10. En karakteristik af udvalgte centrale problemer vedrørende den danske matematikundervisning

10.1 Indledning

Befolkningens mat. kundskaber anses for vigtige

Befolkningens matematiske kundskaber (forstået helt bredt), og den matematik undervisning der gerne skal være en hjørnesten i frembringelsen heraf, tillægges traditionelt stor betydning i alle typer af samfund, ikke mindst i de teknologisk og økonomisk avancerede. I det 20. århundrede har disse forhold med mellemrum været genstand for betydelig samfundsmæssig opmærksomhed, i form af diskussioner, udviklingsarbejder og reformvirksomhed. Hovedproblemstillingen har gennemgående været følgende: Hvem i samfundet bør besidde hvilke matematikkundskaber, og hvorfor? I hvilken grad forsyner uddannelsessystemet i almindelighed, og matematikundervisningen i særdeleshed, de pågældende befolkningsgrupper med de ønskede kundskaber? I det omfang dette ikke sker på tilfredsstillende vis, hvad kan der da gøres for at skabe forbedringer i situationen?

10.1.1 Meget går godt, men fokus her er på problemer og udfordringer

"Noget" burde forbedres

Det er denne problemstilling - måske i en ny skikkelse - som atter er blevet på- trængende i en dansk sammenhæng. "Noget" vedrørende sammenhængen mellem befolkningens faktiske eller ønskværdige matematikkundskaber og den underliggende matematikundervisning ser ud til ikke at være, som det burde.

Meget går godt

Samtidig er det væsentligt at holde sig for øje, at også mange ting i forbindelse med matematikundervisningen i Danmark fungerer godt; fx er der mange meldinger om, at eleverne i folkeskolen generelt er glade for matematikundervisningen, en stor andel af eleverne i det almene gymnasium vælger matematik på højt niveau, og Danmark klarer sig acceptabelt i internationalt sammenlignende undersøgelser som TIMSS og PISA (se fx Allerup et al. (1998) og Andersen et al. (2001)), på de højeste undervisningstrin endda godt.

Fokus på udfordringer

At fastholde sådanne positive elementer såvel i bevidstheden som i praksis i for bindelse med fremtidige ændringstiltag er en væsentlig del af udfordringen. Det gælder ikke mindst i dette projekt, hvor vi bevidst undlader en total kortlægning af situationen, men i stedet koncentrerer os om nogle sider af sagen, som vi eller andre finder, giver anledning til særlige udfordringer, som det er forventeligt, at man kan stille noget op med.

10.1.2 Vores perspektiv på problemfeltet

Fuldt objektiv analyse ikke mulig

Med udgangspunkt i så bredt formulerede og normativt betonede spørgsmål, som der her er tale om, er det naivt - og dybest set også udtryk for disrespekt for problemernes kompleksitet - at forestille sig, at man kan gennemføre en objektiv, endegyldig analyse af de forskellige problemstillinger. Der vil altid være tale om en delvis subjektiv, mere eller mindre bevidst afgrænsning af problemfeltet. Dette sagt for at understrege, at det følgende er vores perspektiv på sagen, hvilket allerede kommer til udtryk i de analytiske kategoriseringer, vi har valgt at strukturere arbejdet efter.

Tre slags problemstillinger: "hvorfor?", "hvad?" og "hvordan?"

Fremstillingen her bygger således på en forestilling om, at (matematik-)undervis ningens problemkompleks med fordel kan anskues som bestående af tre overordnede problemfelter: spørgsmål om hhv. "hvorfor", "hvad" og "hvordan". De problemstillinger, vi mener at kunne identificere i den forbindelse, kategoriserer vi som hhv. begrundelsesproblemer, indholdsproblemer og implementationsproblemer. I analysen i dette kapitel har vi valgt at koncentrere os om aspekter af hvorforspørgsmålet og hvordan-spørgsmålet, mens de indholdsmæssige problemstillinger er blevet behandlet tidligere i denne rapport.

Inden for problemfelterne om "hvorfor" og "hvordan" forsøger vi at identificere og karakterisere en række mere konkrete problemer og udfordringer, som de opleves af forskellige grupper i og omkring matematikundervisningen. I forbindelse hermed indfører vi for overblikkets skyld en grovskelnen, idet vi opererer med tre typer af matematikholdig uddannelse:

Matematikholdige almendannende uddannelser: Hermed menes uddannelser, der rummer matematikholdige elementer, og som sigter mod, som et konstituerende element, at bidrage til de deltagende personers almendannelse (her forstået som almen-gyldig personlighedsdannelse), viden og kunnen med "de mange" som målgruppe, jf. Niss (2000). Med den afgrænsning der følger af, at almendannelsessigtet er et konstituerende element, omfatter denne type uddannelse væsentligst - men ikke udelukkende - de matematikholdige dele af virksomheden i folkeskolen, de gymnasiale uddannelser og almen voksenuddannelse.

Matematikforbrugende uddannelser: Hermed menes uddannelser, der autoriserer og sigter mod at kvalificere de deltagende personer til at bestride professioner, hvor anvendelse af matematik i varierende grad har væsentlig betydning, men hvor professionalismen ikke kan karakteriseres som grundlæggende matematisk. Arkitekt, bankfuldmægtig, biolog, elektriker, farmaceut, industrioperatør, kranfører, købmand, politiker, sygeplejerske, tømrer og økonom er eksempler på professioner, som efter vores opfattelse lever op til disse kendetegn.

Matematiske professions-uddannelser: Hermed menes uddannelser, der autoriserer og sigter mod at kvalificere de deltagende personer til at bestride professioner, hvor professionalismen (bl.a.) kan karakteriseres som værende af grundlæggende matematisk art. Det gælder, som det mest oplagte, professionerne forsknings-matematiker og matematiklærer på alle niveauer, men også statistikere, fysikere, kemikere, astronomer, dataloger, aktuarer, landinspektører og visse typer af civilingeniører, samt lærere inden for disse fag, falder under denne kategori.

Hvem oplever problemer og udfordringer?

Desuden finder vi det hensigtsmæssigt at føje endnu en dimension til ved at interes sere os for, hvem der oplever problemer eller udfordringer (af såvel begrundelsessom implementationsmæssig karakter) i forhold til hver af de tre typer uddannelse: Er det aftagerne¹ af de matematisk uddannede personer? Er det tilrettelæggerne² af de matematikholdige dele af uddannelsen? Er det lærerne? Er det eleverne³? Eller er det de fremtidige brugere⁴ af matematikuddannelsens forventede resultater? Krydser man de to analytiske dimensioner "matematikuddannelsestype" og "interessegruppe" får man følgende 3 x 5 -matrix:

Mat.udd. problemrum

Hvis vi - uden at kaste os ud i en ny illustration - tilføjer den tredje analytiske dimension vedrørende typificeringen af problemet (begrundelses-, indholds- og implementationsproblemer), har vi i alt 45 (3 x 5 x 3) "celler" i dette tredimensionale⁵ matematikuddannelsernes problemrum. At vi som analytisk værktøj vælger at ud spænde et sådant problemrum, skal ikke tages som udtryk for, at vi mener, man kan eller skal anskue hver celle for sig. Det gælder hverken analytisk eller praktisk. Dertil er de situationer og omstændigheder, som forefindes rundt omkring i systemet, alt for sammensatte. Men tankestrukturen kan hjælpe med til at komme hele problemfeltet rundt og på den måde opdage problemer oplevet lokalt, hvis rækkevidde så efterfølgende kan analyseres. Desuden kan struktureringen modvirke en fristelse til at forblive på et så generelt beskrivelsesniveau, at ingen rigtig oplever, at beskrivelsen vedrører dem. Vi har selvsagt bestræbt os på at være opmærksomme på begge forhold både her i forbindelse med problemafklaringen og i rapportens analyser i øvrigt.

10.2 Begrundelsesproblemer

Årsager og begrundelser

Ved en årsag til at udbyde matematikholdig uddannelse til studerende inden for et område af uddannelsessystemet forstår vi en drivende kraft, der i realiteten har motiveret og givet anledning til eksistensen af matematikholdig undervisning inden for dette område. Ved en begrundelse for at udbyde matematikholdig uddannelse forstår vi det at bringe argumenter i spil til støtte for eksistensen af denne uddannelse. I praksis vil sådanne begrundelser ofte afspejle en eller flere årsager til, at der faktisk eksisterer matematikundervisning, men dette behøver ikke at være tilfældet.⁶ Når vi nedenfor analyserer begrundelsesproblemer, betyder det således, at vi ser på, hvorvidt - og, i bekræftende fald, under hvilke former - en given matematikholdig uddannelse skal eksistere, og de argumenter og problemstillinger der kan fremføres i den forbindelse.

