9. Evaluering af kompetencer

9.1 Kompetencer kommer til udfoldelse i aktiviteter

En komp. er indsigtsbaseret handleparathed og udfoldes i mat. aktiviteter

At besidde en af de otte matematiske kompetencer (i et eller andet omfang) består, som flere gange fremhævet i denne rapport, i at være beredt og i stand til at udføre visse matematiske handlinger på basis af indsigt. Kernen i en kompetence er med andre ord indsigtsbaseret handleberedthed, hvor "handlinger" kan være både fysiske, adfærdsmæssige - herunder sproglige - og mentale. En gyldig og dækkende evaluering af en persons matematiske kompetencer må derfor, i udgangspunktet, baseres på identificering af disses tilstedeværelse og rækkevidde i forhold til matematiske aktiviteter, som den pågældende er eller har været involveret i.

Om mat. aktiviteter

En matematisk aktivitet er udførelse af et sæt af bevidste og formålsbestemte ma tematiske handlinger i en situation. At handlingerne er formålsbestemte, betyder ikke, at de er givne på forhånd. En matematisk aktivitet kan fx være at løse et rent eller anvendt matematisk problem, at forstå eller bygge en konkret matematisk model, at læse en matematisk tekst med henblik på forståelse eller behandling, at bevise en matematisk sætning, at undersøge sammenhængen i en teoribygning, at skrive en matematikholdig tekst til andre, eller at holde et foredrag m.m.m.

Udførelsen af en hvilken som helst matematisk aktivitet kræver udøvelse af en eller flere matematiske kompetencer. Lad os et øjeblik forudsætte, at det for en given aktivitet på den ene side er muligt at identificere (henholdsvis nødvendige og tilstrækkelige) kompetencer på forhånd, og på den anden side at observere i hvilken forstand og i hvilket omfang en person beskæftiget med aktiviteten bringer forskellige kompetencer i spil under den. Derved skabes en mulighed for at detektere og bedømme den pågældendes kompetencer i forhold til beskæftigelsen med netop denne aktivitet.

Undersøgelse af komp.indholdet i aktiviteter

En forhåndsundersøgelse af kompetencerne i en given aktivitet er først og frem mest et teoretisk og analytisk foretagende, om end der også kan indgå empiriske momenter. Af afgørende betydning er det her at kunne præcisere og karakterisere aktiviteten og dens bestanddele samt dens fordringer på en nogenlunde velafgrænset og klar måde. En undersøgelse af hvilke kompetencer en person konkret bringer i spil i en given aktivitet er frem for alt et empirisk forehavende. Det kan kun realiseres, hvis kompetenceindholdet i personens handlinger under aktiviteten, og resultaterne af dem, lader sig detektere på en gyldig, pålidelig og klar måde.

Forskellige aktiviteter involverer forskellige komp.

Nu er det forventeligt, at en given aktivitet kun lægger op til brugen af et udvalg af kompetencerne. Dermed vil også forskellige aktiviteter lægge op til indblanding af forskellige sæt af kompetencer. Det er derfor rimeligt at antage, at der skal et spektrum af forskelligartede matematiske aktiviteter til, for at man kan opnå en dækkende og righoldig repræsentation af det samlede sæt af matematiske kompetencer. Tilsvarende må det forventes, at man, for at få et dækkende og righoldigt billede af en persons matematiske kompetencer, må undersøge personens virksomhed inden for en bredere palet af matematiske aktiviteter.

9.2 Opgaven

At fremskaffe aktiviteter, der demonstrerer en komp. eller en komp.pro.l

Hidtil har vi taget udgangspunkt i matematiske aktiviteter og efterspurgt deres kompetenceindhold både teoretisk og empirisk. Men egentlig er opgaven jo den omvendte: Dels at finde veje til at evaluere den enkelte persons besiddelse af en given matematisk kompetence, dels at danne sig et samlet billede af den pågældendes matematiske kompetencepro.l. Eftersom kompetencerne kommer til udtryk i matematiske aktiviteter, kan opgaven præciseres til følgende:

• At finde - eller konstruere - typer af matematiske aktiviteter, der egner sig til på gyldig, pålidelig og klar måde at demonstrere tilstedeværelsen af en given matematisk kompetence hos en person involveret i aktiviteten. Dette forudsætter, at der forefindes eller skabes instrumenter, der gør det muligt at detektere, karakterisere og bedømme omfanget og dybden af kompetencebesiddelsen, sådan som den kommer til udtryk i den enkelte aktivitet.

• At finde - eller konstruere - sæt af matematiske aktiviteter, der tilsammen eg ner sig til på gyldig, pålidelig og klar måde at tegne en persons samlede matematiske kompetencepro.l, dvs. personens besiddelse af det samlede kompetencespektrum.

• På baggrund heraf at finde veje til at identificere, karakterisere og bedømme progression i en persons besiddelse af en eller flere matematiske kompetencer.

Statisk og dynamisk beskrivelse af dimensionerne i komp.besiddelse

Vi har i afsnit 4.4.4 (side 64) indført tre dimensioner i en persons besiddelse af en kompetence, dækningsgrad, aktionsradius og teknisk niveau. Ved hjælp af dem kan opgaven yderligere præciseres til at angå detektering, karakterisering og bedømmelse af henholdvis dækningsgraden, aktionsradius og det tekniske niveau, hvormed en person kan aktivere en given matematisk kompetence i diverse slags matematiske aktiviteter. Hvor de to første dele af denne opgave består i at tegne et tilstandsbillede af en persons kompetencebesiddelse, altså et statisk billede, går den tredje opgave ud på at beskrive udviklingen over tid i denne kompetencebesiddelse, altså et dynamisk billede. Derved bliver de tre dimensioner også nøglen i beskrivelsen af progression i en persons kompetencebesiddelse.

Fokus på både formativ og summativ eval.

Det er afgørende at holde fast i, at vi med denne opgave ikke kun tænker på af sluttende - summativ - evaluering i form af forskellige test, årsprøver, eksamener og lignende, men i mindst lige så høj grad på løbende evaluering undervejs i undervisningen med det formål at skaffe informationer om og til den enkelte elev - formativ evaluering - eller til læreren om status og udvikling i undervisningen.¹

9.3 Progression

En komp.s dækningsgrad, aktionsradius og tekniske niveau udbygges over tid

En af de vigtige arbejdsopgaver for KOM-projektet har været at undersøge mulighederne for at identificere, karakterisere og bedømme progression i en elevs udvikling af matematiske kompetencer, mens han eller hun bevæger sig op igennem uddannelsessystemet. Med inddragelsen af dimensionerne dækningsgrad, aktionsradius og teknisk niveau til karakterisering af elevens aktuelle besiddelse af en bestemt kompetence opnås samtidig et middel til dynamisk beskrivelse af, hvordan den pågældende kompetence udvikles over tid hos den pågældende elev. Og da det er den samme kompetence, som er på spil hele vejen igennem uddannelsessystemet, er progressionsbeskrivelsen ikke begrænset af, hvad der foregår på det enkelte uddannelsestrin. Hos en elev udvikles en matematisk kompetence ved, at den ud bygges med tilvækst af "nyt land", dvs. ved at dens dækningsggrad, aktionsradius eller tekniske niveau udbygges over tid. Vi går her ud fra, at så længe man er uddannelsesmæssigt beskæftiget med matematik, kan der i almindelighed kun blive tale om stagnation eller vækst i en dimension, ikke om en skrumpning. At denne forudsætning næppe er holdbar, hvis der er lange afbrydelser i beskæftigelsen med matematik, må i denne sammenhæng ses som mindre betydningsfuld.

