4. En kompetencebeskrivelse af matematisk faglighed

"Man burde spørge hvem der ved rigtigst, ikke hvem der ved mest."¹

4.1 Indledning

Komp. som ekspertise

En person besidder kompetence inden for et område, hvis han eller hun faktisk er i stand til at begå sig med gennemslagskraft, overblik, sikkerhed og dømmekraft inden for det pågældende område. Blandt de flere forskellige betydninger som begrebet kompetence har, vælges i denne sammenhæng betydningen ekspertise, og altså ikke den anden udbredte betydning autorisation.

Mat. kompetencer i almindelighed

Omsat til matematik betyder dette, at matematisk kompetence består i at have viden om, at forstå, udøve, anvende, og kunne tage stilling til matematik og matematikvirksomhed i en mangfoldighed af sammenhænge, hvori matematik indgår eller kan komme til at indgå. Dette implicerer naturligvis en mangfoldighed af konkret viden og konkrete færdigheder inden for diverse matematiske områder, men matematisk kompetence kan ikke, jf. det foregående, reduceres til disse forudsætninger.

Definition af en mat. komp.

Hvad er så en matematisk kompetence? Det er en selvstændig, rimeligt afgrænset hovedkomponent i matematisk kompetence som netop beskrevet. Man kan også sige, at en matematisk kompetence er indsigtsfuld parathed til at handle hensigtsmæssigt i situationer, som rummer en bestemt slags matematiske udfordringer. At sådanne kompetencer er selvstændige og rimeligt velafgrænsede, betyder ikke, at forskellige kompetencer er uden forbindelse med hinanden eller skarpt afgrænsede uden overlap. Man kan tænke på en kompetence som et "knudepunkt" i en "klynge" af ting, der er ophobet nær midten og udtyndes ud imod randen, og som værende til dels sammenvævede med forskellige andre klynger. Dette betyder også, at en kompetence i almindelighed ikke kan erhverves eller besiddes i isolation fra andre kompetencer.

4.1.1 Om karakteristikken

Otte mat. kompetencer udspænder mat. komp.

Vi er nået frem til, at vi med fordel kan udpege otte centrale matematiske kompetencer. De behandles indgående i de følgende afsnit. Kompetencerne er som anført indbyrdes forbundne, men har ikke desto mindre hver sin identitet. Ingen kompetence kan reduceres til de øvrige kompetencer. Holdes alle de ovennævnte forbehold for øje, kan det være nyttigt at tænke på de otte kompetencer som udgørende et sæt af velafgrænsede dimensioner, som tilsammen udspænder matematisk kompetence. Det ligger i sagens natur, at det er umuligt at levere en videnskabelig dokumentation af, at det både teoretisk og empirisk forholder sig sådan. Snarere er der tale om en pragmatisk påstand om, at disse kompetencer tilsammen udspænder og indfanger det væsentlige i matematisk kompetence. Om denne påstand kan opretholdes i praksis afgøres først og fremmest af, hvordan den står sin prøve i afklarende overvejelser og i konkret brug.

I den nedenstående karakterisering af den enkelte kompetence bruges sommetider ordet "evne". Det er vigtigt at slå fast, at dette blot er en sproglig substantivering af "det at kunne", og ingenlunde en psykologisk term der tænkes at referere til faste træk ved en persons mentale udstyr.

Tre slags overblik og dømmekraft

Ud over selve kompetencerne opererer vi med tre slags overblik og dømmekraft vedrørende matematik som fagområde. Som det vil fremgå af omtalen af dem, er de vigtige for opbygningen af en indsigt i matematikkens karakter og rolle i verden, og en sådan indsigt følger ikke automatisk af besiddelse af de otte kompetencer.

4.1.2 To grupper af kompetencer

At kunne spørge og svare

At kunne håndtere sprog og redskaber

Som antydet ovenfor, består hver af kompetencerne i at være i stand til, på grundlag af konkret viden og konkrete færdigheder (som i almindelighed ikke er omtalt i selve kompetencekarakteristikkerne), at udøve bestemte typer af matematiske aktiviteter. De otte kompetencer er inddelt i to grupper, som kan kaldes at kunne spørge og svare i og med matematik, som rummer de første fire kompetencer, og at kunne håndtere matematikkens sprog og redskaber, som udgøres af de fire resterende kompetencer.

En visuel repræsentation som i figur 4.1 kan, hvis den ikke overfortolkes, støtte forståelsen af kompetencerne, såvel som muligheden for at huske dem.

Når vi opererer med to grupper af kompetencer skyldes det hovedsagelig fremstillingsmæssige hensyn. Set fra et passende overordnet synspunkt kan evnen til at gebærde sig i og med matematik siges at bestå i netop disse to kapaciteter eller "overkompetencer", som så hver for sig ved nøjere konkretisering rummer et sæt specifikke kompetencer.

Figur 4.1
En visuel repræsentation af de otte matematiske kompetencer.

Ingredienserne i at kunne spørge og svare

Nærmere bestemt går det at kunne spørge og svare i og med matematik ud på, forenklet sagt, (a) at kunne stille sådanne spørgsmål og have blik for typen af svar, som kan opnås (tankegangskompetence), (b) at være i stand til selv at svare på sådanne spørgsmål, både i og med matematik (henholdsvis problembehandlingskompetence og modelleringskompetence), samt (c) at kunne forstå, bedømme og frembringe argumenter for svar på matematiske spørgsmål (ræsonnementskompetence).

Ingredienserne i at kunne håndtere sprog og redskaber

Tilsvarende går det at kunne håndtere matematikkens sprog og redskaber ud på (a) at være i stand til at omgås forskellige repræsentationer af matematiske sagsforhold (repræsentationskompetence), (b) at kunne håndtere de særlige repræsentationer som udgøres af matematisk symbolsprog og formalisme (symbol- og formalismekompetence), (c) at kunne kommunikere i, med og om matematik (kommunikationskompetence), samt (d) at kunne betjene sig af og forholde sig til diverse tekniske hjælpemidler for matematisk virksomhed (hjælpemiddelkompetence). Det er disse otte kompetencer som karakteriseres nærmere nedenfor.

Opdelingen må ikke overfortolkes

Opdelingen af kompetencerne i to grupper skal imidlertid ikke overfortolkes der hen, at to kompetencer fra hver sin gruppe er mindre forbundne end to kompetencer fra den samme gruppe. Anlægges andre synsvinkler end den valgte opdeling, kan der være lige så tæt forbindelse mellem to kompetencer fra hver sin gruppe. For eksempel er besiddelsen af symbol- og formalismekompetence oftest en afgørende forudsætning for at kunne svare på spørgsmål, dvs. for at besidde problembehandlingskompetence.

Det indtryk, som figur 4.1 måske kunne give af kompetencerne som tilhørende to adskilte sider af matematisk faglighed, er således et eksempel på overfortolkning af denne figur. Alle de otte kompetencer "bidrager" således direkte eller indirekte til besiddelsen af de to "overkompetencer", hvilket vi har forsøgt at visualisere i figur 4.2.

Figur 4.2
En visuel fremstilling af at de matematiske kompetencer alle "bidrager" til begge "overkompetencer".

Aspekter af komp. er ikke delkomp.

Til beskrivelse af den enkelte kompetence er der nedenfor anført en række aspekter og komponenter, som indgår i den. Det er ikke tanken, at disse aspekter og komponenter skal opfattes som en række delkompetencer, som kan selvstændiggøres. De tjener alene det formål at uddybe, hvad kompetencen går ud på. Det samme gælder i endnu højere grad de anførte eksempler, som har til opgave at illustrere punkterne. I den forbindelse er der flest eksempler anført ved kompetencer, som måske ikke er helt selvforklarende.

4.2 At kunne spørge og svare i og med matematik

4.2.1 Tankegangskompetence - at kunne udøve matematisk tankegang

Karakteristik

Arten af spørgsmål og svar

Denne kompetence består for det første i at være klar over, hvilke slags spørgsmål som er karakteristiske for matematik, i selv at kunne stille sådanne spørgsmål, og i at have blik for hvilke typer af svar som kan forventes. Af særlig vigtighed er her matematikkens efterstræbelse af nødvendige og tilstrækkelige betingelser for et objekts besiddelse af en given egenskab.