Tre typer af årsager

Som led i opstillingen af en brugbar ramme for vores karakteristik af aktuelle problemer, der knytter an til sådanne årsager, konkluderer Niss (1996, p. 13), at der grundliggende er tale om kun tre typer af årsager til matematikuddannelse, der dækker hele den internationale scene:

Den økonomisk-teknologiskeårsag

• At bidrage til den teknologiske og socio-økonomiske udvikling af samfundet som helhed (herefter kaldet den økonomisk-teknologiske årsag).

Den individ-orienterede årsag

• At udstyre individer med værktøjer, kvalifikationer og kompetencer til at hjælpe dem med at klare livets (ud)fordringer (herefter kaldet den individorienterede årsag).

Den politisk-kulturelle årsag

• At bidrage til samfundets politiske, ideologiske og kulturelle vedligeholdelse og udvikling (herefter kaldet den politisk-kulturelle årsag).⁷

Når disse årsagskategorier er relevante skyldes det, at mange begrundelsesproblemer i det væsentlige udspringer af at fokusere på en af de tre kategorier. Det gælder også de tre problemstillinger, vi nedenfor har valgt at fremhæve.

10.2.1 Skævvridning af arbejdsstyrkens kvalifikationer

Behov for en mat. veludd. befolkning

Igennem de sidste 50 år har en central begrundelse for eksistensen af matematikundervisning fra aftagerside været, at en matematisk (og teknisknaturvidenskabeligt) veluddannet befolkning var og er en forudsætning for først etableringen, og siden opretholdelsen, af velfærdsstaterne i de fleste vesteuropæiske lande.⁸ Begrundelsen rummer to aspekter; et der refererer til den økonomisk/teknologiske årsag, og et der refererer til den individorienterede årsag. Den sidstnævnte, der primært drejer sig om livet som borger i et demokratisk samfund, behandles i afsnit 10.2.3. Rationalet bag den økonomisk-teknologiske begrundelse er i korte træk som følger:

Lokomotivet foran etableringen af den danske velfærdsstat⁹ i 50'erne og 60'erne var en stigende økonomisk vækst. Som det tydeligt fremgår af den politiske debat i disse år, regnes en sådan vækst også for en forudsætning for dens opretholdelse, i hvert fald i de ledende lag i samfundet. Et stort og voksende bruttonationalprodukt er den bedste måde at sikre, at staten kan opretholde et højt aktivitetsniveau. I den forbindelse har der i nyere tid været bred politisk enighed om, at store mængder arbejdskraft ikke i sig selv er svaret, men at arbejdskraftens vidensniveau er nok så væsentlig. Et afgørende kvali.kationskrav er således evnen til at udvikle og udnytte produktionsforhold, der muliggør øget produktivitet. Det svarer til et optimistisk  teknologibegreb, der opfatter teknologien som "en størrelse mennesket indskyder mellem sig og naturen" for bedre at kunne få magt over den og nyttiggøre den.¹⁰

Mat.kundskaber og teknologi

I den sammenhæng kommer matematiske kundskaber - og dermed den undervisning der skal frembringe dem - på banen som central aktør af to grunde: For det første fordi sådanne kundskaber ofte er nødvendige for at kunne udnytte teknologi i traditionel forstand. For det andet fordi matematik gennem matematiske modeller selv udgør en sådan teknologi. Hermed er det ræsonnement, der fra en aftagervinkel begrunder matematikundervisningens så fremskudte placering, tilendebragt: Uddannelsespolitikken med matematikundervisningen i en frontrolle er, via arbejdsmarkedspolitikken, helt central for velfærdsstatens opretholdelse og videreudvikling. Altså på sin vis en politisk-kulturel begrundelse, som fører en økonomisk-teknologisk begrundelse med sig.

Utilstrækkelig søgning til mat.holdige udd.

På denne baggrund er det et problem, når eleverne ikke i tilstrækkelig grad vælger de former for uddannelse, som samfundet gerne vil have dem til. Der er en generel tendens til, at søgningen til de forskellige videregående studier udviser negativ korrelation med den vægt, matematisk indsigt og kunnen deklareres at have på de respektive studier. Flere undersøgelser (fx Simonsen & Ulriksen; 1998) peger på, at et af de afgørende kriterier ved valg af studieretning for mange mennesker er, at studierne kan bidrage til deres løbende selvrealiseringsprojekt, som de oplever, at en stadig mere kompleks verden nødvendiggør. Her kan matematikholdige uddannelser let komme i klemme.

De mulige kilder til dette problem kan befinde sig flere steder, fx i selve matematikken som fagområde, eller i det forhold, at matematikholdige uddannelser traditionelt stiller betragtelige arbejdsmæssige, psykologiske og andre krav til eleverne. Vi skal afstå fra at gå i dybden med dette spørgsmål i denne sammenhæng.

Søgningen til nogle af ingeniøruddannelserne er faldet kraftigt de senere år, medens flere af de andre matematiske professionsuddannelser ikke er direkte svækket - men der er på den anden side ikke indtruffet en vækst, der modsvarer samfundets efterspørgsel.

Et ubehageligt dilemma

På de matematikforbrugende uddannelser står uddannelsesplanlæggerne i et ubehageligt dilemma: Som konsekvens af ovennævnte negative korrelation kan de enten melde ærligt ud, hvilket matematikforbrug der er tale om, og tilrettelægge studiet derefter, hvilket let fører til, at uddannelsen sættes i bås med de matematiske professionsuddannelser. Eller man kan for at øge ansøgningstallet nedtone matematikindholdet, og så forsøge ad hoc at råde bod på de skævheder i ansøgernes kompetencemønster, der følger i kølvandet på den beslutning.

Begge dele fører til den skævvridning af arbejdsstyrkens kvalifikationer, som nævnes i overskriften. Der er - set fra aftagerside - simpelthen for få, der stiller sig positivt til en matematikholdig uddannelse.

10.2.2 Relevansparadokset og motivationsproblemet

På den ene side tillægges matematikkundskaber (og matematikundervisning til at Mat.kundskabers objektive relevans frembringe dem) altså væsentlig betydning i alle samfund af vores type. Man kan konstatere, at det af samfundsmæssige grunde er objektivt relevant, at "nogle" besidder sådanne kundskaber. I løbet af det seneste århundrede er tendensen gået i retning af, at "nogle" skal forstås som "stadig flere", og i den sidste fjerdel af det 20. århundrede simpelthen som "alle".¹¹

På den anden side er der mangfoldige vidnesbyrd fra alle lande og alle undervis- Subjektiv irrelevans ningstrin om, at betragtelige grupper af elever i uddannelsessystemet har svært ved at se den subjektive relevans af den matematikundervisning, de modtager, og af i det hele taget at beskæftige sig med matematik. Det kan der være flere forklaringer på. En mulighed er, at det er, fordi eleverne ikke får adgang til at stifte bekendtskab med den objektive relevans af matematikkundskaber, eller fordi de på trods heraf ikke føler sig overbevist om den. En anden mulighed er, at eleverne faktisk er overbevist om denne relevans på det samfundsmæssige plan, men uanset dette ikke føler matematikkundskaber personligt nyttige eller vedkommende i forhold til deres forestillinger om fremtidig karriere og tilværelse. På individplanet kan det for nogle give sig udtryk i en opfattelse, der i slagordsform kan formuleres således: "Jeg ved godt, at jeg ikke kan bruges til noget uden matematik; alligevel kan jeg ikke bruge matematik til noget."

I begge tilfælde skaber modsætningen mellem den objektivt foreliggende relevans og den subjektivt oplevede irrelevans et paradoks, det såkaldte relevansparadoks. Hvis relevansparadokset angår tilstrækkeligt store grupper af elever, bliver det til Relevansparadokset et samfundsproblem og dermed til en udfordring, som uddannelsessystemet i almindelighed og matematikundervisningen i særdeleshed må gøre, hvad de kan for at tackle. Meget tyder på, at et sådant samfundsproblem i disse år eksisterer både internationalt og i Danmark.