Figur 9.1 er et forsøg på at illustrere kompetencetilvæksten. Figuren egner sig tillige til at illustrere, at en kompetencen kan udbygges på adskillige måder, alt efter hvilke dimensioner som er berørt af udvidelsen. For eksempel kan man forestille sig, at dækningsgraden og aktionsradius udvides, mens det tekniske niveau er uændret. Eller at dækningsgraden og aktionsradius er uforandret, mens det tekniske niveau udvides osv. I princippet kan man tænke sig, at udviklingen af en bestemt matematisk kompetence hos en elev igennem hele hans eller hendes uddannelsesforløb følges og registreres.

Karakterisering af progression fremmer udvikling af komp.

Når vi er i stand til at karakterisere progression i udviklingen af en kompetence, får vi også et redskab til at fremme selve udviklingen, idet det bliver muligt for læreren at rette opmærksomheden på punkter hos den enkelte elev, hvor der er rum for yderligere landvindinger. Derved opnås forudsætninger for at programsætte foranstaltninger og aktiviteter, hvorigennem en sådan landvinding kan finde sted.

Hvis det med hensyn til en elev er lykkedes at beskrive progression i besiddelsen af hver af de matematiske kompetencer, på den her antydede måde, opnås automatisk en beskrivelse af progression i hele sættet af kompetencer, altså i den pågældende elevs matematiske kompetenceprofi. Også her fås samtidig et redskab til at fremme selve udviklingen af kompetenceprofilen som helhed.

Figur 9.1
Visuel fremstilling af progression i en persons besiddelse af en matematisk kompetence.

9.4 Evalueringsformer og instrumenter

Behov for forsknings- og udviklingsarbejde

Det må understreges, at løsningen af den nævnte opgave fordrer en hel del forsknings- og udviklingsarbejde, ikke mindst når det gælder opgavens anden og tredje del. En række af de allerede eksisterende, mere eller mindre gængse, evalueringsformer og -instrumenter kan være velegnede til at detektere og bedømme visse af kompetencerne.

Brug af velkendte eval.former

Løsning af skriftlige opgaver kan navnlig benyttes til evaluering af dele af problemløsnings-, ræsonnements-, repræsentations-, symbol- og formalisme, kommunikations- og hjælpemiddelkompetencerne. Det samme gælder, alt efter den nærmere ramme, mundtlige prøver, som tillige kan benyttes til evaluering af tankegangskompetencen samt til evaluering af de tre typer af overblik og dømmekraft. Essays kan være velegnede midler til at evaluere tankegangs- og kommunikationskompetencerne, samt overblik og dømmekraft. Projekter kan - alt efter art og form - tjene til at evaluere hele spektret af matematiske kompetencer, inklusive overblik og dømmekraft. Projekter er ikke mindst specielt velegnede ved evaluering af modelleringskompetence. Det samme gælder for grundige observationer af elever i arbejde, og for logbøger (dvs. en slags notes- og dagbog, hvori eleven løbende noterer sine aktiviteter samt betragtninger over, hvad han/hun har lært af dem), og porteføljer (dvs. en mappe indeholdende elevens skriftlige produkter). Aktiv formidling til andre i form af artikler, foredrag, posters og medieprodukter kan egne sig til at evaluere tankegangs-, repræsentations-, kommunikations- og hjælpemiddelkompetencerne.

Nogle af de beskrevne hverv er udtænkt til først og fremmest at være evalueringsinstrumenter (det gælder fx mundtlige prøver og porteføljer), andre tjener den blandede opgave på én gang at være et evalueringsinstrument og et læringsmiddel (fx skriftlige opgaver og essays), mens atter andre først og fremmest er et undervisningsmæssigt aktivitets- og læringsmiddel, som desuden kan benyttes til evalueringsformål (fx projekter og aktiv formidling til andre). Endelig tjener nogle både som evalueringsinstrument og som støtte for elevens refleksion over egen læring, ofte benævnt metakognition; det gælder logbøger.

Kendte eval.former skal videreudvikles

Dette skal ikke foregive at være en udtømmende oversigt over kompetencerelevante evalueringsformer, for slet ikke at tale om evalueringsformer i det hele taget. Sigtet er blot at påpege, at velkendte evalueringsformer kan egne sig som instrument til evaluering af en eller flere af kompetencerne. Der er imidlertid ikke tale om, at en hvilken som helst instans af hver af disse evalueringsformer oginstrumenter er lige skikket til at evaluere de anførte kompetencer, enkeltvis eller tilsammen. Der skal et betragteligt udviklings- og designarbejde til for at gøre dem velegnede til formålet. Dette arbejde må bestå i at inddrage forskellige slags relevante matematiske aktiviteter inden for forskellige felter i de omtalte evalueringsformer. Ikke desto mindre er der gode grunde til, som en begyndelse, at tage udgangspunkt i de nævnte former, med henblik at se hvor langt man med dem kan komme med evaluering af kompetencerne, så man bedre kan målrette investeringen af kræfter i udtænkningen af nye evalueringsformer til dette formål.

9.4.1 Prøver og eksamener - gamle og nye former

Klassiske former og variationer heraf

Prøver og eksamener domineres af individuelle skriftlige og mundtlige prøveformer

De evalueringsformer og -instrumenter, som oftest er i brug i dansk matematikundervisning, udgør en ret smal vifte. Når det gælder prøver og eksamener, er det individuelle skriftlige og mundtlige prøver, som dominerer billedet. De skriftlige prøver omfatter sædvanligvis færdigformulerede rene, eller postuleret/stiliseret anvendte, matematikopgaver, som under overvågning skal løses inden for en afgrænset tidsperiode, fra få minutter til 4-5 timer, typisk på selve uddannelsesstedet. De mundtlige prøver, som i hovedsagen anvendes ved årsprøver og eksamener, finder gerne sted ved at eleven ved lodtrækning tildeles et eller flere spørgsmål, som ønskes præsenteret og behandlet ved den mundtlige seance, hvorefter lærer og eventuelt censor har mulighed for at stille uddybende spørgsmål. Det er ret almindeligt, at der ved sådanne prøver gives eleven en vis forberedelsestid for at eliminere rene hukommelsesproblemer i præstationen.

Opblødning af de klassiske former

I de senere år, er disse "rene" former mange steder blevet opblødt på forskellig vis. Der kan fx være tale om, at en skriftlig eksamen tager form af en "tag-hjemeksamen", hvor eleven får nogle dage til rådighed til at besvare de stillede opgaver, og hvor en tro-og-love erklæring tænkes at sikre, at eleven har besvaret opgaverne uden assistance fra andre. Hensigten med denne modifikation af skriftlige eksamener er i hovedsagen at reducere den forvridende indflydelse af en for snæver tidsfaktor på besvarelsens kvalitet. Der kan også være tale om, at en mundtlig prøve inddrager et større eller mindre element af præsentation af hjemmeforberedt stof, fx af større opgaver eller projekter, som eleven har arbejdet med i løbet af undervisningen, eller om, at prøven ikke længere er individuel, men omfatter en gruppe elever.

