Publikation: Kompetencer og matematiklæring

Grundskolen er et langstrakt og aldersmæssigt tidligt placeret uddannelsesforløb, hvor eleverne, i løbet af de år de er der, gennemgår en personlig udvikling, som ikke kan sidestilles med nogen anden uddannelse. Det vil derfor - uanset hvilke analytiske "briller" man har på - kun på et meget overordnet plan være meningsfuldt at lave en samlet karakteristik af forløbet, hvilket vi for at kunne komme ned under "overfladen" derfor vil undlade. I karakteristikken her kommer de enkelte kompetencer således til udtryk og er afgrænset på en måde, der er tilpasset de alders- og undervisningstrin, grundskolen favner. Det indebærer både, at det ofte kun er visse træk ved den enkelte kompetence, vi vurderer som relevante på de forskellige trin, og at selve formuleringen af kompetencerne tager hensyn til trinnet.

Vi har dog af flere grunde bevidst afstået fra at forsøge at karakterisere, hvordan kompetencerne kan komme til udtryk på det enkelte klassetrin. Dels ville det give et falsk indtryk af homogenitet i elevgruppen på det enkelte klassetrin, dels ville det sende et utilsigtet og forkert signal om, at jo mere fintmasket og detaljeret en karakteristik man kan lave, jo bedre.

I forsøget på at finde en balance mellem en meget overordnet, og derfor meget lidt handlingsorienteret, karakteristik på den ene side, og en urimeligt atomiseret karakteristik på den anden side, har vi valgt at følge traditionen og gennemføre kompetencebeskrivelsen af matematikindervisningen i grundskolen gennem tre udviklingstrin: Begyndertrinnet (1.-3. klassetrin), mellemtrinnet (4.-6. klassetrin) og afsluttende trin (7.-9. klassetrin).

B.1.1 Afgrænsning af karakteristikkerne her i forhold til grundkarakteristikken

I fremstillingerne nedenfor er omdrejningspunktet en fremadrettet karakteristik af, hvad det, hvad dækningsgraden angår, efter vores mening er rimeligt at have som sigtepunkt på hver af de tre trin i forhold til arbejdet med hver af kompetencerne. For at gøre det nemmere at sammenholde karakteristikken af grundskolen med omtalen af kompetencerne i kapitel 4 vil vi her kort sammenfatte, hvordan hver af kompetencerne er afgrænset i forhold til grundkarakteristikken i kapitel 4.

Tankegangskompetencen er for grundskolen som helhed kun dækningsgradsmæssigt afgrænset i forhold til grundkarakteristikken ved ikke at omfatte abstraktion af egenskaber i matematiske begreber. På mellemtrinnet og ned omfatter karakteristikken ikke generalisering af matematiske resultater, ligesom der kun fordres en lejlighedsvis aktiv skelnen mellem destinitioner og sætninger, ikke en mere udbygget og detaljeret forståelse af forskellen mellem forskellige slags udsagn og deres status. På begyndertrinnet omfatter karakteristikken kun passiv skelnen mellem definitioner og sætninger.

Problembehandlingskompetencen er for grundskolen som helhed ikke afgrænset i forhold til grundkarakteristikken, hvad dækningsgrad angår. På mellemtrinnet og ned er der to elementer af grundkarakteristikken, der ikke stresses: Dels det at kunne afgrænse og præcisere matematiske problemer, dels det at kunne løse matematiske problemer på forskellige måder.

Heller ikke modelleringskompetencen er for grundskolen som helhed afgrænset i forhold til grundkarakteristikken, hvad dækningsgrad angår. På mellemtrinnet forventes kun i begrænset omfang evne til at kunne styre den samlede modelleringsproces. På begyndertrinnet optræder hverken afmatematisering af matematiske modeller eller strukturering, kritisk analyse, og ej heller det at have overblik over og kunne styre aktive modelleringsprocesser.

Når det gælder ræsonnementskompetencen indgår det at kunne afdække de bærende idéer i et matematisk bevis ikke i grundskolen. Et par forhold vedrørende forbindelsen mellem ræsonnementer generelt og matematiske beviser som specialtilfælde indgår kun i karakteristikken i form af en forventning om eksemplariske erfaringer. Det er tilfældet med hensyn til det at vide og forstå, hvad et matematisk bevis er, samt det at kunne omforme heuristiske ræsonnementer til egentlige (gyldige) beviser. På mellemtrinnet og ned omfatter karakteristikken ikke det at kunne bedømme et matematisk ræsonnement, kun at kunne følge og forholde sig til et sådant.

Repræsentationskompetencen er i forhold til grundkarakteristikken bevaret i sin fulde form gennem hele grundskolen, bortset fra at kendskab til styrker og svagheder ved forskellige repræsentationsformer ikke eksplicit er på dagsordenen på begyndertrinnet.

Symbol- og formalismekompetencen afgrænses i forhold til grundkarakteristikken dels ved ikke at inkludere en forventning om indsigt i - kun kendskab til - karakteren af og "spillereglerne" for formelle matematiske systemer, dels ved ikke at betone, at omgangen med sådanne systemer typisk handler om at forholde sig til aksiomatiske teorier. På mellemtrinnet og ned optræder fordringen om at beskæftige sig med formelle matematiske systemer slet ikke i karakteristikken. På begyndertrinnet er ikke inkluderet en fordring om at beskæftigelsen med symbolholdige udsagn også omfatter formler.

Kommunikationskompetencen er bevaret uafgrænset gennem hele grundskolen med undtagelse af, at man på begyndertrinnet ikke behøver at kunne udtrykke sig på flere forskellige måder om matematikholdige anliggender.

Også hjælpemiddelkompetencen er bevaret uafgrænset gennem hele grundskolen, bortset fra at det ikke forudsættes, at eleverne på begyndertrinnet opnår artikuleret kendskab til hjælpemidlernes begrænsninger.

Hvad sluttelig angår de tre former for overblik og dømmekraft vedrørende matematik som fag, er de ikke afgrænsede i forhold til grundkarakteristikkernes påpegning af de respektive genstandsfelter. Afgrænsningen ligger i, at eleverne kun forventes at få erfaringer af orienterende og alment diskuterende karakter, og - med undtagelse af anvendelsesmæssigt overblik og dømmekraft - kun eksplicit adresseret på afsluttende trin.

B.1.2 Læsevejledning

Karakteristikken i dette kapitel er normativ. Det betyder, at man som læser hverken skal se det som vores bud på "tingenes tilstand", eller som noget man med rimelighed kunne forvente af eleverne her og nu. Karakteristikken gælder, hvad det, efter vores mening, er fornuftigt og realistisk at sætte op som pejlemærker for grundskolens matematikundervisning, i en tænkt fremtidig situation, hvor det almene uddannelsessystem, hvad matematikundervisningen angår, er reformeret i overensstemmelse med anbefalingerne i kapitel 11.

For den faktiske undervisning i grundskolen vil de otte kompetencer i ret høj grad være sammenvævede, faktisk i en grad, så de i praksis kan være svære at skille ad. Jo tidligere i skoleforløbet man befinder sig, jo mere vil det høre til sjældenhederne, at matematiske begreber og fænomener på dette trin optræder i "ren" form, dvs. uden forbindelse med børnenes livsverden. Alligevel er det vigtigt for klarhedens skyld at fastholde, at kompetencerne er analytisk forskellige.

Hvad angår karakteristikken af hver af kompetencerne, er det gennemgående, at der er mange elementer, som er gennemgående på hver af de tre grundskoletrin. Det skal tages som et positivt signal om, at det grundlæggende er en og samme kompetence, som videreudvikles, og altså ikke som et signal om, at eleverne ikke forventes at udvikle sig på disse områder.

Eksemplificeringen er iøvrigt generelt mest fyldig på begyndertrinnet, dels fordi det er med dette trin, at kompetencekarakteristikkerne udspændes nedadtil både alders- og niveaumæssigt, dels fordi vi har erfaring for, at det er på dette trin, det volder størst vanskeligheder umiddelbart at se kompetencernes manifestation for sig.

B.2 Matematiske kompetencer i grundskolen

B.2.1 Tankegangskompetence

Karakteristik

Gennem hele grundskolen består dennne kompetence i at kunne udøve matematisk tankegang i forhold til elementær matematik, dvs. grundbegreberne for størrelser, tal og rum, som de kommer i spil, i forhold til den verden de respektive aldersgrupper befinder sig i. Udfoldet drejer det sig dels om at kunne stille spørgsmål, som er karakteristiske for elementær matematik, og at have blik for hvilke typer af svar, som kan komme på tale, dels om at kunne skelne passivt mellem forskellige slags matematiske udsagn som del af forståelsen af, hvilke typer svar som kan opnås på spørgsmål vedrørende elementær matematik. Hovedvægten ligger her på at kunne skelne mellem på den ene side destinitioner, forstået som en aftale om tildeling af navne til ting, og på den anden side sætninger, forstået som påstande i form af alment gældende resultater og regler.

Af særlig betydning er her forståelsen af betingede udsagn. I denne skelnen indgår også det at have blik for betydningen af underforståede eller udtrykkelige kvantorer i matematiske udsagn ("Der findes en. . . med den egenskab at. . . ", "For alle . . . gælder. . . "). Også det at kunne skelne sætninger fra påstande om enkelttilfælde, og fra formodninger baseret på intuition eller erfaringer med specialtilfælde, hører hjemme her.