Relevansparadokset ytrer sig ikke blot på samfunds- og individniveau, men også på institutionsniveau. I folke- og gymnasieskoler, såvel som på videregående uddannelsesinstitutioner, ses der at være problemer med at bringe matematikfaget i spil i sammenhæng med andre fag. Ofte har lærere i andre fag, men ikke sjældent også matematiklærere, vanskeligt ved at se, hvad matematikken gør godt for, enten på institutionen som helhed eller over for netop disse andre fag. Dette på trods af, at flere og flere fag rummer matematikholdige ingredienser i stadig stigende omfang, omend den matematiske karakter af ingredienserne ikke altid erkendes, fx på grund af sprogbrug eller begrebsapparat. Denne manifestation af relevansparadokset giver sig udslag i et isolationsproblem, som både er til skade for matematikun- Isolationsproblemet dervisningen og for de fag, som kunne have udbytte af en bevidst inddragelse af matematiske komponenter i deres virksomhed.

Motivationsproblemet

Det kan også være, at eleverne nok er blevet overbevist om relevansen af at erhverve sig matematikkundskaber, fx i forhold til de uddannelses- og karriereplaner de har, og derved for så vidt også finder beskæftigelsen med matematik med henblik på at opnå disse kundskaber subjektivt relevant, men at de ikke desto mindre finder arbejdet med matematik kedeligt, menings- eller perspektivløst, uvedkommende, eller måske simpelthen for krævende i forhold til det forventede eller opnåede udbytte. I denne situation foreligger der sådan set ikke noget relevansparadoks, men der foreligger et væsentligt motivationsproblem, som - hvis det har et markant omfang (og også det synes at være tilfældet i disse år, i det mindste på nogle uddannelsestrin) - kan være lige så alvorligt for bestræbelserne på at udstyre befolkningen med funktionelle matematikkundskaber som relevansparadokset. Sat skarpt op kan man sige, at hvis ikke matematikundervisningen er i stand til at frembringe et mindstemål af begejstring for faget hos modtagerne, kommer selv de bedst begrundede, gennemtænkte og tilrettelagte undervisningsplaner til kort.

Relevansparadokset og motivationsproblemet skaber udfordringer

Det er arbejdsgruppens opfattelse, at både relevansparadokset (inklusive dets manifestation som et isolationsproblem) og motivationsproblemet er til stede i en grad, som skaber betydelige udfordringer for indretningen og gennemførelsen af en vellykket og udbytterig matematikundervisning.

10.2.3 En mulig trussel mod "matematik for alle"?

Hidtil: Fokus på "matematik for alle"

Som tidligere nævnt har politikere og andre beslutningstagere, den almindelige offentlighed og matematikundervisningsmiljøer i alle lande, i løbet af det 20. århundrede vænnet sig til at tage det for givet, at matematikkundskaber og matematikundervisning tillægges stor og voksende betydning på alle uddannelsestrin. Mange lande har investeret store ressourcer og anstrengelser i at oprette matematikundervisning på steder, hvor den ikke tidligere fandtes, og i at konsolidere og udbygge den på steder, hvor den allerede eksisterede. På den måde har matematikundervisning fundet vej til nye kategorier af modtagere, som ikke tidligere fik adgang til en sådan. Det er ikke en overdrivelse internationalt set at karakterisere hovedstrømningen i matematikundervisningen i den anden halvdel af det 20. århundrede som en udvikling hen imod "matematik for alle". Som det også blev antydet i afsnit 10.2.1 har alle lande - både industrialiserede lande i øst og vest og i den tredje verden - været overbeviste om, at deres borgeres matematikkundskaber er af afgørende betydning for den vellykkede funktion og videreudvikling af samfundet i form af teknologisk, socio-økonomisk og kulturel velfærd. Jo mere matematisk kompetent den almene befolkning i et land er, jo bedre ville dette land være stillet i henseende til materiel og immateriel velstand og vækst, sagde doktrinen.

Med andre ord, mens matematikundervisning (ud over elementær regning) før omkring 1960 udelukkende blev et ret begrænset udsnit af befolkningen til del, var matematikundervisningen ved slutningen af det 20. århundrede udbygget til at henvende sig til mange grupper af elever, som ikke ville have valgt den af egen drift, dvs. såfremt personlig tilbøjelighed og interesse på valgtidspunktet var det eneste som talte.

Tegn på kursskift

Globalt set tyder meget på, at det ikke længere kan regnes for en selvfølge, at samfundet vedblivende vil betragte matematikundervisning for alle som noget særdeles væsentligt, der løbende skal udvikles og udbygges.

I Japan er det for nyligt blevet besluttet at reducere omfanget af den almene matematikundervisning i skolen betragteligt. For et par år siden udspandt der sig - under overskriften "Sieben Jahre sind genug" - i Tyskland en voldsom debat om, hvor megen matematik den enkelte i virkeligheden havde brug for at tilegne sig.¹² I Norge og Sverige høres røster fra almenpædagogisk hold, der slår til lyd for en væsentlig reduktion eller ligefrem fjernelse af matematikken i den almene skole. I Danmark fremsættes fra Gymnasieskolernes Lærerforening forslag om, at matematik ikke skal være obligatorisk (fælles)fag i HF. I dagspressen offentliggøres fra tid til anden artikler, som taler for en drastisk nedtoning af matematikundervisning for almindelige elever. Et eksempel på det er en artikel i Politiken den 24.10. 2001 af teknisk direktør Rasmus Wiuff (medlem af Teknisk Uddannelsesråd), som bl.a. skriver, at "matematik alt for længe har fået lov til at stå urørt som en indiskutabel nødvendighed, både på de videregående uddannelser, i gymnasiet og i folkeskolen." Dette er blot enkelteksempler, men grundlæggende træk ved de moderne samfunds indretning og virkemåde peger på, at disse eksempler måske ikke er så tilfældige, men led i mere dybtliggende processer. Vi skal forsøge at fremdrage nogle af disse træk.

Mat.s konkrete nytte er svært dokumenterbar

For det første er det, i vore dages komplekse samfund, ikke så lige til at levere en direkte og konkret påvisning af, nøjagtigt hvilke matematiske kundskaber som er nødvendige for at begå sig i forskellige livssfærer og samfundssektorer. Derfor kan det, jf. relevansparadokset, være nok så vanskeligt at forbinde de ting, som er på dagsordenen i matematikundervisningen med forhold af samfundsmæssig relevans, i det mindste for det flertal af befolkningen som ikke skal arbejde i markant matematikforbrugende professioner. Hvis det, siges det af nogle, vedvarende viser sig vanskeligt at demonstrere den umiddelbare relevans af skole- eller universitetsmatematiske kundskaber for verden uden for undervisningslokalerne, er matematik måske slet ikke så vigtig for flertallet.¹³

For mange får for ringe udbytte

For det andet må det indrømmes, at der trods betydelige indsatser i undervisnings- udvikling og -forskning er grænser for, hvor godt det i de fleste lande er lykkedes at bibringe det store flertal af elever i uddannelsessystemet så solide, overbevisende og brugbare matematikkundskaber, som det var tilsigtet. For mange modtagere af matematikundervisning får et for ringe udbytte af den. Ville det så ikke være mere rationelt og humant at koncentere bestræbelserne om at undervise dem, som virkelig kan få noget ud af undervisningen? Måske ville der, ved at reservere substantiel matematikundervisning for sådanne elever, skabes et højere udbytte af uddannelsesinvesteringerne end ved at fastholde "matematik for alle" som den bærende opgave. Ikke mindst mange matematiklærere og andre matematikere rundt om i verden er begyndt at fremføre sådanne synspunkter, blandt andet i frustration over ikke at have tilstrækkelige muligheder for at gøre noget effektivt for den sidstnævnte gruppe.

it som erstatning

For det tredje ser det ud til, at en stor del af den viden og de færdigheder, som traditionelt har været hjørnesten i matematikundervisningen på forskellige niveauer, nu kan varetages hurtigere og sikrere ved hjælp af IT, der tillige kan håndtere opgaver, som var helt utilgængelige i de tider, hvor matematikundervisningen brugte mange kræfter på at uddanne "den menneskelige regnemaskine". Ville det så ikke, lyder tankegangen i fortsættelse af den foregående, være meget mere effektivt at fokusere samfundets uddannelsesindsats på at sætte folk i almindelighed i stand til, på kompetent og fleksibel vis, at omgås IT, også når det gælder matematik, i stedet for at spendere betydelige ressourcer på at gennemføre matematikundervisning for store grupper af elever, som ikke har så let ved at lære det? Selvfølgelig har samfundet stadig brug for en hel del mennesker, som virkelig kender og behersker en stor mængde matematik på en dybtgående måde. Men denne gruppe vil ikke desto mindre være af relativt beskeden størrelse, og antagelig langt lettere at undervise end flertallet.