Begrebers rækkevidde

Den består tillige i at kende, forstå og håndtere givne matematiske begrebers ræk kevidde (og begrænsning) og deres forankring i diverse domæner, i at kunne udvide et begreb ved abstraktion af egenskaber i begrebet, i at kunne forstå hvad der ligger i generalisering af matematiske resultater, og selv at kunne generalisere sådanne til at omfatte en større klasse af objekter.

Forskellige slags mat. udsagn

Denne kompetence omfatter også det at kunne skelne, både passivt og aktivt, mellem forskellige slags matematiske udsagn og påstande, herunder "betingede udsagn", "destinitioner", "sætninger", "fænomenologiske påstande" om enkelttilfælde, og "formodninger" baseret på intuition eller erfaringer med specialtilfælde. Af særlig betydning er her forståelsen af den rolle eksplicitte eller implicitte "kvantorer" spiller i matematiske udsagn, ikke mindst når de kombineres.

Kommentar

Ikke substansen af spørgsmål og svar, men deres karakter, som står i centrum

Kernen i det, som berøres af denne kompetence, er selve arten af matematiske spørgsmål og svar. Det er derimod ikke det faktiske sagsforhold i spørgsmålene eller svarene, fremgangsmåder til at erhverve svarene, eller korrektheden af mulige svar, der er på dagsordenen her. Fremgangsmåderne til erhvervelse af svar er en hovedsag i den nedennævnte problembehandlingskompetence, mens korrektheden af svar står centralt i den såkaldte ræsonnementskompetence.

Der kan måske være grund til at understrege, at der i denne sammenhæng først og fremmest tænkes på spørgsmål og anliggender af egentlig matematisk art, også selv om de måtte være udsprunget af forhold uden for matematikken selv, fra omverdenen eller fra andre fagområder. Evnen til at udsætte sådanne udenomsmatematiske forhold for matematisk behandling er en selvstændig kompetence, som behandles nedenfor under modelleringskompetence.

Eksemplificering

Karakteristiske spørgsmål

Karakteristiske spørgsmål i matematik har ofte en prototypisk skikkelse à la, "Findes der. . . ?", "Hvor mange. . . ?", "Kan det tænkes at. . . ?", "Er påstanden nødvendig eller tilstrækkelig, eller begge dele?", "Kan man slække på de gjorte forudsætninger uden at ændre konklusionen?"

Karakteristiske svar

Svarene kan typisk have formen "Ja, fordi. . . ", "Nej, fordi. . . ", "Påstanden er nød vendig, men ikke tilstrækkelig, som følgende eksempel viser. . . ", "Det afhænger af situationen, idet. . . ", "Det er et åbent spørgsmål. . . ", "Hvis. . . så. . . ", "Der gælder.. . hvis og kun hvis. . . ".

Konkrete illustrationer af karakteristiske spørgsmål og svar, hentet fra forskellige undervisningstrin, kunne fx være:

4.2.2 Problembehandlingskompetence - at kunne formulere og løse matematiske problemer

Opstille og løse problemer

Denne kompetence består dels i at kunne opstille, dvs. detektere, formulere, af grænse og præcisere forskellige slags matematiske problemer, "rene" såvel som "anvendte", "åbne" såvel som "lukkede", dels i at kunne løse sådanne matematiske problemer i færdigformuleret form, egnes såvel som andres, og, om fornødent eller ønskeligt, på forskellige måder.

Kommentar

Begrebet "problem" er relativt

Et (formuleret) matematisk problem er et særlig type matematisk spørgsmål, nemlig ét hvor en matematisk undersøgelse er nødvendig for besvarelsen. Sådan set kunne også spørgsmål, som kan besvares alene ved hjælp af (få) specifikke rutineoperationer, falde ind under begrebet "problem". Sådanne spørgsmål, som for den der skal løse dem, kan besvares ved aktivering af rutinefærdigheder, henregner vi imidlertid ikke under matematiske problemer i denne forbindelse. Derved bliver begrebet "matematisk problem" ikke absolut, men relativt til den person som stilles over for det. Det, som for én person kan være en rutineopgave, kan for en anden være et problem, og omvendt.

Ikke ethvert spørgsmål opstiller et problem

Afgrænsning til andre komp.

Ikke ethvert matematisk spørgsmål opstiller et matematisk problem. For eksempel er "Hvad betyder det, når der står 0 i 406?" ikke et problem som kræver en matematisk undersøgelse, men er et spørgsmål til matematisk begrebsforståelse og sprogbrug. Men da mange spørgsmål faktisk opstiller et problem, er det at kunne formulere matematiske problemer intimt forbundet med det at kunne stille matematiske spørgsmål og have blik for typer af svar på dem, jf. tankegangskompetencen. Men de to kompetencer er altså ikke sammenfaldende. Det at kunne løse et matematisk problem indgår ikke i tankegangkompetencen. Omvendt indgår fx tankegangskompetencens skelnen mellem destinitioner og sætninger ikke i sig selv i problembehandlingskompetencen, om end denne skelnen i praksis kan være en vigtig forudsætning for denne kompetence.

Grænsen mellem behandlingen af anvendte matematiske problemer og aktiv matematisk modelbygning er flydende. Jo mere det er nødvendigt at tage specifikke træk ved de elementer der indgår i problemstillingen i betragtning, jo mere er der tale om modelbygning.

Det at kunne detektere og formulere matematiske problemer og det at kunne løse færdigformulerede matematiske problemer er ikke det samme. Det er meget vel muligt at kunne formulere matematiske problemer uden at være i stand til at løse dem. Man kan endda opstille problemer alene med et elementært begrebsapparat, uden at en løsning overhovedet kan skabes med dette begrebsapparat. Tilsvarende er det muligt at være en dygtig problemløser uden at være god til at finde og formulere matematiske problemer.

Eksemplificering

Kun "små" eksempler

I betragtning af hvor centralt problemopstilling, problemformulering og problemløsning er i matematisk virksomhed på ethvert trin, kan der gives endeløst mange eksempler på problemer og deres løsning. Eftersom problemløsning ofte er en kompliceret og langstrakt affære, er der grænser for, hvor detaljerede eksempler vi kan give her. Nogle få eksempler må række.

Så vil aksens skæringspunkt med taget have koordinaterne (0,0,(m+M)/2), mens (M-m,0,2r) vil være en normalvektor til tagplanen. Repræsenterer vi det typiske punkt på skæringskurven mellem cylinderen og taget ved koordinaterne (r cost, r sin t,h(t)),tÎ[0,2p[, er det essentielt højdefunktionen h, som skal bestemmes. Det sker ved at forlange, at vektoren fra cylinderaksens skæringspunkt med taget til punktet på randkurven er vinkelret på den valgte normalvektor til tagplanen, dvs.

altså

(M-m)r cost + 2rh(t)-r(m+M)=0

Heraf kan vi bestemme

Foretrækker vi at parametrisere højden som funktion af buelængden s (svarende til den underste side på kartonstykket), fremfor som funktion af drejningsvinklen t, har vi s _ rt_ sluttelig

Hermed er opgaven løst."

4.2.3 Modelleringskompetence - at kunne analysere og bygge matematiske modeller vedrørende andre felter

Karakteristik

Modelanalyse

Modelbygning

Denne kompetence består på den ene side i at kunne analysere grundlaget for og egenskaberne ved foreliggende modeller og at kunne bedømme deres rækkevidde og holdbarhed. Hertil hører at kunne "afmatematisere" (træk ved) foreliggende matematiske modeller, dvs. at kunne afkode og fortolke modelelementer ogresultater i forhold til det felt eller den situation som er modelleret. På den anden side består kompetencen i at kunne udføre aktiv modelbygning i en given sammenhæng, dvs. at bringe matematik i spil og anvendelse til behandling af anliggender uden for matematikken selv.