Åbning mod eval. af .ere komp.(aspekter)

I deres klassiske rene former, er der ret snævre grænser for, hvilke (aspekter af) de matematiske kompetencer, skriftlige og mundtlige prøver kan evaluere. Det er især de opfindsomheds-, fordybelses- og tidskrævende sider af kompetencerne, som har vanskeligt ved at blive sat på dagsordenen i sådanne prøver. De nævnte opblød ninger af de skriftlige og mundtlige prøver og eksamener åbner for evaluering af flere sider af kompetencerne, end tilfældet er med de rene former, men der er stadig grænser for, hvad man kan opnå i den henseende. Navnlig evaluering af elevers evne til fx at genemføre hele komplekse modelleringsforløb, at udfinde og gennemføre ikke-rutinepræget problemløsning eller matematiske beviser, eller at producere større og sammenhængende stykker af matematisk tekst kræver andre rammer end dem, som er til rådighed ved de modificerede prøve- og eksamensformer.

Tilkomst af nye former

Nye prøve- og eksamensformer

Efterhånden som matematikundervisningen i løbet af de sidste to-tre årtier er blevet forandret, sådan at et bredere spektrum af undervisnings- og arbejdsformer har vundet et vist fodfæste i matematikundervisningens praksis, er der også sket en vis udvikling i de prøve- og eksamensformer, man betjener sig af rundt omkring i undervisningssystemet. Her er det ikke mindst den stigende inddragelse af projekt arbejde, først ved nogle universiteter, siden ved andre videregående uddannelsesinstitutioner og i folkeskolen og de gymnasiale uddannelser, som har givet anledning til forandringer.

Projektarbejde

Det er nu flere steder blevet mere almindeligt også at foranstalte gruppeprøver af projektarbejde udført af mindre grupper af elever eller studerende, enten over et længere tidsspan, eller på stedet i eksamenssituationen, sådan som det benyttes ved folkeskolens afsluttende projektprøve i matematik, hvor eleverne i små grupper arbejder med en to-timers projektopgave under observation og udspørgning af lærer og censor. I betragtning af kompleksitetsmulighederne i matematikrelateret projektarbejde giver det sig selv, at evaluering af projektarbejde åbner mange muligheder for at indlemme en evaluering af en hel del af de matematiske kompetencer.

Gymnasiets tredjeårsopgave

I det almene gymnasium har også elevers individuelle arbejde med den såkaldte tredjeårsopgave, hvis den udføres i matematik, åbnet nye evalueringsveje på eksamensniveau. Det forhold, at eleverne indleverer en samlet afrundet matematisk tekst til bedømmelse, stiller direkte fordringer om evaluering af en hel del af kompetencerne, alt efter tredjeårsopgavens art og tema. I alle fald står tankegangs, repræsentations-, symbol- og formalismekompetence, samt kommunikationskompetence centralt i besvarelsen af tredjeårsopgaven.

De klassiske former dominerer

Det må imidlertid ikke glemmes, at sådanne nyudviklede prøve- og eksamensfor mer fortsat indtager en beskeden plads i den samlede evalueringsvirksomhed i tilknytning til matematikundervisningen i Danmark. Dertil kommer, at hverken de klassiske eller de mere "moderne" evalueringsformer indtil nu har gjort afdækningen og artikuleringen af matematiske kompetencer til en hovedsag. Men til sammen rummer de et potentiale for at komme et stykke vej i den henseende.

Fortsat behov for nye prøve- og eksamensformer

Fortsat behov for nyudvikling

Imidlertid er der stadig et stort behov for løbende at udtænke, afprøve og vurdere nye prøve- og eksamensformer. Som et i princippet tilfældigt valgt eksempel på sådanne skal vi, for illustrationens og inspirationens skyld, omtale en to-leddet eksamensform, som blev indført i matematikstudiet ved Roskilde Universitetscenter omkring 1997. For en god ordens skyld skal det understreges, at selve kompetenceterminologien kun har været anvendt i begrænset omfang i forbindelse med denne eksamensform, og kun i de allerseneste år.

Et eksempel: Skriftlig prøve med mundtligt "forsvar"

Eksamen i to nærmere bestemte matematiske emnekredse (henholdsvis lineær al gebra med supplementer og matematisk analyse) finder sted på følgende måde: Først afhenter de studerende på et nærmere bestemt tidspunkt et opgavesæt til individuel skriftlig besvarelse inden for tre arbejdsdage. Opgaverne er typisk ganske komplekse, ofte med åbne elementer. Ud over gængse spørgsmål af typen "Bevis at . . . ", "Bestem . . . ", "Find . . . ", kan der fx være tale om spørgsmål som

Den skriftlige del

• "Undersøg om. . . "

• "Formulér nogle hypoteser om forbindelsen mellem objekter af kategori A og objekter af kategori B, og søg hypoteserne bekræftet eller afkræftet gennem beviste påstande, eksempelstøttede formodninger, modeksempler eller lignende."

• "Findes der objekter, som opfylder egenskaben P, men ikke egenskaben Q? Findes der objekter som opfylder Q men ikke P? Begrund de resultater du når frem til med beviste påstande eller eksempler."

• "Udtænk og kommentér et eksempel, som illustrerer pointen i . . . "

Sådanne spørgsmål indgår bl.a. for eksplicit at muliggøre evaluering (og dermed også udvikling) af tankegangs-, problembehandlings-, ræsonnements- og kommunikationskompetencerne, den sidste kun - på dette sted - i skriftlig form. Ofte vil nogle spørgsmål tillige lægge op til en evaluering af repræsentations- og hjælpemiddelkompetencerne. Sædvanligvis vil der også blandt spørgsmålene indgå nogle, som er opfindsomshedskrævende, og nogle, som fordrer teknisk overskud og gennemslagskraft. Det sidste muliggør skærpet evaluering af den studerendes symbol- og formalismekompetence. Derimod vil disse eksamensopgaver ikke indeholde modelleringsproblemstillinger. Modelleringskompetence evalueres således ved RUC's matematikstudium i anden sammenhæng.

Efter at den studerende har afleveret deres skriftlige besvarelse (ledsaget af en troog love erklæring om at have arbejdet med den uden hjælp fra andre), sendes denne til eksaminator og (ekstern) censor, som foretager en bedømmelse af besvarelsen.

Den mundtlige del

Efter ca. fjorten dage afholdes en mundtlig prøve. Her forklarer og forsvarer den studerende mundtligt sin besvarelse over for eksaminator og censor, som på baggrund af det skriftlige materiale stiller spørgsmål til dunkle eller svage punkter i fremstillingen, eller udsætter den studerende for udfordringer, fx af typen

• "På side . . . besvarer du spørgsmål x under de og de forudsætninger. Hvad nu hvis . . . ? Ville det give anledning til et andet svar? Hvis nej, hvorfor ikke? Hvis ja, hvordan, og hvorfor?"

• "Du har jo ikke besvaret spørgsmål y. Hvorfor ikke? Kan du forklare hvad hurdlen bestod i? Kan du i dag sige noget mere om spørgsmålet, fx foreslå et svar på det?"