Generel nedskæring af forskning og uv.

Koncentration om "de lette" problemer

En understregning af denne tendens ses i det forhold, at mange lande har iværksat opbremsning af de udgifter til undervisning (og forskning), som ikke giver et åbenbart og umiddelbart udbytte. Nedskæringer af et system fører let til svigtende entusiasme og demoralisering, og dermed fremkomsten af fejlfunktioner og ineffektivitet. Dette fører til krav om yderligere rationalisering (trimning og omorganisering) af systemet, der ender med, i bred ligegyldighed, at koncentrere sine indsatser om de mindre tunge problemer. I uddannelsessystemet fører det mange  steder til, at kræfterne sættes ind over for de dygtigere elever, som kan klare sig godt og gøre fremskridt uden alt for megen assistance, mens de elever, som har brug for mere hjælp, negligeres eller lades tilbage.

Tendenserne er nået Danmark

Der er mange grunde til at tro, at tendenser, som de beskrevne, også vil vinde fodfæste i Danmark med større styrke, end tilfældet er i dag. Vi påstår ikke, at dette vil ske meget hurtigt, eller at disse tendenser vil blive de dominerende i de nærmeste år. Alligevel finder vi det nødvendigt at bruge kræfter på at overveje problemstillingen nøje. Hvis overvejelserne munder ud i, at disse tendenser bør have medvind, vil det føre til en væsentlig forandring af såvel rammerne og perspektiverne for matematikundervisningen på alle trin, som af den nærmere udformning og gennemførelse af den. Hvis konklusionen derimod bliver, at tendenserne bør modarbejdes, er det nødvendigt at udtænke og iværksætte mere effektive strategier til formålet end dem, der synes at være til rådighed for øjeblikket. Om det ene eller det andet er situationen, må komme an på en nærmere analyse. I alle tilfælde repræsenterer den latente trussel mod "matematik for alle" en væsentlig udfordring for dette projekt og for dansk matematikundervisning fra top til bund. Vi vil dog ikke undlade at markere, at vi - om ikke andet så af hensyn til et ønske om at fremme befolkningens demokratiske kompetence - anser det for væsentligt at fastholde "matematik for alle" som en central opgave for dansk matematikundervisning. Hvordan denne opgave så nærmere skal fortolkes og løses, er en anden sag.

10.3 Implementationsproblemer

Afstand mellem det tilsigtede og det realiserede

Der er en afstand mellem det mulige og det realiserede udbytte af de forskellige slags matematikholdige uddannelser. Uden for en utopisk forestillingsverden vil det selvfølgelig altid være tilfældet, men for nogle af eleverne er afstanden større, end rimeligt er, og der er for få, der på et givet uddannelsestrin når op på det højest mulige niveau.

Denne karakteristik udgør det fælles element for alt, hvad vi vil betegne implementationsproblemer. Sådanne problemer er uundgåeligt forbundet med forestillinger om det tilsigtede indhold på en given uddannelse, og begrundelser for måden dette indhold bringes i spil på, men det er oplevelsen af, at "det virker ikke (godt nok)", der er i fokus her. Alle de forhold, der omtales nedenfor, kan ses som forsøg på gensidigt supplerende forklaringer på, at denne oplevelse eksisterer forskellige steder i uddannelsessystemet.

10.3.1 Problemer med lærernes kvalifikationer

Stor variation i lærerkvalifikationer

Som det fremgår af kapitel 6 om matematiklæreres kompetencer, er det at være en god matematiklærer en kompleks udfordring, som mange undervisere på alle niveauer møder på fortræffelig vis og oplever som både spændende og personligt meningsgivende. Da der alene i Danmark er et femcifret antal mennesker, som i deres daglige beskæftigelse stilles overfor denne udfordring, er det trivielt, at der også er nogle, der ikke til fulde magter udfordringen. Det kan den enkelte og de miljøer, han/hun er en del af, opleve som problematisk og forsøge at gøre noget ved, men eksistensen af mindre gode matematiklærere er noget, uddannelsessystemet til enhver tid må leve med. Er antallet begrænset, udgør eksistensen af sådanne lærere ikke i sig selv et samfundsmæssigt problem.

Nogle magter ikke udfordringen

Det problematiske består - som vi ser det - i, at det desværre er en ikke forsvindende andel af matematiklærerne på de forskellige niveauer, som ikke i tilfredsstillende grad magter udfordringen, og at der er tegn på, at det et stykke hen ad vejen skyldes mangler i den vifte af kompetencer, som man efter vores mening skal være i besiddelse af for at kunne levere god matematikundervisning. At der så ydermere kan spores en vis systematik - se nedenfor - i typen af kompetencer, som matematiklærerne på de forskellige uddannelsesmæssige niveauer synes at mangle, er på sin vis foruroligende, men giver også begrundet håb om, at der er tale om et problem, som ad politisk og tilrettelæggelsesmæssig vej kan afhjælpes.

Vi vil i et senere afsnit fremsætte nogle konkrete bud på, hvilke initiativer det i den forbindelse vil være ønskeligt at iværksætte. På dette sted vil vi resumere nogle af de betragtninger om den gode matematiklærer, som blev fremsat i kapitlet om matematiklærere, for herigennem at kunne pege på, hvori det systematiske i problemets karakter ligger.

Den gode matematiklærer

Den gode matematiklærer er fagdidaktisk reflekteret

På den teoretiske front skal den gode matematiklærer være fagdidaktisk reflekteret, hvilket vi bruger som samlende betegnelse for det at være i stand til - og se det som en naturlig del af lærerprofessionen - i et fagligt perspektiv at reflektere over de tre klasser af grundlæggende didaktiske spørgsmål og, nok så vigtigt, deres indbyrdes sammenhæng, jf. afsnit 10.1: Hvorfor iværksættes den foreliggende matematikholdige undervisning - hvad er den objektive samfundsmæssige begrundelse, og i hvilken udstrækning kan jeg identificere mig med den? Hvad er det, eleverne gerne skal lære ved at deltage i undervisningen, og hvilke kompetencer skal de udvikle herigennem, lige fra de helt overordnede alment pædagogiske og metafaglige aspekter til de helt konkrete færdigheder? Hvordan kan jeg bedst bidrage til, at eleverne udvikler de ønskede kompetencer, og lærer det de skal - hvad er de optimale "vækstbetingelser" i den foreliggende situation, og hvilke vanskeligheder og forhindringer skal jeg være opmærksom på? Det er værd atter at pointere, at hvis man skal kunne reflektere over spørgsmål som disse på kvalificeret vis, er det hverken tilstrækkeligt at være fagligt eller alment didaktisk reflekteret.

Den gode lærer kan "brænde igennem" til eleverne

Hvad angår den praktiske del af professionen, skal den gode lærer selvfølgelig være i stand til at "brænde igennem", at "nå ud over katederet" til eleverne. Om man er i stand til det, er i første række et spørgsmål om den enkeltes personlige karaktertræk, stil og livserfaring, og kun i anden række om skoling i betydningen "systematisk tillærte kompetencer og pædagogiske teknikker". Der, hvor skoling potentielt spiller en central rolle, er, når det handler om, hvorvidt den enkelte lærer er i stand til at få sin praktiske formåen og sin fagdidaktiske indsigt til at spille konstruktivt sammen og på den måde udgøre en helhed, hvilket vi opfatter som en afgørende del af karakteristikken.¹⁴

Idealtypen på den gode matematiklærer vil vi således karakterisere som en fagdidaktisk reflekteret person, der er i stand til at praktisere på dette grundlag, og som anerkender og konstant er i dialog med sig selv (og andre) om det komplementære forhold mellem den fagdidaktisk reflekterende og den praktiserende side af god undervisning.

Malet med den brede pensel mener vi med dette udgangspunkt at kunne se følgende generelle mønster:

Folkeskolen

Fokus på praksis og metodik: "hvordan?"

I folkeskolen - eller mere generelt på de uddannelser, hvor autorisation som lærer forudsætter en seminarie-uddannelse - kan man ikke tage matematiklærernes nære forhold til matematikkens substans for givet, alene af den grund at ganske mange praktiserende matematiklærere ikke virker på baggrund af en fagligtpædagogisk uddannelse i faget. Til gengæld er de fleste gode praktikere, bl.a. fordi de i almindelighed holder af at undervise og på anden måde opdrage børn og unge. Som hovedregel foregår praktiseringen i et kvalificeret samspil med refleksioner over generelle problemstillinger af hvordan-karakter, der som det mest karakteristiske indebærer en fokusering på tilrettelæggelse af aktiviteter, der danner grundlag for læring i en meget spredt elevgruppe.