Fra mellemtrinnet og frem bør der ske en gradvis udvikling i forhold til, hvor aktivt der kan skelnes mellem forskellige slags matematiske udsagn. Herudover øges forventningerne ved at tilføje karakteristikken det at kunne udøve kendskab til givne matematiske begrebers rækkevidde som en anden del af forståelsen af, hvilke typer svar som kan opnås på spørgsmål vedrørende elementær matematik.

På afsluttende trin bør man forvente, at dækningsgraden udvides til, ud over rækkevidden af de centrale matematiske begreber, også at omfatte kendskab til disse begrebers begrænsning. Desuden tilføjes karakteristikken det at være klar, over hvilke slags spørgsmål som er karakteristiske for elementær matematik som udtryk for en øget bevidsthed omkring det at kunne stille sådanne spørgsmål og have blik for typen af svar. På dette trin indgår også det at kunne forstå, hvad der ligger i generalisering af matematiske resultater og selv at kunne generalisere sådanne til at omfatte en større klasse af objekter.

Kommentar

At elever i grundskolen kan udøve matematisk tankegang som her beskrevet, indebærer ikke, at de også er i stand til at udtrykke, hvori denne tankegang består eller at kunne gøre rede for de forskellige former for skelnen, som indgår heri. Selvfølgelig er det heller ikke et spørgsmål om at have kendskab til den terminologi, som her er benyttet. I stedet er der tale om, at eleverne i praksis kan forholde sig til og betjene sig af de vigtigste ingredienser i en sådan tankegang i de matematiske sammenhænge, de støder på.

Der kan også være grund til at understrege, at det at være i stand til at stille matematiske spørgsmål, som er karakteristiske for de respektive trin, ikke nødvendigvis indebærer, at man også kan besvare dem.

Eksemplificering

Med formuleringen om at kunne stille spørgsmål, som er karakteristiske for elementær matematik, tænkes her på spørgsmål af typen "Findes der. . . ?", "Hvor mange. . . ?", "Hvad betyder. . . ?", "Hvad kaldes. . . ?" osv.

I forbindelse med det at have blik for hvilke typer af svar, som kan komme på tale, tænkes på svar af typen "Der findes. . . (fordi). . . ", "Der findes ikke . . . (fordi). . . ", "Så mange. . . ", "Det bliver. . . ", "Det betyder. . . ", "Det kaldes. . . " osv.

Med hensyn til forståelsen af betingede udsagn tænkes på udsagn af typen "Hvis. . . så. . . ", "Hvis ikke. . . så. . . ", "Kun når. . . er. . . ", "På betingelse af. . . kan man sige at. . . " osv.

Til illustration af matematisk tankegangskompetence kan nævnes det at have blik for typen af svar på, og selv kunne stille, konkrete karakteristiske spørgsmål som

B	"Findes der noget helt tal, som er både lige og ulige?"
B	"Findes der et tal, som er verdens største? . . . eller mindste?"
B	"Hvor langt kan man tælle?"
B	"Hvor meget er egentlig en kilometer?"
B	"Er der mon .ere ulige tal end lige tal?"
B	"Hvor meget er 406 større end 317?"
B	"Hvor meget bliver 100 100?"
B	"Hvad betyder egentlig 317?"
B	"Hvad betyder det, når der står 0 i 406?"
B	"Hvorfor skriver man ikke 0406 i skolen, når mit personnummer ender på 0406?"
B	"Hvad er en kvadratcentimeter?"
B	"Hvad er det nu, vi mener med et kvadrat?"
B	"Er der flere stole end borde i klassen?"
B	"Hvilken klasse på skolen har flest elever?"
B	"Hvis man har sparet 312,75 kr. op og vil købe en ting til 450,50 kr., hvor meget mangler man så?"
B	"Når et menneske ikke kan tælle til mere end 3 milliarder på 100 år, hvordan kan vi så vide at der bor 6 milliarder mennesker på Jorden, når ingen har talt dem?"
M	"Findes der noget helt tal, som er både lige og ulige?"
M	"Hvad kalder man en firkant, hvor både vinkler og sider alle er lige store?"
M	"Hvorfor er 0 10 mindre end 0 9, når der er flest cifre i 0 10?"
M	"Findes der et lige primtal?"
M	"Hvad sker der med størrelsen på en vinkel, hvis vinkelbenene forlænges?"
M	"Hvad betyder procent?"
M	"Hvad er en ligning?"
A	"Hvorfor må man ikke dividere med 0?"
A	"Skal man altid bruge den samme værdi af ð, når man skal beregne arealet af en cirkel, uanset cirklens størrelse?"
A	"Hvorfor giver minus gange minus plus?"
A	"Hvorfor kan man ikke tage kvadratroden af et negativt tal?"
A	"Hvorfor er 2⁰ 1 - når man ganger 2 med sig selv 0 gange, skulle det da blive 0?"
A	" (a+b) (a- b)= a² - b², siger du, men hvorfor er der kun to led, der skulle da blive fire?"

Der kan være grund til at pege på, at selv om nogle af disse spørgsmål refererer til verden uden for matematikken, er selve spørgsmålene alle af matematisk art, og de processer, som skal til for at svare på dem, er det i alt væsentligt også, selv om de skal bringes i spil over for et udenomsmatematisk virkelighedsområde. At tælle bordene og stolene i klassen, eller eleverne i skolens klasser, kræver selvfølgelig, at man forholder sig til de konkrete stole og borde, respektive elever, men selve tælleprocessen er af matematisk natur, selv om den angår virkelige genstande. Ligeså forholder det sig, hvis man i stedet for at tælle borde og stole fx parrer dem sammen, indtil én eller begge kategorier er udtømt, og derefter svarer på spørgsmålet "Er der flere stole end borde i klassen?" ved at sige "Ja, for jeg har sat hvert bord sammen med en stol, og bagefter var der stole tilovers".

Eksempler på forskellige slags matematiske udsagn som alle er destinitioner, eller instanser heraf, kunne være

B	"Et (helt) tal, som ikke kan deles i to lige store tal, kaldes ulige."
B	"Tallet, der skrives som 406, består af fire hundreder og 6 enere."
B	"En firkant er en figur, som har fire kanter."
B	"Symmetri er, når ting kan spejles i sig selv."
M	"Et helt tal, som ikke kan deles i to lige store tal, er ulige."
M	"Et kvadrat er en firkant, hvor alle vinkler og alle sider er lige store."
M	"En variabel kan have flere forskellige værdier."
M	"En ligning siger noget om balancen mellem to talstørrelser - ligesom en vippe."
A	"En funktion angiver sammenhængen mellem to variable."
A	"Et irrationalt tal kan ikke skrives som en brøk."
A	"Rumfang siger noget om, hvor meget ting i tre dimensioner fylder."

Som eksempler på sætninger (som ikke nødvendigvis kan/skal doceres eller godtgøres på det pågældende trin) har vi:

B	"De (hele) tal, der er lige, er præcis dem, der ender på et lige tal."
B	"Hvis man deler en firkant med en linje gennem to (modstående) hjørner, får man altid to trekanter."
B	"Hvis man lægger to tal sammen, bliver resultatet større end begge tallene."
B	"Et lige tal plus et ulige tal giver altid et ulige tal."
M	"Hvis man ganger to ulige tal med hinanden, får man altid et ulige tal som resultat."
M	"Hvis man laver en figur af kvadrater med sidelængden 1, bliver omkredsen altid et lige tal."
M	"36 er et eksempel på et kvadrattal, men ikke alle tal er kvadrattal."
M	"En ligning har altid én løsning."
A	"Funktioner kan altid tegnes i et koordinatsystem."
A	"Rationale tal er den talmængde med flest elementer."
A	"Når rumfanget af noget bliver større, bliver overfladearealet også større."

Derimod er følgende eksempler på påstande om enkelttilfælde, som skal generaliseres i større eller mindre grad for at blive til sætninger.

B	"12 er et lige tal."
B	"En kilometer er lige så meget som 10 løbebaner på 100 meter, lagt lige efter hinanden."
M	"At gange 10 med ½ er det samme som at dividere 10 med 2."
M	"En liter er lige så meget som 1000 cm³."
A	"Ligningen 2x + x/2=2 har kun én løsning."
A	"Ö 8 er et irrationalt tal."

B.2.2 Problembehandlingskompetence

Karakteristik

Gennem hele grundskolen består dennne kompetence dels i at kunne finde og formulere forskellige slags elementære matematiske problemer, "rene" såvel som "anvendte", "åbne" såvel som "lukkede", dels i at kunne løse sådanne matematiske problemer i færdigformuleret form, egnes såvel som andres.

På afsluttende trin, og gradvist på vej hertil, udvides den forventede dækningsgrad på to områder: For det første forventes det, at eleverne udvikler deres evne til at opstille forskellige slags elementære matematiske problemer, så de udover at kunne finde og formulere sådanne problemer også kan afgrænse og præcisere dem. For det andet skal eleverne udvikle sig i retning af at kunne løse færdigformulerede problemer på forskellige måder, hvis det er klargørende eller af andre grunde ønskeligt.

Kommentar

Et matematisk problem er en særlig type matematisk spørgsmål, nemlig ét hvor en matematisk undersøgelse er nødvendig for besvarelsen. Spørgsmål, som kan besvares alene ved hjælp af (få) specifikke rutinefærdigheder, henregnes således ikke som matematiske problemer.

Det er meget vel muligt at kunne formulere matematiske problemer uden at være i stand til at løse dem. Tilsvarende er det muligt at være en dygtig problemløser uden at være god til at finde og formulere matematiske problemer.