• "Du gør en lidt ulden brug af begrebet z. Kan du fortælle os helt præcist hvad du forstår ved z og hvordan du bringer det i spil i den foreliggende sammenhæng?"

Ud over at den mundtlige prøve tjener det formål at sikre, at den studerende virkelige ejer og står inde for sin egen besvarelse, egner prøven sig også til at evaluere, til dels nye, træk ved tankegangs-, problembehandlings-, og ræsonnementskompetencerne (ofte også repræsentations- og symbol- og formalismekompetencerne), men navnlig den mundtlige del af kommunikationskompetence.

Én samlet karakter

Efter afslutningen af den mundtlige prøve tildeles den studerende én samlet eksa menskarakter, som rummer en integreret afvejning af den skriftlige og mundtlige prøve. Karakteren og den bagvedliggende præstation forelægges og diskuteres af eksaminator og censor med den studerende i en kort efterfølgende samtale.

Krævende men relevant eksamensform

Der kan måske være grund til at berette, at den beskrevne eksamensform af de stu derende, som har været udsat for den - og det er med tiden en hel del - bedømmes som anspændende og krævende, men samtidig som meget relevant og dækkende for, hvad de egentlige hensigter og formål er med de kurser, som evalueres på denne måde.

Lignende eksempler ved HTX og lærereksamen

Tilsvarende eksamensformer har ved 90'ernes slutning vundet indpas ved hen holdsvis lærereksamen i matematik, hvor en individuel skriftlig 6-timers prøve finder sted efter en umiddelbart forudgående beskæftigelse inden for 48 timer med et udleveret forberedelsesmateriale, og ved HTX's eksamen til B-niveau i matematik, hvor man forsøgsvis har har ladet eksamen bestå i et projektarbejde, der strækker sig over tre uger og resulterer i en rapport, der forsvares ved et mundtligt tjek på ti minutter.

9.4.2 Løbende evaluering

Klassiske former

Større frihed og fleksibilitet

Vender vi os dernæst mod løbende evaluering af eleverne, gennemført af læreren inden for rammerne af den daglige undervisning, er der i almindelighed større frihedsgrader i fastlæggelsen af de former og instrumenter, som er til rådighed, end tilfældet er ved afsluttende eksamener. I det omfang læreren betjener sig af prøver, er situationen dækket af den foregående diskussion.

Skriftlige hjemmeopgaver

Der er i Danmark en solid tradition for, at elevernes viden, kundskaber og færdig heder i matematik navnlig afdækkes og bedømmes gennem jævnlig besvarelse af skriftlige hjemmeopgaver, der typisk omfatter behandling af øvelser/problemer, i et spektrum rækkende fra rutineøvelser til (sjældnere) komplekse problemer, som fordrer ikke-rutinepræget overblik, kombinationsevne og opfindsomhed. Besvarelsen af sådanne opgaver tjener ikke alene evalueringsformål, men også læringsog træningsformål. Opgaverne rettes og kommenteres af læreren, hvilket er et af matematikundervisningens væsentligste midler til at orientere diverse interessenter om lærerens syn på elevens standpunkt og udvikling. I skolen danner lærerens bedømmelse af besvarelsernes kvalitet ofte en del af grundlaget for tildeling af standspunktskarakter, mens man ved de videregående uddannelser enten lader besvarelsens kvalitet indgå i afgørelsen af om et kursus er bestået eller ej, eller slet ikke drager konsekvenser af besvarelseskvaliteten på systemniveau.

Bortset fra at opgaverne ikke er udarbejdet under samme tidspres som ved prøver og eksamener, og fra at eleverne kan have modtaget forskellige former for hjælp under besvarelsen, er opgaverne ofte af samme art som dem, der optræder i prøver og eksamener. Det er derfor i hovedsagen de samme kompetencer, som kan komme til udtryk og afdækkes i de to slags sammenhænge.

Tavlefremlæggelser

Ud over besvarelsen af skriftlige hjemmeopgaver er det gængs praksis i dansk ma tematikundervisning, at eleverne ved tavlen får lejlighed til mundtligt med skriftlig støtte at fremlægge stofdele eller opgavebesvarelser. Også disse aktiviteter tjener flere forskellige formål på én gang, hvoraf evalueringsformålet kun er ét. Evalueringsformålet indløses især ved, at læreren (i sjældnere tilfælde også kammeraterne) kommenterer kvaliteten af elevens fremlæggelse, og - når det er på programmet - lader den indgå i sin tildeling af standpunktskarakter til eleven. Det er oplagt, at sådanne tavleaktiviteter tillader evaluering af sider af kompetencerne, som ikke så let kan evalueres i tilknytning til skriftlige arbejder. Det drejer sig frem for alt om kommunikationskompetence, men også om tankegangs-, ræsonnements, repræsentations- og symbol- og formalismekompetencerne.

Inddragelse af nye former

Med den udvikling, som har fundet sted i matematikundervisningens former i lø- bet af de sidste tre årtier, er der også åbnet nye behov og muligheder for løbende evaluering. Dette er først og fremmest sket i sammenhæng med elevarbejde i grupper, hvor lærerens rolle gerne er en blanding af vejlederens og iagttagerens, hvilket giver anledning til inddragelse af nye muligheder for evaluering af de matematiske kompetencer, som vanskeligt kommer til udtryk i traditionelt skriftligt eller mundtligt arbejde. Derimod har anvendelsen af essays, logbøger og porteføljer, jf. omtalen ovenfor, såvidt vides ikke nogen større udbredelse i dansk matematikundervisning.

Nye former

Men også i den løbende evaluering er der behov for udvikling af nye former og instrumenter, der går i spænd med indvindingen af nyt land for undervisning og læring.

Elevkonstruktion af opgaver

Der kan fx være tale om at bede elever om at konstruere opgaver, som lever op til på forhånd fastsatte specifikationer. Det kunne være, at opgaven skal illustrere en bestemt teoretisk pointe, såsom

• "Konstruer en virkelighedsrelateret matematikopgave, der dels viser forskellen på vækst i procent og vækst i procentpoint, dels godtgør, at man ikke ubekymret kan addere procenter."

• "Konstruer en opgave, der viser, at proportionalitet ikke altid er et karakteristisk træk ved problemstillinger fra virkeligheden."

• "Konstruer en matematikopgave, der illustrerer, hvorfor man ikke, i differentialregningens middelværdisætning, kan slække på forudsætningen om funktionens kontinuitet på det afsluttede interval."

Eleverne udveksler opgaverne efter et eller andet system, løser deres kammeraters opgaver, hvorefter forskelle, ligheder, pointer, gode og dårlige idéer diskuteres enten i mindre grupper eller i hele klassen/holdet. Evalueringen af resultaterne sker derefter i fællesskab mellem elever og lærer. Atter er en stor del af kompetencerne på dagsordenen i en sådan evaluering, men aktiviteten er særligt egnet til at bringe tankegangs-, ræsonnements- og kommunikationskompetencerne i fokus.

Elever som opgaverettere

En anden mulighed er at bede par af elever producere skriftlige kommentarer til og rettelser af hinandens opgavebesvarelse, hvorefter de kommenterede besvarelser afleveres til læreren til videre kommentering og bedømmelse.