Mindre vægt på fagdidaktiske refleksioner

Problemet er, at den store optagethed af og viden om generelle metodemæssige diskussioner og problemstilllinger ofte sker på bekostning af fagdidaktiske refleksioner af begrundelses-, indholds- og læringsmæssig art, bedømt ud fra de diskussioner, der føres. Når begrundelses-, indholds- og læringsmæssige refleksioner ind imellem bringes på banen, er det overordnede fagdidaktiske perspektiv ofte så godt som fraværende: Begrundelsesdiskussionerne foregår på et alment pædagogisk grundlag med henvisning til undervisningens generelle opdragelsesmæssige aspekter, refleksioner over undervisningens indhold foregår fragmenteret og forbliver ved den meget praksisnære overvejelse om, hvad der i forhold til enkeltstående begreber og færdigheder kan lade sig gøre, mens læringsdiskussioner forbliver på et generelt niveau, som alle i lærergruppen uanset faglig baggrund kan deltage i på lige fod.

De gymnasiale uddannelser og de højere læreanstalter

Fokus på det faglige, især på "hvad?"

På de gymnasiale uddannelser og de højere læreanstalter - eller mere generelt på de uddannelser, hvor autorisation som lærer forudsætter en kandidatuddannelse - kan man ikke tage matematiklærernes kærlighed til selve det at undervise i matematik for givet. Heraf følger ikke, at der ikke er mange gode praktikere blandt dem, blot at udgangspunktet for mange er en fascination af, og interesse for, faget matematik, snarere end for det didaktiske problemfelt. For andre er matematik et sekundært fag i forhold til deres hovedfag, som måske ikke har den mindste forbindelse til matematik eller naturvidenskab. Nogle lærere har valgt at studere matematik som et karrierefremmende middel, snarere end som et fag med egne attraktioner. I begge tilfælde bliver perspektivet på arbejdet som matematiklærer domineret af indholdsmæssige refleksioner ("hvad-problemer"), primært med fokus på internt faglige problemstillinger, som de fleste lærere på disse uddannelsestrin føler at kunne forholde sig til på et godt grundlag. Lærerens undervisning og faglige overblik står som det centrale omdrejningspunkt.

Mindre interesse for bredere perspektiver på faget

I forhold til karakteristikken af den gode matematiklærer er problemet på gymnasieområdet, at de internt faglige indholdsmæssige problemstillinger, som .ittigt vendes og drejes (debatten i lærerforeningsudgivelsen LMFK-bladet er en god indikator), kommer til at fylde så meget, at det skygger for en diskussion med flere nuancer. Interessen i for alvor at inddrage begrundelses- og implementationsmæssige refleksioner kan - hvad enten det drejer sig om problemstillinger med udgangspunkt heri eller om at anlægge et lidt bredere metafagligt perspektiv på indholdsmæssige problemstillinger - ofte ligge på et lille sted, hvilket kan tænkes langt hen ad vejen at hænge sammen med, at de matematiklærere, vi her taler om, føler sig mindre kompetente på disse områder i sammenligning med deres, i mange tilfælde, solide internt faglige kundskaber.

Sammenfatning

"Metodefetichering" vs. "fagfetichering"

Sammenfattende, om end uden tvivl forenklende, synes der således at være to forskellige - og til dels modsatrettede - problemer i forhold til kvalifikationsmønsteret blandt matematiklærerne på de forskellige typer uddannelser: Et metodefeticheringsproblem, som, sat på spidsen, består i at opmærksomhed på elevernes mulighed for læring gennem aktivitet ophøjes til det, som alle andre problemstillinger roterer omkring, og et tilsvarende fagfeticheringsproblem, som består i at tilskrive lærerens opmærksomhed på videnskabsfaget matematik denne status. De to vidt forskellige matematiklærerkulturer, som følger af, at de to problemer eksisterer samtidig forskellige steder i det danske uddannelsessystem, rummer nok en ikke uvæsentlig del af forklaringen på mange af de øvrige implementationsproblemer, som omtales nedenfor.

10.3.2 Sammenhængs-, overgangs- og progressionsproblemer

Sammenhængs-, overgangsog progressionsproblemer udgør et kompleks

Blandt de problemer og udfordringer, som har ført til oprettelsen af KOM-projektet og nedsættelsen af arbejdsgruppen, er der flere, som er indbyrdes forbundne i en grad, som nærmest får dem til at udgøre et kompleks. For nemheds skyld kalder vi  dem alle problemer, selv om de oftest tager form af udfordringer. Den ene type angår sammenhæng i den matematikundervisning og -tilegnelse, som finder sted i de forskellige lag i uddannelsessystemet. Den anden type problemer angår overgangen mellem uddannelsesformer og -niveauer, fx fra folkeskole til gymnasium, eller fra gymnasium til videregående uddannelse. Den tredje og sidste type problemer angår progressionen i matematiktilegnelsen - herunder vækst af viden, kundskaber og færdigheder - op igennem uddannelsessystemet, både på langs ad uddannelsesniveauerne og inden for det enkelte niveau.

Sammenhængsproblemer

Forskellige opfattelser af faget på forskellige trin

Det er en ofte gjort observation, at forskellige uddannelsesformer og institutionstyper opretholder forskellige opfattelser af, hvad faget matematik er og går ud på, af hvad matematikundskaber består i, og hvordan de erhverves, og af hvordan matematikundervisningen derfor bør bedrives. Hårdt optrukket ser vi følgende generelle mønster: I folkeskolen og på seminarierne lægges ofte stor vægt på begrebsopbygning og forståelse gennem udforskende og afsøgende elevaktiviteter inden for uformelle disciplinrammer og mindre på fx indøvelse af færdigheder og - for folkeskolens vedkommende - formel symbolbehandling. I det almene gymnasium lægges ofte vægt på begrebsopbygning og forståelse gennem opgaveregning med tyngdepunkt i netop symbolbehandling, og i erhvervsgymnasierne betones navnlig anvendelsen af begreber og metoder i andre fag- og praksisområder. I universiteternes matematikundervisning (også i hjælpefagsundervisning) fokuseres derimod ofte på stringent teoriopbygning og matematisk bevisførelse.

Fravær af en fælles opgave

Manglende sammenhæng

Problemet heri er ikke så meget selve forskelligheden i de forskellige uddannelsesformers betoninger af, hvad der er det væsentlige i matematik, som jo kan være velbegrundede nok (de har jo ikke identiske opgaver eller vilkår), men at disse forskelle af lærere og elever kan opfattes som næsten modsatrettede. Det opleves af mange aktører sådan, at uddannelsesniveauerne ikke er fælles om den opgave at lære eleverne matematik, men håndhæver så forskellige opfattelser og traditioner på feltet, at man i stedet for at bidrage til at løse den samme opgave fra forskellige sider og synsvinkler næsten kommer til at spænde ben for hinandens virksomhed. For mange elever opleves det som om, de på et nyt uddannelsestrin pludselig skal til at foretage sig noget helt andet end det, der var på dagsordenen tidligere, og at det, der før var uvigtigt, nu pludselig er blevet vigtigt, og omvendt. Det er imidlertid væsentligt at holde sig for øje, at sammenhængsproblemet ikke i sig selv er et overgangsproblem (se nedenfor), selv om det måske nok i særlig grad kommer til syne ved overgangen fra en uddannelsesform til en anden, men først og fremmest er et spørgsmål om forskelle mellem disse former.

Fare for "dem-og-os" syndromer

Undertiden er holdnings-, traditions- og kulturforskellene mellem uddannelsesniveauerne så store, at der opstår gensidig mangel på respekt for de andres arbejde og institutioner. Problemer på et trin henføres gerne til at være det umiddelbart foregående (eller efterfølgende) trins "skyld", idet man der lægger vægt og bruger kræfter på "det forkerte", har for svage forudsætninger osv., sådan at man fx ikke "leverer en ordentlig vare", respektive har helt urealistiske forventninger. Når sådanne "dem-og-os" syndromer skabes og udvikles, ledsages de ofte af manglende lyst og vilje til at orientere sig ordentligt om betingelser og realiteter i de andres verden, og i stedet for indsigtsbaserede billeder og beskrivelser af denne verden udvikles karikaturer og vrængbilleder, som bidrager til at forøge afstanden mellem miljøerne.