Elementer i modelbygning

Aktiv modelbygning indeholder en række forskellige elementer. Først at kunne strukturere det felt eller den situation der skal modelleres. Dernæst at kunne gennemføre en matematisering heraf, dvs. en oversættelse af objekter, relationer, problemstillinger m.v. til et område af matematikken, resulterende i en matematisk model. At kunne behandle den opståede model, herunder løse de matematiske problemer den måtte give anledning til, samt at kunne validere den færdige model, dvs. bedømme dens holdbarhed både internt (i forhold til modellens matematiske egenskaber) og eksternt (dvs. i forhold til det felt og den situation modellen omhandler). Der indgår tillige at kunne analysere modellen kritisk, både i forhold til dens egen brugbarhed og relevans og i forhold til mulige alternative modeller, og at kunne kommunikere med andre om modellen og dens resultater. Endelig indgår det i aktiv modelbygning at have overblik over og kunne styre den samlede modelleringsproces.

Kommentar

Inddragelse af den modellerede situation

Selv om der principielt set er tale om matematisk modeldannelse, hver gang matematikken bringes i anvendelse uden for dens eget område, vil vi her kun bruge ordene model og modelbygning i tilfælde, hvor der optræder en ikkeselvfølgelig tilskæring af den modellerede situation, som indebærer beslutninger, antagelser, indsamling af oplysninger og data m.v.

Afgrænsning til problembehandlingskomp.

Behandling af matematikholdige problemstillinger, som ikke for alvor kræver be arbejdning af de virkelighedselementer, der optræder, henhører under den ovenfor omtalte problembehandlingskompetence. De træk af modelleringskompetencen, som koncentrerer sig om selve modelbehandlingen, er tæt forbundet med den ovennævnte problembehandlingskompetence. Men derudover indgår der i modelleringskompetencen mange elementer, som ikke primært er af matematisk art, fx viden om udenomsmatematiske kendsgerninger og betragtninger, samt beslutninger vedrørende modelleringens formål, hensigtsmæssighed, relevans for stillede spørgsmål osv.

Eksemplificering

Modelanalyse

Når det gælder analysen af foreliggende (eller foreslåede) modeller, kanman fx

• betragte en model, der opererer med eksponentiel vækst af verdens befolkning i perioden 1900 2000 og sammenholde den med tilgængelige befolkningsdata.

• undersøge den preskriptive body-mass-index model (BMI = vægt [kg]/(højde)² [m²]) for undervægt, normalvægt, overvægt og fedme af mennesker.

Modelbygning

Hvad angår aktiv modelbygning, kan man fx opstille en model til behandling af udfordringer som de nedenstående. I alle tilfælde er det nødvendigt at foretage afgrænsninger, gøre antagelser, eller indhente data for at behandlingen kan foretages.

• En undersøgelse af hvordan grundplanen for et hus kan se ud, hvis dets areal skal være 120 m².

• En undersøgelse af hvor dyrt det er at tale i mobiltelefon.

• "Hvad er den effektive beskatning af en krone tjent af en lønmodtager, hvis der også tages hensyn til moms, afgifter m.m.?"

• En bestemmelse af den optimale form på en konservesdåse.

• En vurdering af hvor stor en del af energiforbruget i Danmark der kan dækkes af vindmøller, og hvor mange møller det ville give anledning til.

• "Hvordan udvikler antallet af AIDS-tilfælde i Danmark sig?"

• "Er det muligt, at gennemsnitsalderen i en befolkning er 35 år samtidig med at mindst 40% af befolkningen er 60 eller derover?"

4.2.4 Ræsonnementskompetence - at kunne ræsonnere matematisk

Karakteristik

Følge og bedømme ræsonnementer

Forstå hvad et bevis er

Denne kompetence består på den ene side i at kunne følge og bedømme et mate matisk ræsonnement, dvs. en kæde af argumenter fremsat af andre på skrift eller i tale til støtte for en påstand, specielt at vide og forstå hvad et matematisk bevis er, og hvordan det adskiller sig fra andre former for matematiske ræsonnementer, fx heuristiske ræsonnementer hvilende på intuition eller på betragtning af specialtilfælde, og at kunne afgøre hvornår et matematisk ræsonnement faktisk udgør et bevis, og hvornår ikke. Heri indgår at forstå den logiske betydning af et modek sempel. Det indgår tillige i kompetencen at kunne afdække de bærende idéer i et matematisk bevis, herunder skelne mellem hovedpunkter og detaljer, mellem idéer og teknikaliteter.

Udtænke og gennemføre

På den anden side består kompetencen i at kunne udtænke og gennemføre infor melle og formelle ræsonnementer (på basis af intuition), herunder omforme heuristiske ræsonnementer til egentlige (gyldige) beviser.

Kommentar

Ikke kun retfærdiggørelse af sætninger, også af svar på spørgsmål og problemer

Af mange betragtes matematisk bevisførelse, men også matematisk ræsonneren i almindelighed, som en sag, der først og fremmest angår retfærdiggørelsen af matematiske sætninger, endda ofte i form af ren og skær gengivelse af færdige beviser. Ræsonnementskompetencen omfatter også dette, men går videre, idet den kommer i spil overalt, når det gælder om at bedømme holdbarheden af matematiske påstande, inklusive at overbevise sig selv eller andre om den eventuelle gyldighed af sådanne. Det kan dreje sig både om reglers og sætningers rigtighed, men også om godtgørelsen af, at givne svar på spørgsmål, opgaver, eller problemer er korrekte og fyldestgørende. Ved således også at omhandle retfærdiggørelsen af svar og løsninger, er ræsonnementskompetencen intimt forbundet med både problembehandlings- og modelleringskompetencerne. Den udgør så at sige disses "juridiske" side.

Afgrænsning til andre komp.

I princippet kunne også evnen til at gennemføre rene rutineoperationer, fx udreg ninger, siges at falde ind under ræsonnementskompetencen, eftersom der jo er tale om at retfærdiggøre et regneresultat. Hvad der for en person er en rutineoperation, kan for en anden være et uoverstigeligt problem. Selve udførelsen af sådanne operationer henregnes imidlertid under den nedenfor omtalte symbol- og formalismekompetence, mens det at aktivere operationerne kan høre ind under ræsonnementskompetencen, hvis denne aktivering stiller krav til opfindsomhed, analyseevne eller overblik.

Eksemplificering

Følge og bedømme ræsonnementer

Som eksempler på det at følge og bedømme et matematisk ræsonnement kan nævnes:

• Beviset for irrationalitet af Ö2.

Forstå hvad et bevis (ikke) er

Til illustration af hvad det kan betyde at vide og forstå, hvad et bevis (ikke) er, kan vi anføre følgende bevisforslag:

Afdække de bærende ideer i et bevis

Afdækning af de bærende idéer i et (korrekt) bevis kan illustreres således:

• "Gauss' bevis for at 1+2+...+n=n(n+1)/2 hviler på den idé, at man kan bestemme summen ved hjælp af en ligning. Ved at lægge tallet n+...+2+1 til venstresiden fås dels den søgte sum to gange, dels n parenteser hver bestående af to tal, hvis sum er n+1. At udnytte dette til at udtrykke summen er derefter teknik (multiplikation af n med n+1 efterfulgt af løsning af en enkel ligning).

Dette bevis har en fordel fremfor et sædvanligt induktionsbevis, som har den svaghed, at det forudsætter et bud på summen, hvilket ikke er påkrævet i Gauss' bevis, som faktisk bestemmer summen."

