7. Matematiklæreres matematiske kompetencer

7.1 Generelle kommentarer

7.1.1 Uddannelsen af lærere til grundskolen

En professionsrettet uddannelse

I Danmark er uddannelsen til grundskolelærer en professionsrettet uddannelse. Det vil sige, at lærerstudiet er en specifik forberedelse (hos os desuden ved en særlig slags uddannelsesinstitution) til en bestemt profession, ikke et alment studium der bl.a. kan lede til ansættelse i grundskolen som én blandt en række erhvervsmuligheder.

De strukturelle rammer er nyttigt at diskutere

Som bekendt er dette ikke den eneste mulige måde at indrette en læreruddannelse på. Alternativt kan man, som tilfældet er i nogle lande og i Danmark ved uddannelsen af lærere for de gymnasiale uddannelser, have en mere eller mindre almen fagrettet uddannelse, som så gennem forskellige didaktiske, pædagogiske eller undervisningspraktiske tillægskomponenter kvalificerer til ansættelse som lærer. Der knytter sig mange store spørgsmål af kulturel, politisk, økonomisk, organisatorisk, didaktisk og pædagogisk art til en diskussion om indretningen og placeringen af læreruddannelserne. Det ville være nyttigt for det danske samfund at sætte en så- dan grundlæggende diskussion på dagsordenen, med skyldig hensyntagen til den tid, de kræfter og de ressourcer, der skal til, hvis diskussionen skal blive kvalificeret.

...men vi gør det ikke her

Vi har ikke set det som vores opgave i sammenhæng med dette projekt at tage hul på en sådan diskussion. Derfor tages de store organisatoriske linjer i indretningen og institutionstilknytningen af grundskolelæreruddannelsen for givet. Det er imidlertid vores vurdering, at betragtningerne i denne rapport vil være robuste over for selv ganske omfattende organisatoriske forandringer af læreruddannelsessystemet i Danmark.

Komp. har fuld dækningsgrad

Som tilfældet generelt er med matematikkompetencer på de højere trin af uddan nelsessystemet, er det vores opfattelse, at en grundskolelærer i matematik bør besidde de otte matematikkompetencer og de tre former for overblik og dømmekraft vedrørende matematik som fagområde med fuld dækningsgrad. Hermed er intet sagt om kompetencernes aktionsradius eller begrebslige og tekniske niveau. Der er som bekendt heller intet sagt om det faglige stof, kompetencerne skal udøves i forhold til. Det er en sag, som kræver selvstændig stillingtagen, sådan som det tages op i kapitel 8.

7.1.2 Uddannelsen af lærere til de gymnasiale og de videregående uddannelser

En almen universitetsuddannelse

Didaktiske momenter vinder indpas

Uddannelsen af lærere i matematik til de gymnasiale og videregående uddannelser i Danmark finder i alt væsentligt sted på universiteterne. I de seneste ca. fire årtier har det typisk forholdt sig sådan, at de kommende lærere til disse trin har modtaget en almen universitetsuddannelse med matematik som fag, hvor professionen som lærer blot har været én blandt flere muligheder for fremtidigt erhverv. Tidligere har uddannelserne kun i enkelte tilfælde (fx ved RUC og AAU) rummet momenter, der kunne forberede de studerende specifikt på en profession som lærer, men i de senere år har sådanne momenter i stigende grad vundet indpas ved universite terne i almindelighed. Samtidig er der sket en udvikling på pædagogikumfronten i retning af opgradering af ikke blot den undervisningspraktiske forberedelse til professionen, men også til dens fagdidaktiske sider, ligesom der fra Undervisningsministeriets side er formuleret visse indholdskrav til universitetsuddannelsen, som forudsætning for at få tildelt formel kompetence (i betydningen autorisation) som lærer i det almene gymnasium og hf. På HHX og HTX er ansættelsesgrundlaget noget bredere, og det er i vid udstrækning op til forstanderne at afgøre, hvad der skal til for at bestride undervisningen.

Ved universiteternes undervisning har der traditionelt ikke været nogen pædagogiske eller didaktiske krav til lærerne. Men i de senere år er der sket den ændring, at adjunkter skal gennemgå et særligt universitært pædagogikum for at kunne søge ansættelse som lektor.

De strukturelle rammer diskuteres ikke her

Også på de her betragtede områder er der mange, hver for sig fornuftige, mulig heder for at indrette uddannelsen af kommende lærere i matematik. Man kan både indrette fortræffelige uddannelser, hvor didaktisk-pædagogiske komponenter er en del af selve universitetsuddannelsen, og uddannelser, hvor sådanne komponenter først behandles i et efterfølgende forløb. Vi skal afstå fra at fremsætte synspunkter på, under hvilke strukturelle rammer didaktiske og pædagogiske komponenter bedst kan bringes i samspil med matematisk kompetence. Det afgørende er, som fremhævet i det foregående kapitel, at dette faktisk sker på seriøs vis.

Komp. har fuld dækningsgrad

Det giver sig selv, at også lærere på gymnasiale og videregående uddannelser med fuld dækningsgrad bør besidde de otte kompetencer og de tre former for overblik og dømmekraft vedrørende matematik.

7.1.3 Tilbage til det generelle

Komp. skal vise sig i undervisningen

Set i forhold til professionen som matematiklærer, uanset trin, skal kompetencerne først og fremmest komme til udtryk i sammenhænge og situationer, der aktuelt har, eller potentiel kunne få, relevans i forhold til matematikundervisningen. Vi har derfor valgt i den nedenstående gennemgang af lærerens matematikkompetencer at forbinde den komplette kompetencekarakteristik med kommentarer og eksempler, dels på lærerens egne kompetencer, og dels på lærerens udøvelse af den enkelte kompetence i forhold til sin profession som matematiklærer. Det sker bl.a. ud fra den forudsætning, at det giver sig selv, at matematiklærerens matematiske kompetence i alle dimensioner skal indbefatte kompetencerne hos de elever, han eller hun kan komme til at undervise, og at han eller hun derudover skal besidde et sådant kompetencemæssigt overskud, at han eller hun kan udøve de matematiklærerkompetencer, som er beskrevet i kapitlet herom. De eksempler, som fremdrages, er bevidst valgt, så de angår lærere ved forskellige undervisningstrin.

Fagligt overskud er essentielt

Ofte har man diskuteret, i hvilken grad matematiklæreren bør besidde fagligt overskud for at kunne varetage sin profession på tilfredsstillende vis. Det er jo ikke mindst et politisk og økonomisk spørgsmål om læreruddannelse og arbejdsforhold. Efter arbejdsgruppens opfattelse er det ikke desto mindre essentielt, at matematik lærerens faglige ballast rækker betydeligt ud over evnen til at undervise i det stof, der aktuelt er sat på dagsordenen på de enkelte uddannelsestrin, som det fx kommer til udtryk i gængse (og til tider kritisable) lærebøger. Kun gennem et betragteligt fagligt overskud, som vi her formulerer ved hjælp af de matematiske kompetencer, læreren bør besidde, kan denne blive i stand til at løfte de opgaver, matematiklærerprofessionen, som beskrevet ovenfor, rummer.

Uddannelsen af lærere i matematik har, uanset hvordan den konkret finder sted, til opgave at udstyre dem med nedennævnte matematiske kompetencer. Disse er, som sædvanlig, eksemplificeret hver for sig. Ud over de nedenfor anført eksempler, er også de eksempler, som i Del VII er anført i kapitlerne om grundskolen, det almene gymnasium og universitetsuddannelserne i og med matematik af relevans i denne sammenhæng.

Til slut skal det bemærkes, at vi nedenfor fortsat refererer til modtagerne af matematikundervisning som elever, også når der er tale om studerende.

7.2 Matematiske kompetencer hos matematiklærere

7.2.1 Tankegangskompetence

Karakteristik

Arten af spørgsmål og svar

Denne kompetence består for det første i at være klar over, hvilke slags spørgsmål som er karakteristiske for matematik, i selv at kunne stille sådanne spørgsmål, og i at have blik for hvilke typer af svar som kan forventes. Af særlig vigtighed er her matematikkens efterstræbelse af nødvendige og tilstrækkelige betingelser for et objekts besiddelse af en given egenskab.

Begrebers rækkevidde

Den består tillige i at kende, forstå og håndtere givne matematiske begrebers ræk kevidde (og begrænsning) og deres forankring i diverse domæner, i at kunne udvide et begreb ved abstraktion af egenskaber i begrebet, i at kunne forstå hvad der ligger i generalisering af matematiske resultater, og selv at kunne generalisere sådanne til at omfatte en større klasse af objekter.

