder.

Eleverne skal herigennem udvikle en viden om og en forståelse af, at matematikken er menneskeskabt og rent faktisk har gennemgået en historisk udvikling - og ikke blot er noget, der altid har været der eller pludselig er opstået ud af den blå luft.

Karakteristikken her svarer til intentionerne bag indførelsen af "Det historiske aspekt", der er beskrevet i den pt. gældende bekendtgørelse for gymnasiet.

Eksemplificering

Arbejdet med matematikkens historiske udvikling kan inddrages som perspektivering af et hovedemne eller i særskilte undervisningsforløb. I forbindelse med emnet Tal kan man fx inddrage talbegreb og talanvendelse i det gamle Egypten, Babylon eller Grækenland.

Ligeledes kan man - på B- og A-niveau som pensum p.t. er fastlagt - eksempelvis beskæftige sige med logaritmernes historie og med analysens tidlige historie, evt. med anvendelse af historisk kildemateriale.

Af andre mere moderne emner til belysning af matematikkens historiske udvikling kan nævnes:

• "Fraktaler -hvorfor blev de pludselig så interessante?"

• "Fermats sidste sætning - hvorfor blev den først bevist for nylig?"

• "Primtallene -hvordan ren matematik pludselig bliver til anvendt matematik, og hvorfor det er fornuftigt at investere i grundforskning."

D.3.3 Matematikkens karakter som fagområde

Karakteristik

Som fagområde har matematikken sine egne karakteristika. Det er disse karakteristika, der på alle tre gymnasiale niveauer er genstand for den foreliggende type overblik og dømmekraft. Nogle karakteristika har matematikken tilfælles med andre fagområder, andre er den ret alene om.

Eleverne skal erhverve en forståelse af, hvilke problemstillinger og metoder, der er karakteristiske for faget matematik. Specielt på A-niveauet lægges der vægt på, at eleverne opnår en forståelse af matematikfagets særlige karakter og struktur, herunder aksiomatisk-deduktive teoriopbygninger.

Kommentar

På alle tre niveauer skal eleverne opnå et kendskab til og en forståelse af, hvordan matematiske teorier er opbygget, specielt om bevisers rolle og betydning. Arbejdet med denne form for overblik og dømmekraft vil derfor blandt de otte kompetencer ikke mindst ligge tæt op ad arbejdet med at udvikle symbol- og formalismekompetence. Desuden skaber vægten på forståelse af karakteristiske problemstillinger og metoder et naturligt slægtsskab med udviklingen af tankegangskompetence.

Karakteristikken her svarer således til de mere overgribende dele af intentionerne bag indførelsen af aspektet "Matematikkens indre struktur", der er beskrevet i den pt. gældende bekendtgørelse for gymnasiet.

Eksemplificering

Et selvstændigt forløb kan fx dreje sig om

• det induktive vs. det deduktive princip.

• forskellige typer af beviser.

• grundlaget for en eller flere matematiske teoribygninger.

Eventuelt kan den historiske udvikling af et emne inddrages, fx udviklingen af grundlaget for differential- og integralregningen.

Denne side indgår i publikationen "Kompetencer og matematiklæring" som kapitel D af H
© Undervisningsministeriet 2002