Eksemplificering

Som eksempel på det at løse, og i nogle af tilfældene eventuelt selv finde og formulere, matematiske problemer, vil vi - i den "lukkede" afdeling, hvor der eksisterer ét entydigt rigtigt svar - nævne følgende:

B	"Findes der noget helt tal, som er både lige og ulige? - Nej, for et lige tal er ét, som kan deles i to lige store hele tal, og med et ulige tal mener vi ét, som ikke kan deles på denne måde."
B	"Findes der et tal, som er verdens største? - Nej, for hvis nogen kom med et forslag til et sådant tal, ville dette tal plus 1 være endnu større."
B	"Eller mindste? - Ja, blandt de (hele) tal I kender, er 0 mindst, men der findes nogle andre slags tal, hvor der ikke er noget mindste."
B	"Hvis en plade chokolade er opdelt i 3×4 ens stykker, kan den så deles mellem fem mennesker, så alle får lige meget? - Nej, for man kan ikke gange 5 med et tal og så få 12."
B	"Er der mon flere ulige tal end lige tal? - Nej, der må være lige mange, for vi kan parre hvert ulige tal sammen med præcis et lige tal, fx det som kommer umiddelbart efter." (Dette er et eksempel på et svar, som næppe opnås på dette trin, selv om spørgsmålet sagtens kan stilles her.)
B	"Hvor meget er 406 større end 317? - 89."
B	"Kan man altid lave en trekant af tre pinde? - Nej, for hvis vi fx har pinde på 3, 5 og 10 cm og lægger de to små pinde op til hver sin ende af den store pind, kan de to små pinde aldrig mødes."
B	"Hvor meget bliver 100 100? - 10000."
B	"Er der flere stole end borde i klassen? - Ja, for jeg har talt 13 borde, men 25 stole."
B	"Hvilken klasse på skolen har flest elever? - Først besluttede vi, at det skulle være alle dem, der går i klassen, vi skulle have med, ikke kun dem, der var i skole den dag. Derfor spurgte vi efter tallene på kontoret og sammenlignede dem. Så opdagede vi, at 2a, 3c og 7b alle har 23 elever, mens de andre har færre. Så alle de tre klasser må have flest elever."
B	"Er der lige mange sorte og hvide felter på et skakbræt? - Ja, for på hver række er der 4 sorte og 4 hvide."
B	"Hvis man har sparet 312,75 kr. op og vil købe en ting til 450,50 kr., hvor meget mangler man så? - Hvis tingen kostede 450,75 kr. så manglede man 138 kr.; men den koster 25 øre mindre, så det er kun 137,75 kr., man mangler."
M	"Hvor mange løsninger har ligningen 2-x²⁼3 ? - Ingen."
M	"Arne, Bent og Clara skal beslutte, hvem der skal vaske op. De kaster to mønter. Arne skal vaske op, hvis udfaldet bliver plat-plat; Bent, hvis udfaldet bliver krone-krone; og Clara, hvis udfaldet bliver en plat og en krone. Er det retfærdigt? - Nej, fordi Clara vil komme til at vaske op dobbelt så mange gange som de andre."
M	" Hvad er det næste tal i talfølgen 0 2; 0 4; 0 6; 0 8; . . . ? - 1 0."
M	"Hvor mange bedstemødre er der i X-købing, hvis halvdelen af de 10000 indbyggere er hunkøn, og 8% af dem er bedstemødre? - 400."
A	"Hvad kan omkredsen af figuren her blive, hvis man tilføjer yderligere to kvadrater af sammme størrelse? - Det må komme an på, hvordan de nye kvadrater må ligge. Hvis de skal have mindst en side fælles med figuren, så. . . "

[Billede: Her ses en figur med kasser.]

A	"Hvor store er vinklerne i en regulær trekant? firkant? n-kant? - Med trekanten må svaret være 60°, fordi de tre lige store vinkler lagt sammen skal give 180Æ. En regulær firkant er retvinklet, så her er svaret altså 90° firkant, . . . Hmmm, det må være noget med, hvor meget de n vinkler er tilsammen, men herfra skal jeg nok have hjælp for at komme videre."
A	"Hvad er forholdet mellem arealet af en cirkels indskrevne og omskrevne kvadrat?"
A	"Under udsalg får man ofte rabat som en procentdel af varens normale pris. Er det smartest at bede om at få rabatten trukket fra før eller efter momsen lægges til prisen? - Det må være lige meget, tror jeg, for det er det med alle de tal, jeg har prøvet med."
A	"Hvis man til et tal lægger et bestemt antal procent, og derefter trækker det samme antal procent fra resultatet, ender man ikke med det tal, man startede med. Hvorfor ikke?"
A	"Hvad er arealet af figuren her, hvis omkredsen er 56? - 100."

[Billede: Her ses en figur.]

Det fremgår, at nogle af problemerne er af internt matematisk art, dvs. alene angår tal- eller størrelsesbegreber eller geometriske begreber om rummet (inklusive planen), mens andre refererer til genstande og fænomener fra verden uden for matematikken. De udenomsmatematiske problemer er (jf. kommentaren i afsnit 4.2.2) rubriceret under denne kompetence og ikke under modelleringskompetencen, fordi løsningen af dem ikke forudsætter hypoteser om og afgrænsning af det virkelighedsudsnit, der er tale om.

I den mere mere "åbne" afdeling, hvor det vil være selvmodsigende at anvise et kort og entydigt svar, kan følgende "rene" opgaver tjene som eksempler:

B	"Skriv tre forskellige regnestykker, som du mener giver 100 som resultat, og lad en kammerat regne efter."
B	"Tegn tre forskellige geometriske figurer, som alle har omkredsen 10 cm, og lad en kammerat måle efter."
M	"Hvilke figurer kan der fremkomme, hvis to spejle samles og stilles lodret på en ret linje, og derefter åbnes i forskellige vinkler?"
M	"Skriv tre forskellige ligninger, som du mener har 5 som løsning, og lad en kammerat regne efter."
M	"Kom med en 'opskrift' på, hvordan man kan færdiggøre den påbegyndte trekant her."

[Billede: Her ses en figur.]

A	"Hvilke figurer kan have frembragt skyggerne her?" (Foto af forskellige skarpt optegnede skygger.)
A	"Skriv regneforskriften for tre forskellige funktioner, hvis graf du mener går igennem punktet 5;7_, og lad en kammerat tjekke efter."
A	"Find så mange rektangler som muligt som opfylder, at a) længden og bredden er hele tal. b) arealet og omkredsen er samme tal."
A	"Opskriv 1/7 som sum af to eller flere stambrøker (dvs. brøker hvis nævner er 1)."

Hvad angår opgaver, som kan karakteriseres som "åbne" og "anvendte", har udfordringen en karakter, som gør, at det i første omgang er modelleringskompetence, som skal bringes i spil, jf. kommentarerne til nedenstående afsnit, som også rummer adskillige eksempler.

B.2.3 Modelleringskompetence

Karakteristik

Gennem hele grundskolen består denne kompetence på den ene side i at kunne analysere grundlaget for og egenskaberne ved foreliggende modeller og at kunne bedømme deres rækkevidde og holdbarhed. På den anden side består kompetencen i at kunne udføre aktiv modelbygning i en given sammenhæng, dvs. at bringe elementær matematik i spil og anvendelse til behandling af anliggender uden for matematikken selv.

Aktiv modelbygning indeholder en række forskellige elementer. Først at kunne strukturere det felt eller den situation der skal modelleres. Dernæst at kunne gennemføre en matematisering heraf, dvs. en oversættelse af objekter, relationer, problemstillinger m.v. til et område af matematikken, resulterende i en matematisk model. At kunne behandle den opståede model, herunder løse de matematiske problemer den måtte give anledning til, samt at kunne validere den færdige model, dvs. bedømme dens holdbarhed både internt (i forhold til modellens matematiske egenskaber) og eksternt (dvs. i forhold til det felt og den situation modellen omhandler). Der indgår tillige at kunne analysere modellen kritisk, både i forhold til dens egen brugbarhed og relevans og i forhold til mulige alternative modeller, og at kunne kommunikere med andre om modellen og dens resultater. Endelig indgår det i aktiv modelbygning at have overblik over og kunne styre den samlede modelleringsproces.

I forhold til denne model af den matematiske modelleringsproces bør den aktive modelbygning på begyndertrinnet bestå i delprocesserne matematisering, behandling af den opståede model, som på dette trin oftest vil være et anvendt regnestykke eller en tænkt, tegnet eller bygget geometrisk genstand, validering af den færdige model, hvilket her kommer ud på at tage stilling til, om de opnåede resultater af modelbehandlingen ser rimelige ud og giver anledning til brugbare konklusioner i lyset af de tilskæringer af og antagelser om feltet/situationen, som er foretaget, samt kommunikation med andre om modellen og dens resultater, hvilket på dette trin i hovedsagen består i at vise og forklare, hvad man har gjort, samt at svare på spørgsmål og indvendinger herom.

Fra mellemtrinnet og frem fordres dækningsgraden udvidet til også at inkludere kritisk analyse af de byggede modeller samt overblik over den gennemførte del af modelleringsprocessen. Desuden bør den del af aktiv modelbygning, der handler om strukturering, gradvist inddrages mere og mere fra dette trin og frem. Den del af modelleringskompetencen, der handler om analysen af grundlaget for og egenskaberne ved foreliggende modeller, bør fra mellemtrinnet og frem i stigende grad inkludere det at "afmatematisere" (træk ved) foreliggende matematiske modeller, dvs. at kunne afkode og fortolke modelelementer og -resultater i forhold til det felt eller den situation, som er modelleret.

På afsluttende trin bør såvel den undersøgende som den produktive side af modelleringskompetencen inkludere alle dele af den matematiske modelleringsproces.