Komp. kan bygge bro

I sagens natur er det vanskeligt at få overblik over, i hvilken grad der faktisk hersker forhold som skitseret overfor. At der er noget om snakken, er imidlertid uomtvisteligt. Og i det omfang det er tilfældet, er det klart, at et resultat let kan blive forvirring og manglende sammenhæng og konsistens i den enkelte elevs matematikopfattelse, og sandsynligvis dermed også i deres matematikkundskaber. Fra KOM-projektets perspektiv vil det at benytte fælles sæt af matematiske kompetencer, som de her foreslåede, som et hovedmiddel i beskrivelsen og tilrettelæggelsen Komp. kan bygge bro af undervisningen på alle trin, være et første - stort - skridt på vejen til at gøre noget ved sammenhængsproblemet.

Overgangsproblemer

Denne type problemer vedrører de vanskeligheder i form af faglig diskontinuitet, faglige tilpasnings- og tilrettelæggelsesproblemer, og dermed forbundet elev- og lærerusikkerhed, som opstår i forbindelse med elevers overgang fra et uddannelsesniveau til det næste. Det fører videre til spild af mentale og økonomiske ressourcer, og til svækkelse af elevers motivation og interesse for at beskæftige sig med matematikholdige gøremål, samt til tab af tempo og progression i matematiktilegnelsen.

Årsager til problemerne

Årsagerne til overgangsproblemerne ligger dels i selve det, at skiftet fra en institutionsform til en anden, som har andre opgaver, perspektiver og vilkår, i alle fald vil afstedkomme friktion, ikke mindst da elevernes personlige modning samtidig kommer i spil over længere tidsstræk. Men de ligger også i de holdnings-, kulturog traditionsforskelle uddannelsesniveauerne imellem, som omtaltes ovenfor, både i henseende til uddannelsesniveauerne i almindelighed og i henseende til matematikspecifikke forhold i særdeleshed.

Progressionsproblemer

Utilstrækkelig progression

Denne type problemer går ud på, at en række forskellige aktører, iagttagere og aftagere i tilknytning til dansk matematikundervisning finder, at der sker en for ringe progression i væksten, udviklingen og konsolideringen af den enkelte elevs matematikkundskaber i løbet af hans/hendes vej op igennem uddannelsessystemet. Der tales om, at der både i matematikundervisningen inden for den enkelte uddannelsesform (det kunne fx være folkeskolen eller HF) og på langs ad disse, finder en utilstrækkelig faglig progression sted, dvs. at tingene i for høj grad udspiller sig på det samme niveau, uden at der for alvor vindes nyt land.

En del af problemet hidrører fra de før omtalte forskelle mellem uddannelsesformerne, men en anden del vedrører tilstandene inden for en given uddannelsesform. I det omfang der måtte ske for ringe progression inden for en given uddannelsesform, kunne årsagerne bl.a. tænkes at ligge i utilstrækkelig opmærksomhed over for behovet for progression, eller i de vilkår og redskaber som er til rådighed for at fremme den.

Komp.betragtninger kan være en hjælp

Progressionsproblemerne er tidligere omtalt i denne rapport. Også her finder vi, at en fokusering på udviklingen af elevernes matematiske kompetencer henover skellene mellem de forskellige uddannelsestrin vil kunne bidrage til at afhjælpe de progressionsproblemer, som ikke først og fremmest skabes af almene uddannelsessociologiske omstændigheder.

10.3.3 Problemer med spredning henover det samme niveau

Spredning i elevernes mat.ske "bagage"

En problemkreds som er forbundet med, men ikke sammenfaldende med, den ovenfor behandlede, ses ofte fremdraget både fra centralt politisk/administrativt hold, og fra aftagere af elever eller kandidater fra et givet trin af uddannelsessystemet. Det er spredningen i, hvad de pågældende har med sig fra den matematikundervisning, de har modtaget. Det, der tænkes på, er bl.a., at gruppen af elever, der forlader et givet uddannelsesafsnit - fx folkeskolens 9. klasse med afgangsprøve i matematik, nyudklækkede studenter med A-niveau fra gymnasiet, nyuddannede folkeskolelærere eller universitetskandidater i matematik - med stor sandsynlighed har været udsat for en mangfoldighed af forskellig slags matematikundervisning inden for det uddannelsesniveau, der er tale om. Det resulterer i store variationer i de matematiske erfaringer, kompetencer og færdigheder dimittenderne har med sig fra et givet trin, på trods af at der principielt og angiveligt er tale om det samme "faglige niveau" henover det pågældende trin. Det gælder ikke mindst på ungdomsuddannelsesområdet, hvor et tilsigtet fagligt niveau ligefrem udstyres med en klassifikation (A-, B- eller C-niveau) på tværs af de forskellige ungdomsuddannelser, skønt det er almindeligt erkendt, at fx et B-niveau dækker over et meget stort felt af forskellige baggrunde, alt efter om det hidrører fra et HF-tilvalgsfag, fra det almene gymnasiums matematiske linje eller fra HHX og HTX.

Når disse variationer henover det samme niveau af nogle opleves som problematisk, er det hovedsagelig af to - ret forskellige - grunde.

Deklarationsproblemet

Spredning fører til et deklarationsproblem

For det første er der tale om et "varedeklarationsproblem", lad os kalde det deklarationsproblemet, som fortrinsvis opleves af aftagerne af de forskellige dimittendgrupper. Problemet kunne overfladisk betragtet ligne et overgangsproblem, men er det egentlig ikke. Det er nemlig ikke selve overgangen, der er problemet (selv om det, i lighed med hvad tilfældet var med sammenhængsproblemet, kommer særligt til udtryk ved overgangen mellem uddannelsestrin), men netop den variation der findes inden for en given deklaration.

Ungdomsuddannelserne ved fx ikke nøjagtigt, hvad de kan forvente af eleverne fra folkeskolen, hvad angår matematisk indsigt og kunnen. Tilsvarende ved de videregående uddannelser ikke nøjagtigt, hvilken matematisk indsigt og kunnen de kan forvente af studenterne efter en gennemført gymnasial uddannelse, og det samme gælder arbejdsgivere som modtager dimittender fra ungdomsuddannelserne. Ansættelsesinstanserne for folkeskolelærere oplever ofte et lignende problem, der dog ikke så meget angår detaljerne i en ansøgers matematiske indsigt og kunnen som eksistensen af den. De instanser, der ansætter lærere til det gymnasiale trin, hæfter sig sædvanligvis også mest ved tilstedeværelsen eller fraværet af større matematiske elementer på emne- eller disciplinniveau, hvor fokus først og fremmest er på, om en ansøger nu også har været udsat for det, der skal til for at opnå formel undervisningsautorisation eller ej. Andre kategorier af arbejdsgivere synes i mindre grad at have problemer med varedeklarationen, så længe der "foreligger en vare". I det omfang der overhovedet er sådanne problemer, består de typisk i usikkerhed om, hvilken slags arbejde folk kan sættes til.

Problem for tilrettelæggelse af uv.

Deklarationsproblemet ser først og fremmest ud til at være et problem ved tilrettelæggelse af undervisning, der hviler på forudgående uddannelsestrin. Hvis der er stor variation i de matematiske forudsætninger hos dem, som skal udsættes for matematikbaseret eller -forbrugende undervisning, kan der opstå problemer med overhovedet at detektere disse forudsætninger, eller problemer med at justere eller måske helt ændre de oprindelige planer for undervisningen. Begge dele kan være tidskrævende og besværligt for aftagerne, som enten må investere arbejde i detektion af forudsætninger og revision af planer, eller løber en risiko for at ramme ved siden af i deres henvendelse til modtagerne af undervisningen.

Spredning kan ikke undgås

Deklarationsproblemet er vanskeligt at komme til livs, fordi der inden for enhver population vil være spredning, som ikke kan indfanges af en summarisk beskrivelse. Også inden for fx tidligere tiders klassiske elitestudentereksamen for ganske få procent af befolkningen, eller inden for en klassisk eliteuniversitetsuddannelse i matematik for brøkdele af en promille af befolkningen, kunne man træffe på ganske store variationer. Men det giver naturligvis sig selv, at deklarationsproblemet vokser med størrelsen af populationen og med spredningen inden for den.