Afdækning af de bærende konstruktioner i mat. stof

Endnu et eksempel tager særligt sigte på at evaluere (og udvikle) tankegangskompetence sammen med formalismesiden af symbol- og formalismekompetence, i sammenhæng med ræsonnements- og repræsentationskompetence. Det er en form, som gennem årene er blevet benyttet ved megen kursusundervisning ved RUCs matematikstudium, hvor kurset har været centreret om gennemarbejdningen af en lærebog. Med mellemrum, efter afslutningen af større afsnit i bogen (kapitler, sektio ner, eller hvordan det nu passer), fx i størrelsesordenen 50 sider, er de studerende, enkeltvis eller i grupper, som det nu er faldet for, blevet bedt om på maksimalt 5 sider (begrænsningen er afgørende) at kondensere, i organiseret og konsistent form, de væsentlige bærende begreber, konstruktioner og resultater i de pågældende afsnit. At foretage udvælgelsen af, hvad der er essentielt og hvad der er mindre vigtigt, og skelne mellem almene begreber og eksempler osv., har vist sig som en stor og krævende, men også meget givende, udfordring for de studerende. Ofte er de studerendes forskellige, og ikke sjældent konkurrerende, bidrag alle blevet præsenteret for holdet, hvorefter en diskussion, ledet af læreren, har fundet sted med henblik på at opnå et fælles kondensat af det behandlede afsnit. Denne form har givet læreren særdeles gode muligheder for at få indblik ikke blot i den enkelte studerendes udvikling af de omtalte kompetencer, men også i undervisningens succes med at gøre vitale træk ved matematisk teoriopbygning til genstand for de studerendes bevidste tilegnelse.

9.4.3 Tilretning af kendte evalueringsformer til kompetenceformål

Som det fremgår, er der i virkeligheden et ganske stort repertoire af traditionelle og innovative evalueringsformer og -instrumenter til rådighed for evaluering matematiske kompetencer. Hovedopgaven her er imidlertid at indrette og målrette de pågældende former og instrumenter, så de eksplicit sigter mod evaluering af disse kompetencer. Det fordrer, at man for hver evalueringsform og -instrument gør klart hvilke kompetencer, man ønsker at benytte dem til at evaluere, samt præciserer på hvilken måde dette nærmere skal ske. Heri ligger et betragteligt, men overkommeligt udviklingsarbejde.

Adækvate eval.former er ofte tids- og ressourcekrævende

Det er desuden nødvendigt at være opmærksom på, at nogle af de skitserede adæ- kvate evalueringsformer er ret tids- og ressourcekrævende. Men det er en omkostning, som i alle fald må afholdes, hvis man seriøst ønsker at tilvejebringe en dækkende, gyldig og pålidelig evaluering af elevers matematiske kompetencer.

9.5 Evaluering af den enkelte kompetence

Bidrag fra forskning

OECD – PISA

Den matematikdidaktiske forskning har allerede længe beskæftiget sig med at finde veje til evaluering af nogle af kompetencerne, om end ikke nødvendigvis under anvendelse af dette ord. Det drejer sig frem for alt om problemløsnings, ræsonnements-, repræsentations-, og symbol- og formalismekompetencerne samt enkelte dele af tankegangskompetencen. I nyere tid er også modellerings- og hjælpemiddelkompetencerne samt til dels kommunikationskompetencen blev gjort til genstand for undersøgelse. Derimod er der gjort meget lidt ud af at søge samlede kompetenceprofiler beskrevet og evalueret. Det nærmeste man kommer forsøg på noget sådant er vel de igangværende PISA-undersøgelser², der indebærer en inter national sammenligning af, hvad man kunne kalde 15-åriges matematiske kompetenceprofiler i en lang række lande.

Karakterisering af en persons besiddelse af en komp.s tredimensioner

Hidtil har vi betragtet diverse evalueringsformer og -instrumenter i lyset af deres større eller mindre egnethed til at evaluere dele af det matematiske kompetence spektrum. Derimod skylder vi stadig at komme nærmere ind på, hvordan man kan detektere, karakterisere og bedømme en persons besiddelse af en given kompetences tre dimensioner. Det skal allerede på dette sted gøres klart, at der ikke foreligger noget færdigt svar på denne opgave. At opnå det er, som før fremhævet, en ikke forsvindende forsknings- og udviklingsopgave, som ligger uden for rammerne af dette projekt.

På bar bund er vi dog ikke. Vi er i stand til gennem udvalgte eksempler at illustrere, hvordan opgaven kan behandles. Fælles for eksemplerne er, at de vedrører besiddelsen af en bestemt matematisk kompetence hos en tænkt elev på et bestemt undervisningstrin. En total kortlægning af feltet ville indebære betragtning ikke blot at samtlige kompetencer kombineret med samtlige undervisningstrin, men også af forskellige kategorier af elever set i forhold til den pågældende kombination, alt i alt et meget omfattende sæt af eksempler.

9.5.1 Eksempel 1: Tankegangskompetence hos en 8. klasses elev

En tænkt elev i 8. klasse

Lad os forestille os en konkret folkeskoleelev, en dreng, D, i 8. klasse, hvis tanke gangskompetence vi ønsker at beskrive. Lad os videre forestille os, at den følgende tænkte beskrivelse hviler på mange forskellige observationer af hans virksomhed i gruppearbejde, ved besvarelsen af skriftlige opgaver, og i svar på spørgsmål samt diskussioner i klassen.

Dækningsgrad

Fokus på kvantitative spørgsmål

I sammenhæng med optællinger og beregninger af rent eller anvendt matematisk art er D i stand til på egen hånd at stille matematiske spørgsmål af kvantitativ type, såsom

• "Hvor mange er der af. . . ?"

• "Hvad får vi, når . . . ?"

• "Hvor meget giver det?"

• "Hvor mange procent bliver. . . ?"

• "Hvilken situation giver flest. . . ?"

Han har i den forbindelse blik for, at man ofte ved matematiske metoder - ikke mindst sådanne, som kan involvere en lommeregner - kan forvente at opnå svar på spørgsmålene i form af entydige talmæssige angivelser. Han har derimod ikke blik for, at der kan foreligge situationer, hvor kvantitative spørgsmål ikke nødvendigvis har et entydigt svar, eller et svar overhovedet.

Fokus på det konkrete og eksempelbaserede

D's matematiske begreber er i hovedsagen forbundne med naturlige og positive rationale tal, bortset fra at han kender navnene på gængse geometriske figurer. Begrebernes rækkevidde knytter sig til selve talområdet, reguleret af regnereglerne, og til situationer fra dagligdagen, hvor tallene optræder ledsaget af enheder. Han har ikke sans for indebyrden af en definition. For eksempel kan han kun sige, hvad en brøk er, ved at nævne nogle konkrete eksempler. Han har efter alt at dømme ingen forestillinger om, hvad abstraktion af matematiske begreber eller generalisation af matematiske resultater består i. I den forbindelse har han vanskeligt ved at skelne mellem påstande om et mindre antal enkelttilfælde og påstande om en hel klasse af situationer, dvs. matematiske sætninger. Han har også vanskeligt ved at skelne mellem destinitioner og sætninger, idet han synes at opfatte de definerende egenskaber ved fx geometriske figurer som sætninger om dem. At de fleste matematiske udsagn er betingede, dvs. hviler på udtalte eller uudtalte forudsætninger, er der ikke tegn på, at han har forståelse af. At en given påstand derfor kan være sand i nogle forbindelser, men ikke i andre, er han ikke opmærksom på.