Kommentar

Selv om der teoretisk set er tale om matematisk modeldannelse eller -bygning, hver gang matematikken bringes i spil uden for dens eget område, vil vi her kun bruge ordene model og modelbygning i tilfælde, hvor der optræder en ikkeselvfølgelig tilskæring af den modellerede situation, som indebærer beslutninger, antagelser, indsamling af oplysninger og data m.v.

Behandling af matematikholdige problemstillinger, som ikke for alvor kræver bearbejdning af de virkelighedselementer, der optræder, henhører under den ovenfor omtalte problembehandlingskompetence. De træk af modelleringskompetencen, som koncentrerer sig om selve modelbehandlingen, er ofte tæt forbundet med problembehandlingskompetence. Men derudover indgår der i modelleringskompetencen mange elementer, som ikke er af klassisk matematisk art, fx viden om udenomsmatematiske kendsgerninger og betragtninger, og beslutninger vedrørende modelleringens formål, hensigtsmæssighed, relevans for stillede spørgsmål osv.

Eksemplificering

På trods af, at den "undersøgende" og den "produktive" side af modelleringskompetence i praksis oftest vil være på banen samtidigt, vil vi for illustrationens skyld splitte Eksemplificeringen op på udfordringer, som vi mener overvejende peger i henholdsvis den ene og den anden retning.

Den del af modelleringskompetencen, som består i at analysere grundlaget for og egenskaberne ved foreliggende modeller og at kunne bedømme deres rækkevidde og holdbarhed, kan på begyndertrinnet fx illustreres vha. følgende tænkte dialoger:

E₁:	"Hvis du hver måned sparer 25 kr. op i banken, har du efter et år 302 kr.
E₂:	Det forstår jeg ikke, for 25 × 12 giver da kun 300 kr. Hvor kommer de 2 kr. fra?"
E₁:	"Toget mellem A og B tager 20 minutter, og bussen fra B til C tager 15 minutter. Da man skal vente på bussen i B i 5 minutter, tager hele turen 40 minutter.
E₂:	Ja, fra A til C, men så mangler man at lægge den tid til, som skal bruges hen til toget, og fra bussen og derhen hvor man skal."
E₁:	"Dygtige sprintere kan løbe 100 meter på 10 sekunder, dvs. de kan løbe 1 km på 1 minut og 40 sekunder.
E₂:	Det tror jeg ikke på, for ingen kan holde det hurtige tempo på 10 gange så lang en strækning."
E₁:	"Man kan tælle lige så langt, det skal være.
E₂:	Ikke i praksis, for det tager jo tid at nævne et tal, og et menneske lever ikke evigt, så der må være en grænse for, hvor langt man kan tælle."

Det er værd at lægge mærke til, at det at kunne undersøge og kontrollere andres matematikinvolverende påstande ikke forudsætter, at man selv ville være i stand til at formulere disse påstande. Ved konstruktionen af dialogerne ovenfor har det således været tanken, at E₁ kunne være en elev på begyndertrinnet, mens det realistiske er at forestille sig, at E₂ er en ældre elev eller i visse af tilfældene en lærer.

De følgende punkter er tænkt som eksempler på mulige afsæt for en lignende kritisk stillingtagen på de øvrige trin.

M	At kunne vurdere fordele og ulemper ved placeringen af et fælles fritidscenter, som indbyggerne i fem landsbyer er blevet enige om at bygge.
M	Ved at se på en isometrisk tegning af et hus at kunne afgøre, hvilke mål (længder, vinkler) der angiver korrekte mål i målestoksforhold.
A	At kunne fremskaffe datamateriale med henblik på at undersøge en påstand om, at antallet af mobiltelefoner vokser dobbelt så hurtigt som antallet af fastnettelefoner.
A	Ud fra et regnskab for en skolebod at kunne vurdere, hvilke faktorer der får indflydelse på bodens fremtidige økonomiske situation.
A	At kunne forholde sig til, hvordan GPS-navigation virker.

Den "produktive" side af modelleringskompetence - aktiv modelbygning - kan fx komme til udtryk med afsæt i følgende problemstillinger:

B	"Hvem i klassen er ældst/yngst?" Problemstillingen kan behandles ved at indhente oplysninger om de enkelte elevers fødselsår og -dag og indtegne resultaterne i en kalender.
B	"Hvad er Danmarks højeste bygning?" Spørgsmålet kan behandles ved at præcisere, hvilke slags bygninger, man vil tage i betragtning, og opsøge data ved forespørgsel, håndbogsopslag osv.
B	"Hvor meget sparer man ved at købe et 10-tursklippekort i forhold til at købe 10 enkeltbilletter?" Besvarelse af dette spørgsmål kan finde sted ved at opsøge priser på diverse klippekort og enkeltbillletter af samme type som klippekortets, dernæst at opstille, gennemføre og kontrollere den relevante udregning, og tage stilling til resultatet, fx ved at sige "Man sparer kun x kroner ved at købe et kort, og da jeg ikke så tit kører i bus, er det dumt at betale så mange penge på én gang", eller "Man sparer x kroner, og da jeg kører meget i bus, synes jeg det er smart at spare de penge."
B	"Hvor meget er egentlig en kilometer?" Besvarelse af dette spørgsmål kræver en beslutning om, hvordan spørgsmålet overhovedet skal forstås. Nogle mulige udlægninger kunne være:
	-	"Vi må kunne få et konkret fornemmelse af, hvor meget en kilometer er, ved at sammenligne med noget, vi kender, fx afstanden hen til busstoppestedet eller længden af en ting."
	-	"Da man har den aftale, at en kilometer er navnet på 1000 meter, og vi ved, at der er ca. 100 meter hen til stoppestedet, svarer en kilometer fx til strækningen fem gange frem og tilbage til busstoppestedet."
	-	"Vores klasseværelse er ca. 8 meter langt, så vi skal have 125 klasseværelser efter hinanden for at få en kilometer."

Med hensyn til aktiv modelbygning fra mellemtrinnet og frem, er det som nævnt i karakteristikken et afgørende træk, at man som en del af udfordringen skal forholde sig strukturerende til virkeligheden. Denne del af arbejdsprocessen kan få meget forskelligt omfang, alt efter hvor kompleks og diffus udfordringen er i udgangspunktet, og hvor meget den mere eller mindre eksplicit kræver inddragelse af andre ting (hjælpemidler, data, udefrakommende personer etc.), end de i situationen forhåndenværende. Da det er en afgørende ting at forholde sig til, når man skal tilrettelægge arbejdet med sigte på modellleringskompetence, vil vi splitte eksemplificeringen op i oplæg til henholdsvis kortere- og længerevarende modelleringsaktiviteter. De korterevarende oplæg er karakteriseret ved, at vi forestiller os, at man meningsfyldt kan tage udfordringen op i klasseværelset inden for rammerne af en lektion eller to. Derimod vil eksemplerne på oplæg til længerevarende modelleringsprocesser givet kræve, at man sprænger disse rammer.

Først eksemplerne på korterevarende modelleringsforløb:

M	"Med 42 kvadratiske fliser på 0 5 m 0 5 m skal lægges en terrasse i et hjørne af en have. Omkring terrassen skal plantes buske med 0 5 meters mellemrum. Buskene sælges enkeltvis for 23 kr. og i bundter med 10 i hver for 200 kr. Hvor dyr bliver terrassen? Kunne det være gjort billigere?"
M	"En 3 8 meter lang ledning skal trækkes fra en kontakt til en lampe. Ledningen skal fastgøres til væggen med 0 5 cm brede ledningsholdere, som skal placeres med en afstand på 20 25 cm. Der sættes en ledningsholder i starten og en til slut. Hvilket er det mindste antal ledningsholdere, der skal bruges? Hvor stor bliver afstanden mellem ledningsholderne?"
M	"Hvor meget papir skal man bruge for at binde rapporten her ind?"
M	"Hvor mange meter tæppe skal der købes for at lægge væg-til-væg tæppe i rummet her?"
M	"Hvor mange mennesker kan der stå i rummet her?"
M	"Hvor lang tid skal du sætte af til at komme i skole om morgenen?"
A	"Hvor langt kan man tælle, i praksis? - Hvis vi antager, at man kan tælle ét tal i sekundet, kan man tælle 86400 tal i døgnet, hvis man ikke foretog sig andet. Det bliver 31536000 om året, og hvis man lever i 100 år, bliver det i alt til 3153600000, altså lidt mere end 3 milliarder."
A	"Rapporten her er lidt af en moppedreng, ikk�? Den er trykt med bogstaver af punktstørrelse 11, så for at gøre sidetallet mindre kunne man vælge at trykke den med punktstørrelse 10. Hvor mange sider er det rimeligt at gætte på, rapporten så vil blive på? Man kan også mindske sidetallet ved at tillade skriftbredden på hver side at være 16 cm i stedet for de nuværende 13 cm. Hvilken reduktion i sidetallet vil det anslået give? Hvilken relativ reduktion af sidetallet vil man kunne nå op på, hvis man kombinerer de to måder at reducere på?"
A	"Giv, vha. tabellen her (tabellen på side 221) et skøn over, hvor stor en del af den danske befolkning, der aldrig kommer på folkebibliotekerne."
A	"Tegn en skitse af et hus på 120 m²."
A	"Hvilken form skal en tagrende have?"
A	"Hvor mange tandbørstninger er der til i en tube tandpasta?"
A	"Hvor langt fremme ad vejen skal der være fri bane, for at man sikkert kan overhale?"

