2. Besvarelse af kommissoriet

2.1 Indledning

Rapporten ikke opbygget efter kommissoriets spørgsmål

Den foreliggende rapport er ikke opbygget i overensstemmelse med spørgsmålene i kommissoriet, idet projektet først - i den i forrige kapitel nævnte afklaringsfase - har bestået i at skabe en struktur på feltet, som kommissoriet i sagens natur ikke kunne ventes at rumme ved projektets begyndelse. Ikke desto mindre er de fleste af kommissoriets spørgsmål i realiteten mere eller mindre direkte behandlet i de følgende kapitler i rapporten. Dette kapitel har til opgave at levere en kort sammenfatning af, hvad vi på denne baggrund mener, vi kan sige i forhold til de enkelte spørgsmål i kommissoriet, jf. afsnit 1.2 (side 15).

Spørgsmålene belyst, ikke besvaret

Det fremgår uden videre, at disse spørgsmål, taget i deres bredde, dækker et meget stort udsnit af de forhold, der er væsentlige i tilknytning til matematikundervisning. Et fyldestgørende forsøg på besvarelse af dem alle ville indebære års studier og lede til en rapport i mange bind. Det er i erkendelse heraf, at kommissoriet ikke beder om svar på spørgsmålene, men om belysning af dem, jf. afsnit 1.2.

2.2 Kommissoriets enkelte punkter

2.2.1 a) I hvilken udstrækning er der behov for at forny den eksisterende matematikundervisning?

Meget går godt, men der eksisterer problemer og udfordringer

Projektets indledende fase, problemafklaringsfasen, hvis hovedresultater er inde holdt i kapitel 10 af denne rapport, tog først og fremmest sigte på at afdække et sæt problemer for, i og med matematikundervisningen i Danmark. Konklusionen på denne fase var, at i adskillige henseender rummer dansk matematikundervisning centrale og bevaringsværdige kvaliteter på alle uddannelsestrin (om end kvaliteternes art varierer fra trin til trin), men at der også er en række problemer og udfordringer, som skaber et behov for fornyelse af visse sider af den eksisterende matematikundervisning.

Begrundelsesproblemer

Vi har identificeret en kreds af problemer relateret til matematikundervisningens begrundelse.

Mat.holdige udd. fravælges

Hertil hører det problem, at elever og studerende fravælger matematikholdige ud dannelser og uddannelsesgrene i en sådan grad, at der opstår et misforhold mellem de kvalifikationer, børn og unge tilegner sig, og dem, der er brug for i det arbejdsmæssige, offentlige og private liv. Hovedproblemet her er ikke først og fremmest den svigtende rekruttering til matematiske fag i uddannelsessystemet, om end der er en voksende mangel på kompetente matematiklærere i folkeskole og gymnasium, men det forhold at de unge i stort tal fravælger andre slags uddannelser med et markant islæt af matematik. Eftersom dette er et veldokumenteret, internationalt fænomen og problem, kan ikke alle dets årsager være særlige for Danmark. Det forhindrer selvsagt hverken, at de internationale tendenser overlejres eller forstærkes af specifikt danske forhold, eller at der er mulighed for gennem uddannelsessystemet i almindelighed og matematikundervisningen i særdeleshed at modvirke disse tendenser og de problemer, de skaber.

Relevansparadokset

Et andet problem i denne kreds er det såkaldte "relevansparadoks", som består i misforholdet mellem på den ene side matematikkens objektive, om end oftest skjulte, relevans for samfundets virksomhed, bredt forstået, og, på den anden side, den subjektive irrelevans som mange af matematikundervisningens modtagere føler med hensyn til deres egen beskæftigelse med matematik. Relevansparadokset manifesteres bl.a. som et isolationsproblem for matematikundervisningen, fx når den har vanskeligt ved at blive bragt i samspil med undervisningen i andre fag. Motivationsproblemet - som forstærkes af relevansparadokset, men også har sin egen baggrund og sit eget liv - består i, at mange elever finder arbejdet med matematik kedeligt, menings- eller perspektivløst, eller blot for krævende i forhold til de forventelige gevinster ved arbejdet.