Forskellige slags mat. udsagn

Denne kompetence omfatter også det at kunne skelne, både passivt og aktivt, mellem forskellige slags matematiske udsagn og påstande, herunder "betingede udsagn", "destinitioner", "sætninger", "fænomenologiske påstande" om enkelttilfælde, og "formodninger" baseret på intuition eller erfaringer med specialtilfælde. Af særlig betydning er her forståelsen af den rolle eksplicitte eller implicitte "kvantorer" spiller i matematiske udsagn, ikke mindst når de kombineres.

Didaktiske og pædagogiske kommentarer

Grundlæggende fagligt overblik

For at kunne arbejde som matematiklærer på et hvilket som helst undervisnings trin, som altid lægger op til anlæggelse af en række forskellige faglige synsvinkler, er det vigtigt at have en grundlæggende indsigt i, hvilke typer af spørgsmål og svar, som hører hjemme netop i undervisningsfaget matematik på det pågældende trin. Endvidere er det i forbindelse med fx igangsættelse af fagligt relevant virksomhed hos eleverne vigtigt ikke alene selv at kunne formulere sådanne spørgsmål og udtænke mulige svar, men også at have en fornemmelse af hvilke typer af svar, der kan forventes af elever på et givet trin.

Abstraktioner og generaliseringer

Ofte vil elevernes egne iagttagelser og resultater være knyttet til konkrete situatio ner og enkelttilfælde. Det er derfor vigtigt, at læreren med udgangspunkt i sådanne situationer og enkelttilfælde er i stand til at bringe arbejdet blandt eleverne videre, ved at kunne foretage begrebslige abstraktioner samt udlede og fremhæve generelle egenskaber og sammenhænge.

Skelne mellem typer af elevudsagn

Med henblik på at skabe klarhed i undervisning og læring, må læreren kunne af gøre, hvornår foreliggende betingelser optræder som nødvendige og/eller tilstrækkelige for et objekts besiddelse af en given egenskab. Endvidere er det væsentligt, at læreren er i stand til at afgøre, om elever fx er i færd med at navngive matematiske objekter eller med at udtale sig om egenskaber ved sådanne.

Eksemplificering

Karakteristiske undervisningsrelevante spørgsmål

Eksempler på karakteristiske undervisningsrelevante spørgsmål, som det er vigtigt, at læreren kan forholde sig til - og selv formulere, men ikke nødvendigvis besvare - kunne være:

A:	"Findes der brøker, som ikke kan omskrives til decimaltal?"
B:	"Nej."
A:	"Findes der decimaltal som ikke kan omskrives til brøker?"
B:	"Ja, fx p."
A:	"I en sædvanlig kasse er summen af de tre vinkler i et hjørne jo 270°. Er det altid tilfældet med et legeme 'bygget af' seks parallellogrammer?"
B:	"Nej. Man kan have vinkelsummen i et sådant '3-hjørne' lige så lille, det skal være, når blot summen er positiv, og lige så tæt på 360° det skal være, så længe summen er under - men ikke på - 360°."
A:	"Hvor mange rationale tal findes der, set i forhold til de naturlige tal?"
B:	"Lige så mange (når vi har truffet en bestemt beslutning om hvad lige mange betyder)."
A:	"Findes der, ligesom for 1. og 2. gradsligninger, en tilsvarende formel for løsningen af en generel n'te gradsligning?"
B:	"Nej, det gør der ikke."
A:	"Hvorfor kaldes de hyperbolske funktioner egentlig hyperbolske, og hvorfor indgår der cos, sin osv. i betegnelserne for dem?"
B:	"Det skyldes for det første, at der gælder den 'hyperbolske idiotformel' cosh2 x sinh2 x=1, som på den ene side viser, at punktet (cosh x sinh x) altid ligger på en hyperbel, og som på den anden side minder om den sædvanlige idiotformel for cos og sin (der forresten bevirker, at disse i visse sammenhænge kaldes cirkelfunktioner). For det andet er cosh1 = sinh, sinh1 = cosh, tanh1 x = osv. Disse geometriske og trigonometriske slægtskabsforbindelser er baggrunden for navngivningen."

Det er ligeledes vigtigt, at læreren er i stand til at klargøre, at fx ethvert realistisk forventeligt svar på et spørgsmål om befolkningens gennemsnitsindkomst et bestemt år må fremkomme ved beregning, altså ved en matematisk procedure, ikke ved måling. Heroverfor lægger et spørgsmål som "Hvornår var 1. verdenskrig?" eller "Hvor mange fuglearter findes der i verden?" op til svar bestående af tal, men hverken spørgsmålet eller svaret er karakteristiske for matematik.

Fagligt overskud

Som et eksempel på fagligt overskud i denne sammenhæng kan man nævne be hovet for, at læreren kan stille sig spørgsmål som "Hvorfor kan man tillade sig at udtage 30 10-stikprøver ud af en mængde på 10000 uden tilbagelægning, og så foretage beregninger ud fra en binomialfordeling, der jo forudsætter stikprøveudtagningen med tilbagelægning? Er det fordi 30 10-stikprøver udgør så lille en del af 10000, at det ikke spiller nogen rolle, om de lægges tilbage igen?" Et andet eksempel kunne være "Hvorfor er det egentlig, at man for sandsynligheder på uendelige sandsynlighedsfelter forlanger s-additivitet og ikke blot additivitet?".

Kender til, forstår og kan håndtere matematiske begrebers rækkevidde og begrænsning

Betydningen af at læreren kender til, forstår og kan håndtere matematiske begre bers rækkevidde og begrænsning, samt abstraktion, kan illustreres med en tænkt dialog mellem en lærer og en elev:

Her er et andet eksempel:

Et eksempel på gymnasieniveau på udvidelsen af matematiske begrebers rækkevidde har vi, når man går fra at definere sinus, cosinus og tangens for vinkler i retvinklede trekanter til vinkler placeret i en enhedscirkel, og siden til argumenter i R.

Fremme forståelsen af, hvad der ligger i generalisering

Når det gælder om at fremme forståelsen af, hvad der ligger i generalisering kunne læreren

• tage udgangspunkt i enkelteksempler som 1+3=4,3+6=9, og 6+10=16, og stimulere eleverne til at generalisere til formodningen "summen af to på hinanden følgende trekantstal er altid et kvadrattal".

• arbejde med generalisering (ikke nødvendigvis godtgørelse) af påstanden 0,99999... = 1 til T,99999... =T+1 for ethvert naturligt tal T.

• sætte sine elever til at undersøge, hvor mange af den reelle eksponentialfunktions egenskaber, der også gælder for den komplekse.

Skelne mellem forskellige slags matematiske udsagn

Det er vigtigt for læreren at kunne hjælpe eleverne til at skelne mellem forskellige slags matematiske udsagn, fx i forhold til at

• skelne mellem definitionen på højderne i en trekant og den sætning (korrekte påstand), at højderne i en trekant altid skærer hinanden i samme punkt. Og mellem denne påstand og påstanden (som ligeledes er korrekt) om, at også medianerne skærer hinanden i samme punkt.

• forstå at påstande som "Hvis -1< x< 1, må 1- x²>0" og "En funktion, der er differentiabel i et punkt, er også kontinuert i punktet" er formodninger indtil de er bevist.

• afgøre hvilke af påstandene der er hhv. nødvendige og tilstrækkelige i udsagn som "Da firkant ABCD er et parallellogram, halverer firkantens diagonaler hinanden" (at vide/indse at påstandene faktisk er ækvivalente, kræver specifikke geometriske kundskaber, som ikke kan indfanges alene af tankegangskompetencen) og "Eftersom vinklen v ligger i intervallet ]p/2, p[, har vi cos v =- Ö 1 -sin² v."

7.2.2 Problembehandlingskompetence

Opstille og løse problemer

Denne kompetence består dels i at kunne opstille, dvs. detektere, formulere, af grænse og præcisere forskellige slags matematiske problemer, "rene" såvel som "anvendte", "åbne" såvel som "lukkede", dels i at kunne løse sådanne matematiske problemer i færdigformuleret form, egnes såvel som andres, og om fornødent eller ønskeligt på forskellige måder.