Målgruppeniveauproblemet

Indholdsmæssige konsekvenser af spredningsproblemet for målgruppernes udbytte

Hvor deklarationsproblemet fokuserer på det tidsforbrug og besvær, som kan opstå af stor spredning i dimittendernes indsigt og kunnen, fokuserer det andet problem, målgruppeniveauproblemet, på indholdsmæssige konsekvenser af denne spredning. Dette problem, som hovedsagelig, men ikke udelukkende opleves i undervisningsinstitutionerne, består i, at hvis en given undervisning skal meddeles til en meget heterogen modtagerkreds, er det vanskeligt at tilrettelægge den på en sådan måde, at alle får et rimeligt udbytte af den (med mindre der da afsættes yderligere ressourcer til i realiteten at betjene forskellige delgrupper forskelligt - jf. nedenstående afsnit om undervisningsdifferentiering - hvilket giver anledningen til nye problemer), for slet ikke at tale om at alle når samme "niveau" (hvis vi et øjeblik antager, at indholdet i dette begreb er klart). Hvis undervisningen, som det typisk ses, så indrettes til at henvende sig til eller under "den gennemsnitlige deltager", kan det opleves, at der sker en sænkning af det oprindeligt tilsigtede niveau. Sigtes omvendt på elever med den mest righoldige indsigt og kunnen, er der fare for, at undervisningen går hen over hovedet på flertallet, med de formelle eller reelle konsekvenser som måtte følge heraf, konsekvenser som både vi og mange andre betragter som menneskeligt, politisk og økonomisk uacceptable.

Problemets baggrund

Målgruppeniveauproblemet kommer af flere forskellige årsager, hvoraf hovedparten har almen uddannelsespolitisk karakter. En sådan årsag er knyttet til det forhold, at de forskellige dele af uddannelsessystemet frekventeres af en betydelig andel af de årgange de henvender sig til. En anden sådan årsag har at gøre med, at vi i Danmark har ønsket at undgå en meget finmasket opdeling og sortering af eleverne i folkeskolen og ungdomsuddannelserne i en mangfoldighed af linjer, grene, specialiseringer og niveauer, i hvert fald når det gælder et fag som matematik. At årsagerne til målgruppeproblemet har almen karakter betyder imidlertid ikke nødvendigvis, at det er helt uden for rækkevidde af fornuftige tiltag.

10.3.4 Problemer med undervisningsdifferentiering

Uv.differentiering som middel til at tackle heterogenitet

I de senere år har man i dansk matematikundervisning, især i grundskolen, fokuseret på undervisningsdifferentiering inden for den enkelte klasse. Det er til dels tænkt som et svar på nogle af de heterogenitetsproblemer, som følger af, at elever med stor spredning i baggrund, forudsætninger og interesse går i den samme klasse, hvilket på sin side er en følge af den føromtalte modstand mod vidtgående deling af eleverne i det danske skolesystem. Undervisningsdifferentiering sigter mod at indrette og tilpasse undervisningen i den enkelte klasse, så der netop tages særligt hensyn til den enkelte elevs baggrund, forudsætninger, interesser og formodede behov.

Hvad betyder uv.differentiering?

Der er forskellige problemstillinger knyttet til differentieringsspørgsmålet. Den første har at gøre med, hvad begrebet undervisningsdifferentiering overhovedet indebærer. Det andet angår forholdet mellem idealer og realiteter, dvs. mellem forskellige syn på og holdninger til differentiering på den ene side, og virkeligheden i institutioner og klasseværelser på den anden side.

Begrebsafklaring

Karakteristika ved ikkedifferentieret uv.

Ser vi et øjeblik på sædvanlig, ikke-differentieret undervisning er der tale om, at alle elever i en klasse modtager den samme opmærksomhed fra læreren, både kvantitativt og kvalitativt set. Det vil sige, at læreren fordeler sin tid ligeligt mellem eleverne og udsætter dem for ca. de samme undervisningsaktiviteter, hvad enten det sker i form af klasseundervisning eller på anden måde. På den vis tages der ikke specielle hensyn til den enkelte elevs situation. Der kan dog godt foregå en begrænset individualisering af forholdet til den enkelte elev, fx ved at skriftlige opgaver eller gruppearbejder kommenteres individuelt, eller ved at der gives individuel tilbagemelding om standpunkt, udvikling osv. Men det, der er programsat i undervisningen, henvender sig til alle elever i lige grad, både hvad angår art og omfang.

Ensartet behandling fører til differentierede resultater

Mangfoldige vidnesbyrd slår fast, at med en sådan ikke-individualiseret undervisning bliver elevernes udbytte i almindelighed helt forskelligt, selv om man har tilstræbt at give dem den samme behandling. Nogle elever i en klasse kan få et betydeligt udbytte af undervisningen, mens dette for andre bliver langt mere beskedent. Det er med andre ord en kendt sag, at ensartet behandling næsten sikkert fører til meget varierende resultater, altså til resultatdifferentiering.

Kvantitativ og kvalitativ uv.differentiering

Alternativet er differentieret undervisning, også kaldet undervisningsdifferentiering, hvor de forskellige elever i en klasse modtager forskellig undervisning. Forskellen kan enten være af kvantitativ art, hvor den mængde læreropmærksomhed, som bliver de enkelte elever til del, kan variere betragteligt, eller af kvalitativ art, hvor de aktiviteter, som tilbydes de enkelte elever, varierer i form eller indhold. Naturligvis kan der også være tale om en kombination af kvantitativ og kvalitativ variation. Undervisningsdifferentiering, som her defineret, er tilsigtet og sættes i værk på baggrund af lærerens bedømmelse af den enkelte elevs situation, kapacitet og behov med henblik på at støtte hans eller hendes matematiktilegnelse. Vi taler altså ikke her om eventuelle utilsigtede forskelle.

Hensigten med undervisningsdifferentiering

Forskellige hensigter med uv.differentiering

Mål: Samme udbytte

Der kan være helt forskellige hensigter med undervisningsdifferentiering. Det kan fx være hensigten, at alle elever i klassen søges bragt frem til stort set de samme mål og resultater, men at det erkendes, at de for at opnå det har brug for meget forskelligartet støtte. Nogle elever kan på grundlag af ret begrænset hjælp fra læreren opnå det tilsigtede udbytte, mens andre nok kan opnå dette, men kun under anvendelse af en mere omfattende indsats målrettet til netop dem. Vi kunne kalde denne form af undervisningsdifferentiering differentiering med henblik på at bibringe eleverne det samme udbytte. Selv om det er hensigten at bringe eleverne "det samme sted hen" ved hjælp af undervisningsdifferentiering, er dette ikke så let at opnå i praksis. Hvis det mislykkes, får eleverne altså på trods af hensigten et ganske forskelligt udbytte af undervisningen.

Mål: Tilgodese elevernes forskellige behov og potentialer

Det kan også være hensigten at differentiere undervisningsindsatsen ud fra forestillinger om, at den enkelte elev har en bestemt stabil kerne af egne iboende behov eller muligheder, som har brug for forskellige grader af lærerindsats for at blive støttet eller komme til udfoldelse. For eksempel kunne det tænkes at såvel elever med store matematiktilegnelsesvanskeligheder som elever med særlig interesse og kapacitet for matematik havde brug for ekstra læreropmærksomhed. Det ligger i denne tankegang, at nogle elever har en på forhånd givet lyst, behov og kapacitet til at nå langt i beskæftigelsen med matematik, mens andre ikke har muligheder for at nå ret langt. Med denne hensigt er det en nærliggende konsekvens, at eleverne får meget varierende udbytte af matematikundervisningen, også selv om det ikke primært er hensigten at skabe denne variation. Vi kunne kalde denne form for undervisningsdifferentiering differentiering med henblik på at realisere den enkelte elevs potentiale.

Problemer mht. undervisningsdifferentiering

Arbejdsgruppen går ind for uv.differentiering

Hvilke problemer er der nu med undervisningsdifferentiering? Lad os som udgangspunkt slå fast, at arbejdsgruppen er tilhænger af undervisningsdifferentiering  i matematikundervisningen. Elevernes situation er så forskellig, at udifferentieret undervisning fører til uønsket store forskelle i udbytte. Problemet er altså ikke af principiel, men af konkret karakter.