Truslen mod "mat. for alle"

Det sidste af begrundelsesproblemerne er den gradvis voksende trussel mod "ma tematik for alle", der især ses i lande som USA, Japan, Tyskland og i mere spredt form i Norge og Sverige, men som også vinder frem i Danmark. I nogle kredse i samfundet sættes simpelthen spørgsmålstegn ved, om matematikkundskaber og matematiske kompetencer nu virkelig er så vigtige for hele befolkningen. Er det ikke nok, at sådanne kundskaber og kompetencer kun besiddes af et mindretal - mens resten kan klare sig med matematik formidlet og camoufleret af brugervenlige IT-systemer? I andre kredse, hovedsagelig blandt visse matematikere og naturvidenskabsfolk, er der snarere skepsis over for, at "for alle" betyder "for alle og sammen", idet frygten i disse kredse er, at "de svage" i henseende til tilegnelsesevne og motivation skal trække matematikundervisningen ned på et niveau, hvor den trivialiseres, så den ikke appellerer til eller giver tilstrækkeligt udbytte for "de stærke". Derved får ingen af parterne noget ud af matematikundervisningen, og samfundet får ingen, som besidder tilstrækkelige matematiske kompetencer. Uanset hvilken holdning man indtager til disse trusler mod "matematik for alle", giver de anledning til alvorlige udfordringer til dansk matematikundervisning og dens selvforståelse.

Implementationsproblemer

Den anden kreds af problemer, som er taget op i denne rapport, har vi samlet under overskriften implementationsproblemer.

Mat.lærernes kvalifikationer

Det første blandt disse knytter sig til matematiklærernes kvalifikationer. Selv om det mest karakteristiske ved de forskellige stænder af matematiklærere er den meget store spredning, som findes inden for hver stand, må det ses i øjnene, at der, hvis man ser på gennemsnittet, er rum for forbedring af lærernes kvalifikationer, inklusive deres holdninger, enten i faglig henseende, eller i didaktiskpædagogisk henseende eller i begge. Det gælder, hvad enten man ser på folkeskolelærere, diverse kategorier af lærere i ungdomsuddannelserne eller på matematiklærere på de videregående uddannelser.

Sammenhæng, overgange og progression

Vi har også blandt implementationsproblemerne hæftet os ved sammenhængs, overgangs- og progressionsproblemer i matematikundervisningen. Sammenhængsproblemet består i, at det fag, der bærer navnet matematik, i virkeligheden er så forskelligt tænkt, fortolket og realiseret i de forskellige afsnit af uddannelsessystemet, at det kan være svært at få øje på, hvad der er fælles for faget. For de elever, der i forskellige perioder i deres liv skal opholde sig i forskellige uddannelsesafsnit, giver dette anledning til forvirring og orienteringsvanskeligheder. Af særlig styrke er disse problemer, når det gælder overgangen fra et afsnit til et andet (fx fra folkeskole til gymnasiale uddannelser, eller fra gymnasiale uddannelser til videregående uddannelser), hvor der ofte opstår betydelig usikkerhed både hos elever og lærere, spild af mentale og andre ressourcer, svækkelse af motivation og interesse osv. Problemet med at opnå tilstrækkelig progression i matematikundervisning og -tilegnelse, både mellem og inden for uddannelsesformerne, hører hjemme i denne kontekst.

Spredningen i elevernes udbytte

Et andet implementationsproblem er problemer med spredningen i det udbytte, eleverne opnår ved undervisningen på et givet trin. Denne spredning er i dansk matematikundervisning ganske betydelig. Ud over at dette giver anledning til et problem med at fastholde et ensartet niveau for målgruppen for undervisningen, giver spredningen anledning til, hvad vi kalder et deklarationsproblem, som opstår ved "migration" på langs eller tværs i uddannelsessystemet, hvor modtagerne af de forskellige dimittendgrupper ikke ved, hvad de kan forvente af den matematiske bagage hos de elever, de modtager.

Undervisningsdifferentiering

Også de problemer, der forefindes ved den undervisningsdifferentiering, som prak tiseres i uddannelsessystemet, rubriceres som et implementationsproblem. Uanset hvilke forestillinger og hensigter man har med undervisningsdifferentiering (begrebet dækker i virkeligheden over flere forskellige, og på nogle punkter modstridende, ting), må der konstateres problemer med at skabe klare rammer og tilstrækkelige ressourcer til at virkeliggøre differentieringen. Og ønsket, men mislykket undervisningsdifferentiering er et problem i sig selv.