Didaktiske og pædagogiskekommentarer

Egen fortrolighed

For at kunne igangsætte og lede læreprocesser af undersøgende, eksperimenterende og problemløsende art blandt eleverne er det i første omgang vigtigt, at læreren selv er fortrolig med sådanne processer. Erfaringsmæssigt finder mange lærer- og universitetsstuderende det til at begynde med vanskeligt at arbejde problemløsende, for ikke at tale om problemopstillende. På den baggrund bør formulering og løsning af matematiske problemer være et gennemgående træk i forberedelsen til matematiklærerprofessionen.

Hjælpe eleverne

Som tilrettelægger af undervisnings- og læringsaktiviteter må læreren kunne op stille og formulere problemstillinger og spørgsmål, som kan give anledning til problemløsende virksomhed hos eleverne. Det indgår heri i at kunne udpege, vælge, formulere og præcisere en mangfoldighed af matematiske problemer, som i forhold til forskellige elevgrupper kan give anledning til en sådan virksomhed. Det siger sig selv, at læreren selv skal være fortrolig med at løse sådanne problemer. Og i betragtning af, at eleverne ofte har meget forskellige forudsætninger, er det særlig betydningsfuldt, at læreren er i stand til at anlægge forskellige strategier over for behandlingen af et foreliggende problem, og til at hjælpe eleverne til at gribe det an fra en række forskellige vinkler, afhængigt af deres forudsætninger.

Eksemplificering

Løse færdigformulerede, lukkede problemer

Når det gælder evnen til at løse færdigformulerede, lukkede problemer med poten tiel anvendelse i matematikundervisningen, er det vigtigt, at læreren har en stor fond af erfaringer, også ud over hvad der (kan) tages op på det givne trin. Som eksempler herpå kunne nævnes:

• "Udtryk på talmæssig form forholdet mellem stykkerne i en linje AC opdelt af punktet B sådan, at forholdet mellem hele linjen og det største af stykkerne er det samme som forholdet mellem det største og det mindste af stykkerne" (det gyldne snit).

• "Hvad er mest fordelagtigt, ved køb af en vare med rabat, at få rabatten før eller efter tillæg af moms?"

• "Bestem summen af alle de firecifrede tal som kan dannes af forskellige cifre, valgt blandt 1,2,3,4,5,6,7,8,9."

• "Hvornår står den store og den lille viser første gang efter kl. 12 i direkte forlængelse af hinanden?"

• "Bestem dimensionerne i papirark i A-format, når disse er defineret ved, at A0 er 1 m², og ved, at A(N+1) fremgår af AN ved halvering vinkelret på den længste side."

• "Lad punktet P være et indre punkt i en halvcirkelskive. Konstruer P's projektion på diameteren med lineal alene."

• "Bestem alle funktioner f : R®R, som opfylder, at f(x)- f(y)<(x-y)² for alle x,y Î R."

• "En lærebog indeholder følgende opgave: 'Vi betragter en retvinklet trekant, hvis hypotenuse er 8, mens højden på den er 5. Hvad er arealet?' Opgaven indeholder en fejl. Find denne."

Formulering og præcisering af et problem

Et eksempel på lærerens formulering og præcisering af et problem, som kan danne udgangspunkt for eleveres undersøgende arbejde med flisemønstre, kunne være, "Hvad skal der gælde for en regulær polygon, hvis den skal udgøre det eneste grundelement i et dækkende flisemønster?", og videre "Hvad kan man fx sige om antallet af kanter i polygonen?".

En mere åben problemstilling som udgangspunkt for elevaktivitet kunne være spørgsmålet:

• "Hvor mange forskellige firkanter med arealet 2, kan der bygges på et sømbræt?"

• "Hvad vil være en hensigtsmæssig placering af et kulturhus på landet, når afstanden for beboerne i gårde og huse med kendt placering skal være så lille som mulig?" (et eksempel på en problemstilling, der kræver præcisering fra elevernes side).

• "Hvad kan man sige om forholdet mellem to på hinanden følgende tal langt ude i en såkaldt Fibonacci-følge a,b,a+b,a+2b,2a+3b,... ?"

Håndtere på flere forskellige måder

Som et eksempel på et rent og relativt lukket matematisk problem, som læreren bør have kompetence til at håndtere på flere forskellige måder, kunne nævnes:

• "Hvor stor en fejl begår man egentlig ved at tilnærme omkredsen af en cirkel med omkredset af en ligesidet n-kant?"

som fx kan præciseres til

• "Hvad er differensen mellem omkredsen af en cirkel med radius r og omkredsen af en indskrevet, ligesidet n-kant udtrykt ved hjælp af r og n, og hvornår er fejlen ved at erstatte cirklens omkreds med n-kantens omkreds mindre end fx 1%?"

Et andet eksempel på, at en række forskellige angrebsmåder kan komme på tale over for et opstillet problem, er at bede eleverne tage udgangspunkt i 1,2,3... n punkter i planen, hvoraf ikke tre ligger på samme linje, og søge svar på spørgsmålet "Hvor mange forskellige trekanter med hjørner i de n punkter kan der tegnes?". Her er det vigtigt, at læreren kan betjene sig af eller forholde sig til flere forskellige løsningsstrategier (simple optællinger, systematiserede optællinger, egentligt kombinatoriske tællemetoder, udledning af "mønstre" i antallet af trekanter for konkrete, stigende værdier af n).

Endnu et eksempel:

• "Anne er 8 år, og hendes mor er 38. De har fødselsdag samme dag. Hvilken alder har moderen, når hun er tre gange så gammel som datteren?"

Problemet kan enten løses ved opstilling af ligningen 38+ x= 3(x+8), hvor x er datterens alder; eller ligningerne y=3x og y-x=30, hvor y er moderens alder, x datterens. Man kan også vælge at tage udgangspunkt i den konstante aldersdifferens på 30 år og konstatere, at når moderen er 3 gange så gammel som datteren, må differensen være den dobbelte af datterens alder, som derfor må være 15 år. Lærerens problembehandlingskompetence bør også række til at assistere eleverne med at behandle udvidelser af den oprindelige problemstilling, fx til "Hvornår er moderen fem gange så gammel som datteren?".

7.2.3 Modelleringskompetence

Karakteristik

Modelanalyse

Modelbygning

Denne kompetence består på den ene side i at kunne analysere grundlaget for og egenskaberne ved foreliggende modeller og at kunne bedømme deres rækkevidde og holdbarhed. Hertil hører at kunne "afmatematisere" (træk ved) foreliggende matematiske modeller, dvs. at kunne afkode og fortolke modelelementer ogresultater i forhold til det felt eller den situation som er modelleret. På den anden side består kompetencen i at kunne udføre aktiv modelbygning i en given sammenhæng, dvs. at bringe matematik i spil og anvendelse til behandling af anliggender uden for matematikken selv.

Elementer i modelbygning

Aktiv modelbygning indeholder en række forskellige elementer. Først at kunne strukturere det felt eller den situation der skal modelleres. Dernæst at kunne gennemføre en matematisering heraf, dvs. en oversættelse af objekter, relationer, problemstillinger m.v. til et område af matematikken, resulterende i en matematisk model. At kunne behandle den opståede model, herunder løse de matematiske problemer den måtte give anledning til, samt at kunne validere den færdige model, dvs. bedømme dens holdbarhed både internt (i forhold til modellens matematiske egenskaber) og eksternt (dvs. i forhold til det felt og den situation modellen omhandler). Der indgår tillige at kunne analysere modellen kritisk, både i forhold til dens egen brugbarhed og relevans og i forhold til mulige alternative modeller, og at kunne kommunikere med andre om modellen og dens resultater. Endelig indgår det i aktiv modelbygning at have overblik over og kunne styre den samlede modelleringsproces.

Didaktiske og pædagogiske kommentarer

Analysere og vurdere andres brug af matematik

Det er væsentligt, at en matematiklærer kan igangsætte og lede elevers arbejde, så- vel med foreliggende modeller (fx fra skolebøger eller andre publikationer, fx artikler) som med aktiv modelbygning af enkle situationer. Læreren må derfor selv være i stand til at analysere og vurdere andres brug af matematik til anvendelsesformål og til selv at bringe matematik i anvendelse i forhold til problemstillinger og situationer i omverdenen.

Afkode og fortolke modeller og modelelementer

En væsentlig, men traditionelt også meget vanskelig, side af matematisk model lering i undervisningssammenhæng er elevers etablering og erkendelse af relationerne mellem på den ene side foreliggende modeller, eller elementer i sådanne, og på den anden side de situationer og omstændigheder som er modelleret. Det er derfor vigtigt, at læreren selv er fortrolig med at kunne afkode og fortolke modeller og modelelementer.