Som eksempler på oplæg til længerevarende modelleringsforløb vil vi nævne følgende:

M	"Du vil gerne ringe til dine bedsteforældre, som er på ferie i Thailand. Hvornår er det godt at ringe til dem?" Spørgsmålet kan besvares ved at finde oplysninger om tidsforskellen mellem Danmark og Thailand, benytte dette til at finde ud af, hvornår begge parter er vågne og til om muligt at vælge et velegnet tidspunkt i dette tidsinterval.
M	"Hvor langt er der rundt om skolen?"
M	"Bestem højden af skolens flagstang."
A	"Kan man motionere sig slank?"
A	"Hvor mange vindmøller skal der bygges i Danmark?"
A	"Hvilket internet-abonnement skal man vælge?"
A	"Hvad er sammenhængen mellem ens indkomst og den skat, man betaler?"
A	"Planlæg indretningen af skolens nye computerrum."

B.2.4 Ræsonnementskompetence

Karakteristik

Gennem hele grundskolen består denne kompetence dels i at kunne følge og forholde sig til et elementært matematisk ræsonnement, dvs. en kæde af argumenter fremsat af andre på skrift eller i tale til støtte for en påstand, dels i selv at kunne udtænke og gennemføre sådanne ræsonnementer. I begge henseender indgår det at kunne forstå den logiske betydning af et modeksempel.

På afsluttende trin bør man forvente at dækningsgraden udvides på to områder: For det første bør eleverne ikke alene kunne forholde sig til, men også kunne bedømme et matematisk ræsonnement. For det andet bør eleverne gøre sig eksemplariske erfaringer med, hvad et matematisk bevis er, hvordan det adskiller sig fra andre former for matematiske ræsonnementer, fx heuristiske ræsonnementer hvilende på intuition eller på betragtning af specialtilfælde, samt med selv at omforme heuristiske ræsonnementer til egentlige (gyldige) beviser.

Kommentar

Ræsonnementskompetencen kommer både i spil, når det gælder om at overbevise sig om reglers og påstandes rigtighed, og om at godtgøre at svar på spørgsmål, opgaver eller problemer er korrekte og fyldestgørende. Det gælder, hvad enten der er tale om rent matematiske forhold eller om spørgsmål i tilknytning til anvendelser.

Ved at knytte sig til retfærdiggørelsen af svar og løsninger, er ræsonnementskompetencen intimt forbundet med både modelleringskompetencen og problembehandlingskompetencen. Den udgør så at sige disses "juridiske" side.

I princippet kunne også evnen til at gennemføre rene rutineprocedurer, fx udregninger, siges ind under ræsonnementskompetence, men med mindre disse enten forudsætter opfindsomhed eller er komplekse og overblikskrævende, vil vi henregne dem under den nedenfor omtalte symbol- og formalismekompetence.

På begyndertrinnet, og som overgangsperiode til en gradvist mere formel tilgang også på mellemtrinnet, vil alle ræsonnementer være enten intuitive og uformelle eller konkrete (fx baseret på specifikke optællinger, udregninger eller tegninger). Der er derfor ikke tale om bevisførelse i nogen streng betydning af dette begreb.

I forbindelse med de eksemplariske erfaringer med matematisk bevisførelse på afsluttende trin er det vigtigt at minde om, at matematiske beviser ikke pr. nødvendighed hænger sammen med eksplicit formulerede sætninger og aksiomatiske systemer.

Eksemplificering

Størstedelen af eksemplerne på lukkede problemer vil kunne genbruges her, hvis man sætter fokus på måden, udfordringen tages op på. Her vil vi af pladshensyn nøjes med nogle udfoldninger af sådanne tænkte reaktioner.

Til illustration af, hvad det på begyndertrinnet kan indebære at kunne følge og forholde sig til et elementært matematisk ræsonnement, kan nævnes:

E₁:	"Kasper og Marie bor henholdsvis 1,5 og 2 kilometer fra skolen, så må de bo 1,5 km 2 km 3,5 km fra hinanden.
E₂:	Nej, det behøver de ikke. Det kunne jo være, at de boede på den samme lige vej til skolen, og så ville der kun være ½ kilometer mellem dem."
E₁:	"I de her bakker med flødeboller til 10 kr. er der 6 i hver. Vi har 60 kr., og vi er 9, der skal dele, så hvis vi skal have lige mange, bliver vi nødt til mindst at købe 3 bakker. Én er for lidt, med 2 bakker bliver der 3 boller tilovers, men med 3 bakker går det op, og så bliver der 2 flødeboller til hver.
E₂:	Ja, det har du ret i. Men vi har jo råd til at købe 6 bakker, så ville vi få 4 flødeboller hver."

Her er endnu et par eksempler på, at det at kunne udøve en kompetences produktive side på et givet felt ikke er en forudsætning - ligesom det heller ikke er en tilstrækkelig betingelse - for at kunne udøve den tilsvarende undersøgende side af kompetencen (selv om de to ting selvfølgelig langt fra er uafhængige). E2 ovenfor er således tænkt som en elev på begyndertrinnet, mens E1 specielt i andet eksempel foretager beregninger som de færreste elever på begyndertrinnet ville være i stand til at gennemføre.

På mellemtrinnet kan det handle om at følge og forholde sig til ræsonnementer som

E₁:	"Jeg tror at alle tal går op i 60, for både 1,2,3,4,5 og 6 gør.
E₂:	Nej da, 7 går jo ikke op i 60."
E₁:	"Hvis arealet af et rektangel fordobles, så fordobles omkredsen også.
E₂:	Nej, fordi et rektangel med arealet 3×2=6 har omkredsen 10, og hvis arealet sættes lig 12, kan omkredsen fx være lig 2×(3+4)=14, og det er jo ikke det dobbelte af 10."
E₁:	"Passer det, at når man ganger et naturligt tal med et andet tal, bliver resultatet altid større end det oprindelige tal?
E₂:	Nej, ikke hvis der fx ganges med ½ . Det gælder altså for nogle tal, men ikke altid."
E₁:	"Hvis man laver en figur af kvadrater med sidelængden 1 bliver omkredsen altid et lige tal.
L:	Ja, hvis du forudsætter, at kvadraterne ikke ligger forskudt op ad hinanden. Hvilke tal kan man få, hvis man tillader det?
E₁:	Tja, i hvert fald et ulige tal, hvis man ét sted lader to kvadrater ligge "halvt" op ad hinanden."

Her er et eksempel på afsluttende trin, hvor det at følge og forholde sig til ræsonnementer og selv at udtænke og gennemføre dem sammenvæves:

E₁:	"Der er flere ulige tal end lige tal. For når vi tæller, starter vi jo med 1, som er ulige, så de ulige tal har altid et forspring på 1.
E₂:	Nej, for vi kan blive ved med at finde nye lige og ulige tal, så der må være lige mange.
E₁:	Det kan man da ikke bare sige, det kunne jo være, man kunne finde flere nye ulige end nye lige tal.
E₂:	Nå ja, måske, men så kan vi jo også sige sådan her: Der er 5 ulige og 5 lige tal blandt 1,2,...,10. Så må der da også være lige mange lige og ulige blandt 11,12,...,20, for vi har jo bare lagt 10 til, og sådan kan vi blive ved.
E₁:	Det køber jeg ikke, for hvad nu hvis vi startede med 1,2,...,11, hvor der er 6 ulige og 5 lige, og så hele tiden lagde 11 til, dvs. 6 ulige og 5 lige, så kan du nok se at der er flere ulige end lige tal.
E₂:	Nix, for når du lægger 11 til, ændrer du et lige tal til et ulige og omvendt, så blandt 12,13,...,22 er der 6 lige og 5 ulige. Og sådan bliver det ved at skifte. Så det, jeg siger, passer, fordi 10 ikke laver om på lige og ulige, når det lægges til."

Lignende dialoger kan skitseres i forhold til ræsonnementer som

M	Et såkaldt "klippebevis" for at vinkelsummen i en trekant er 180°ved at klippe vinkelspidserne af en trekant og lægge dem side mod side med spidserne mod samme punkt, hvorved der fremkommer en lige vinkel.
M	At formulere en regel for beregning af omkredsen af en cirkel ved at måle hhv. omkreds og diameter på mange runde former og finde en tilnærmet værdi for p
M	At enhver trekant kan indtegnes i et rektangel således, at en side følger en af rektanglets sider, og den modstående vinkelspids i trekanten rører den modstående side i rektanglet. Trekantens areal vil udgøre halvdelen af rektanglets areal, hvilket forklarer formlen for arealet af en trekant.
M	At man kan finde arealet af et parallelogram ved at klippe en trekant af i den ene ende og tilføje den til den anden ende, for så får man et rektangel, og der er arealet jo bare de to sidelængder ganget sammen.
A	At kunne afgøre hvad det mindste antal flytninger er, når man spiller "Tårnene i Hanoi", ved at tage udgangspunkt i en optælling i simplere tilfælde, hvor der spilles med færre end de oprindelige syv ringe.

I forbindelse med forventningen om eksemplariske erfaringer med matematisk bevisførelse på afsluttende trin, kan påpegningen af, at matematiske beviser ikke pr. nødvendighed hænger sammen med eksplicit formulerede sætninger og aksiomatiske systemer, illustreres med følgende bevis:

A	"Når jeg ved, at vinkelsummen i en trekant er 180°, så kan jeg vise, at vinkelsummen i et rektangel er 360° ved at tegne en diagonal i rektanglet, hvorved der fremkommer to trekanter, der tilsammen har vinkelsummen 2×180°."