Evaluering

De sidste problemer, vi fremdrager i denne problemkreds, knytter sig til evaluering. Her peger vi dels på disharmoniproblemet, der består i, at mange af de traditionelt benyttede evalueringsformer kun i begrænset grad tillader evaluering af de matematiske kundskaber og kompetencer, man egentlig ønsker at fremme i matematikundervisningen. Dels fremhæver vi det mere dybtliggende fortolkningsproblem, som omfatter de ganske store vanskeligheder, der er ved at sikre sig, at de evalueringsformer, som faktisk benyttes, både tillader og udnyttes til en holdbar afdækning af elevernes matematiktilegnelse ogbeherskelse.

Fornyelse der adressérer de nævnte problemer

Det ovenstående skal ikke gøre det ud for en udtømmende kortlægning af pro blemerne for, i og med matematikundervisningen i Danmark. Men de fremdragne problemer er efter arbejdsgruppens opfattelse blandt de vigtigste. Heraf følger så det koncise svar på spørgsmål a): Der er behov for at forny den eksisterende matematikundervisning på en sådan måde og i en sådan udstrækning, at de ovenfor nævnte problemer kan løses eller reduceres betragteligt. De foreslåede midler til en sådan fornyelse er omtalt i kapitel 11, som rummer KOM-projektets anbefalinger.

2.2.2 b) Hvilke matematiske kompetencer skal der være opbygget hos eleverne på de forskellige stadier af uddannelsessystemet?

Svaret på dette spørgsmål udgør indholdet af denne rapports del III og VII. I betragtning af uddannelsessystemets omfang og mangfoldighed kan svaret kun opsummeres i generel form, nemlig som følger.

Alle otte mat.komp. på dagsordenen fra uv.īs begyndelse

Løbende udvikling

I lærerudd. og fra A-niveau og frem forventes komp. fuldt dækkede

Fra begyndelsen af formaliseret matematikundervisning sættes alle otte matema tikkompetencer - jf. kapitel 4 - på dagsordenen for undervisningen. Det er en afgørende pointe i KOM-projektet, at dette sker, idet det er en hovedidé at benytte kompetencerne til at skabe en fælles referenceramme for al matematikundervisning. Til gengæld er det i begyndelsen kun visse af de karakteristiske træk ved den enkelte kompetence, der tages i betragtning. Op igennem uddannelsessyste met forudsættes gradvis flere træk af hver kompetence tilføjet elevens kompetencebesiddelse. Ved udgangen af det gymnasiale A-niveau skal hver kompetence i fuld udfoldelse være i elevens besiddelse. Det samme er tilfældet med de matematiktunge videregående uddannelser, herunder uddannelserne til matematiklærer for børn, unge eller voksne. I den forbindelse forudsættes det altså også, at universiteternes kandidat- og bacheloruddannelser i matematik, til forskel fra hvad der ofte har været tilfældet, sigter mod at udvikle modellerings-, kommunikationsog hjælpemiddelkompetence. Hvad angår de ikke-matematiske, men matematikforbrugende uddannelser, som findes efter den almene skolegang, forventes igen  kun visse af kompetencerne at indgå i den matematiske bagage, som eleven eller den studerende søges udstyret med. Særlig vægt lægges her på modelleringskompetencen, og på hvad der i øvrigt skal til for at begå sig med matematik i ekstramatematiske forbindelser.

Nyttigt at belyse mat.indholdet i erhvervsudd.

Der kan være grund til en særlig bemærkning vedrørende de mange erhvervsuddan nelser, samt korte og mellemlange videregående uddannelser, som ikke i sig selv sigter mod at udvikle matematiske kundskaber hos deres elever og studerende, og som måske heller ikke leverer nogen undervisning under overskriften "matematik", men som ikke desto mindre betjener sig af eller de facto udvikler matematiske kompetencer. I denne rapport er gastronom-, elekriker- og datamatikeruddannelserne repræsentanter for denne store klasse af uddannelser. Det er her vores konklusion, at det vil være didaktisk og pædagogisk nyttigt at bringe selve det forhold, at disse uddannelser faktisk trækker på matematiske kompetencer, frem i lyset, ligesom det bør artikuleres, hvilke kompetencer der nærmere bestemt er tale om.

Komp. og fagligt stof

Mens kompetencerne i sig selv er på færde i hele uddannelsessystemet, er den måde, de manifesteres på i konkrete matematiske aktiviteter, meget variererende fra sted til sted, ikke mindst når det gælder samspillet med fagligt stof, sådan som det er behandlet i rapportens del IV. Der er uden tvivl også tale om, at vægtfordelingen mellem kompetencerne varierer med trin og sted.