Beherske modelleringsprocessen

Når det gælder elevernes eget arbejde med matematisk modellering, vil det i mange situationer være nødvendigt eller hensigtsmæssigt at udvælge visse dele af modelleringsprocessen (fx afkodning af elementer i en foreliggende model i forhold til en given situation) som genstand for undervisning. Læreren må derfor selv beherske de delprocesser (strukturering af situationen, matematisering, fortolkning, validering osv.), der indgår i en modelleringsprocess, og han/hun må, med henblik på udvælgelse og vurdering af sværhedsgraden i de enkelte processer, også være i stand til at skabe sig overblik over den samlede proces i konkrete situationer.

Eksemplificering

Analysere grundlaget for og egenskaberne ved modeller

Når det gælder lærerens evne til at analysere grundlaget for og egenskaberne ved foreliggende (eller foreslåede) modeller af potentiel relevans for skolen, og at kunne bedømme deres rækkevidde og holdbarhed, kan man fx betragte rimeligheden af at benytte et "plat-og-krone"-baseret eksperiment til at simulere fordelinger af drenge og piger i børnefamilier. Eller binomialfordelingen b13 1 3 som grundlag for at vurdere chancen for forskellige typer af gevinst i tips.

Andre eksempler kunne være at forstå og bedømme grundlaget for at bruge den preskriptive body-mass-index model (BMI = vægt [kg]/(højde²[m²]) for undervægt, normalvægt, overvægt og fedme af mennesker. Eller de preskriptive modeller for takstsystemet for taxakørsel, frankeringstakster på breve, satssystemet for indkomstskat, fastlæggelse af den effektive rente ved obligationskøb m.m.m.

Afmatematisering af en model

Et eksempel på afmatematisering af en model kunne være at fortolke sammenhæn gen mellem nedbør og vindforhold ud fra en korrelationskoefficient, der er beregnet ud fra observationer af vindforhold og nedbør gennem en bestemt periode. Eller at kunne udrede relationen mellem, på den ene side, elementerne i formlen

og, på den anden side, en annuitetsopsparing.

Bedømmelse af foreliggende matematiske modellers egenskaber er af særlig betydning for en reflekteret vurdering af deres holdbarhed. Som fx følsomheden over for ændringer af de indgående parametre af Danmarks Statistiks model for en langtidsbefolkningsprognose for Danmark.

Aktiv modelbygning

Hvad angår aktiv modelbygning, kan man fx tænke sig projektprægede aktiviteter, der tager udgangspunkt i følgende eksempel:

A's bil har en aktuel værdi på 20000 kr. Skal den bringes i en forsvarlig stand, må den repareres for ca. 10000 kr., hvorefter den formodentlig kan holde i to år endnu. Er det en god løsning at få den repareret, eller skal A hellere købe en ny bil straks? Her indbefatter modelbygningen det at kunne

• strukturere en situation, der her består i at identificere de afgørende komponenter af betydning for modelbygningen, såsom af priser på ny biler, lånebetingelser, afskrivning på hhv. nye og gamle biler osv..

• gennemføre en matematisering af situationen og en behandling af denne, der her kunne bestå i at beregne udgifter for de næste to år for hhv. en ny og en gammel bil, og beregne værdiforringelse efter to år på begge biler og sammenligne disse beregninger.

• validere modellen ved fx at vurdere om der undervejs er sket uhensigtsmæssige forenklinger.

• analysere modellen kritisk, fx ved at vurdere mulighederne for yderligere reparationsomkostninger på den gamle bil, inddrage spørgsmål om benzinforbrug, sikkerhed, behagelighed m.m..

• kommunikere med andre om modellen og dens resultater, fx ved at kunne redegøre for problemstillingen, den valgte undersøgelsesform, og ved at være i stand til at begrunde konklusionen med inddragelse af relevante forbehold for rækkevidden af den.

Andre eksempler kunne være opstilling af en model til besvarelse af spørgsmål som

• "Hvor langt er der til horisonten, når man står og ser ud over havet?"

• "Hvor høj er 'denne' skorsten?"

• "Hvordan kan grundplanen for et hus se ud, hvis dets areal skal være 120 m2?"

• "Hvor dyrt er det at tale i mobiltelefon?"

• "Er det muligt, at gennemsnitsalderen i en befolkning er 35 år, samtidig med at mindst 40% af befolkningen er 60 eller derover?"

• "Bagerkasser er foldet/udskåret af et rektanguært stykke karton. Ved hvilke dimensioner af en sådan kasse rummer den mest?"

7.2.4 Ræsonnementskompetence

Karakteristik

Følge og bedømme ræsonnementer

Forstå hvad et bevis er

Denne kompetence består på den ene side i at kunne følge og bedømme et mate matisk ræsonnement, dvs. en kæde af argumenter fremsat af andre på skrift eller i tale til støtte for en påstand, specielt at vide og forstå hvad et matematisk bevis er, og hvordan det adskiller sig fra andre former for matematiske ræsonnementer, fx heuristiske ræsonnementer hvilende på intuition eller på betragtning af specialtilfælde, og at kunne afgøre hvornår et matematisk ræsonnement faktisk udgør et bevis, og hvornår ikke. Heri indgår at forstå den logiske betydning af et modek sempel. Det indgår tillige i kompetencen at kunne afdække de bærende idéer i et matematisk bevis, herunder skelne mellem hovedpunkter og detaljer, mellem idéer og teknikaliteter.

Udtænke og gennemføre

På den anden side består kompetencen i at kunne udtænke og gennemføre infor melle og formelle ræsonnementer (på basis af intuition), herunder omforme heuristiske ræsonnementer til egentlige (gyldige) beviser.

Didaktiske og pædagogiske kommentarer

Sætte sig ud over egne argumenter

Generelt er det en meget central del af en (matematik)lærers virksomhed at kunne sætte og leve sig ind i elevers måde at tænke og, ikke mindst, ræsonnere på. Når eleverne skal lære at foretage selvstændige matematiske ræsonnementer af den art, som omfattes af ræsonnementskompetencen, er det således vigtigt, at læreren er i stand til at sætte sig ud over sine egne argumenter, både med henblik på at følge, karakterisere, kommentere og bedømme elevernes ræsonnementer, og med henblik på at hjælpe dem til at udvikle deres matematiske ræsonneringsformåen.

Omforme og skærpe ræsonnementer

I den daglige undervisning vil elevernes ræsonnementer og slutninger ofte være fragmentariske. For at sådanne elevbidrag skal kunne indgå konstruktivt i den videre undervisning, er det vigtigt, at læreren med overblik og fleksibilitet er i stand til eventuelt at omforme og skærpe ræsonnementerne og på passende steder bringe elementer af egentlig bevisførelse ind i billedet.

Beviser

I grundskolen er det ikke altid muligt eller aktuelt at føre egentlige beviser for matematiske påstande. I stedet forklares, illustreres og sandsynliggøres mange påstande. I den forbindelse er det essentielt, både at læreren selv er i stand til at skelne mellem, hvornår et ræsonnement har karakter af et bevis, og hvornår der "blot" er tale om en god forklaring eller illustration, og at han/hun er i stand til at hjælpe eleverne til at foretage en sådan skelnen.

Der er i grundskolen grænser for, hvor dybtgående og detaljeret man kan arbejde med matematisk bevisførelse. Det er derfor væsentligt, at læreren i undervisningen kan fokusere på og formidle grundlæggende idéer ved beviser uden nødvendigvis at medtage alle detaljer. Det kræver, at han/hun i disse sammenhænge er i stand til at afdække bærende idéer og til at styre, i hvilket omfang mere tekniske sider af et bevis skal indgå i undervisningen i en konkret sammenhæng.

Op igennem de gymnasiale og de videregående uddannelser optræder behandling af beviser og aktiv bevisførelse med stigende intensitet og vægt. Her er det bl.a. en vigtig opgave for læreren at hjælpe eleverne med at forstå og tage stilling til, hvornår et bevisforslag er korrekt og fuldstændigt på det foreliggende grundlag.

Eksemplificering

Følge og bedømme matematiske ræsonnementer

En lærers evne til at kunne følge og bedømme elevers matematiske ræsonnementer kunne fx illustreres med følgende tænkte dialog med en elev:

Lærerens egen kompetence skulle gøre det muligt for ham/hende at fortsætte dialogen således, selv om den næppe kunne finde sted i mange grundskoleklasser:

Hvis nu 9 går op i T, som vi forudsatte, har vi i alt at

Men det viser, at tallet kan skrives som 9 gange et naturligt tal. Med andre ord går 9 op i tallet. Havde vi nu set på 3 i stedet, havde vi kunne argumentere lige sådan. For 3 går jo op i 9×(11a₂+a₁) (det går jo op i 9), og hvis 3 også går op i T, går det altså op i det samlede tal."