Selvstændig bevisførelse

Endelig kan selvstændig bevisførelse, fra heuristik til formelt bevis, illustreres med følgende eksempel:

• "7 må være den hyppigst forekommende sum af øjnene i et kast med to terninger, fordi 7 er det tal blandt de mulige summer som kan opnås på .est måder. Det kan vi nærmere præcisere fx således: Hvis de to terningers udfald antages indbyrdes uafhængige, består det samlede sæt af lige sandsynlige udfald af 36 kombinationer af øjne, idet hver terning kan udvise 6 forskellige resultater. Dette kan illustreres af et kvadratisk skema. Af disse 36 kombinationer opstår summen 7 på netop 6 måder, nemlig ved 1 +6, 2 +5, 3+ 4, 4+ 3, 5+ 2, 6 +1 (det første tal i hver sum er antallet af øjne på den første terning; tilsvarende med det andet). Det svarer netop til antallet af måder, hvorpå 7 kan spaltes som sum af to naturlige tal. Ingen af de øvrige mulige summer kan fås på så mange som 6 måder. For summer under 7, fordi antallet af spaltninger åbenbart er mindre end antallet af spaltninger af 7. For summer fra og med 8 til og med 12, fordi kun nogle af spaltningerne svarer til terningkast, nemlig 2+ 6, 3+ 5, 4+ 4, 5+ 3, 6+ 2 for 8's vedkommende og så fremdeles, til og med 12, som kun kan realiseres som 6 +6."

Man kunne også nævne en reparation af forudsætningerne og argumenterne i ovenstående "bevis" vedrørende sammensatte funktioner. Hvis fx g forudsættes at være kontinuert i b, er påstanden korrekt, og bevisskitsen kan udbygges og præciseres til et korrekt bevis.

4.3 At kunne håndtere matematikkens sprog og redskaber

4.3.1 Repræsentationskompetence - at kunne håndtere forskellige repræsentationer af matematiske sagsforhold

Karakteristik

Forstå og betjene sig af forskellige repræsentationer

Vælge og oversætte mellem repræsentationer

Denne kompetence består dels i at kunne forstå (dvs. afkode, fortolke og skelne mellem) og betjene sig af forskellige slags repræsentationer af matematiske objekter, fænomener, problemer eller situationer (herunder symbolske, specielt algebraiske, visuelle, geometriske, grafiske, diagrammatiske, tabelmæssige eller verbale repræsentationer, men også konkrete repræsentationer ved materielle objekter), dels i at kunne forstå de indbyrdes forbindelser mellem forskellige repræsentationsformer for det samme sagsforhold og have kendskab til deres styrker og svagheder, herunder informationstab og -tilvækst, dels i at kunne vælge blandt og oversætte imellem forskellige repræsentationsformer for et givet sagsforhold, alt efter situation og formål.

Kommentar

Afgrænsning til andre komp.

Af særlig betydning i matematik er symbolske repræsentationer. Derfor er der en nær forbindelse mellem den foreliggende kompetence og den efterfølgende symbol- og formalismekompetence, som bl.a. fokuserer på "spillereglerne" for omgangen med matematiske symboler, men også omhandler sider af matematisk formalisme som ikke er knyttet til symbolske repræsentationer. Eftersom det at repræsentere matematiske sagsforhold er nært forbundet med kommunikation i, med og om matematik, er der også klare forbindelser til den senere omtalte kommunikationskompetence.

Repræsentationer ved hjælp af materielle objekter skaber forbindelse til den sidste af de otte kompetencer, hjælpemiddelkompetencen.

Eksemplificering

Også elementære repræsentationer er repræsentationer

Et elementært eksempel på denne kompetence kunne være evnen til at repræ- sentere et naturligt tal med prikker eller klodser af ens form og størrelse, eller opskrivning af tal i positionssystemet ved hjælp af cuisenairestænger, centicubes, kuglerammer eller lignende og ved hjælp af symboler i hindu-arabisk notation, romertal, kileskrift m.v., samt ved verbal repræsentation (eks. fem-millionerethundredeogseksogtyvetusinde nihundredeogsyvogtredive).

Et andet elementært eksempel er tidsangivelser, hvor viserure og digitalure leverer ækvivalente, men helt forskellige repræsentationer af det samme klokkeslet.

Det kunne også være at forstå og håndtere forskellige repræsentationer af objektet p og forbindelserne imellem dem. Repræsentationen kan fx være

• symbolet p.

• en uendelig decimalbrøk 3,14159265....

• en rational tilnærmelse (med deraf følgende unøjagtighed) med fx brøkerne 22/7 eller 223/71.

• geometrisk som omkredsen af en cirkel med diameter 1.

• grænseværdien for den uendelige række 4-4/3+4/5-4/7+4/9-4/11+....

Et andet eksempel er begrebet lineær funktion (i skolematematikkens forstand), som kan repræsenteres

• som regneforskrift, fx f (x)=3x-7.

• algebraisk som løsningsmængde til en ligning, fx 2y- 6x+14=0.

• som en parameterfremstillet punktmængde i et koordinatsystem, {fx x,y)|x=t,y= 3t-7,t Î R}.

• ved en tegnet graf i et koordinatsystem.

• ved et geometrisk objekt, fx den rette linie i planen som går gennem punkterne (2,-1) og (0,-7).

• ved en tabel af sammenhørende værdier af x og y (med indbygget informationstab, hvis det ikke i forvejen vides at tabellen fremstiller en lineær funktion, og med indbygget informationsoverskud, hvis det vides, at funktionen er lineær, og tabellen indeholder mere end to forskellige sammenhørende sæt).

Endnu et eksempel er en ellipse, der kan repræsenteres

• geometrisk som et snit i en kegle eller en cylinder.

• som skyggen af en kugle.

• som det geometriske sted for alle de punkter, hvis afstande til to givne punkter har en konstant sum.

• som mængden af punktpar i et koordinatsystem, som opfylder ligningen (x/a)²+(y/b)²=1(a,b¹0).

For alle eksemplerne går repræsentationskompetencen bl.a. ud på at forstå repræsentationerne, have klarhed over forbindelserne mellem dem, herunder informationstab og -gevinst ved overgang fra den ene til den anden, over styrker og svagheder ved de enkelte repræsentationer, og på at være i stand til at vælge (mellem) en eller flere af dem.

4.3.2 Symbol- og formalismekompetence - at kunne håndtere matematisk symbolsprog og formalisme

Karakteristik

Afkode, oversætte og behandle symbolholdige udsagn

Formelle mat. systemer

Denne kompetence består dels i at kunne afkode symbol- og formelsprog, i at kunne oversætte frem og tilbage mellem symbolholdigt matematisk sprog og naturligt sprog, og i at kunne behandle og betjene sig af symbolholdige udsagn og udtryk, herunder formler. Dels i at have indsigt i karakteren af og "spillereglerne" for formelle matematiske systemer (typisk aksiomatiske teorier).

Kommentar

Afgrænsning til repræsentationskomp.

Denne kompetence adskiller sig navnlig fra den ovennævnte repræsentationskom petence, som den ellers er nært forbundet med, ved at fokusere på symbolernes karakter, status og betydning og på selve håndteringen af dem, inklusive reglerne herfor. Dertil kommer, at den også omhandler omgang med formelle matematiske systemer, hvad enten disse har en symbolsk form eller ej.

Matematiske symboler omhandler ikke kun avancerede matematiske specialsymboler, men også talsymboler og basale tegn i forbindelse med regneoperationer. Tilsvarende omhandler symbolbehandling ikke kun "bogstavregning", "calculus" og lignende, men også de formelle sider af elementær regning.

Eksemplificering

Også elementære symboler og formler

På det elementære plan illustreres denne kompetence fx af omgangen med tal og talbehandling. Det kan dreje sig om

• at forstå, at 406 står for fire hundreder, ingen tiere og 6 enere.

• at man ikke har lov til at skrive 6+×5 eller 6- -3 (mens 6+ +3 ikke er meningsløst, men dårlig syntaks).

• at 5×(3+4) ikke er det samme som 5×3+4.

• at 4<7 er et udsagn, som skal læses "4 er mindre end 7".

På senere trin kan det dreje sig om at forstå

• at {( x,y)|x=t,y=3t-7,t ÎR} angiver mængden af alle reelle talpar, hvor førstekoordinaten antager en vilkårlig reel værdi, mens andenkoordinaten er bundet til at være netop tre gange denne værdi, minus 7.