Tre former for overblik og dømmekraft

På nogenlunde lignende vis forholder det sig med de tre former for overblik og dømmekraft vedrørende matematik som fagområde. Overblik og dømmekraft vedrørende henholdsvis matematikkens faktiske anvendelse i andre fag- og praksisområder og matematikkens karakter som fagområde er i princippet på færde fra matematikundervisningens begyndelse, men selvsagt på måder, der er tilpasset perspektiverne for de respektive uddannelsestrin, samt kompetencerne og det faglige stof, som undervisningen beskæftiger sig med. Overblik og dømmekraft vedrørende matematikkens historiske udvikling tænkes at indgå på et senere stadium i uddannelsesforløbet. Inden for de før omtalte erhvervsrettede uddannelser har det dog næppe mening at søge at udvikle overblik og dømmekraft vedrørende matematik som fagområde, ud over hvad der ligger i at gøre det klart for eleverne, at erhvervet faktisk indebærer og forudsætter visse matematiske kompetencer.

2.2.3 c) Hvordan sikrer man progression og sammenhæng i matematikundervisningen gennem hele uddannelsessystemet?

Nødvendigheden af mentalt fællesskab

Forudsætter vi et øjeblik, at vi ved, hvad der skal menes med progression og sam menhæng i matematikundervisningen, er én forudsætning afgørende, hvis progression og sammenhæng i matematikundervisningen gennem hele uddannelsessystemet skal sikres. Det er, at matematikundervisningsaktørerne - dvs. centrale og lokale myndigheder, lærere, læreruddannere, læremiddelsproducenter osv. - tænker på det samme fag, når de taler om matematik, og ikke kun på en ydre etiket, og at de opfatter deres opgave som værende på hver deres måde at bidrage til, at børn og unge op igennem uddannelsessystemet udvikler og udbygger deres matematiske kompetence. Med andre ord er det centralt, at matematikundervisningens aktører alle betragter sig som del af det samme overordnede undervisningsprojekt og ikke som aktører i en række adskilte projekter, der enten ikke har noget særligt med hinanden at gøre, eller som direkte kan komme hinanden på tværs. At skabe et sådant mentalt fællesskab er en mangesidet sag, der har at gøre med strukturelle og organisatoriske forhold, med faglige og professionsmæssige traditionsforskelle, og med arbejds- og lønvilkår m.m.m. Flere af disse forhold har ikke noget specielt med matematikundervisning at gøre og ligger derfor helt uden for rækkevidde af et projekt som det foreliggende.

Den for sammenhæng nødvendige følelse af fællesskab og samarbejde

Nyere eksempler på fællesskabsfremmende foranstaltninger

Inden for projektets rækkevidde er det derimod at bidrage på andre måder til ska belsen af det omtalte mentale fællesskab blandt folk, der er professionelt engagerede i matematikundervisning, uanset trin. I de senere år er der i Danmark sket en række tiltag, der på det organisatoriske plan har bidraget til at bringe matematikundervisningsfolk fra de fleste dele af uddannelsessystemet sammen. Man kunne nævne Danmarks Matematikundervisningskommission, Forum for Matematikkens Didaktik, arbejdet med at forberede Verdensmatematikåret 2000 i Danmark, projektet "Matematik og naturvidenskab i verdensklasse" vedrørende folkeskolen og gymnasiet i hovedstadsområdet, og arbejdet med at forberede ICME-10 - den tiende verdenskongres for matematikundervisning og matematikkens didaktik, som skal finde sted i København i 2004 - som nyere eksempler på fællesskabsfremmende foranstaltninger. Disse tiltag kan KOM-projektet visselig ikke tage æren for. Men de er et udtryk for, at der er en stigende forståelse for vigtigheden af fællesskab og samarbejde, samt en voksende grobund for begge dele. KOM-projektet i sig selv har, med dets kontakter til alle lag i uddannelsessystemet, været en vigtig accelerator og katalysator i samme retning.

Oprettelsen af lokale kontaktorganer tiltrængt

I anbefalingerne i kapitel 11 har vi yderligere foreslået en række tiltag, som har til formål at styrke det mentale og organisatoriske fællesskab i matematikundervisningen, ikke mindst i sammenhæng med overgangen mellem de store afsnit af uddannelsessystemet, fra folkeskole til ungdomsuddannelser og fra ungdomsuddannelser til videregående uddannelser, hvor vi har anbefalet oprettelsen af diverse lokale organer til varetagelse og fremme af kontakt mellem uddannelsessystemets dele.