Lærerens evne til at aktivere et modeksempel på "sokratisk" vis er centralt i første del af denne dialog. Noget tilsvarende kunne forekomme med et tænkt elevforslag om, at hvis to trekanter har en vinkel, en hosliggende og en modstående side fælles, må de være kongruente.

Forstå hvad et bevis er og hvornår noget ikke er et bevis

At bringe eleverne i stand til at forstå hvad et bevis er og til at kunne afgøre, hvor når et matematisk ræsonnement faktisk (ikke) udgør et bevis, kan eksemplificeres ved at bede eleverne udpege - og om muligt rette - fejlene i ræsonnementerne

• "Det forholder sig sådan, at knap 70% af befolkningen ikke kommer på bibliotekerne, nemlig 39% af mændene og 30% af kvinderne."

• "Undersøgelser viser, at 60% af gymnasieeleverne er piger. Med andre ord går 60% af pigerne i de berørte aldersgrupper i gymnasiet."

• "Der gælder at 1=0. Vi har nemlig formlen (a+b)( a-b)=a²- b², og hvis vi her dividerer på begge sider med a-b, får vi jo a+b=(a²-b²)/_(a-b).
  Tager vi nu a= b-=½, er venstresiden åbenbart 1 (eftersom ½ + ½ = 1), mens højresiden åbenbart er 0, fordi tælleren er 0. Der gælder jo, at a²- b²= 0, når a=b. Ergo er 1=0." (Ræsonnementet er forkert fordi a- b=0, når a= b, og det er forbudt at dividere med 0. Undertrykkelsen af dette problem er pointen i "snyderiet").

Et andet eksempel kunne være at vise, hvor og hvordan et klassisk geometrisk bevis for, at de tre højder eller de tre medianer i en trekant skærer hinanden i samme punkt, adskiller sig fra en illustration fremskaffet ved et dynamisk geometriprogram på en computer.

Afdække de bærende idéer i et (korrekt) bevis

Lærerens evne til at assistere eleverne med at afdække de bærende idéer i et (kor rekt) bevis kan illustreres således:

• "Gauss' bevis for at 1+2+...+n=½n(n+1) hviler på den idé, at man kan bestemme summen ved hjælp af en ligning. Ved at lægge tallet n+...+2+1 til venstresiden fås dels den søgte sum to gange, dels n parenteser hver bestående af to tal, hvis sum er n+1. At udnytte dette til at udtrykke summen er derefter teknik (multiplikation af n med n+1 efterfulgt af løsning af en enkel ligning)."

• "Der findes mange forskellige beviser for algebraens fundamentalsætning (som siger, at ethver komplekst polynomien har en (kompleks) rod). Et af de mest gængse hviler på den idé, at et n'te grads polynomium P(z), opfattet som (kontinuert) kompleks funktion, må opfylde, at |P(z)| går mod ¥ for z gående mod .Uendelighedstegn. Det bevirker, at der findes en afsluttet cirkelskive S={z|| z|< r}, sådan at P uden for denne udelukkende antager værdier, som er numerisk større end en passende positiv konstant. Den kan altså ikke have nogen rødder uden for cirkelskiven. På S, som er kompakt, antager P , der jo er kontinuert, en mindsteværdi. Var nu denne mindsteværdi positiv, kan man opnå en modstrid med de foreliggende fakta, idet man samtidig kan indse - men det kræver lidt teknik - at inf {|P(z)||zÎS}=0. Ergo, må den antagne mindsteværdi være 0, hvilket viser, at P har en rod i S og dermed i C."

Endelig kan lærerens rolle ved selvstændig bevisførelse, fra heuristik til formelt bevis, illustreres med bestræbelser på at bevise følgende påstande:

• "Summen af to på hinanden følgende trekanttal er altid et kvadrattal."

• "7 må være den hyppigst forekommende sum af øjnene i et kast med to terninger", og at præcisere de forudsætninger påstanden og beviset hviler på.

• "Antallet af permutationer af et sæt genstande må være større end antallet af kombinationer af det samme sæt" (et eksempel på at et korrekt bevis ikke behøver at kræve symbolske manipulationer).

• "Der findes uendeligt mange rektangler, hvor omkredsen og arealet har den samme værdi. Alle sådanne rektangler må have sidelængder, der begge er større end 2."

• "Vi har et stykke kvadratisk papir ABCD, som foldes over en normal gennem midtpunkt M af siden BC. Derefter foldes papiret over en endnu ubestemt skrå linje, sådan at hjørnet A ender i M. Foldningslinjen går gennem et punkt F på siden AB. Derved dannes en retvinklet trekant DFBM. Denne trekant er altid en 3-4-5-trekant."

• "De funktioner f : R®R, der opfylder uligheden

f(x)-f(y)<(x-y)²

for alle x,y ÎR er netop de konstante funktioner."

• "De tre medianer i en vilkårlig trekant har et fælles skæringspunkt" opbygget som et geometrisk bevis, fx med udgangspunkt i iagttagelser af enkelttilfælde.

7.2.5 Repræsentationskompetence

Forstå og betjene sig af forskellige repræsentationer

Vælge og oversætte mellem repræsentationer

Denne kompetence består dels i at kunne forstå (dvs. afkode, fortolke og skelne mellem) og betjene sig af forskellige slags repræsentationer af matematiske objekter, fænomener, problemer eller situationer (herunder symbolske, specielt algebraiske, visuelle, geometriske, grafiske, diagrammatiske, tabelmæssige eller verbale repræsentationer, men også konkrete repræsentationer ved materielle objekter), dels i at kunne forstå de indbyrdes forbindelser mellem forskellige repræsentationsformer for det samme sagsforhold og have kendskab til deres styrker og svagheder, herunder informationstab og -tilvækst, dels i at kunne vælge blandt og oversætte imellem forskellige repræsentationsformer for et givet sagsforhold, alt efter situation og formål.

Didaktiske og pædagogiske kommentarer

Spredningen i elevernes forudsætninger

Hvis en lærer skal varetage kvalificeret matematikundervisning, er det vigtigt, at han/hun, med henblik på at kunne tilgodese en sammensat elevgruppes meget forskellige baggrunde og forudsætninger, kan belyse og behandle matematiske begreber, emner og problemstillinger på mange forskellige måder og iværksætte elevvirksomhed på det grundlag. En vigtig forudsætning for dette er, at læreren selv har kendskab til og kan betjene sig af et bredt spektrum af matematiske repræsentationer, og at han/hun kan forholde sig til og bidrage til udviklingen af elevernes brug af sådanne repræsentationer.

Vurdere repræsentationsformers styrker og svagheder

Lærerens repertoire af repræsentationsformer er imidlertid ikke kun væsentlig i for hold til spredningen i elevernes forudsætninger. Det er også vigtigt at kunne bringe en række repræsentationer i spil med henblik på belysning af et givet sagsforhold, og i den forbindelse at kunne vurdere repræsentationernes styrker og svagheder, bl.a. med det formål at kunne prioritere imellem dem, også i en undervisningssammenhæng.

"En rød tråd" i undervisningen

Af vigtighed er det tillige, at læreren i forhold til den ofte brogede elevskare, og af hensyn til den alsidige belysning af begreber og emner, formår at skabe og bevare "en rød tråd" i undervisningen ved at knytte forbindelser mellem de forskellige repræsentationsformer.

Eksemplificering

De første år af grundskolen

Et eksempel af relevans for de første år af grundskolen på denne kompetence kunne være lærerens evne til, over for eller sammen med eleverne, at .nde repræsentationer af naturlige tal i form af tegnede streger, prikker o.a., eller klodser af ens form og størrelse, eller opskrivning af tal i positionssystemet ved hjælp af cuisenairestænger, centicubes, kuglerammer eller lignende og ved hjælp af symboler i sædvanlig hindu-arabisk notation, romertal, m.v., samt ved verbal repræsentation (eks. fem-millioner-ethundredeogseksogtyvetusindenihundredeogsyvogtredive).

Et andet eksempel fra mindre børns verden er tidsangivelser, hvor viserure og digitalure leverer ækvivalente, men helt forskellige repræsentationer af det samme klokkeslet.

