8. Fagligt stof på de enkelte trin i samspil med kompetencerne

8.1 Indledning

En komp. udøves og udvikles i omgang med fagligt stof

Der er grundlæggende to slags forbindelser mellem kompetencer og fagligt stof:

• En kompetence kan udøves i forhold til et givet stof, dvs. komme i spil og til udtryk i omgangen med dette stof.

• En kompetence kan udvikles, dvs. skabes eller konsolideres, ved omgang med et givet stof.

Hvad det sidste angår, er det grundlæggende for tankegangen i KOM-projektet, at kompetencerne kun kan udvikles gennem nærkontakt og beskæftigelse med konkret matematisk stof, og altså ikke ved blot at høre eller læse om dem, eller gennem en eller anden form for almen, kontekstuafhængig eksercits.

Der er uden tvivl også tale om, at nogle slags stof er mere skikkede end andre til at fremme udviklingen af en bestemt kompetence. For eksempel er langvarig beskæftigelse med aritmetik utvivlsomt nødvendig for at udvikle modelleringskompetence i forhold til en mangfoldighed af hverdagsproblemstillinger, mens den næppe udgør det bedste grundlag for at udvikle fx den fulde ræsonnementskompetence, inklusive bevisførelse. Tilsvarende er fordybelsen i abstrakt algebra en væsentlig støtte for udviklingen af symbol- og formalismekompetence, men den er ikke et tilstrækkeligt middel til at udvikle modelleringskompetence.

Når dette er sagt, er der imidlertid mange grunde til at tro, at hver af kompetencerne i alt væsentligt kan udvikles gennem beskæftigelsen med et bredt spektrum af ganske forskelligt fagligt stof. Det skyldes, at det - overordnet set - er de samme matematiske betragtningsmåder og metoder, der går igen og er bærende i omgangen med alt matematisk stof.

Komp. alene kan ikke styre stofvalg

Disse overvejelser indebærer, at det kun i mindre grad er hensynet til kompeten cerne, der kan styre valget af det faglige stof, som skal sættes på dagsordenen på de forskellige uddannelses- og undervisningstrin. Dette valg må derfor hvile på andre hensyn. Det kunne dreje sig om det enkelte stofområdes betydning og placering i skabelsen af matematisk begrebsforståelse eller i opbygningen af matematikken som disciplin. Det kunne også dreje sig om stofområdets relevans i forhold til brugen af matematik til udenomsmatematiske formål for den målgruppe, der sigtes mod.

Fokus på udøvelsen af komp. i udvalgte stofområder

På den baggrund må det ses som vores opgave på den ene side at foretage en ud pegning af et mindre antal større og overordnede matematiske stofområder, som skal indgå i matematikundervisningen på de forskellige trin, og på den anden side at fremkomme med nogle overvejelser over, hvordan de enkelte kompetencer kan udøves i forhold til disse stofområder. Ønsket om, at antallet af stofområder skal være relativt lille, skyldes behovet for at undgå en uhensigtsmæssig overdetaljering, som let kan føre til, at opmærksomheden rettes mod tilstedeværelsen eller fraværet af enkeltpunkter i en pensumliste.

At vi her fokuserer på, hvordan kompetencerne udøves i forhold til stofområderne, betyder ikke, at udviklingen af kompetencerne gennem omgang med fagligt stof skal tillægges sekundær betydning. Tværtimod er dette anliggende af den største betydning for tilrettelæggelsen og gennemførelsen af den konkrete undervisning, men det er et tema, som vi ikke vil behandle i den foreliggende sammenhæng.

8.2 En matrixstruktur

Stof X komp. danner en matrix

Det vil være nærliggende for hvert undervisningstrin at tænke i en matrixstruk tur, hvor de matematiske stofområder udgør fx rækkerne og de otte kompetencer søjlerne. Matricen skal så betragtes som en opgørelse over, hvordan den enkelte kompetence udøves i forhold til det enkelte stofområde. Det betyder, at genstanden for betragtningerne er det enkelte stofområde, svarende til rækkerne, mens fokus er på manifestationen af kompetencerne heri, svarende til søjlerne.