Sådanne forbedrede muligheder for at etablere mødesteder mellem mange slags matematikundervisere danner en tiltrængt, for ikke at sige nødvendig, platform for at skabe den omtalte bevidsthed om matematikundervisningen som et fælles projekt. Det næste spørgsmål er så, hvordan dette kan videreføres i en fælles forståelse af, hvad det fælles projekt nærmere går/skal gå ud på. KOM-projektets bud på det er, at projektet skal gå ud på at bibringe matematikundervisningens modtagere på alle trin de i denne rapport omhandlede matematiske kompetencer og former for overblik og dømmekraft.

Forståelsen af sammenhæng

Den måde, hvorpå progression og sammenhæng herefter skal forstås og beskrives, er så hæftet op på disse kompetencer m.v. Sammenhængen består i, at det er de samme kompetencer, som efterstræbes overalt i uddannelsessystemet, således at matematikfaget ikke falder i en række ret forskellige fag, bundet sammen af den samme overskrift. Sammenhængen består endvidere i, at det er de samme ti matematiske stofområder, hvorfra det matematiske stof skal hentes, som foreslås gjort til genstand for undervisningen fra folkeskole til indledende videregående undervisning. Som fremhævet mange gange i denne rapport manifesterer kompetencerne sig forskelligt på de forskellige trin, ligesom den nærmere realisering af de matematiske stofområder selvsagt er bestemt af trinnet.

Progression i den enkeltes matematikbeherskelse

Progression i matematikbeherskelse og -undervisning

Hvad progression i den enkeltes matematikbeherskelse angår, består den dels i til vækst af matematisk kompetence, overblik og dømmekraft, dels i indvinding af nyt land vedrørende de matematiske stofområder, den enkelte bliver i stand til at begå sig i og med. Kompetencerne udvikles og udøves i beskæftigelsen med matematiske stofområder. I dette projekt foreslår vi at detektere og fremme progression i den enkelte matematiske kompetence ved at fokusere på dens vækst i tre dimensioner, nemlig dækningsgrad, aktionsradius og teknisk niveau, jf. afsnit 4.4.4 (side 64). Ses udviklingen af henholdsvis aktionsradius og det tekniske niveau for samtlige kompetencer under ét, fås en tæt kobling mellem kompetenceudvikling og indvinding af nyt land vedrørende matematiske stofområder. Progression i matematikundervisningen bliver derved synonymt med det at skabe progression i den enkeltes matematikbeherskelse, som netop beskrevet. Såvel progression i matematikbeherskelse som i matematikundervisning bliver altså den samme sag inden for, og på langs af, de enkelte udsnit af uddannelsessystemet, og dermed også hen over de sektorielle og institutionelle grænser, som uddannelsessystemet rummer.

Vedr. spørgsmålet om "hvordan"

Forstås progression på denne måde, bliver det pædagogiske hovedspørgsmål, hvor dan man konkret kan tilrettelægge en matematikundervisning, der fremmer den. Her bliver KOM-projektet nødt til at lade sig nøje med et par generelle betragtninger, idet en mere indgående behandling af dette spørgsmål for alle de relevante uddannelsestrin ville række langt ud over projektets rammer.

For det første er det vores opfattelse, at udnyttelsen af selve den her præsenterede kompetencetænkning overalt i matematikundervisningen, ikke mindst i dens hverdag, i sig selv vil være et første skridt til fremmelse af progression i undervisningen, alene ved at øge opmærksomheden om forehavendet.

For det andet vil udnyttelsen af denne tankegang i planlægningen, tilrettelæggelsen og gennemførelsen af undervisningen kunne bidrage til orkestrering af undervisnings- og læringsaktiviteter, som udtrykkeligt har til formål at udvikle den enkelte elevs matematiske kompetencer. Uden at vi her skal forsøge at gå i detaljer, lader det sig uden videre hævde, at der, som orkestermetaforen også lægger op til, er brug for en righoldig mangfoldighed af sådanne aktiviteter, der hver på sin måde, på sit sted og til sin tid kan bidrage til udvikling eller konsolidering af nogle af matematikkompetencerne.

For det tredje vil tilretningen og konstruktionen af evalueringsformer oginstrumenter, som sigter mod - og egner sig til - at detektere, karakterisere og bedømme matematiske kompetencer, tjene til at fremme den enkeltes kompetenceudvikling, men også til at skabe input til justering af selve undervisningen, så den i højere grad fremmer progression.

2.2.4 d) Hvordan måler man matematiske kompetencer?