• indholdet i, hvad der er blevet kaldt "verdens smukkeste formel": e^ip+1=0.

Det at kunne afkode symbol- og formelsprog kan eksemplificeres ved at kunne sige, at den ovenstående mængde netop beskriver den rette linje i et retvinklet koordinatsystem, som afskærer -7 på y-aksen og har 3 som hældningskoefficient.

Omvendt er fx det at kunne opskrive samlingen af alle naturlige tal, der ved division med 5 giver resten 4, i symbolsprog som {pÎN|$kÎN:p=5k+4} et eksempel på oversættelse fra naturligt sprog til symbolsprog. Det samme gælder (a+b)(a-b)=a²-b² som en oversættelse til symboler af den tidligere så "populære" regel "to tals sum gange de samme to tals differens er lig differencen mellem tallenes kvadrater".

Håndtering af symbolsprog og formler

Hvad angår eksempler på håndtering af symbolsprog og formler er der utallige. Der kan fx være tale om at kunne

• foretage omskrivninger som 3x³-2x²-x=x(3x^2-2x-1)=x(x-1)(3x+1), hvor det sidste skridt tillige kræver løsning af andengradsligningen 3x²-2x-1= 0.

• se umiddelbart, at .

• foretage omskrivningen P(A|B)=P(AÇB)/P(B)=P(B|A)P(A)/ P(B), for hændelser A og B, hvor P(A),P(B)¹0.

• konkludere, at ligningen x( y+z)=xyz er opfyldt for alle talsæt af formen (x,y,0) for vilkårlige x og y eller af formen (1,y, z) for vilkårlige y og z, men ikke af andre.

Omgang med formelle matematiske systemer

Endelig kan evnen til at omgås formelle matematiske systemer illustreres ved ind sigt i, hvad det vil sige at foretage geometriske konstruktioner på grundlag af Euklids aksiomer, herunder forståelse af i hvilken forstand det er umuligt at tredele en vinkel med passer og lineal.

Aksiomatisk euklidisk geometri kan tillige tjene som et eksempel på en matematisk formalisme, som ikke behøver at være bragt på symbolsk form.

4.3.3 Kommunikationskompetence - at kunne kommunikere i, med og om matematik

Forstå og fortolke udsagn og tekster

Udtrykke sig om mat.

Denne kompetence består dels i at kunne sætte sig ind i og fortolke andres matema tikholdige skriftlige, mundtlige eller visuelle udsagnog "tekster", dels i at kunne udtrykke sig på forskellige måder og på forskellige niveauer af teoretisk eller teknisk præcision om matematikholdige anliggender, skriftligt, mundtligt eller visuelt over for forskellige kategorier af modtagere.

Kommentar

Afgrænsning til andre komp.

Eftersom al skriftlig, mundtlig eller visuel kommunikation i og med matematik må betjene sig af diverse repræsentationsformer (og medier), har denne kompetence et nært slægtskab med den ovenfor omtalte repræsentationskompetence. Oftest vil en sådan kommunikation også betjene sig af matematiske symboler og termer, hvilket understreger forbindelsen til symbol- og formalismekompetencen.

Kommunikationskompetencen går imidlertid videre end de øvrige derved at kommunikationen sker mellem afsendere og modtagere, og at disses situation og forudsætninger tages i betragtning på linje med formål, budskab og medie for kommunikationen.

Der kan også være grund til at hæfte sig ved, at kommunikation om matematik ikke behøver at inddrage specifikke matematiske repræsentationsformer.

Eksemplificering

Mange udtryksformer

Afkodning og fortolkning

En hvilken som helst skriftlig eller mundtlig fremstilling af en matematisk aktivitet kan tjene til at eksemplificere udtrykssiden af kommunikationskompetencen. For eksempel falder det at kunne gøre rede for en matematisk betragtning, fx løsningen af en opgave, inden for denne. Tilsvarende vil afkodningen og fortolkningen af matematiske fremstillinger, fx i en lærebog eller et foredrag, eksemplificere, hvad man kunne betegne den modtagende side af kommunikationskompetencen.

Også evnen til at indgå i diskussioner med andre om matematikholdige emner kræver kommunikationskompetence. Man kunne fx tænke sig følgende dialog udspille sig mellem to elever på sidste trin i folkeskolen eller i gymnasiet:

4.3.4 Hjælpemiddelkompetence - at kunne betjene sig af og forholde sig til hjælpemidler for matematisk virksomhed (inkl. it)

Karakteristik

Kende muligheder og begrænsninger ved og kunne betjene sig af hjælpemidler

Denne kompetence består dels i at have kendskab til eksistensen og egenskaberne ved diverse former for relevante redskaber til brug for matematisk virksomhed, og have indblik i deres muligheder og begrænsninger i forskellige slags situationer, dels i at være i stand til, på reflekteret vis, at betjene sig af sådanne hjælpemidler.

Kommentar

Ikke kun it

Matematikken har altid betjent sig af diverse tekniske hjælpemidler, både til at repræsentere og fastholde matematiske sagsforhold og til at håndtere dem, fx i forbindelse med målinger og udregninger. Det drejer sig ikke kun om it, altså lommereg nere og computere (herunder beregningsprogrammer, grafiske tegneprogrammer, computeralgebra og regneark), men også om tabeller, regnestokke, kuglerammer, linealer, passere, vinkelmålere, logaritme- eller normalfordelingspapir m.v. Kompetencen går altså ud på at kunne omgås og forholde sig til sådanne hjælpemidler.

Afgrænsning til andre komp.

Da ethvert sådant hjælpemiddel involverer en eller flere typer af matematisk repræ- sentation, er hjælpemiddelkompetencen i slægt med repræsentationskompetencen. Da brugen af visse hjælpemidler også ofte er underlagt ret bestemte "spilleregler", og hviler på bestemte matematiske forudsætninger, har hjælpemiddelkompetencen tillige forbindelser til symbol- og formalismekompetencen.

Eksemplificering

Eksemplerne er utallige

Der er ingen grænser for, hvor mange eksempler man kan give på reflekteret om gang med hjælpemidler for matematisk virksomhed. På de lavere klassetrin kan man nævne evnen til at omgås konkrete materialer til støtte for begrebsdannelsen, undersøgelse af sammenhænge og mønstre, efterprøvelse af hypoteser, grundlæggelse af færdigheder osv. Geoboards, centicubes eller andre klods-, brik- eller stangsystemer, kuglerammer, geometriske skabeloner, spirografer, linealer, passere, vinkelmålere, terninger, særligt indstreget papir, karton til foldning eller udskæring hører alle hjemme i denne sammenhæng.

Vi kan også nævne den tænksomme omgang med lommeregnere og computere, samt it-software af typen LOGO, Cabri-Géomètre, regneark, MathCad, Maple, osv., til brug for såvel kalkulationer som grafiske repræsentationer, empiriske undersøgelser, visualisering osv.

4.4 Fem bemærkninger

4.4.1 Om kompetencernes beslægtethed

Forbindelser og forskelle: Repræsentations-, symbolog formalisme- og kommunikationskomp.

Som det allerede er fremgået, er flere af kompetencerne i nær familie med hinan den. Det gælder fx repræsentationskompetencen, symbol- og formalismekompe tencen samt kommunikationskompetencen, der da også ovenfor er placeret i gruppe sammen. Ikke desto mindre lægger de vægten forskellige steder. I repræsentationskompetencen lægges vægten på selve repræsentationen af et matematisk sagsforhold, og de forskellige muligheder der er for at vælge repræsentation. Man kunne sige at repræsentation er en semantisk aktivitet. Nogle af disse repræsentationer kan være symbolske, men de behøver ikke at være det. Symbol- og formalismekompetencen derimod betoner navnlig "spillereglerne" i omgangen med symbolsprog og formelle systemer (aksiomatiske teorier), hvilket kan betragtes som en hovedsagelig syntaktisk aktivitet. Endelig er fokus i kommunikationskompetencen på, hvordan man i det hele taget kommunikerer i, med og om matematik. Heri indtager både repræsentationer, symbolsprog og formalismer hver deres plads, men der er vældigt meget andet på færde, ikke mindst inddragelsen af afsendere og modtagere af kommunikationen.