Hver celle: Samspil mellem stofområde og komp.

Man kan tænke sig forskellige modeller for udfyldelsen og udnyttelsen af en sådan matrixstruktur. Vi har valgt en model, hvor der for den enkelte celle tages konkret stilling til det nærmere samspil mellem det optrædende stofområde og den optrædende kompetence. Arten af dette samspil kan altså variere fra celle til celle. For nogle celler kan det måske bestå i, at den pågældende kompetence (næsten) ikke spiller nogen rolle for beskæftigelsen med det pågældende stofområde. For andre kan der være tale om, at samspillet mellem kompetence og stofområde har en karakter, som adskiller sig fra forholdene i nabocellerne.

Belysning af repræsentativt udpluk af celler

Med denne model skal der altså for hvert uddannelses- og undervisningstrin tages stilling til indholdet af hver celle i matricen for sig. I praksis bliver det nødvendigt at nøjes med at illustrere fremgangsmåden gennem beskrivelsen af et repræsentativt udpluk af celler på forskellige undervisningstrin. Til belysning heraf kommer senere i denne tekst en skitse til en mulig beskrivelse af den måde, hvorpå kompetencerne kommer til udtryk i udvalgte stofområder på udvalgte trin.

8.3 Valget af stofområder

Undgå overdreven stofdetaljering

Den første opgave er her at tage stilling til detaljeringsgraden af de stofområder, vi udpeger. I arbejdsgruppen har der været enighed om at betjene os af et antal hovedstofområder, som for at undgå pensumfiksering ikke skal underopdeles i del områder, men beskrives i en kort tekst, hvis opgave alene er at gøre det muligt at forstå, hvad der tænkes at ligge i hovedoverskrifterne. Disse tekster tjener altså ikke til at normere et pensum.

Valg af ti mat. stofområder

Vi har koncentreret os om ti stofområder, som er på dagsordenen i skolesystemet eller i indledende videregående undervisning. Stofområder med en mere specialiseret stilling, fx på universitetsniveau, er ikke taget i betragtning her. Det skal understreges, at vi har valgt kun at pege på egentligt matematiske stofområder. Det betyder, at specifikke anvendelsesområder såsom mønt, mål og vægt, standardmodeller og lignende ikke er nævnt for sig, deres vigtighed ufortalt. De tænkes aktiveret i sammenhæng med de relevante matematiske stofområder og kompetencer. Lad det endelig være sagt, at ikke alle stofområder nødvendigvis optræder på alle undervisningstrin, og at selv om beskrivelsen af det enkelte stofområde tænkes at være den samme for alle de trin, den berører, betyder det ikke, at alle de træk, som optræder i beskrivelsen, nødvendigvis tænkes sat på dagsordenen på ethvert trin. Hvilke stofområder og træk, der skal tages op på det enkelte trin, er et spørgsmål, som kræver specifik stillingtagen for det pågældende trin.

8.3.1 En blanding af "klassiske hjørnesten" og nyere stofområder

Valget af stofområder hviler dels på en betragtning af de klassiske hjørnesten i matematikken som disciplin og undervisningsfag, dels på en udpegning af, hvilke moderne stofområder der har særlig betydning for anvendelsen af matematik inden for et bredt spektrum af andre fag- eller praksisområder.

De klassiske hjørnestene omfatter tal, algebra, geometri og funktioner, hvoraf de tre første har udgjort matematikkens kerne i et par årtusinder. De fire indgår alle i nedenstående liste over stofområder (og i lister over stofområder overalt i verden) med den modifikation, at området "tal" på grund af dets vigtighed er opdelt i to; ét som fokuserer på selve talbegrebet og talområderne, og ét som fokuserer på omgangen med og brugen af tallene til anvendelsesformål, dvs. aritmetik. Desuden er der foretaget en adskillelse mellem selve funktionsbegrebet og de basale specielle funktioner på den ene side, og det analytiske studium af funktioner (infinitesimalregningen) på den anden side.