Længere fremme i uddannelsessystemet

Længere fremme i uddannelsessystemet kunne sagen dreje sig om at forstå og håndtere forskellige repræsentationer af objektet ð og forbindelserne imellem dem. Objektet kan repræsenteres såvel ved selve dette symbol, fx på en lommeregner, som ved en uendelig decimalbrøk 3,14159265... , eller en rational tilnærmelse (med deraf følgende unøjagtighed) med fx brøkerne 22/7 eller 223/71. Men p kan også repræsenteres geometrisk som omkredsen af en cirkel med diameter 1. På videregående trin er p fx repræsenteret som summen af forskellige uendelige rækker, eller som en værdi dannet ud fra diverse omvendte trigonometriske funtioner, fx 4arctan 1. I sådanne forbindelser er det vigtigt, at læreren kan bidrage til, at det bliver klart for eleverne, hvilken repræsentation der kan være på tale, når de i forskellige sammenhænge stilles over for andres påberåbelse af objektet p.

Et andet eksempel kunne være at skelne mellem og sammenholde repræsentationerne af en parabel som henholdvis grafen for et andengradspolynomium, et plant geometrisk sted givet ved ledelinje og brændpunkt, og et bestemt snit i henholdsvis en matematisk kegle og i en lyskegle, fx frembragt af en lommelygte holdt i en passende stilling i forhold til en væg.

Forstå og håndtere indbyrdes forbindelser

Som et gennemgående eksempel på betydningen af at kunne forstå og håndtere de indbyrdes forbindelser mellem forskellige repræsentationsformer for det samme sagsforhold, og at kunne pege på deres respektive styrker og svagheder, kan nævnes repræsentation af funktioner ved regneforskrifter, grafer, tabeller, regneark osv.

En illustration kan være en funktion, der, repræsenteret på forskellig vis, beskriver udviklingen af et bankindlån på 100 kr. forrentet med 5% p.a.:

- Som tabel:

- Som regneforskrift: f(x)=100×1,05^x.

- Som en eksponentielt voksende graf.

- I et regneark baseret på den frembringende rekursive relation f (x+1)= f(x)×1,05.

En beslægtet illustration kan være, at læreren i en given sammenhæng kan vurdere brugbarheden af, og om ønskeligt vælge imellem, den direkte formel y=G×^r /^[1-(1+r)-n] og rekursionsformlen G_ny= G_gl +G_gl × r-y til at repræsentere vigtige sammenhænge mellem de centrale størrelser i en gældsannuitet.

Konsolidere forståelsen af mat. resultater

Et eksempel på, at vekslingen mellem repræsentationer af læreren kan bruges til at konsolidere forståelsen af matematiske resultater, er sammenhængen mellem omskrivninger som (a+b)²⁼a²+b²+2ab og arealbetragtninger baseret på opdeling af et kvadrat med siden a+b i delkvadrater ogrektangler.

På tilsvarende måde kan uligheden mellem de geometriske og det algebraiske gennemsnit af to ikke-negative tal x y illustreres geometrisk på følgende måde: Afsættes x og y som linjestykker i forlængelse af hinanden, tegnes en halvcirkel med det sammensatte stykke som diameter, og oprejses normalen til diameteren i delepunktet mellem linjestykkerne til skæring med cirkelperiferien i punktet P, opstår en retvinklet trekant. Højden h fra P er mellemproportional mellem x og y, dvs. h er netop det geometriske gennemsnit af x og y. Højden er åbenbart højst radius i cirklen, altså . Dermed gælder, at . Det er just indholdet i uligheden for to variable. Dette eksempel er tillige velegnet til at diskutere fordele og ulemper ved sådanne repræsentationer i forhold til hinanden.

7.2.6 Symbol- og formalismekompetence

Afkode, oversætte og behandle symbolholdige udsagn

Formelle matematiske systemer

Denne kompetence består dels i at kunne afkode symbol- og formelsprog, i at kunne oversætte frem og tilbage mellem symbolholdigt matematisk sprog og naturligt sprog, og i at kunne behandle og betjene sig af symbolholdige udsagn og udtryk, herunder formler. Dels i at have indsigt i karakteren af og "spillereglerne" for formelle matematiske systemer (typisk aksiomatiske teorier).

Didaktiske og pædagogiske kommentarer

Afkode symbol- og formelsprog

På alle trin skal læreren gennem egne beskrivelser, forklaringer, illustrationer og konkretiseringer, såvel som gennem skabelse af situationer for elevvirksomhed, kunne støtte elevernes arbejde med mere eller mindre abstrakte symbolholdige udtryk. Som grundlag for det må læreren naturligvis selv være fortrolig med at kunne afkode symbol- og formelsprog.

"Oversætte"

Dette må i høj grad bygge på lærerens og elevernes brug af naturligt sprog. Derfor er det væsentligt, at han/hun er i stand til selv at oversætte frem og tilbage mellem symbolholdigt matematisk sprog og naturligt sprog, og til at kunne stimulere elevernes tilsvarende oversættelser.

Opstille, omforme og anvende symbolholdige udtryk

At opstille, omforme og anvende (herunder fortolke) symbolholdige udtryk er erfaringsmæssigt særdeles vanskeligt for mange elever på næsten alle trin. For at kunne forstå eleverne og deres ofte meget forskellige vanskeligheder, og for at kunne hjælpe dem med at overvinde disse, må læreren selv kunne håndtere sådanne udtryk med betydelig sikkerhed og overskud, og med et overblik der gør ham/hende i stand til at handle fleksibelt og effektivt i undervisningssituationerne. Dette er der ikke mindst brug for, når læreren skal kunne forstå, assistere og stimulere elever, som har et vaklende eller uortodokst, opfindsomt, eller måske ligefrem skabende, forhold til symbolske manipulationer.

Spillereglerne for formelle mat. systemer

Betydningen af, at læreren har indsigt i karakteren af og spillereglerne for for melle matematiske systemer, ligger på grundskoletrinnene først og fremmest i, at læreren har brug for at kunne trække på viden om, hvad der "i sidste instans" kan danne grundlaget for de matematiske begrebsdannelser, som er på dagsordenen i grundskolen. På videregående trin er sådanne systemer selv genstand for undervisning, hvorfor læreren selvsagt også må besidde de træk ved kompetencen, som angår formelle matematiske systemer.

Eksemplificering

Det elementære plan

På det elementære plan er det væsentligt, at læreren kan hjælpe eleverne med at komme til klarhed over vilkårene for omgang med tal og talbehandling, inklusive aritmetiske udregninger. Det kan dreje sig om

• at bringe dem til forstå positionssystemet i opskrivningen og aflæsningen af tal som 406.

• konventionerne i at man ikke har lov til at skrive 6+ ×5 eller 6- -3 (mens 6+ +3 ikke er meningsløst, men dårlig syntaks).

• at 5×(3+4) ikke er det samme som 5×3+4.

• at (2³)⁴ ikke er det samme som 2 opløftet til 3⁴, men det samme som 2¹², og generelt, at x^yz pr. konvention betyder x(y^z).

• at 4<7 er et udsagn og ikke et udtryk.

• hvad der menes med n!, med 7/9 eller med 7,423423423....

• hvorfor man ikke (i skolen!) kan uddrage kvadratroden af et negativt tal, mens dette bliver muligt inden for de komplekse tal.

Senere trin

På senere trin kan det dreje sig om for læreren at få eleverne til at forstå spillereg lerne for omgang med koordinatsystemer, hvilket fx indebærer at kunne

• Fortolke {(x,y)|x=t,y=3t-7,t ÎR} som mængden af alle reelle talpar, hvor førstekoordinaten antager en vilkårlig reel værdi, mens andenkoordinaten er bundet til at være netop tre gange denne værdi, minus 7.

• Analysere funktionsforskriften f (x)=ax²+bx+c algebraisk for alle koefficientsæt a, b og c med henblik på at kunne udtale sig om, hvilken betydning koefficienterne har for funktionsgrafens beliggenhed i et koordinatsystem.

Af særlig betydning er lærerens evne til at få eleverne til at forstå, at bortset fra hvad der gælder nogle få faste symboler, er der ret frit slag med symbolsk navngivning af matematiske størrelser, når blot forskellige størrelser ikke kaldes det samme, og den samme størrelse (helst) ikke kaldes noget forskelligt i den samme symbolsammenhæng. Men også at det ikke desto mindre er nogle i princippet helt tilfældige konventioner, som gør, at bestemte slags størrelser ofte kaldes noget bestemt, som når koefficienter, konstanter og parametre gerne navngives med bogstaver i begyndelsen af alfabetet, mens variable kaldes x, y, z, osv. Det er imidlertid væsentligt for lærere også at kunne håndtere situationer, hvor der helt brydes med disse konventioner.