Tankegangs-, ræsonnementsog problembehandlingskomp.

Ligeledes er tankegangs-, ræsonnements- og problembehandlingskompetencerne tæt forbundne, men betoningerne er atter forskellige. I tankegangskompetencen ligger vægten på de spørgsmål, matematikken beskæftiger sig med, problembehandlingskompetencen fokuserer på strategier, man kan benytte sig af til at besvare spørgsmålene, mens ræsonnementskompetencen angår retfærdiggørelsen af påstande, heri indbefattet påstande om at en given fremgangsmåde faktisk leverer en korrekt løsning på et problem, som udspringer af et matematisk spørgsmål. Naturligvis indgår også repræsentationskompetencen og symbol- og formalismekompetencen som redskaber i dette kompleks, men altså netop som redskaber, ikke som selve sagen.

Modellerings-, problembehandlings- og repræsentationskomp.

Til slut kan man blandt de mange familierelationer, som findes mellem kompe tencerne, fremhæve forbindelsen mellem modellerings-, problembehandlings- og repræsentationskompetencerne. Således er både repræsentationskompetencen og problembehandlingskompetencen afgørende for udøvelsen af modelleringskompetencen. Men kompetencerne har atter forskellige fokus. Vi har allerede fremhævet de forskellige betoninger i repræsentations- og problembehandlingskompetencerne. I modelleringskompetencen er det brugen af matematik til at forstå og behandle anliggender uden for matematikken selv, der står i centrum.

4.4.2 Om kompetencekarakteristikkernes duale karakter

En "undersøgende" og en "produktiv" side

Som det fremgår af karakteriseringerne, har alle kompetencerne både en "under søgende" og en "produktiv" side. Den "produktive" side af en kompetence består i, at man selv kan gennemføre de processer, kompetencen omfatter. Den "undersøgende" side angår forståelse, analyse og kritisk bedømmelse af allerede udførte processer og deres produkter.

Komp. har "adfærdskarakter", men er ikke behavioristiske

Det bør understreges, at også undersøgende virksomhed (refleksion, analyse og bedømmelse) har handlingskarakter, om end den kan foregå på det rent mentale plan. Der er blot tale om en anden slags aktivitet end selve den gennemførelse af de omhandlede processer, som leder frem til produkter, der i en eller anden forstand er "synlige". Både den undersøgende og den produktive side af kompetencerne angår mentale eller fysiske aktiviteter, som har adfærdskarakter. Fokus er på, at den, der besidder kompetencen, kan udføre de indgående aktiviteter.

At kompetencerne har adfærdskarakter, betyder bestemt ikke, at de skal forstås behavioristisk, dvs. at de nødvendigvis lader sig aflæse udefra som klart afgrænsede og veldefinerede handlinger, der skal forstås som et individs respons på givne stimuli.

4.4.3 Om intuition og kreativitet som tværgående træk ved kompetencerne

Intuition

Der kan være nogle, der savner visse matematiske kompetencer i listen. Det kan måske være udøvelse af matematisk intuition eller matematisk kreativitet. I den tankegang, der ligger til grund for den her benyttede opstilling, er hverken intuition eller kreativitet selvstændige kompetencer, men kombinationer af træk ved de nævnte kompetencer. Således er "intuition" at finde i navnlig tankegangs, ræsonnements-, problembehandlings- og repræsentationskompetencerne.

Kreativitet

"Kreativitet" kan vel nærmest betragtes som indbegrebet af alle de produktive sider af kompetencerne, altså det at kunne stille gode interne eller eksterne matematiske spørgsmål og formulere deraf udspringende problemer; dernæst ved hjælp af intuition, abstraktion, generalisation, valg af hensigtsmæssige repræsentationer, symbol- og formalismehåndtering, samt eventuelt brug af hjælpemidler, at løse disse problemer; derefter at levere korrekte og fuldstændige argumenter (beviser) for at de foreslåede løsninger virkelig virker, for sluttelig at kommunikere både proces og produkt på en klar og overbevisende måde til en målgruppe.

4.4.4 Om tre dimensioner i besiddelsen af en kompetence

Det forekommer meningsfuldt at operere med, at en persons besiddelse af en kompetence kan have tre dimensioner, som vi i mangel af bedre kan kalde dækningsgrad, aktionsradius og teknisk niveau.

Dækningsgrad

Dækningsgrad angår en komp.’s aspekter

En kompetences dækningsgrad hos en person benyttes til at betegne i hvor høj grad de aspekter, som karakteriserer kompetencen, er dækket hos den pågældende, dvs. hvor mange af disse aspekter, personen kan aktivere i forskellige foreliggende situationer, og med hvor høj grad af selvstændighed aktiveringen kan ske.

For eksempel har ræsonnementskompetencen hos den person, der ofte er i stand til at forstå andres beviser, men sjældent selv kan udtænke og gennemføre fyldestgørende beviser, en mindre dækningsgrad end hos en person, der ofte er i stand til begge dele. Tilsvarende har kommunikationskompetencen hos en person, der både er i stand til i almindeligt og klart sprog at gøre rede for tankegangen i løsningen af et matematisk problem og til at fremstille løsningen i tekniske termer, større dækningsgrad end hos den, der kun er i stand til det sidste.

Aktionsradius

Aktionsradius angår sammenhænge og situationer

En kompetences aktionsradius hos en person udgøres af det spektrum af sammen hænge og situationer personen kan aktivere kompetencen i. Det drejer sig først og fremmest om sammenhænge og situationer, der er bestemt af matematiske emneområder (såvel internt matematiske som anvendte emner), men også om sammenhænge og situationer der er bestemt af problemstillinger og udfordringer.

Hvis fx en persons problemløsningskompetence kan aktiveres med succes både inden for aritmetik, algebra, geometri og sandsynlighedsregning, har den større aktionsradius end hos en person, der kun kan aktivere den med succes i aritmetik og algebra. På tilsvarende vis har modelleringskompetencen større aktionsradius hos en person, som kan håndtere anvendelser i matematik i dagligøkonomi, i madlavning og gør-det-selv ombygninger end hos den, som kun kan aktivere kompetencen ved indkøb i supermarkedet.

Teknisk niveau

Teknisk niveau angår substansen i sagsforhold

En kompetences tekniske niveau hos en person bestemmes af, hvor begrebsligt og teknisk avancerede sagsforhold og værktøjer personen kan aktivere den pågældende kompetence overfor.

Hos den person, der er i stand til at regne korrekt i situationer, hvor der kun optræder to- eller trecifrede hele tal, har symbol- og formalismekompetencen et lavere teknisk niveau end hos den, som tillige kan klare situationer, hvor der optræder mangecifrede tal eller decimaltal. Og den person, der nok kan nå frem til at skitsere grafer for reelle funktioner af én variabel, men ikke for reelle funktioner af to variable, har en repræsentationskompetence på et lavere teknisk niveau end den, som kan begge dele.

Dimensionerne som partielle ikke-kvantitative ordningsprincipper

Hverken en total eller en kvantificerbar ordning

Det er vigtigt at få slået fast, at selv om vi her har valgt nogle ord som antyder mu ligheden af enkel kvantitativ måling, ligger der ingen antagelse om noget sådant til grund for de følgende betragtninger. Det eneste, vi forudsætter i den henseende, er, at hver af dimensionerne tillader en ordning, dvs. én udgave af en given kompetence kan i henseende til en bestemt dimension være mere eller mindre omfattende, end en anden udgave af den samme kompetence. Eftersom vi kun har at gøre med en partiel ordning, er det ikke sikkert, at to vilkårlige udgaver af den samme kompetence kan sammenlignes på denne måde.