Nyere stofområder bl.a. af betydning for anvendelser

Med hensyn til nyere stofområder har hovedsigtet som sagt været at vælge sådanne, der har en bred betydning, både anvendelsesmæssigt og i forhold til de undervisningstrin, som betragtes. Her er valget faldet på sandsynlighedsregning, statistik, diskret matematik og optimering, der har væsentlige roller at spille inden for en mangfoldighed af videnskabelige, faglige og praktiske domæner.

Talområderne: Hermed tænkes på talbegrebet og de klassiske hovedtalområder: De naturlige tal, de hele tal, de rationale tal, de reelle tal, og de komplekse tal. Der tænkes tillige på notation af tal, herunder positionssystemet, brøker, decimaltal m.v.

Aritmetik: Hermed tænkes på regningsarterne addition, subtraktion, multiplikation og division i spil over for konkrete tal og på diverse algoritmer til udførelse af regningerne. Til dette stofområde henregnes også procentregning samt overslags- og tilnærmelsesregning.

Algebra: Hermed tænkes på formelle træk ved kompositioner, der bringes i spil over for forskellige sæt af objekter, såsom kompositioner og deres samspil, herunder generelle regneregler, ligninger og ligningsløsning, algebraiske strukturer (grupper, ringe, legemer, vektorrum m.m.), algebraiske undersøgelser af geometriske objekter.

Geometri: Hermed tænkes på hele spektret af geometriske problemstillinger, betragtningsmåder og discipliner, såsom beskrivende geometri vedrørende plane og rumlige objekter, geometrisk måling, koordinatsystemer og analytisk geometri, deduktiv geometri (på et globalt eller et lokalt aksiomatisk grundlag), kurver og flader, differentialgeometri, geometriske undersøgelser af algebraiske objekter.

Funktioner: Hermed tænkes på såvel selve funktionsbegrebet, inklusive variabelbegrebet, og funktionsgrafer, såvel som på de basale specielle reelle funktioner: lineære og andre polynomiumsfunktioner, rationale funktioner, trigonometriske funktioner, potensfunktioner, eksponential- og logaritmefunktioner.

Infinitesimalregning: Hermed tænkes på klassisk reel analyse omhandlende emner som kontinuitet og grænseværdi for funktioner, differentiabilitet og differentiation, ekstrema, integrabilitet og integration, differentialligninger, og på konvergens og divergens af talfølger og rækker samt numerisk analyse.

Sandsynlighedsregning: Hermed tænkes på selve tilfældigheds- og sandsynlighedsbegrebet, kombinatoriske sandsynligheder og endelige sandsynlighedsfelter, stokastiske variable og fordelinger, herunder sædvanlige standardfordelinger, samt aksiomatisk sandsynlighedsteori.

Statistik: Hermed tænkes på organisering, fortolkning og slutningsdragning vedrørende kvantitative data, såsom usikkerhed, beskrivende statistik, empiriske fordelinger, parameterestimation, hypotesetestning, forsøgsplanlægning og inferens.

Diskret matematik: Hermed tænkes på undersøgelse af endelige samlinger af objekter (eller uendelige som ikke udgør et kontinuum): Tællemetoder og kombinatorik, klassisk (elementær) talteori, grafer og netværk, koder og algoritmer.

Optimering: Hermed tænkes på bestemmelse af lokale eller globale ekstremumsværdier for reelle funktioner med eller uden infinitesimalregning, såsom maksima og minima for reelle funktioner af en eller flere variable, optimering under bibetingelser, herunder lineær programmering.

8.4 Stofområder og uddannelses- og undervisningstrin

Stofområder og uv.trin: Hvad og hvornår?

I det følgende skema har vi taget stilling til, på hvilke uddannelses- og under visningstrin de enkelte stofområder senest bør behandles eksplicit og i forhold til trinnet systematisk, på den ene eller den anden måde.

Det skal understreges, at dette ikke er et forslag om, at stofområdet først bør indgå på dette trin. Megen god undervisning bygger i god tid implicit op til, at der på et senere stadium skal foretages en eksplicit behandling af et stofområde.