Beskeden dækningsgrad

Sammenfattende er dækningsgraden i D's tankegangskompetence ganske beske den, idet den i hovedsagen omfatter klarhed over, at visse typer af kvantitative spørgsmål og svar er karakteristiske for matematik. Derudover rummer denne kompetence meget snævre forestillinger om matematiske begrebers rækkevidde, givet ved deres konkrete forankring i de - typisk dagligdags - situationer, hvori de har været bragt i spil.

Aktionsradius

Blik for kvantitative forhold

D har let ved at bringe sin i øvrigt smalle opfattelse af matematisk tankegang - som bestående i at stille og forvente svar på kvantitative spørgsmål - i forbindelse med mange forskellige typer af situationer, navnlig, men ikke udelukkende, uden for matematikken. Han kan således få øje på kvantitative spørgsmål i allehånde dag ligdags situationer, hvor man kunne interessere sig for at spørge om først, størst, hurtigst, stærkest, ældst, yngst, rigest, .est, mindst, længst osv.. Ikke mindst i sammenhæng med lege, spil og væddemål er han tilbøjelig til at formulere kvantitative spørgsmål. Han er tillige på det rene med, at i mange hverdagssammenhænge skal der matematiske beregninger til at finde et svar, ikke mindst hvis pengetransaktioner er på tale. Han kan også stille kvantitative spørgsmål i hverdagssammenhænge, hvor måling og vejning, m.m. indgår, ligesom samfundsstatistiske spørgsmål af deskriptiv art indgår i hans repertoire. I internt matematiske sammenhænge har han let ved at komme på spørgsmål vedrørende talmæssige udregninger, hvor han så forventer, at der gives entydige svar. De kan næsten altid leveres af en lommeregner. Han kan dog også stille spørgsmål om, hvor mange tal, der findes i verden, samt om hvad det mindste henholdsvis det største tal er. Her har han til gengæld ikke en klar fornemmelse af, at svarene på disse spørgsmål ikke er af simpel kvantitativ art, men af typen

• "Uendeligt mange."

• "Det afhænger af, hvilket talområde, man tager i betragtning. Er det fx samtlige rationale tal (eller samtlige positive rationale tal), findes der hverken et mindste eller et største. Er det fx kun de ikke-negative rationale tal, er 0 det mindste, mens der ikke findes noget største tal."

Ret stor aktionsradius

Sammenfattende har D's tankegangskompetence, givet dens dækningsgrad, en gan ske stor aktionsradius, når det gælder sammenhænge og situationer fra hverdagen og virkeligheden, mens den internt matematiske aktionsradius er begrænset til spørgsmål og svar angående tal og talmanipulation.

Teknisk niveau

Fokus på konkrete tal, aritmetik og lommeregnerbrug

Som det fremgår, knytter D's tankegangskompetence sig først og fremmest til kvantitative anliggender. Hvad nærmere angår det tekniske niveau, hvorpå han kan aktivere denne kompetence, er der tale om sammenhænge, som omfatter naturlige tal (og 0), der af D identificeres med deres fremstilling i titalssystemet, endelige decimalbrøker med ret få decimaler samt standardbrøker. Han tager det således for givet, at et naturligt tal simpelthen er identisk med dets fremstilling i titalssystemet. Til gengæld kan han gøre klart og korrekt rede for, hvad cifrene i et flercifret tal står for, tilsvarende med de første 3-4 decimaler i en decimalbrøk. Derimod er han ikke klar over forholdet mellem brøker og decimalbrøker. Han kan endvidere kun sjældent stille spørgsmål og forestille sig svar vedrørende negative tal, uendelige decimalbrøker, periodicitet af decimalbrøker, ligesom han næsten ikke inddrager potensfremstillede tal i sin udøvelse af matematisk tankegang. Irrationale tal tages ikke i betragtning. Heller ikke algebraiske, symbolbundne talanliggender indgår naturligt i hans opmærksomhedsfelt. Det samme gælder funktionsbegrebet. De former for spørgsmål og svar han opererer med vedrører næsten udelukkende klassisk rational aritmetik, altså de fire regningsarter samt procenter udført på konkrete rationale tal, ikke mindst sådanne som optræder i omgivelserne og i hverdagen. I den forbindelse kan han også formulere spørgsmål, der inddrager enkle statistiske deskriptorer som gennemsnit og "de øverste 10%". Svarene på den slags spørgsmål tilvejebringes efter D's opfattelse hurtigst og bedst af en lommeregner. Han er dog på det rene med, at man principielt selv kan producere svarene, det tager blot for lang tid og fører let til fejl. Inden for det nævnte afgrænsede terræn udviser han en betydelig adræthed i sin aktivering af tankegangskompetence.

Geometriske navne

Skønt D kender begreber og navne på gængse geometriske figurer som trekanter, rektangler, kvadrater, cirkler osv., kommer han ikke selv på geometriske spørgsmål. Tilsvarende har han svært ved at se geometriske udsagn som svar på - eventuelt implicitte - spørgsmål. Han opfatter tilsyneladende geometriske anliggender som en sag om navngivning, ikke som et spørgsmål om egenskaber, man kan spørge til og forvente svar om. Han har kun et begrænset blik for de begrebslogiske hierarkier på området, som fx kvadrat-rektangelfirkant.

Beskedent teknisk niveau

Sammenfattende kan D aktivere sin tankegangskompetence på et beskedent teknisk niveau, der er domineret af rational aritmetik med lommeregnerstøtte. Inden for dette terræn er hans tankegangskompetence teknisk set temmelig veludviklet. Uden for det kan han kun aktivere kompetencen spredt og usystematisk, også når det gælder felter, som faktisk har indgået i den undervisning, han har modtaget, som fx funktioner, geometri og ligninger.

9.5.2 Eksempel 2: Modelleringskompetence hos en 2. g. elev

En tænkt elev i 2. g.

Lad os nu gå over til at forestille os en pige P, som er elev i det almene gymnasiums 2. g., hvor hun er i færd med at fuldføre matematik på B-niveau. Vi ønsker at beskrive P's modelleringskompetence, også her på basis af tænkte observationer af hendes virksomhed i den daglige undervisning, herunder hendes besvarelse af skriftlige opgaver, inklusive prøver, hendes bidrag til gruppearbejder og mindre projekter, hendes mundtlige aktivitet ved tavlen og i klassen som helhed.

Dækningsgrad

Fokus på relationen model virkelighed

P er i stand til med grundighed, omhu og klarhed at analysere grundlaget for samt rækkevidden og holdbarheden af de konkrete matematiske modeller, hun har haft lejlighed til at arbejde med i gymnasiet. I den forbindelse er hun god til at afdække de antagelser og forudsætninger, som en model hviler på, og at sætte dem i relation til, hvad modellen kan udsiger noget om, og hvad den ikke tager i betragtning. Hun er sædvanligvis tillige i stand til at afkode og fortolke modelelementer ogresultater i forhold til de situationer, som modelleres. Derimod har hun sværere ved at afdække og bedømme modellernes mere principielle matematiske egenskaber, ud over hvad der umiddelbart kommer til udtryk i de resultater, som frembringes ved konkret brug af modellen.