Det giver således ingen mening at sige, at rækkevidden af problemløsningskompetencen hos en person, der kan løse problemer inden for algebra, geometri og sandsynlighedsregning, er mindre, end hos en person der kan løse problemer inden for sandsynlighedsregning, funktioner, infinitesimalregning og optimering. Ligeledes giver det heller ikke uden videre mening at sammenligne det tekniske niveau for symbol- og formalismekompetencen hos en person, der er virtuos til at behandle udtryk inden for fx trigonometri, med det tekniske niveau hos en person, som er virtuos i beregninger vedrørende sandsynlighedsfordelinger.

4.4.5 Om kompetencerne som fagspecifikke, men stofmæssigt generelle

Generelle og sammenfattende, men mat.specifikke

Den femte og sidste bemærkning er måske den vigtigste: Hver af de otte kompe tencer er af en generel og sammenfattende natur. De giver mening for (og er derfor uafhængige af) ethvert konkret matematisk stof, ligesom de giver mening for ethvert uddannelsestrin. Men de er også specifikke for matematik. Det er muligt, at man kan formulere lignende kompetencer m.v. for andre fagfelter, måske endda med anvendelse af mange af de samme ord. Men elementerne i matematikkompetencerne refererer alle til sagsforhold, som er af specifik matematisk art.

4.5 Overblik og dømmekraft vedrørende matematik som fagområde

"Aktive indsigter" vedr. mat. karakter og rolle i verden

De omtalte kompetencer har som nævnt alle et handlingspræg, derved at de er rettet mod omgangen med forskellige typer af udfordrende matematiske situationer. Udover de sider af matematisk faglighed, som vi med disse kompetencer forsøger at indfange, har vi fundet det ønskeligt at operere med en type "aktive indsigter" vedrørende matematikkens karakter og rolle i verden, som ikke har adfærdspræg i direkte forstand. Skønt disse indsigter udstyrer den, der besidder dem, med et sæt synsmåder, som giver overblik og dømmekraft over for matematikkens forbindelse til forhold og tilskikkelser i natur, samfund og kultur, og derved altså også kan siges at have en slags kompetencekarakter, blot rettet mod matematikken som fagområde snarere end mod matematiske situationer, afstår vi fra at kalde dem kompetencer for at undgå forvirrende sammenblanding med de ovenfor behandlede.

Genstanden er mat. som helhed

Besiddelsen af overblik og udøvelsen af dømmekraft er af væsentlig betydning for dannelsen af et balanceret billede af matematikken, selv om den ikke har adfærdskarakter i nogen simpel forstand. Pointen er altså, at genstanden for denne dømmekraft er matematikken som helhed og ikke specifikke matematiske situationer eller problemstillinger.

Tre slags overblik og dømmekraft

Det drejer sig om på baggrund af viden og kunnen at besidde overblik og dømme kraft vedrørende a) matematikkens faktiske anvendelse i andre fag- og praksisområder, b) matematikkens historiske udvikling, såvel internt som i samfundsmæssig belysning, og c) matematikkens karakter som fagområde.

Punkter i det uendeligt fjerne

Man kunne måske mene, at der med valget af termerne "overblik" og "dømmekraft" tages nogle store ord i brug, ikke mindst når vi insisterer på, at de giver mening på alle uddannelses- og undervisningstrin. I betragtning af at man aldrig vil kunne tale om "fuldstændigt overblik" og "total dømmekraft", som nærmest må ses som "punkter i det uendeligt fjerne", skal begreberne forstås relativt. Derved adskiller de sig jo ikke fra de otte kompetencer, som jo heller aldrig kan besiddes til fuldkommenhed. Det afgørende er, at de perspektiver på matematik som der her er tale om, gøres til genstand for udtrykkelig behandling, refleksion og artikulation.

4.5.1 Matematikkens faktiske andvendelse i andre fag- og praksisområder

Hvem anvender mat. til hvad?

Genstanden for denne form for overblik og dømmekraft er den faktiske anven delse af matematik til udenomsmatematiske formål inden for områder af dagligdags, samfundsmæssig eller videnskabelig betydning. Denne anvendelse kommer i stand og til udtryk gennem bygningen og udnyttelsen af matematiske modeller.

Kommentar

Afgrænsning til modelleringskomp.

Mens den tidligere beskrevne modelleringskompetence vedrører evnen til at handle i konkrete udenomsmatematiske situationer og problemstillinger, hvor matematikken bringes i spil, er der her snarere tale om en bred og sammenfattende form for overblik og dømmekraft af en nærmest sociologisk og videnskabsteoretisk art. Det er oplagt, at en veludviklet modelleringskompetence bidrager til en konkret forankring og konsolidering af overblik og dømmekraft, men det er ikke en automatisk følge heraf.

Sagen kan eksemplificeres af spørgsmål som:

• "Hvem uden for matematikken selv bruger den faktisk til noget?"

• "Til hvad?"

• "Hvorfor?"

• "Hvordan?"

• "Gennem hvilke midler?"

• "På hvilket grundlag?"

• "Med hvilke konsekvenser?"

• "Hvad skal der til for at kunne bruge den?"

Mat.’s udvikling i tid og rum

Genstanden for denne form for overblik og dømmekraft er det forhold, at matema tikken har udviklet sig i tid og rum, i kultur og samfund.

Kommentar

Ikke at forveksle med mat.historie

Den form for overblik og dømmekraft, der her er tale om, må ikke forveksles med kendskab til "matematikkens historie" anskuet som et selvstændigt emne. Fokus er på selve det forhold, at matematikken har udviklet sig, i kulturelle og samfundsmæssigt betingede miljøer, og på de drivkræfter og mekanismer som er ansvarlige for denne udvikling. På den anden side er det oplagt, at hvis overblik og dømmekraft vedrørende denne udvikling skal have soliditet, må de hvile på konkrete matematikhistoriske eksempler.

Hvor den førstnævnte form for overblik og dømmekraft kan siges at have et modstykke i en af kompetencerne, er noget tilsvarende ikke tilfældet her. Vi opererer ikke med en "matematikhistorisk kompetence" som en ingrediens i almen matematisk kompetence. Faktisk ville det være muligt at udpege og karakterisere en matematikhistorisk kompetence, men den må betragtes som for speciel til at høre hjemme i en generel sammenhæng.

Af interesse er spørgsmål som:

• "Hvordan har matematikken udviklet sig gennem tiden?"

• "Hvad har været de indre og ydre drivkræfter i udviklingen?"

• "Hvilke slags aktører har været indblandet i udviklingen?"

• "I hvilke samfundsinstitutioner har den fundet sted?"

• "Hvordan har samspillet med andre felter været?"

4.5.3 Matematikkens karakter som fagområde

Mat.’s karakteristika i forhold til andre fagområder

Som fagområde har matematikken sine egne karakteristika. Det er disse karakte ristika, der er genstand for den foreliggende type overblik og dømmekraft. Nogle karakteristika har matematikken tilfælles med andre fagområder, andre er den ret alene om.

Kommentar

Kræver artikulation og refleksion

Samtlige otte kompetencer bidrager til at forankre denne form for overblik og dømmekraft og til at give den kød og blod. Derved er det nok den blandt de tre former for overblik og dømmekraft, som i størst udstrækning ligger i forlængelse af kompetencerne. Pointen er imidlertid, at kun hvis matematikkens særlige karakter som fagområde i sig selv gøres til genstand for belysning og overvejelser, skabes bevidst og artikuleret overblik og dømmekraft.

Skulle man fremhæve nogle af kompetencerne som bidragende i særlig grad til at skabe fundament for overblik og dømmekraft vedrørende de særlige træk ved matematik, må det blive tankegangs-, ræsonnements- og symbol- og formalismekompetencerne.

Eksemplificering

Der tænkes her på spørgsmål som:

• "Hvad er karakteristisk for matematikkens problemstillinger, tankegange og metoder?"

• "Hvilke slags resultater leverer den, og hvad bruges de til?"

• "Hvilken videnskabsteoretisk status har dens begreber og resultater?"

• "Hvordan er matematikken opbygget?"

• "Hvordan er dens forbindelse til andre discipliner?"