"Oversætte"

Oversættelse mellem symbolholdigt matematisk sprog og naturligt sprog kan illu streres med lærerens klarlæggelse af

• at identiteten (a+b)( a- b)= a²- b² både udsiger at to vilkårlige tals sum gange de samme to tals differens er lig differensen mellem tallenes kvadrater, og - omvendt - at differensen mellem to tals kvadrater er det samme som produktet af tallens sum og differens.

• at P(n,r)=K(n,r)×r! udsiger, at antallet af måder, hvorpå r elementer kan udtages blandt n, sådan at der tages hensyn til elementernes rækkefølge, er det samme som antallet af måder, hvorpå man kan udtage r elementer blandt de n, uden hensyn til rækkefølgen, multipliceret med antallet af måder hvorpå r elementer kan omordnes i forskellige rækkefølger.

• at formlen K(n,r)=K(n,n-r) blot udtrykker at antallet af valg af r elementer blandt n stks er det samme som antallet af (fra)valg af n-r blandt de n.

• i naturligt sprog at kunne forklare, hvad formler som

udtrykker, og hvad der er forskellen på

Et udbredt problem på gymnasiale og videregående trin er elevers tendens til ubekymret og jævnt hen fejlagtig brug af logiske symboler til at skabe forbindelse mellem matematiske udsagn på symbolsk eller dagligsproglig form. Noget lignende gør sig gældende med symboler hentet fra mængdelæren. Læreren bør være i stand til at hjælpe eleverne til at nærme sig en korrekt og hensigtsmæssig anvendelse af sådanne symboler.

Behandling og udnyttelse af symbolholdige udsagn og udtryk kan fx bestå i, at læreren ved hjælp af egnede spørgsmål kan hjælpe en elev frem til

• ud fra formlen for volumenet af en cirkulær cylinder -V=p× r2× h - at kunne afgøre, hvorvidt en fordobling af radius eller af højden giver anledning til den største ændring af volumenet.

• at kunne omforme andengradsligningen ax²+bx+c=0 således, at de eventuelle løsninger

fremkommer.

• generelt at kunne genkende ò f(g(t))g¹(t) dt som funktionen t®F(g(t)), hvor F er en stamfunktion til f , og specielt, at (forudsat, at de optrædende integrander er integrable).

Omgang med formelle mat.systemer

Endelig kan lærerens evne til at hjælpe eleverne med at omgås formelle matema tiske systemer illustreres ved vilkårene og reglerne for omgang med de reelle tal, herunder med behandling og løsning af ligninger og uligheder, og med indsigt i, hvad det vil sige at foretage geometriske konstruktioner på grundlag af Euklids aksiomer, herunder forståelse af i hvilken forstand (ikke hvorfor!) det er umuligt at tredele en vinkel med passer og lineal. For øvrigt kan aksiomatisk euklidisk geometri tjene som et eksempel på en matematisk formalisme, som ikke behøver at være bragt på symbolsk form.

7.2.7 Kommunikationskompetence

Forstå og fortolke udsagn og tekster

Udtrykke sig om mat.

Denne kompetence består dels i at kunne sætte sig ind i og fortolke andres matema tikholdige skriftlige, mundtlige eller visuelle udsagn og "tekster", dels i at kunne udtrykke sig på forskellige måder og på forskellige niveauer af teoretisk eller teknisk præcision om matematikholdige anliggender, skriftligt, mundtligt eller visuelt over for forskellige kategorier af modtagere.

Didaktiske og pædagogiske kommentarer

Det er i sagens natur en helt central kvalifikation hos en lærer, at han/hun er i stand til at indgå i et kommunikativt fagligt samspil med eleverne.

Sætte sig ind i og fortolke

Selv kunne udtrykke sig

Det betyder for det første, at læreren må kunne sætte sig ind i og fortolke såvel skriftlige som mundtlige udsagn fra eleverne; herunder må han/hun være i stand til at forholde sig til forskellige elevers udtryksformer, som kan variere meget med hensyn til fx sprogbrug, teoretisk niveau og præcision. For det andet betyder det, at læreren selv må være i stand til at udtrykke sig om matematiske anliggender på va rieret måde, såvel skriftligt og mundtligt som visuelt, idet han/hun søger at tilpasse udtrykket til eleverne og til de øvrige omstændigheder i undervisningssituationen. Variationen må blandt andet omfatte faglig sprogbrug og dens præcisionsniveau, kombination eller vekslen mellem tekst, tale, visuelle illustrationer, og andre former for udtryk.

Derudover er det vigtigt, at læreren kan hjælpe eleverne til at udvikle og udbygge deres kommunikationskompetence ved at gøre forskellige kommunikationsformer og -midler til genstand for undervisning.

Vurdere uv.-materialer

Læreren må tillige være i stand til at vurdere fremstillingen og kommunikations kvaliteten af faglige emner i diverse slags undervisningsmaterialer, ikke mindst i lærebøger.

kommunikere med kolleger og andre

Endelig er det vigtigt, at læreren kan kommunikere på fleksible måder med kolleger i og uden for faget og med fx forældre om matematikundervisningens perspektiver, problemstillinger, indhold og metoder.

Eksemplificering

Kommunikere med elever

Til illustration af lærerens evne til at kommunikere med elever om basale matema tiske anliggender kunne man fx tænke sig følgende dialog udspille sig mellem en lærer og en elev på de sene trin i grundskolen:

Man kunne forestille sig analoge dialoger om, hvorfor kvadratroden af et positivt tal a altid er positivt, skønt ligningen x²⁼ a har både positive og negative løsninger, om hvorfor det er forbudt - i skolen - at operere med kvadratroden af et negativt tal, om hvorfor generelle potensfunktioner kun er defineret for positive værdier, når der ikke er noget problem med at uddrage kubikroden af ethvert reelt tal.

Sætte sig ind i andres mundtlige udsagn

Et eksempel på behovet for, at læreren kan sætte sig ind i andres mundtlige udsagn kunne være: "1 dm³ er det samme som 1 liter. Når der skal 1000 cm³ til 1 dm³, hvorfor skal der så ikke 1000 cL, men kun 100 cL til 1 liter?", hvor læreren skal kunne gå i dialog med eleverne om betydningen af "deci", "centi". "milli" osv. i forhold til forskellige enhedssystemer.

Udtrykke sig på forskellig måde

En illustration af det, at læreren kan udtrykke sig på forskellig måde, kunne bestå i, at læreren på sene klassetrin kan referere til kommutativiteten af multiplikation, mens han/hun i 3. klasse ville omtale det samme fænomen med dagligsproglige udsagn som "det er lige meget, hvad vi tager først, når vi ganger to tal", belyst med forklarende eksempler, fx støttet af tegninger. På videregående trin kan læreren omtale det bestemte integral som en lineær funktional, mens man i gymnasiet vil indskrænke sig til at konstatere, at

7.2.8 Hjælpemiddelkompetence

Kende muligheder og begrænsninger ved og kunne betjene sig af hjælpemidler

Denne kompetence består dels i at have kendskab til eksistensen og egenskaberne ved diverse former for relevante redskaber til brug for matematisk virksomhed, og have indblik i deres muligheder og begrænsninger i forskellige slags situationer, dels i at være i stand til, på reflekteret vis, at betjene sig af sådanne hjælpemidler.

Didaktiske og pædagogiske kommentarer

Eftersom det er en af matematikundervisningens opgaver at fremme elevernes kompetence til at begå sig med aktuelle og relevante matematiske hjælpemidler, må læreren selvfølgelig selv besidde denne kompetence i en rimelig udstrækning.

Elevernes forskellige udgangspunkter

Derudover underviser en matematiklærer typisk elever som spænder meget vidt med hensyn til modenhed, forudsætninger, interesser, "læringsstil" osv. Derfor er det vigtigt for læreren at have kendskab til og at kunne betjene sig af et bredt repertoire af hjælpemidler, som er typiske og tilgængelige for matematisk virksomhed på de trin, hvor han/hun underviser.

Indsigt i didaktiske potentialer

Læreren kan bringe forskellige hjælpemidler, fx it, i anvendelse som middel til at igangsætte eller fremme elevernes læreprocesser. Det betyder, at lærerens eget kendskab til og beherskelse af sådanne hjælpemidler må kombineres med indsigt i, hvad de enkelte hjælpemidler kan tilføre matematikundervisningen med hensyn til indhold og arbejdsmåder på forskellige trin og i forskellige sammenhænge.