Vanskeligheder med matematisering

Fokus på det velkendte

Når det gælder aktiv modelbygning, er P nok i stand til at strukturere den situation, der skal modelleres, herunder at udvælge de elementer, og koblinger mellem dem, som skal tages i betragtning. Derimod har hun oftest meget svært ved at gennemføre en frugtbar matematisering, der kan lede til opstillingen af en matematisk model. Her har hun navnlig problemer med at få øje på og vælge de idealiseringer og begrænsninger, samt at håndtere de informationstab, som er nødvendige for enhver matematisering. Når imidlertid en model foreligger, typisk med andres hjælp, kan hun foretage en matematisk behandling af modellen, så længe behandlingen kan opnås ved hjælp af velkendte metoder. Derved kan hun opnå matematiske resultater og konklusioner, som hun udmærket er i stand til at fortolke og bedømme i forhold til den situation, modellen søger at beskrive. I den forbindelse kan hun anlægge common sense betragtninger til validering af modellen, mens hun ikke behersker mere dybtgående eller sofistikerede midler, fx af teoretisk eller statistisk art, til at gennemføre en mere indgående validering af modellen. Hun har vanskeligt ved selv at modificere eller forbedre en utilstrækkelig model og ved at forestillle sig eller opstille alternativer. Hun har et veludviklet overblik over den samlede modelleringsproces, selv om hun, som nævnt, har vanskeligt ved at styre hele processen, fordi hun har problemer med nogle af dens vigtige punkter, hvilket hun selv er helt klar over. P er god til at kommunikere med andre om en model hun har været indblandet i opstillingen af, også vedrørende de punker, hun selv har svært ved at udføre.

Ret høj dækningsgrad i det grundliggende

Sammenfattende har P's modelleringskompetence en ret høj dækningsgrad, hvad angår grundtrækkene i analyse og bygning af matematiske modeller, men vigtige punkter vedrørende matematisering og håndtering af mere sofistikeret, ikkerutinepræget matematisk behandling af modellerne er kun i ringe grad dækket af hendes kompetence.

Aktionsradius

Fokus på vækst- og henfaldsproblemstillinger

P's modelleringskompetence angår først og fremmest problemstillinger vedrørende vækst og henfald. Hun har efaringer med aktiv modellering dels af vækst af menneske- og dyrepopulationer, bl.a. epidemispredning, dels af ændringer i økonomiske og finansielle størrelser, herunder lån og opsparing, samt af radioaktivt henfald. Sådanne vækstproblemstillinger kan hun behandle med overblik og sik kerhed, med hensyn til aktiv modellering dog især når de har et vist standardpræg. Derimod har hun ikke let ved at håndtere andre typer af modelleringssituationer, fx vedrørende geometriske former, tekniske, fysiske og kemiske sagsforhold, tilfældige fænomener m.v. De situationer, hun skal kunne håndtere, skal helst være delvis struktureret og præpareret i forvejen, så det ikke er nødvendigt at begynde på helt bar bund, fx med indsamling af basale informationer. Kommer hun ud for helt nye situationer med vækst eller henfald, som ikke rummer en hel del kendte træk, har hun meget svært ved at komme i gang med en modellering.

Beskeden aktionsradius

Sammenfattende har P's modelleringskompetence en beskeden aktionsradius, som i høj grad er bestemt af hendes hidtidige erfaringer med modeller og modelbygning. Efter alt at dømme kan hendes aktionsradius i denne henseende kun udvides gradvis, gennem grundig beskæftigelse med nye typer af modelleringssituationer.

Teknisk niveau

Fokus på "vækst"-funktioner

Vanskeligheder med ligninger

P kan først og fremmest aktivere sin modelleringskompetence i sammenhænge, hvor lineære eller andre polynomielle funktioner, potensfunktioner, eller eksponential- og logaritmefunktioner, helst i ren form, står centralt i sammenhængen. Hun har vanskeligere ved at inddrage trigonometriske funktioner i modelleringsforbindelser, fordi hun, p.g.a. deres periodiske svingninger, ikke har let ved at se dem som forbundet med de vækstspørgsmål, hendes modelleringserfaringer er knyttet til. Inden for modeller præget af de førstnævnte funktionsklasser, kan hun med ret stor sikkerhed udnytte sit grundige fænomenologiske kendskab til de pågældende funktioner i modelbehandlingen. Det gælder også, når spørgsmål som væksthastighed eller -rate kræver begreber og resultater fra differentialregningen. Derimod har hun ikke tekniske forudsætninger for at forstå eller behandle modeller på differentialligningsform. Heller ikke andre ligningsformulerede modeller er hun god til at konstruere - det volder hende generelt kvaler at sigte mod opstilling af ligninger som middel til at modellere situationer. Foreligger der derimod allerede en model på eksplicit ligningsform, kan hun sædvanligvis godt løse de indgående ligninger, hvis de er af en art, som har været på dagsordenen i den matematikundervisning hun har modtaget.

Hun er stort set ude af stand til at benytte statistiske metoder til parameterestimation, regressionsanalyse og test i valideringen af modelresultater i forhold til empirisk foreliggende data. Det skyldes bl.a. at disse spørgsmål kun har været nødtørftigt strejfet i undervisningen. Derimod kan hun godt benytte gra.ske metoder til på grundlag af common sense-overvejelser at foretage en sammenligning af modelresultater og data.

Nogenlunde højt teknisk niveau inden for et begrænset repertoire

Sammenfattende er det tekniske niveau for P's modelleringskompetence nogen lunde højt, givet det stof hendes undervisning har omfattet. Dog kan hun kun i ringe grad aktivere tekniske kundskaber vedrørende geometri, trigonometriske funktioner, ligninger og statistik til modelleringsformål. I disse henseender er der basis for højnelse af P's tekniske niveau.

9.5.3 Eksempel 3: Symbol- og formalismekompetence hos en studerende

Tænkt naturvidenskabsstuderende på indledende trin

Til sidst forestiller vi os en kvindelig studerende, K, på første eller andet år af et naturvidenskabeligt præget studium, som er matematikforbrugende, men ikke er et studium i matematiske fag. Man kunne fx tænke på studerende inden for biologiske eller kemiske fagområder, eller ved en naturvidenskabelig basisuddannelse eller en ingeniøruddannelse, som er i færd med at tage et indledende matematikkursus. Tanken er at karakterisere K's symbol- og formalismekompetence på basis af observationer af hendes individuelle besvarelse af skriftlige øvelsesopgaver og uformelle prøver, af hendes aktivitet på holdet og i gruppearbejde under lærervejledning, samt rapporter fra korte gruppeopgaver, som hun har bidraget til.