• "På hvilke måder adskiller den sig som videnskab fra andre discipliner?"

4.6 Yderligere bemærkninger

Ikke automatiske konsekvenser af komp.

De betragtede typer af overblik og dømmekraft kan, som det fremgår, ikke automatisk afledes af de otte kompetencer, som er gennemgået ovenfor, men må på den anden side, for at være ordentligt forankrede, hvile på et fundament af disse kompetencer. Det er med andre ord ikke tilstrækkeligt for at besidde overblik og dømmekraft vedrørende matematik, at man har hørt (fortællinger) om matematikkens anvendelse, historiske udvikling og særlige karakter.

Det kan måske forekomme lidt vanskeligt at skelne mellem på den ene side den "undersøgende" del af de otte kompetencer og på den anden side de angivne typer af overblik og dømmekraft, måske navnlig den først- og sidstnævnte. Hovedforskellen er, som antydet, at kompetencerne altid skal tænkes udøvet over for konkrete matematiske objekter, problemstillinger eller situationer, mens overblik og dømmekraft her vedrører matematikken som et samlet fagområde, der har en særlig karakter, historie og samfundsmæssig placering, og som anvendes uden for sit eget terræn til formål, der ikke i sig selv er af matematisk art.

Generelle og sammenfattende, men mat.specifikke

Som tilfældet var med de otte kompetencer, er også de nævnte typer af overblik og dømmekraft af en generel og sammenfattende natur. Også de giver mening for (og er derfor uafhængige af) ethvert konkret matematisk indhold, ligesom de giver mening for ethvert uddannelsestrin, samtidig med at de er specifikke for matematik.

4.7 Anvendelsen af kompetencebeskrivelsen af matematisk faglighed

Et uendeligt spektrum af beherskelsesniveauer

Den enkelte kompetence kan anskues som et uendeligt, tredimensionalt, kontinuert spektrum af beherskelsesniveauer. Det samme gælder for overblik og dømmekraft vedrørende matematik. Besiddelsen af en kompetence, overblik eller dømmekraft er ikke et spørgsmål om enten-eller. Ser vi blot på dækningsgraden, kan man besidde en kompetence på et meget elementært plan, der kun omfatter de mest grundlæggende aspekter af den. Jo flere aspekter af en kompetence man kan aktivere og kombinere, jo flere sammenhænge og situationer man kan bringe den i spil over for, dvs. jo større rækkevidde kompetencen har for én, og jo mere begrebsligt og teknisk avancerede sagsforhold man kan håndtere den i, jo højere er det niveau, hvorpå man besidder denne kompetence.

Derimod kan man aldrig besidde en kompetence, et overblik eller dømmekraft fuldt ud, eftersom der ingen ende er på, hvor dybtliggende, sammensatte og komplicerede sagsforhold den kan angå. Alt dette betyder dog ikke nødvendigvis, at det i praksis er umuligt at foretage mere pragmatiske opdelinger af en kompetence i et mindre antal beherskelsesniveauer, hvis det er det, man ønsker.

4.7.1 Begrebsapparatet anvendt normativt og deskriptivt

Kompetencebeskrivelsen af matematisk faglighed kan nu anvendes til fagbeskrivelse på to forskellige måder.

Normativ brug, fx til fastlæggelse af læseplaner

Den kan anvendes normativt, dvs. til beslutninger om,med hvilken vægt og på hvil ket beherskelsesniveau de enkelte kompetencer bør være på dagsordenen i en given læseplanssammenhæng på et foreliggende undervisningstrin. Derved bliver kompetencerne et hovedinstrument til fastlæggelse af læseplaner (men ikke det eneste instrument). Denne brug er øjensynlig nært knyttet til forestillinger om formål og mål med undervisningen.

Denne normative brug af kompetencer kunne i princippet godt føre til, at det besluttes, at en eller flere af kompetencerne enten slet ikke skal søges udviklet på et givet undervisningstrin, eller at kun visse træk ved dem skal være på dagsordenen. Det kunne fx være, at nogle af kompetencerne kun optræder i deres undersøgende skikkelse, mens der gives afkald på at betone den produktive side af dem. I den forbindelse er det ikke umuligt, at det i selve formuleringen af en læseplan kunne være hensigtsmæssigt at foretage en sammensmeltning af nogle af kompetencerne eller af træk ved dem, for ikke at operere med en større detaljeringsgrad i beskrivelsen end den der efterstræbes i den pågældende sammenhæng.

Deskriptiv brug, fx til belysning af mat.uv.’s realitet

Kompetencerne kan også anvendes deskriptivt, dvs. til at beskrive og analysere hvad der faktisk er på færde i en given matematikundervisning, både på læseplansniveau og i den daglige undervisning. Desuden kan de bruges som et hjælpemiddel til detektering og karakterisering af matematiktilegnelsen hos den enkelte elev.

4.7.2 Kompetencebeskrivelsen som metakognitiv støtte

Hjælpemiddel i uv. for lærere og elever

Ud over til fagbeskrivelse kan kompetencebeskrivelser bruges som metakognitiv støtte, dvs. som hjælpemiddel i den daglige undervisning, både deskriptivt og normativt. Dels kan læreren betjene sig af dem i planlægningen og gennemførelsen af sin undervisning, dels kan de simpelthen gøres til genstand for samtaler og diskussioner mellem lærer og elever, og mellem eleverne indbyrdes, om hvad undervisningen går ud på, og om hvad der faktisk foregår, henholdsvis burde foregå, både på undervisnings- og tilegnelsesplan.

Endelig kan kompetencerne benyttes i lærerens faglige, didaktiske og pædagogiske diskussioner med kolleger.

4.7.3 Kompetencebeskrivelsen som omdrejningspunkt, ikke som stående alene

Stofvalg hviler på mere end komp.

Det er ikke tanken, at kompetencebeskrivelser er det eneste, der er at sige om kon kret fagbeskrivelse i en given sammenhæng. Et givet sæt af kompetencer kan fremmes og aktiveres ved beskæftigelsen med en mangfoldighed af helt forskelligt fagligt stof, sådan som det også er antydet i eksemplerne til illustration af de enkelte kompetencer. Hvad dette stof nærmere skal være, kan altså ikke afgøres alene ved betragtning af kompetencerne.

Når vi dertil lægger, at det er de samme kompetencer som - om end med forskellig vægt og prioritering - er på færde på ethvert undervisningstrin, og at undervisningen jo ikke uafbrudt skal beskæftige sig med det samme stof, er det klart, at valget af det undervisningsstof som kompetencerne skal manifesteres i forhold til må ske ved inddragelse af yderligere synsvinkler end kompetencerne alene. Til gengæld er det afgørende, at overvejelser over undervisningsstoffets egnethed til at fremme de kompetencer, der programsættes, spiller en væsentlig rolle for beslutningerne om stofvalg.

På tilsvarende måde forholder det sig med valget af evalueringsinstrumenter, herunder eksamensformer. Man kan ikke aflede disse instrumenter af kompetencerne, men mange gængse evalueringsinstrumenter tillader kun evaluering af et meget begrænset udsnit af de omtalte kompetencer. Det bliver derfor en hovedopgave at konstruere og implementere evalueringsinstrumenter og -rammer som egner sig til at evaluere kompetencerne.

Uv.aktiviteter til fremme af komp.

Endelig er der hidtil intet sagt om det, som måske ofte er det væsentligste: De ak tiviteter som bringes i spil i en given undervisning. Der er aktiviteter, som kun i ringe grad egner sig til at fremme opbygningen af hele spektret af kompetencer, mens andre har en større rækkevidde, hvad kompetencer angår. Hvordan sådanne relevante aktiviteter kan udtænkes, kombineres og implementeres, er en hovedopgave for den daglige undervisning, uanset trin. Det er et spørgsmål, som vi skal strejfe i slutningen af denne rapport.

Denne side indgår i publikationen "Kompetencer og matematiklæring" som kapitel 4 af 11
© Undervisningsministeriet 2002