For eksempel vil det være nærliggende på 1.-3. klassetrin at arbejde med intuitive overvejelser om chance og risiko i forbindelse med spil, uden at sandsynlighedsbegrebet som sådan sættes på dagsordenen, eller med spørgsmål som hvad der sker med en bestemt størrelse i fald en anden størrelse ændres, uden at funktionsbegrebet tages op til udtrykkelig behandling. På samme måde vil der være god mening i på 7.-9. klassetrin og i det gymnasiale C-niveau at behandle visse problemstillinger vedrørende optimering, uden at stofområdet optimering er på dagsordenen.

Man kan udtrykke det sådan, at fraværet af en markering i en celle i nedenstående matrix ikke nødvendigvis betyder, at der ikke med rette kan undervises i stofområdet på det pågældende trin.

Det skal sluttelig endnu engang understreges, at der med tilstedeværelsen af et stofområde på et givet trin intet er sagt om det omfang og den måde, stofområdet skal være repræsenteret på.

8.5 Eksempler på samspillet mellem kompetencer og stofområder

To illustrerende eksempler

Når det gælder selve beskrivelsen og formuleringen af samspillet mellem stofom råder og kompetencer, kunne man forestille sig noget i stil med følgende.

8.5.1 Eksempel: Geometri på 1.-3. klassetrin

Geometri på 1.–3. klassetrin

Ved udgangen af 3. klasse forventes eleverne at kende navne for de elementære geometriske objekter og grundformer (som fx punkt, linje(stykke), cirkel, ring, trekant, firkant, kugle, terning, kasse m.m.) og at kunne anvende disse til idealiseret beskrivelse af fysiske genstande (fx tegning af en bil og en bus som cirkler med forskellige størrelser firkanter oven på, et hus som en firkant med en trekant oven på, etc.). De forventes tillige at have begreb om (tilnærmet) måling af længder, arealer og rumfang ved hjælp af forelagte enheder. De forudsættes at have erhvervet erfaring med repræsentation af elementære geometriske grundformer, situationer og fænomener ved hjælp af konkrete materialer som fx tegninger, puslespil, stænger, hængsler, snore, geoboards, skærmbilleder, ikoner o. lign. De kan i omgangen med konkrete geometriske genstande forholde sig til og stille spørgsmål af typen "Hvad hedder sådan en ting. . . ?", "Hvor mange hjørner har en 3-kant, en 4-kant, en terning?" eller "Findes der en 1-kant (eller en 2-kant), og hvor mange hjørner har den i givet fald?" På basis af inspektion af enkelttilfælde kan de også svare på sådanne spørgsmål. I den forbindelse kan de støtte deres svar på enkle ræsonnementer, der hviler på konkrete erfaringer. De forventes tillige at kunne kommunikere i dagligt talesprog og i tegnede billeder med kammerater og nære voksne om deres erfaringer og oplevelser med geometriske genstande og fænomener.

Hvordan udøves kompetencerne?

Hvilke komp. aktiveres?

Det fremgår heraf, at de grundlæggende træk af tankegangskompetence kommer til udtryk i sammenhæng med formuleringen af spørgsmål om geometriske genstandes navne og egenskaber. Modelleringskompetence kommer til udtryk i anskuelsen af geometriske objekter som idealiseringer af fysiske genstande, mens problemløsnings- og ræsonnementskompetencerne optræder i sammenhæng med undersøgelsen af grundlæggende geometriske fænomener og retfærdiggørelsen af de opnåede svar. Repræsentations- og hjælpemiddelkompetencerne kommer direkte i spil i forhold til selve den måde, eleverne møder geometriske genstande på, mens kommunikationskompetence direkte udøves i elevernes virksomhed i samarbejde med andre elever og i samtaler med voksne. Derimod synes symbol- og formalismekompetence ikke at have en selvstændig rolle i beskæftigelsen med geometri på dette trin.