Dækningsgrad

God til symbol- og formelspil, men ikke til fortolkning

K udviser en betydelig fleksibilitet og gennemslagskraft i sin omgang med symbolog formelsprog, både når det gælder det at kunne følge andres symbol- og formelbehandling, og når det gælder selv at kunne udføre en målrettet, korrekt og effektiv manipulation af symbolholdige udsagn og formler. Hun er i den forbindelse meget orienteret mod, og har godt styr på, de spilleregler, som gælder for opskrivning og manipulationen af symbolholdige udtryk og formler, og på grund af en veludviklet teknisk rutine begår hun kun sjældent fejl i sådanne sammenhænge. Derimod er hendes forståelse og fortolkning af, hvad symbol- og formelbehandlingen dækker over, ikke helt så veludviklet. Hun er med andre ord vældigt god til at spille symbol- og formelspil, også i resultatorienteret forstand, men ikke så god til at se mening i spillet, hvilket hun heller ikke ser ud til at have noget stort behov for. Når det gælder formelle matematiske systemer, typisk opbygget som en samlet teori, har K derimod svært ved at forstå, hvad det hele går ud på, bortset fra når teorien leder frem til kalkulatoriske resultater og metoder, som hun så koncentrerer sig om at beherske, oftest uden noget klart blik for deres rolle i det samlede system, som hun er tilbøjelig til at ignorere eller opfatte som skræmmende, irriterende eller pedantiske udenværker.

Begrænset dækningsgrad

Sammenfattende er K en meget kompetent symbol- og formelmanipulator, men ikke nogen god forståer og fortolker af hvad der er på færde neden under symbolog formelbrugen. Hendes blik for karakteren og betydningen af formelle matematiske systemer er nærmest fraværende. Hendes symbol- og formalismekompetence har dermed en klart begrænset dækningsgrad, som det vil kræve en solid indsats at udvide.

Aktionsradius

Kan håndtere nye situationer, hvor symboler er indført

K's veludviklede evne til symbol- og formelbehandling medvirker til, at hun kan begå sig både i rutineprægede situationer og i situationer hun ikke har været i før, men som kan håndteres med det apparat hun har til rådighed. Det gælder, hvad enten der er tale om internt matematiske situationer eller om anvendelsessituationer. Hvad det sidste angår, er det en forudsætning, at anvendelsen af matematik enten er lagt til rette eller giver sig selv. Hendes gennemslagskraft er størst i situatio ner, hvor symbol- og formelbehandlingen har til formål at føre til et veldefineret - men ikke dermed entydigt - resultat, gerne af kalkulatorisk art. Hun lider ikke af den ellers udbredte identifikation af et matematisk symbol med den genstand, det symboliserer. Således er hun også i stand til at håndtere situationer, hvor gængse symboler er erstattet af andre, mindre gængse, symboler, men hvis der brydes mere grundlæggende med traditionen - fx ved at variable navngives a, b eller c, mens konstanter kaldes t, x,y, og funktioner kaldes m, n og p - opstår der nogen usikkerhed hos K. Denne usikkerhed kan dog i almindelighed overvindes, hvis hun først tager sig tid til at indprente sig, hvilken rolle symbolerne nu indtager.

Svært ved selv at indtænke symboler

K har ikke let ved selv at indføre symbolske betegnelser i situationer, hvor de ikke er introduceret i forvejen, med mindre situationen er af en kendt type, som når man kan navngive koordinater, funktioner, matricer, egenværdier m.v. i overensstemmelse med traditionen. At der i en matematisk situation træffes væsentlige beslutninger, når man afgør, hvilke objekter der spiller så stor en rolle, at de skal tillægges et symbol, er ikke omfattet af K's symbol- og formalismekompetence.

Relativt stor aktionsradius

Sammenfattende har K's symbol- og formalismekompetence en ret stor aktionsra dius relativt til dens dækningsgrad, dvs. i forhold til sammenhænge og situationer, der ikke involverer fortolkning af symbolsk aktivitet samt omgang med formelle matematiske systemer.

Teknisk niveau

Fokus på reelle funktioner og lineær algebra i standardsituationer

Det tekniske niveau i K's symbol- og formalismekompetence knytter sig, ud over til hendes gymnasiale kundskaber, til reelle funktioner af én eller .ere variable samt til lineær algebra i talrum. Hun kan både håndtere symbol- og formelproblemstillinger vedrørende konkrete eksempler på funktioner, vektorer, matricer, egenværdier, osv. og vedrørende generelle eksemplarer, det sidste forudsat at rammerne for symbolog formelbehandlingen er klare og ikke kræver indblanding af mere intrikate teoretiske problemer og betragtninger. Symbol- og formelhåndtering af differentiation, integration, rækkeudvikling, rækkekonvergens, bestemmelse af egenværdier, diagonalisering af matricer osv. har hun et vældigt godt greb om i teoretisk uproblematiske standardsituationer, hvor forudsætningerne for udnyttelsen af de kendte procedurer er opfyldt. Skal der derimod udvises originalitet og opfindsomhed, fordi situationen ikke fuldt ud er dækket af velkendte fremgangsmåder, kan hun almindeligvis ikke stille så meget op.

Vanskeligt ved formelle mat. systemer

K kan kun i ringe udstrækning begå sig i formelle matematiske systemer. Det betyder, at hun har svært ved afgøre hvad der lovligt følger af hvad i et sådant system, og hvad der ikke kan lade sig gøre, med mindre betragtningerne er hægtet op på symbol- og formelbehandling. Og det gælder, hvad enten hun skal følge andres fremstilling, eller - især - hvis hun selv producerer en sådan. Hun er tilbøjelig til at lære betingelserne for anvendelsen af regler og procedurer udenad, hvilket hun er god til.

Højt teknisk niveau

Sammenfattende er det tekniske niveau for K's symbol- og formalismekompetence højt, set i forhold til kompetencens begrænsede dækningsgrad. Var hun i stand til i højere grad at begå sig i situationer som kræver teoretisk overblik eller orginalitet og opfindsomhed, ville det være meget højt.

9.5.4 En kompetences "volumen"

Ønsker man af den ene eller den anden grund at foretage en sammenfattende helhedsbedømmelse af en given elevs besiddelse af en bestemt matematisk kompetence, fx til brug for en summativ evaluering af elevens standpunkt, måske i form af en karakter, muliggør den her indførte dimensionsbeskrivelse en sammenvejning af de tre dimensioners relative styrke i kompetencebeskrivelsen. Således kan en markant realisation af den ene dimension tænkes at kunne afbalancere en svagere realisation af de to andre.

"Volumen" ="produktet" af dimensionerne

Med en metafor: Man kan billedlig talt forestille sig kompetencenbesiddelsen "målt" ved "produktet" af realisationerne af de tre dimensionerne, altså ved en slags "volumen". Det ligger i denne metafor, at kompetencebesiddelsen i alt bliver tillagt målet 0, hvis en af dimensionerne ikke er realiseret for den pågældende elev, hviket er en naturlig følge af selve kompetencebegrebet Hvis enten dækningsgraden, aktionsradius eller det tekniske niveau er ikke-eksisterende, foreligger der slet ingen kompetence. Det ligger endvidere i metaforen, at forskellige elever kan have samme volumen i besiddelsen af en kompetence, selv om de indgående dimensioner har helt forskellige formater.

Denne side indgår i publikationen "Kompetencer og matematiklæring" som kapitel 9 af 11
© Undervisningsministeriet 2002