Eksemplificering

De helt små klassetrin

På de helt små klassetrin kan man nævne lærerens evne til at tage stilling til og gennemføre anvendelse af konkrete materialer som tællebrikker, centicubes eller andre klods-, brik- eller stangsystemer, kuglerammer osv. til støtte for forskellige elevers begrebsdannelse, undersøgelse af sammenhænge og mønstre, efterprøvelse af hypoteser, grundlæggelse af færdigheder osv.

Senere klassetrin

På senere klassetrin kan der være tale om at inddrage geometriske skabeloner, spi rografer, linealer, passere, vinkelmålere, terninger, særligt indstreget papir, karton til foldning eller udskæring.

Vi kunne også nævne lærerens reflekterede igangsættelse af elevvirksomhed, der indebærer omgang med lommeregnere. Her er det centralt, at læreren har overblik over, hvordan en sådan omgang kan influere på elevers talbegreb ogforståelse samt kalkulatoriske formåen.

På samme vis skal læreren kunne tage stilling til anvendelsen af udvalgte computerprogrammer, fx til at skabe nye vinkler på arbejdet med faglige emner og begreber. Det kunne dreje sig om at

• fremme arbejdet med sandsynligheder ved hjælp af simulationer eller statistiske undersøgelser.

• øge mulighederne for grafisk støtte til problemløsning i tilknytning til arbejdet med funktioner.

• vurdere, om et dynamisk geometriprogram egner sig til eksplorative undersøgelser, fx af hvad der sker med arealet af en trekant, hvis man fastholder grundlinjen og "trækker" i den modstående vinkelspids, fx parallelt med grundlinjen eller vinkelret på denne, eller hvad der sker, når man lægger forskellige plane snit i en rumlig figur.

• vurdere brugbarheden af regneark til udregning af mange forskellige værdier af formeludtryk og til frembringelse af diverse typer af diagrammer, eller til   modelopbygning og -behandling (fx af typen saldo_n n+1 = saldo_n+saldo_n saldo_n × r+y til modellering af en annuitetsopsparing).

• forholde sig til mulighederne for ved hjælp af it-systemer at visualisere matematiske objekter, fænomener og situationer både statisk og dynamisk.

• tage stilling til brugbarheden af forskellige it-bårne matematikpakker til løsning af ligninger, herunder differentialligninger, symbolsk algebra, numerisk analyse, grafisk repræsentation, samt pakker som rummer særlige modelleringsværktøjer m.v.

7.3 Overblik og dømmekraft vedrørende matematik som fagområde hos matematiklærere

Forholde sig til faget som helhed

For matematiklærere er det væsentligt at besidde overblik og dømmekraft vedrø- rende matematikken som fagområde på en sådan måde, at de ikke blot kan forholde sig til bestemte faglige og undervisningsmæssige situationer, men også til faget som helhed.

Læreren skal selv besidde, og til eleverne kunne formidle, et dækkende billede af matematikken, som den manifesterer sig i forhold til en elevs aktuelle og fremtidige verden, og her spiller overblik og udøvelsen af dømmekraft vedrørende faget en nøglerolle.

7.3.1 Matematikkens faktiske anvendelse i andre fag og praksisområder

Hvem anvender mat. til hvad?

Genstanden for denne form for overblik og dømmekraft er den faktiske anven delse af matematik til udenomsmatematiske formål inden for områder af dagligdags, samfundsmæssig eller videnskabelig betydning. Denne anvendelse kommer i stand og til udtryk gennem bygningen og udnyttelsen af matematiske modeller.

Didaktiske og pædagogiske kommentarer

Begrunde egen undervisning

For en lærer er det vigtigt at have overblik over, hvornår, til hvad og af hvem ma tematik faktisk anvendes og kan anvendes, og hvorfor det har betydning at lære matematik i et nutidigt samfund. Dette er en af forudsætningerne for, at læreren kan begrunde sin undervisning både over for sig selv, over for elever og forældre og over for kolleger.

Tværfaglig undervisning

På flere og flere undervisningstrin udbredes tværfaglig undervisning om emner og temaer, ofte i form af projektarbejde. For at tilgodese læring af matematik, også i sådanne sammenhænge, er det vigtigt, at læreren har en stor fond af viden om, hvornår matematik kan bringes i anvendelse og med hvilket udbytte, og om hvordan forbindelsen er/kan være mellem matematik og andre fagområder. Hertil hører også at kunne bedømme, hvornår en aktivitet ikke kan give anledning til tilfredsstillende aktualisering af matematisk virksomhed.

Forholde sig kritisk til mat.’s anvendelse og omstændigheder for berettiget anvendelse

I et større perspektiv er det vigtigt, at læreren er opmærksom på, at væsentlige dele af matematikkens anvendelse i dag er skjult i komplicerede modeller, ofte yderligere camoufleret af en kraftig it-iklædning. Denne anvendelse har ikke sjældent betydningsfulde samfundsmæssige konsekvenser, såvel af positiv som af negativ art, og det på et grundlag der lige så tit er ubegrundet som velbegrundet, om end matematikken ofte tildeles en autoritær rolle i disse sammenhænge, hvis denne rolle da overhovedet kommer frem i lyset. Indblik i disse forhold er en forudsætning for, at læreren på én gang kan forholde sig kritisk til matematikkens anvendelse og have blik for, under hvilke omstændigheder anvendelsen er berettiget, begge dele for at kunne medvirke til at bibringe eleverne en både dækkende og nuanceret opfattelse af forholdene.

7.3.2 Matematikkens historiske udvikling såvel internt som i samfundsmæssig belysning

Mat.’s udvikling i tid og rum

Genstanden for denne form for overblik og dømmekraft er det forhold, at matema tikken har udviklet sig i tid og rum, i kultur og samfund.

Didaktiske og pædagogiske kommentarer

Mat. ikke uforanderlig

Det er vigtigt, at eleverne opnår kendskab til, at matematikken ikke er en uforan derlig størrelse, som altid har set ud på en bestemt måde, men at den har udviklet sig gennem tiderne i kraft af menneskelig aktivitet og i takt med forskellige samfunds udvikling, og at den fortsat vil udvikle sig. Det kan medvirke til at give eleverne baggrund for at opnå et nuanceret perspektiv på matematik og matematisk virksomhed. Et sådant kendskab opnås bl.a. ved, at relevante historiske aspekter af matematikken inddrages i undervisningen. Det forudsætter, at læreren selv har et overblik over hovedtræk og -punkter i matematikkens historiske udvikling.

Historiske paraleller til elevernes vanskeligheder

Derudover kan lærerens brug af velvalgte historiske pointer og illustrationer tjene det didaktiske og pædagogiske formål at belyse, at nogle af elevernes vanskeligheder med at tilegne sig matematiske begreber også har været vanskeligheder, som matematikken har måttet overvinde undervejs i sin historie.

7.3.3 Matematikkens karakter som fagområde

Mat.’s karakteristika i forhold til andre fagområder

Som fagområde har matematikken sine egne karakteristika. Det er disse karakte ristika, der er genstand for den foreliggende type overblik og dømmekraft. Nogle karakteristika har matematikken tilfælles med andre fagområder, andre er den ret alene om.

Didaktiske og pædagogiske kommentarer

Hvornår og hvorfor kan bestemte områder inddrages?

Det er en del af matematikundervisningens opgave at udvikle elevernes forståelse for de karakteristiske træk ved matematisk tankegang og virksomhed. Hertil hører de træk, hvorved matematik som fag adskiller sig fra andre fagområder. Det forudsætter åbenbart, at læreren selv har indsigt i matematikkens særlige karakter. For at kunne vurdere til hvilket formål, hvornår og på hvilken måde bestemte områder af matematikken kan inddrages i undervisningen, må læreren have overblik over de problemstillinger, tankegange og metoder, som karakteriserer faget.

Dette er fx væsentligt for at kunne tilrettelægge undervisningssituationer, hvor eleverne inspireres til at finde mønstre og strukturer, opstille og afprøve hypoteser, udfinde eksempler, løse problemer, forsøge at generalisere og levere begrundelser for de fundne resultater; processer som ofte kalder på kvalificering gennem lærerens hensigtsmæssige spørgsmål og forslag.

Denne side indgår i publikationen "Kompetencer og matematiklæring" som kapitel 7 af 11
© Undervisningsministeriet 2002