8.5.2 Eksempel: Funktioner på 7.-9. klassetrin

Funktioner på 7.–9. klassetrin

Ved udgangen af 9. klasse forventes eleverne at kunne forstå, aktivere og udnytte funktionsbegrebet i almen form i internt matematiske sammenhænge og i forbindelse med diverse anvendelser af matematik, herunder modellering. I den forbindelse er de i stand til at vælge eller identificere de afhængige og de uafhængige variable i de betragtede forbindelser. Eleverne forventes tillige at kunne forstå, fortolke, udnytte og konstruere forskellige repræsentationer af funktioner, herunder regneforskrifter, tabeller, regneark m.v., og ikke mindst funktionsgrafer. Specielt forventes de aktivt at kunne omgås lineære funktioner, både algebraisk og grafisk, og at have kendskab til disse funktioners egenskaber og egenskabernes sammenhæng med de karakteristiske parametre for lineære funktioner. De kan i den forbindelse rejse, og ofte besvare, spørgsmål om tilstedeværelsen eller fraværet af proportionalitet og linearitet samt forholde sig til brugen heraf i matematisk modeller. Det indebærer bl.a., at eleverne i teori og praksis kan skelne mellem lineære og andre funktioner.

Hvordan udøves kompetencerne?

Hvilke komp. aktiveres?

For at kunne omgås funktionsbegrebet i almindelighed og lineære funktioner i sær deleshed må eleverne kunne aktivere tankegangskompetence. For at kunne formulere og løse "rene" eller "anvendte" problemer, hvori funktionsbegrebet indgår, må de besidde problemløsnings- og modelleringskompetence. For at kunne retfærdiggøre fortolkninger vedrørende påstande med et funktionsindhold, og for at kunne godtgøre rigtigheden af løsninger på problemer med et sådant indhold, må eleverne besidde et vist mål af ræsonnementskompetence. At repræsentationskompetencen står centralt i omgangen med næsten alle aspekter af funktionsbegrebet, også på dette trin, er åbenbart. Symbol- og formalismekompetence optræder navnlig i sammenhæng med manipulation af algebraiske (først og fremmest lineære) funktionsudtryk, til brug for fx ligningsløsning eller dragning af konklusioner af analytiskgeometrisk art. Hver gang elever på skrift, i tale eller med figurer skal vise, beskrive, forklare eller diskutere brugen, tilstedeværelsen eller egenskaberne ved en eller flere funktioner, aktiveres tydeligvis kommunikationskompetence. Hjælpemiddelskompetence spiller især en rolle, når eleverne benytter lommeregnere eller computere til visuel eller skemamæssig repræsentation af funktionsgrafer, variation af parametre, aflæsning af funktionsværdier, skæringspunkter m.v.

8.6 Overblik og dømmekraft i forhold til stofområder

For forbindelsen mellem kompetencer og stofområder gælder det som nævnt, at kompetencerne såvel kan udvikles som udøves i forhold til omgangen med stofområderne. På tilsvarende vis forholder det sig med forbindelsen mellem på den ene side overblik og dømmekraft og på den anden side stofområderne.

Udvikling og udøvelse af overblik og dømmekraft i forhold til mat. stofområder

Der er givetvis tale om, at overblik og dømmekraft udvikles (bl.a.) ved omgang med stofområderne, hvilket er et væsentligt spørgsmål for den konkrete undervisning. Omvendt vil udøvelsen af overblik og dømmekraft vedrørende henholdsvis matematikkens faktiske anvendelse, historiske udvikling og særlige karakter som fagområde bidrage til at motivere og farve beskæftigelsen med stofområderne og til at udbygge forståelsen af disses indretning og natur.

Måden, det sker på, afhænger både af trin og stofområde. Allerede udviklet overblik og dømmekraft vedrørende matematikkens anvendelse vil spille en rolle for beskæftigelsen med stofområder som aritmetik, funktioner, sandsynlighedsregning, statistik, diskret matematik og optimering. Overblik og dømmekraft vedrørende matematikkens historiske udvikling vil give fylde og støtte til beskæftigelsen med samtlige stofområder, ikke mindst talområderne, aritmetik, algebra, geometri, sandsynlighedsregning og infinitesimalregning. Sådan forholder det sig også med overblik og dømmekraft angående matematikkens særlige karakter, som bidrager til indsigt og forståelse for det centrale i stofområder som algebra, (deduktiv) geometri, infinitesimalregning og sandsynlighedsregning.