B.2.5 Repræsentationskompetence

Karakteristik

Gennem hele grundskolen består denne kompetence dels i at kunne forstå (dvs. afkode, fortolke og skelne mellem) og betjene sig af forskellige slags repræsentationer af matematiske objekter, fænomener, problemer eller situationer (herunder symbolske, specielt algebraiske, visuelle, geometriske, grafiske, diagrammatiske, tabelmæssige eller verbale repræsentationer, men også konkrete repræsentationer ved materielle objekter), dels i at kunne forstå de indbyrdes forbindelser mellem forskellige repræsentationsformer for det samme sagsforhold, dels i at kunne vælge blandt og oversætte imellem forskellige repræsentationsformer for et givet sagsforhold, alt efter situation og formål.

Fra mellemtrinnet og frem udvides den forventede dækningsgrad gradvist til også at omfatte det at have kendskab til styrker og svagheder ved forskellige repræsentationsformer for det samme sagsforhold, herunder informationstab ogtilvækst.

Kommentar

Af særlig betydning i matematik er symbolske repræsentationer. På begyndertrinnet er der frem for alt tale om talsymboler og symboler for regneoperationerne, lighedstegn osv. Derfor er der på dette trin en nær forbindelse mellem denne kompetence og den efterfølgende symbol- og formalismekompetence, som bl.a. fokuserer på spillereglerne for omgangen med standardsymboler.

Eftersom det at repræsentere matematiske sagsforhold er nært forbundet med at kommunikere i, med og om matematik, er der også stærke bånd til den senere omtalte kommunikationskompetence.

Det indgår også i denne kompetence at have blik for forskellen mellem standardrepræsentationer, såsom talsymboler, og repræsentationer som op.ndes på stedet til at lette tænkning eller kommunikation.

Eksemplificering

Til illustration af denne kompetence er der særlig grund til at pege på mange forskellige repræsentationsformer for naturlige tal:

Ikonisk vha. prikker eller klodser af ens form og størrelse, cuisenairestænger, centicubes, kuglerammer osv.

Symbolsk vha. "vores" hindu-arabiske notation, romertal, kileskrift osv.

Verbalt vha. udtryk som "otte", "trehundredeogsyv" osv.

Af særlig betydning på begyndertrinnet er ækvivalensen mellem forskellige sådanne talrepræsentationer, når det gælder entydighed, og forskellene mellem dem når det gælder håndterbarhed. Fremstillingen af tallet 0 i de forskellige repræsentationer giver anledning til særlige betragtninger.

Også forskellige repræsentationer af regneoperationerne +, -, × og : (her skrevet med deres danske tegn!) og regneopstillinger hører hjemme i denne forbindelse. Det samme gælder det 20-talsystem som ligger til grund for de danske talnavne (halvfjerds står for "halvfjerde" (dvs. 4-½=3,5) "sinde" (dvs. gange) tyve).

I den geometriske verden kan man tænke på forskellige repræsentationer af et linjestykke, fx

en tynd træstav.
en snor stramt udspændt mellem to pløkke.
en rystet frihåndstegning på papir.
en sirlig tegning med lineal og arkitektblyant på papir.
en kridtstreg på en tavle.
en punktmængde på en computerskærm.

Man kan også tænke på en plan firkant, eksempelvis repræsenteret ved

en tegning.
en fysisk firkant samlet af fire stænger med led.
en stiliseret ikon, hvis man blot har brug for at referere til begrebet firkant til forskel fra fx tre- eller femkant.

På tilsvarende vis kan det handle om forskellen mellem en tegnet cirkel i en bog og én, som fremstår ved tegning på tavlen med en snor og et stykke kridt.

På mellemtrinnet kan det at forstå og betjene sig af forskellige repræsentationsformer eksemplificeres således:

E₁:	"Jeg forstår ikke, at 25% er det samme som andelen 0,25 og brøkdelen 1/4."
E₂:	"Jo, tænk på penge. 25% er det samme som 25 øre ud af hver 100 øre. Det skriver man som 0,25 kr., og det passer også med, at der skal fire 25-ører til en krone, altså 1/4 krone."
M	Opgaven om antal bedstemødre, som indgik i Eksemplificeringen af problembehandlingskompetence, løses ved at afkode procentsatserne repræsenteret i et 10x10 rudenet.
M	På baggrund af oplysninger om kiloprisen for en vare at tegne en graf i et koordinatsystem, hvor prisen på et vilkårligt antal kilo kan aflæses.

Hvad angår det at kunne vælge blandt og oversætte imellem forskellige repræsentationsformer, vil vi nævne følgende:

B	"Gammeldags" viserure, med hindu-arabiske tal eller romertal, eller helt uden tal, og digitalure leverer ækvivalente repræsentationer af klokkeslettet. Det samme er tilfældet med 12-timers eller 24-timers navngivning af klokkeslettet, altså 9:30 pm som det samme som 21:30.
M	Beskrive resultaterne fra en undersøgelse af, hvordan børn anvender deres fritid, i forskellige diagrammer eller i tabelform.
M	Finde hvor mange forskellige flag, der kan fremstilles med fire farver, når der på flaget skal være én stor stjerne i en farve forskellig fra baggrunden, og beskrive løsningen i form af et tælletræ, ved at tegne flagene eller som 4×3=12.
A	Vælge mellem regneforskrift, tabel, graf og hverdagssproglig repræsentation for en funktionel sammenhæng alt afhængig af situation og modtager.

B.2.6 Symbol- og formalismekompetence

Karakteristik

Gennem hele grundskolen består denne kompetence dels i at kunne afkode symbolog formelsprog, i at kunne oversætte frem og tilbage mellem symbolholdigt matematisk sprog og naturligt sprog, og i at kunne behandle og betjene sig af symbolholdige udsagn og udtryk.

Fra mellemtrinnet og frem udvides den forventede dækningsgrad ved, at de symbolholdige udsagn, eleverne skal kunne behandle og betjene sig af, fordres at inkludere formler.

På afsluttende trin udvides dækningsgraden yderligere ved også at inkludere det at have kendskab til karakteren af, og "spillereglerne" for, formelle matematiske systemer.

Kommentar

Denne kompetence adskiller sig på begyndertrinnet fra den ovennævnte repræsentationskompetence, som den ellers er nært forbundet med, ved at fokusere på symbolernes karakter, status og betydning, og på reglerne for omgang med dem. I sammenhæng med den elementære matematik angår symbol- og formalismekompetencen frem for alt omgangen med standardsymboler og navne i tilknytning til størrelser, tal og regning, og tilknytning til grundlæggende begreber fra plan og rum.

Eksemplificering

Eksempler til illustration af denne kompetence byder sig næsten automatisk til. Med hensyn til det at afkode symbol- og formelsprog kan det dreje sig om at forstå

B	at 406 står for fire hundreder, ingen tiere og 6 enere.
B	at 4<7 er et udsagn som skal læses "4 er mindre end 7".
B	at kaldes et lighedstegn.
B	at 1m = 100 cm.
B	at man ikke skriver 0406 i sammenhæng med regning, men nok i fx et personnummer eller i en dato.
M	at når vi skriver tal som 3 1/4 og 5 7/11 , mener vi 3+ 1/4 og 5 7/11. Men når vi skriver 3a og 5b, mener vi 3 × a og 5× b. Det betyder, at hvis vi sætter a = 1/4 og b = 7/11 får vi 3×1/4 og 5× 7/11 i stedet for 3 1/4 og 5 7/11 .
M	at man ikke har lov til at skrive 6+(5), 6:0 eller 6- - 3.
M	at ved forskellig placering af parenteser giver regnestykket 15 5 3 forskellige resultater.
M	at 5×(3+4) ikke er det samme som 5×3+4, at 12+27=27+12 og 12+27= 27×12, at 3+(4+5)=(3+4)+5.
A	. . . og at det ikke afhænger af de konkrete tal.
A	"(a+b) (a-b)=a²-b², siger du, men hvorfor er der kun to led, der skulle da blive fire?" "Ja, men leddene ab og ba er lige store, fordi rækkefølgen er ligegyldig, når man ganger tal med hinanden. I udregningen af parenteserne bliver de derfor 0 tilsammen, fordi de har hver sit fortegn, og vi kan derfor reducere udregningen ved at lade være med at skrive disse to led.

Som eksempler på det at oversætte frem og tilbage mellem symbolholdigt matematisk sprog og naturligt sprog kan nævnes:

B	"Skriv et regnestykke som viser, at hvis du har 3 blyanter, og din sidemand har 2 blyanter, så har I fem blyanter tilsammen."
M	"Opskriv en ligning som udtrykker, at Per er 5 år ældre end Niels."
M	"Hvis A drikker 1/4 og B drikker 2/5 af en 1 1/2 liter cola, hvor stor en procentdel af colaen har de så fået hver? Skriv hvor meget du synes, de skulle have hver."
A	"Hvis D står for antal drenge i en klasse, og P for antal piger, hvad betyder det så at P=D?D= P/2 ? P=D -2?"
A	"Arne, Bent og Curt har en tipsklub, hvor de deler gevinster efter deres indsats. Af en gevinst får Arne halvdelen, Bent en fjerdedel, og Curt en sjettedel - mens de bestemmer at give resten på 2500 kr. til Røde Kors. Hvor stor er gevinsten?"
A	"To biler A og B holder ved den samme vej. De sætter begge igang samtidig og kører i samme retning, A med 80 km/time, B med 60 km/time. Hvor længe er A bag B, hvis A fra starten holdt 5 km længere nede ad vejen?"
A	"En rektangulær indhegning skal laves, så den består af to dele adskilt af et hegn. Hvor stort et stykke jord kan man indhegne med et givet antal meter hegn til rådighed?"
A	"Fem venner vil starte en cykelklub. For at øge medlemstallet vedtages det, at alle medlemmer hvert kvartal skal hverve tre nye medlemmer, indtil man er nået op på 1000 i alt, hvorefter der oprettes venteliste. Karakterisér udviklingen i medlemstallet."