Utilstrækkelige ressourcer til differentiering

For det første er det et problem, hvis det er ønsket eller besluttet at gennemføre undervisningsdifferentiering, samtidig med at de lærerressourcer, der stilles til rådighed, reelt ikke tillader en sådan. Det ser fx ud til at være situationen mange steder i folkeskolen. Denne situation kommer let til at betyde, at undervisningsdifferentieringen enten helt udebliver, eller at den søges gennemført alligevel, med den konsekvens at nogle elevgrupper bliver ladt i stikken med en ringe grad af læreropmærksomhed. Begge dele fører til resultatdifferentiering, hvad enten det er tilsigtet eller ej. Dette problem bliver særlig tydeligt i klasser med stor spredning mellem eleverne.

Faren for fejlbedømmelse af den enkelte elevs behov og muligheder

Et andet, og lidt mere grundliggende, problem opstår, hvis undervisningsdifferentiering med henblik på at realisere den enkelte elevs potentiale finder sted på grundlag af en fejlbedømmelse af elevernes adfærd, muligheder og behov. Det stiller betydelige krav til læreren at trænge til bunds i en elevs virkelige potentialer, ikke mindst fordi disse næppe er statiske, men er underkastet udvikling. Ved at låse nogle elever fast i bestemte roller og behandle dem derefter, kan matematikundervisningen ende med at give dem stene for brød. Man kan her spørge, om ikke dansk matematikundervisning i for høj grad affinder sig med unødvendigt store forskelle i elevernes udbytte og fortolker dem som forskelle i elevernes kapacitet. Derved kan en sådan undervisningsdifferentiering forstærke i forvejen eksisterende forskelle i elevernes sociale, økonomiske og uddannelsesmæssige miljø i stedet for at bidrage til at udjævne dem. På den anden side er det naturligvis tilsvarende et problem, hvis undervisningsdifferentiering, iværksat med henblik på at bibringe eleverne det samme udbytte, kommer til kort over for opgaven, fordi spredningen er for stor eller vilkårene for vanskelige.

Syn på uv.differentiering afspejler almene holdninger

En stillingtagen til disse problemers betydning er nært forbundet med såvel menneskesyn som almene politiske og samfundsmæssige holdninger. Et lighedsorienteret standpunkt vil finde udtalt resultatdifferentiering meget problematisk, hvad enten den er tilstræbt eller ej. Et ulighedsorienteret standpunkt vil ikke i sig selv se problemer i resultatdifferentiering, når blot undervisningsdifferentieringen afspejler, hvad der anses for de reelle forskelle i elevers situation og kapacitet.

At rede de mange tråde i denne problemstilling ud gennem undersøgelser af alle de nævnte problemers eksistens og omfang, ville kræve selvstændige forskningsprojekter. Det falder uden for rammerne af dette projekt.

10.3.5 Evalueringsproblemer

Evaluering virker tilbage på uv. og læring

I al matematikundervisning er evalueringsspørgsmål af central betydning, hvad enten man tænker på forskellige former for afsluttende evaluering, herunder prøver og eksamener, eller på løbende evaluering knyttet til selve undervisningen. Der er overvældende forskningsmæssig evidens for, at uanset hvilke evalueringsformer der benyttes, udøver evalueringen en væsentlig tilbagevirkende indflydelse på undervisnings- og læreprocesser.¹⁵ Kort og sloganagtigt bliver det nogle gange formuleret som "det, man evaluerer, er det, man opnår" (og også det, man får øje på).

Det, der ikke evalueres, overses

Evalueringens tilbagevirkning på undervisnings- og læreprocesserne er ikke i sig selv et problem. Tværtimod kan koblingen betragtes som et potentielt nyttigt instrument i forbindelse med undervisningstilrettelæggelse og -afvikling. At have et så kraftfuldt instrument til sin rådighed kræver imidlertid, at man er meget opmærksom på, hvordan det bruges: Kompetencer, viden og færdigheder, som ikke gøres til genstand for evaluering - i et system hvori evaluering overhovedet findes - bliver let usynlige, hvis ikke de simpelthen visner væk. Med andre ord, de kompetencer, man ønsker, at eleverne udvikler, må ikke alene sættes udtrykkeligt på dagsordenen i undervisningen, de må også sættes på dagsordenen for evalueringen. Evalueringsformerne leverer et meget mere effektivt instrument for den reelle udpegning af, hvad der på et givet matematikundervisningstrin anses for henholdsvis vigtigt og uvigtigt, end alverdens formålsformuleringer, lærebogsformaninger, lærerforedrag osv.

På den baggrund kan man pege på to varianter af evalueringsproblemet, som har særlig betydning for dansk matematikundervisning.

Disharmoniproblemet

Disharmoni mellem evalueringsformer og det man ønsker at fremme og måle

Den første variant, som man i mangel af et bedre ord kunne kalde disharmoniproblemet, består i, at mange af de evalueringsformer, der traditionelt benyttes i dansk matematikundervisning, kun i begrænset grad tillader evaluering af de matematiske kundskaber, man egentlig ønsker at fremme i matematikundervisningen. I nogle tilfælde er der tale om, at de nærmest modvirker efterstræbelsen af disse kundskaber. Det er ikke mindst tilfældet med de gængse eksamensformer, som fx - alene på grund af tidsrammerne - ikke giver rum for seriøst arbejde med matematisk modelbygning eller med mere dybtgående problemløsning.

Disharmoni mellem evalueringsformer og undervisning

I det omfang den faktiske daglige undervisning søger at opbygge erfaringer, indsigt, viden, kundskaber og færdigheder, som ikke kan tages ordentligt i betragtning af de benyttede evalueringsformer, findes disharmonien ikke blot mellem disse former og de kundskaber, som dybest set efterspørges, men også mellem evalueringsformerne og selve den undervisning som bedrives. Men eftersom evaluering som nævnt oftere udøver en stærk tilbagevirkning på undervisningen end omvendt, giver disharmoniproblemet anledning til forvridning af både matematikundervisning og -læring i forhold til det, som egentlig tilsigtes.

Selv om der i de senere år i Danmark er foregået en del udviklingsarbejde på evalueringsfronten samtidig med en opblødning af de traditionelle rammer for evaluering, er disharmoniproblemet stadig ganske manifest, ikke mindst i forhold til sanktionsgivende prøver og eksamener. Der er altså fortsat behov for tiltag på forskellige fronter, som kan bidrage til at mindske disharmoniproblemet.

Fortolkningsproblemet

Problemer med at tolke evalueringsresultater på gyldig og dækkende måde

Fare for vildledende konklusioner

Den anden variant er fortolkningsproblemet. Det består i, at hvad enten de benyttede evalueringsformer nu egner sig til at evaluere det vigtige eller ej, er der ofte problemer med at sikre sig, at det, de faktisk sigter mod at evaluere, bliver evalueret pålideligt og dækkende. Det er svært at skaffe sikkerhed for, at de fortolkninger og konklusioner, som ved hjælp af et givet evalueringsinstrument opnås om elevers matematiktilegnelse og -beherskelse, faktisk er holdbare for en nærmere og mere dybtgående efterprøvning. Her er der mange forskningsresultater som viser¹⁶, at man ofte kan nå til vildledende konklusioner med evalueringsformer som ikke muliggør kontrol- og opfølgningsspørgsmål på givne svar, sådan som det fx er tilfældet med mange former for skriftlige opgaver, ikke mindst af "stykkeregningstypen".

En afdækning af det virkelige omfang af dette problem i matematikundervisningens praksis ville kræve et forsknings-, snarere end et udviklingsarbejde. Imidlertid kan der, jf. kapitel 9, være grund til at slå fast, at der findes evalueringsinstrumenter, som tillader en rimelig grad af fortolkningsvaliditet og -pålidelighed, men at disse sædvanligvis er ressource- og tidskrævende både for lærere og elever.

Forklaringer på evalueringsproblemet

Årsager: Ressourcebegrænsninger, inerti og ukendskab

Når de to varianter af evalueringsproblemet ikke sådan er til at blive af med, skyldes det hovedsagelig tre forhold. For det første ressource- og tidsbegrænsninger, herunder vanskelighederne med at afveje hvordan evalueringsaktiviteter skal afbalanceres med sædvanlig undervisning. For det andet almindelig inerti i alle lag af systemet og skepsis over for nye tiltag, ikke mindst på et traditionelt følsomt og konsekvenstungt felt som evaluering, der jo bl.a. spiller en rolle i udstikningen af elevers fremtidige levevej og tilværelse. Og sidst, men ikke mindst, ukendskab til alternative evalueringsformer og deres muligheder, rækkevidde og begrænsninger.

Denne side indgår i publikationen "Kompetencer og matematiklæring" som kapitel 10 af 11
© Undervisningsministeriet 2002