8.7 Pejlinger for naturlige fortsættelser af arbejdet

Invitation til videre udviklingsarbejde

Den struktur for samspillet mellem kompetencer og fagligt stof, som vi har lagt frem i dette kapitel, må ses som en invitation til et større analytisk udviklingsarbejde. I arbejdsgruppen har vi undervejs i arbejdet haft idéer til en række elementer, som bør indgå i en sådan fortsættelse af analysen, men som vi, inden for rammerne af dette projekt, kun har haft kræfter til at skitsere karakteren af.

"Udfyldelse" af cellerne i matricen

Den form for fortsat analyse, der mest umiddelbart byder sig til, handler om for hvert uddannelsestrin at "udfylde" alle de relevante celler i kompetence-stområdematricen. For hver celle handler det om at forsøge at svare på spørgsmål som

• Hvilken rolle bør denne kombination af kompetence og stofområde spille på dette uddannelsestrin?

• Hvis svaret er "ingen", da hvorfor? (Det giver med andre ord god mening også at kommentere de celler, som ved en første "udfyldning" af matricen efterlades tomme.)

• Hvis kombinationen har en rolle at spille, hvori består så det frugtbare ved netop denne kombination?

De to eksempler på udfyldelse af en celle, som vi har givet ovenfor, er tænkt som inspiration til et sådant arbejde.

Afvejning af indholdselementerne

En naturlig forlængelse heraf består i at afveje de forskellige indholdselementer i forhold til hinanden:

• Hvilke elementer bør veje tungt, og hvilke må nøjes med en mere beskeden rolle, givet at der er en endelig mængde tid og mentale kræfter til rådighed? (Man kan forestille sig "store" og "små" prikker i matricen - "enten eller" viser sig hurtigt at være en alt for firkantet tilgang.)

• Er der bestemte kompetencer, som på tværs af stofområderne bør have en særlig fremskudt placering på dette uddannelsestrin? Dette spørgsmål er dog til dels belyst i den VII af denne rapport.

• Gælder noget tilsvarende for bestemte stofområder?

Analyser af matricen søjleog rækkevis

De to sidste spørgsmål lægger op til at forlade "celleniveauet" og analysere matri cens enkelte søjler og rækker:

• Hvilke sammenhænge kan man forvente mellem måden, hvorpå en given kompetence kan/bør udvikles eller udøves i omgangen med de forskellige stofområder?

• Hvilke sammenhænge kan man forvente mellem måden, et givet stofområde bidrager til udviklingen af de forskellige kompetencer på?

I forhold til sidstnævnte spørgsmål kan man indledningsvis se på beskæftigelsen med et enkelt begreb: Hvordan kan arbejdet med (fx) begrebet "cirkel" tilrettelægges/ vinkles/udfordres, hvis man har et ønske om at bidrage til udviklingen af elevens ræsonnementskompetence? modelleringskompetence? hjælpemiddelkompetence? etc.

Uddannelsestrin som en tredje dimension

Alle de foregående typer overvejelser har kun forholdt sig til én given matrix og dermed ét givet uddannelsestrin. Den struktur, vi her har skitseret, er imidlertid tredimensional. Med matricen som udgangspunkt kommer uddannelsestrinnet således til at udgøre en tredje "dybdedimension", som kan være nærliggende at glemme. Analyser i denne dimension handler om langsgående stofområder og deres kompetenceforbindelser:

• Hvordan bør sammenhængen og udviklingen være på langs ad uddannelsessystemet mht. arbejdet med kompetence X i forhold til stofområde Y?

I forhold til KOM-projektets implementering er det måske det vigtigste spørgsmål af alle de her nævnte.

Denne side indgår i publikationen "Kompetencer og matematiklæring" som kapitel 8 af 11
© Undervisningsministeriet 2002