Hvad angår det at behandle og betjene sig af symbolholdige udsagn og udtryk vil vi nævne følgende eksempler:

M	At kunne udtrykke et forhold mellem A og C, hvis man om tre personers alder ved, at A< B< C.
M	At kunne anvende formlerne for omkreds og areal af en cirkel.
A	"Antag, at 14-årige Marie er med i en gruppe på 10 børn med gennemsnitsalderen 13 år. Hvis Marie forlod gruppen og erstattedes af et andet barn, hvor meget kunne gennemsnitsalderen da blive ændret?" Med symbol- og formalismekompetence på dette trin kunne svaret gives ved at konstatere, at summen af børnenes aldre er 130 år. Hvis Marie forlader gruppen og erstattes af et barn på x år, er summen af aldrene (116+x) år. Dermed er gennemsnitsalderen 11,6+ x/10. Eftersom et barn har alderen 0< x< 18, kan gennemsnitsalderen ende hvor som helst i intervallet fra 11,6 til 13,4 år, men ikke udenfor.
A	Når man køber en vare til prisen K med rabat r%, er det underordnet, om man betaler moms (m%) først og derefter får rabat, eller om man får rabat først og derefter betaler moms. Det skyldes, atsom både benytter sig af den associative og den kommutative lov for multiplikation.
A	Hvis momsen på en vare udgør m%, udgør momsen m/100+m ×100% af varens salgspris. Er nemlig prisen før moms K, koster varen med moms K (1+ m/100). Heraf udgør momsen K × m/100 , dvs. brøkdelen

	Med andre ord udgør momsen m/100+m × 100% af udsalgsprisen. Med den aktuelle momsprocent (25%) i Danmark, fås det velkendte resultat, at momsen udgør 25/125 × 100 = 20% af udsalgsprisen.

I forhold til det at have kendskab til karakteren af og "spillereglerne" for formelle matematiske systemer kan vi nævne:

A	En undersøgelse af hvilke konsekvenser det får for en række velkendte forhold, hvis man går ind og "piller" ved nogle af de definerende træk ved et formelt system. Med udgangspunkt i plangeometri kan det handle om "Taxageometri", hvor den grundlæggende regel er, at man kun må bevæge sig rundt i planen, svarende til linjerne ("vejene") på ternet papir. Hvilke konsekvenser får det fx for
	- - -	begrebet "længde"? begrebet "cirkel"? antallet af kortest mulige veje mellem to punkter?

B.2.7 Kommunikationskompetence

Karakteristik

Gennem hele grundskolen består denne kompetence dels i at kunne sætte sig ind i og fortolke andres matematikholdige skriftlige, mundtlige eller visuelle udsagn og "tekster", dels i at kunne udtrykke sig om matematikholdige anliggender, skriftligt, mundtligt eller visuelt over for forskellige kategorier af modtagere.

Fra mellemtrinnet og frem fordres herudover, at elevernes evne til at kunne udtrykke sig om matematikholdige anliggender indbefatter det at kunne gøre det på forskellige måder og på forskellige niveauer af teoretisk eller teknisk præcision.

Kommentar

Eftersom al skriftlig, mundtlig eller visuel kommunikation i og med matematik må betjene sig af diverse repræsentationsformer, er der et nært slægtskab med den ovenfor omtalte repræsentationskompetence. Oftest vil en sådan kommunikation også betjene sig af matematiske symboler og termer, hvilket understreger forbindelsen til symbol- og formalismekompetencen. Kommunikation om matematik, derimod, behøver ikke nødvendigvis at betjene sig af specifikke matematiske repræsentationsformer.

Eksemplificering

Næsten alle de eksempler, som tidligere er givet til illustration af de øvrige kompetencer, kan også tjene til at eksemplificere kommunikationskompetence i og med matematik. Andre (tænkte) eksempler kunne være:

En elev, der viser en kammerat, hvordan hun har fundet ud af, at man ikke kan dele en plade chokolade med 3 ×5 stykker blandt 4 børn, så alle får lige meget: "Her har jeg tegnet pladen med 3× 5 ens stykker. Når der er fem rækker, må hver skulle have mere end ét stykke. Derfor prøver jeg med to stykker til hver. Først skraverer jeg 4 stykker og så 4 til, men så er der jo 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 tilbage. Det er mere end 4, så alle kan få et stykke til. Så derfor skraverer jeg 4 til, men så er der 3 tilbage, og det er for lidt, til at alle kan få et stykke til. Så derfor siger jeg, at vi ikke alle fire kan få lige mange stykker, uden at der bliver noget tilovers."

En elev, der vil vise læreren, hvordan han fandt frem til, at 1+2+3+...+10=55: "Først lagde jeg de tre første tal sammen. Det giver 6. Så de tre næste, det giver 15. Nu har jeg i alt 21. De sidste tager jeg to og to, 7+8=15, 9+10=19. Det vil sige i alt 21+15+19. Det regnede jeg ud til 55. Men så sagde Marie, at hun havde gjort det på en anden måde. Hun fik også 55. Hun tog først 1 og 10. Det giver 11, så 2 og 9, det giver også 11. Så tog hun 3 og 8, 4 og 7, de giver også 11, to gange. Til sidst var der kun 5 og 6 tilbage, og de giver også 11. På den måde fik hun 5 11-taller. Det er jo 5 tiere, altså 50 og fem enere. Så det blive 55 til sammen. Jeg ved ikke, hvilken måde der er bedst. Jeg regnede det jo bare ud, man skulle ikke tænke så meget, men Marie blev jo nødt til at tænke først, og det er vel mere besværligt, ikke? Hvem siger, at der altid er en smart måde at gøre det på?"

Også evnen til at fremsætte betragtninger over matematikkens natur er udtryk for kommunikationskompetence, fx:

M	"Hvordan kan det være, at man mange gange kan få det rigtige resultat på helt forskellige måder?"
A	"Det er mærkeligt med matematik. Tit tror man, at man har regnet rigtigt, men så har de andre fået et andet resultat. Så leder vi efter fejlen for at se, hvem der har ret, og når vi har fundet den, er vi pludselig enige om, hvordan det skal være. Andre gange har vi alle sammen ret, men resultaterne blev forskellige, fordi vi selv skulle vælge nogle ting i opgaven."

I forhold til det at udtrykke sig over for forskellige kategorier af modtagere, kan det at afpasse sin reaktion på en given udfordring efter, hvem modtageren er, tjene som eksempel. Med det følgende som udgangspunkt, udfordres både kommunikationskompetencens "undersøgende" og "produktive" side, jf. afsnit 4.4.2 (side 63).

"[. . . ] Jeg står her med en udskrift fra en kilde¹, [. . . ] som ministeren selv har udgivet. [. . . ] Og med hensyn til, hvem der kommer på bibliotekerne, og hvem der ikke kommer, er der en tabel 18 med en gruppe delt ind efter alder, og dér står, at 39 pct. af den mandlige del af befolkningen aldrig kommer på bibliotekerne, og at 30 pct. af den kvindelige del af befolkningen, altså fordelt gennemsnitligt over alder, aldrig kommer der. Og når jeg lægger mænd og kvinder sammen - det skal man være lidt forsigtig med, men på det her område tør jeg godt - så giver 39 pct. af mændene og 30 pct. af kvinderne befolkningen tilsammen, og det må være 69 pct. Tager jeg fejl?" (www.folketinget.dk; 16. november 1999, lovforslag 78, 1. behandling, tale 20.)

Tabel 18
Andelen af af mænd og kvinder i forskellige aldersgrupper, der kom på folkebibliotekerne 1998.

Pct.	Mindst en gang om måneden		Mindst en gang om året		Aldrig
Pct.	M	K	M	K	M	K
16-19 år	40	64	40	20	9	12
20-29 år	35	45	26	24	30	30
30-39 år	24	46	23	33	43	16
40-49 år	30	40	25	28	35	27
50-59 år	18	41	23	28	51	26
60-66 år	27	22	25	19	38	44
67-74 år	35	30	35	23	30	42
75 år-	17	27	4	7	79	59
Alle	27	40	25	25	39	30

Kilde: SFI, Kultur og fritidsaktivitetsundersøgelsen 1998.

M	"Gå sammen to og to, og diskutér argumentet ovenfor. Lad for eksempel den ene af jer være 'forsvarer' og den anden 'anklager'."
A	"Skriv et læserbrev hvor I svarer på spørgsmålet i citatet ovenfor, som stammer fra en debat i folketinget om folkebibliotekerne."

B.2.8 Hjælpemiddelkompetence

Karakteristik

Gennem hele grundskolen består denne kompetence dels i at have kendskab til eksistensen og egenskaberne ved diverse former for relevante redskaber til brug for matematisk virksomhed, og have indblik i deres muligheder i forskellige slags situationer, dels i at være i stand til på reflekteret vis at betjene sig af sådanne hjælpemidler.

Fra mellemtrinnet og frem udvides karakteristikken til udover at fordre kendskab til diverse relevante redskabers muligheder også at indbefatte kendskab til disse redskabers begrænsninger.

Kommentar

Da det er centralt for alle hjælpemidler for matematisk virksomhed, at de involverer en eller flere typer af matematisk repræsentation, oftest i en særligt udviklet form, er hjælpemiddelkompetencen i slægt med repræsentationskompetencen. Da brugen af hjælpemidler også ofte er underlagt ret bestemte regler, og hviler på bestemte matematiske forudsætninger, er hjælpemiddelkompetencen tillige forbundet med symbol- og formalismekompetencen.

På begyndertrinnet udgøres hjælpemidlerne ikke mindst af konkrete materialer (inkl. skriveredskaber), men også omgangen med simple udgaver af it tilpasset alders- og undervisningstrinnet indgår selvfølgelig her.

Eksemplificering

Det ligger nærmest i sagens natur, at der her kan være tale om kompetence til tænksomt at omgås et bredt spektrum af konkrete materialer til støtte for begrebsdannelse, undersøgelse af sammenhænge og mønstre, efterprøvelse af hypoteser, indøvelse af rutiner osv. Geoboards, centicubes, diverse klods-, brik-, eller stangsystemer, kuglerammer, geometriske skabeloner, spirografer, linealer, passere, vinkelmålere, terninger, særligt indstreget papir, karton til foldning eller udskæring m.v. hører alle hjemme i denne sammenhæng.

Vi kan fx forestille os

elever, der repræsenterer hele tal og løser additionsopgaver ved hjælp af centicubes.
elever, som med en passer tegner to cirkler med samme radius, den ene med centrum i den andens periferi, forbinder cirklernes centre og skæringspunkterne med centrene og måler de fremkomne linjestykker med en lineal, med henblik på at finde mønstre og foreslå regler.
elever, der vha. it-software af typen LOGO kan diktere instruktioner til hinanden og på den måde skabe figurer og mønstre, som kan diskuteres og undersøges.
en lærer, der bruger demonstrationssoftware (fx Geometricks, Geometer's Sketchpad og andet) for at vise dynamisk geometrisk visualisering, fx af hvordan en hængslet firkant med faste sider kan omformes ved at "trække" eller "skubbe" i siderne.
elever, der undersøger sammenhænge mellem de indgående størrelser i forskellige areal- og rumfangsformler ved at "trække" eller "skubbe" i hjørnerne på figuren vha. et geometriprogram.
elever, der bruger lommeregnere eller regneark til at undersøge hypoteser om tal: "Hvad kan man sige om et tal, der fremgår af et andet ved multiplikation med fx 5?".
elever, der - som led i at udvikle kendskab til hjælpemidlers muligheder og begrænsninger - vurderer resultatet af en regneoperation udført på lommeregner, og begynder at reflektere over fordele og ulemper ved at anvende forskellige programtyper.

B.3 Overblik og dømmekraft vedrørende matematik som fagområde i grundskolen

Ordene "overblik" og "dømmekraft" skal selvsagt forstås relativt til grundskoleelevers livsverden. For alle tre formers vedkommende tænkes der desuden først og fremmest på kendskab og erfaringer erhvervet i intim forbindelse med opbygningen af de ovenfor behandlede kompetencer. Jo tidligere i grundskoleforløbet, man befinder sig, jo mere intim vil forbindelsen være, og jo mindre mening vil det i praksis give at udskille udvikling af de forskellige former for overblik og dømmekraft som selvstændige læringsmål.

Ikke desto mindre er det som tidligere nævnt en central bestræbelse for dette projekt at bidrage til at mindske problemer med utilstrækkelig sammenhæng mellem de forskellige niveauer og trin i matematikundervisningen. I den forbindelse er det - ikke mindst i forhold til uddannelser, som skal indgå i symbiose med andre uddannelser - afgørende at undgå, at undervisningens "toning" skifter så markant fra et niveau til et andet, at man ikke kan genkende det som malet med den samme "palet". En sådan situation fremprovokeres let, hvis der undervejs i en udvikling pludselig bringes helt nye "grundfarver" i spil. Så er det bedre fra starten at have alle "grundfarverne" med på "paletten", og blot være bevidst om, at nogle af farverne til en start mest er med netop for fuldkommenhedens skyld og derfor skal bruges med varsomhed.

Når vi vælger at fastholde de forskellige former for overblik og dømmekraft i karakteristikken af grundskolens matematikundervisning, er det således primært for at fastholde læreren og andre medtilrettelæggeres opmærksomhed på, at det på alle niveauer og trin gør en forskel, om de perspektiver på matematik, som der her er tale om, gøres til genstand for udtrykkelig behandling, refleksion og artikulation, når lejligheden byder sig. Sådanne metafaglige diskussioner er velegnede som træning i at kunne "hæve sig op over" de mange konkrete erfaringer, man gør sig undervejs i undervisningen, og en sådan generel evne til at kunne operere på flere vidensniveauer er en forudsætning for ad åre at udvikle bevidst og artikuleret overblik og dømmekraft som dem vi her beskæftiger os med, jf. kommentarerne i afsnit 4.5 (side 66).

Netop fordi der udelukkende er tale om toninger på arbejdet med udviklingen af de otte kompetencer, mener vi, det vil være misvisende at forsøge at eksemplificere arbejdet med de tre former for overblik og dømmekraft vha. aktiviteter, som kunne tænkes at eksistere i deres egen ret. Den tætte forbindelse med kompetenceudviklingen mener vi bedre kommer frem ved at se på alle eksemplerne nævnt under hver kompetence i lyset af de generelle spørgsmål, som bruges til at eksemplificere tanken med hver af de tre former for overblik og dømmekraft i afsnit 4.5.

Således kan utallige eksempler genereres ved for hver gruppe af kompetenceeksempler at stille sig selv spørgsmålet: "Er nogle af disse eksempler - eller omformuleringer heraf - velegnede som erfaringsgrundlag for at kunne diskutere nogle af spørgsmålene i afsnit 4.5 eller forlængelser heraf, og er her og nu et passende tidspunkt for en sådan diskussion?"

B.3.1 Matematikkens faktiske anvendelse i andre fag- og praksisområder

Karakteristik

Gennem hele grundskolen er genstanden for denne form for overblik og dømmekraft den faktiske anvendelse af matematik til udenomsmatematiske formål inden for områder af dagligdags betydning. Denne anvendelse kommer i stand og til udtryk gennem bygningen og udnyttelsen af matematiske modeller.

Fra mellemtrinnet og frem bør den faktiske anvendelse af matematik til udenomsmatematiske formål inden for områder af samfundsmæssig eller videnskabelig betydning med gradvist større vægt supplere de dagligdags anvendelser som genstandsfelt.

Kommentar

På begyndertrinnet består dette punkt i, at eleverne erhverver et første kendskab til og begyndende erfaringer med den faktiske anvendelse af elementær matematik i det nære dagligliv, i hjemmet, blandt kammerater, i fritidslivet og i familieøkonomi. Fokus vil være på spørgsmålet om, hvad matematik bruges til i disse sfærer.

B.3.2 Matematikkens historiske udvikling, såvel internt som i samfundsmæssig belysning

Karakteristik

Gennem hele grundskolen er genstanden for denne form for overblik og dømmekraft det forhold, at matematikken har udviklet sig i tid og rum, i kultur og samfund.

På begynder- og mellemtrinnet forventes det ikke, at der arbejdes eksplicit med udviklingen af denne form for overblik og dømmekraft.

På afsluttende trin forventes arbejdet ekspliciteret gennem eksemplarisk velvalgte anekdotiske nedslag i matematikkens historie i tilknytning til de indholdselementer, som i øvrigt er på banen.

Kommentar

Det er vigtigt at forsøge at lægge et historisk perspektiv på velvalgte dele af det faglige stof, man beskæftiger sig med, og ikke (kun) arbejde med de historiske sider af faget i selvstændige velafgrænsede forløb.

B.3.3 Matematikkens karakter som fagområde

Karakteristik

Som fagområde har matematikken sine egne karakteristika. Det er disse karakteristika, der gennem hele grundskolen er genstand for den foreliggende type overblik og dømmekraft. Nogle karakteristika har matematikken tilfælles med andre fagområder, andre er den ret alene om.

På begynder- og mellemtrinnet forventes det ikke, at der arbejdes eksplicit med udviklingen af denne form for overblik og dømmekraft.

På afsluttende trin forventes arbejdet ekspliciteret gennem diskussioner i tilknytning til beskæftigelsen med relevante indholdselementer.

Kommentar

At vi lægger op til, at det eksplicitte arbejde med denne form for overblik og dømmekraft primært finder sted på afsluttende trin, hænger sammen med, at de relevante indholdselementer, som diskussionerne kan knyttes an til, naturligt har tyngde på afsluttende trin, jf. grundskolekarakteristikken af ræsonnementskompetence på side 209 og af symbol- og formalismekompetence på side 215.

¹	Kulturministeriet (1999): Kulturpengene 1999, Kulturministeriet.

Til sidens top

B. Grundskolen

B.1 Generelle kommentarer

B.1.1 Afgrænsning af karakteristikkerne her i forhold til grundkarakteristikken

B.1.2 Læsevejledning

B.2 Matematiske kompetencer i grundskolen

B.2.1 Tankegangskompetence

B.2.2 Problembehandlingskompetence

B.2.3 Modelleringskompetence

B.2.4 Ræsonnementskompetence

B.2.5 Repræsentationskompetence

B.2.6 Symbol- og formalismekompetence

B.2.7 Kommunikationskompetence

B.2.8 Hjælpemiddelkompetence

B.3 Overblik og dømmekraft vedrørende matematik som fagområde i grundskolen

B.3.1 Matematikkens faktiske anvendelse i andre fag- og praksisområder

B.3.2 Matematikkens historiske udvikling, såvel internt som i samfundsmæssig belysning

B.3.3 Matematikkens karakter som fagområde