Statisk og dynamisk måling i tre dimensioner

Udgangspunktet for måling, dvs. detektering, karakterisering og også bedømmelse af en matematisk kompetence, er de flere gange omtalte tre dimensioner ved kompetencen: dækningsgrad, aktionsradius og teknisk niveau. Som nærmere omtalt i kapitel 9 er dette midlet både til en statisk tilstandsbeskrivelse og en dynamisk udviklingsbeskrivelse. Med andre ord går en statisk eller dynamisk måling af en kompetence ud på at måle dens dækningsgrad, aktionsradius eller tekniske niveau.

Hvordan?

Men selv om det nu i princippet er klarlagt, hvad der skal måles, er det ikke dermed sagt, hvordan det kan/skal måles, dvs. under hvilke omstændigheder og med hvilke instrumenter målingen kan udføres. Store dele af kapitel 9 er viet en gennemgang af henholdsvis veletablerede, nyere og endnu knap nok eksisterende evalueringsformer og -instrumenter, som enten kan benyttes til summativ evaluering i form af prøver og eksamener ved afslutningen af et uddannelseafsnit eller en uddannelse, eller som læreren kan benytte til formativ evaluering undervejs i matematikundervisningen, i begge tilfælde med de matematiske kompetencer som evalueringsgenstand.

Et bredt spektrum af redskaber er nødvendigt

Det bliver her dels konkluderet, at intet enkelt evalueringsredskab er tilstrække ligt til at indfange hele spektret af kompetencer (eller de tre former for overblik og dømmekraft). Et bredt spektrum af redskaber er nødvendigt. Det konkluderes endvidere, at størstedelen af de gængse evalueringsformer og -instrumenter faktisk egner sig til at evaluere nogle af kompetencerne, og til sammen ganske mange af dem, forudsat at de "bygges om" og orienteres til specifikt at sigte på de relevante kompetencer. Det kræver et ikke forsvindende, men ikke desto mindre overkommeligt, tilretnings- og udviklingsarbejde at bringe det i stand. Endelig konkluderes det, at skønt man med tilretning af de kendte evalueringsredskaber kan komme et ganske langt stykke vej med at evaluere kompetencerne, er der fortsat behov for at udvikle nye redskaber til brug for evaluering af disse, ikke mindst i forbindelse med det, diverse spektra af undervisnings- og aktivitetsformer, moderne matematikundervisning betjener sig af.

2.2.5 e) Hvilket indhold skal der være i et tidssvarende matematikfag?

Indhold som en kombination af kompetencer, stofområder og konkret indhold

Det er et af udgangspunkterne for KOM-projektet, at indholdet af et tidssvarende matematikfag ikke udelukkende kan karakteriseres ved hjælp af det faglige stof, matematikundervisningen omhandler. Indholdet består også i de kompetencer og i de former for overblik og dømmekraft, som sættes på dagsordenen for undervisning og læring, samt i det konkrete indhold, også af ekstra-matematisk art, som indgår i de objekter, fænomener, situationer, problemer, spørgsmål osv., som behandles i undervisningen.

Det indebærer imidlertid ingenlunde, at faglige stofområder er af sekundær betydning for matematikundervisningen. Således vil enhver udvikling og udøvelse af matematiske kompetencer finde sted i omgangen med faglige stofområder. Her har arbejdsgruppen peget på ti matematiske stofområder, som må danne den matematikstoflige grundstamme i størstedelen af matematikundervisningen fra indskoling til det første år eller to af universiteternes matematikstudier. Det forhindrer ikke, at der i forskellige sammenhænge kan være mening i eller brug for at inddrage andre stofområder. Dette er naturligvis navnlig tilfældet på videregående uddannelsestrin. Denne problemstilling har vi ladet ligge i dette projekt.

Ti stofområder

De ti stofområder er talområderne, aritmetik, algebra, geometri, funktioner, infinitesimalregning, sandsynlighedsregning, statistik, diskret matematik og optimering. I rapportens del IV er der foretaget en nærmere karakterisering, i overordnede termer, af indholdet i de ti stofområder, ligesom der er gjort rede for forbindelsen mellem disse stofområder, kompetencerne og uddannelsestrin i et tredimensionalt kasseskema, som ikke mindst tjener til at slå fast, at der er tale om tre helt forskellige akser, som bringes i samspil.

Klassiske overskrifter og afgrænsninger

Stofområderne er med vilje valgt med ret klassiske overskrifter og afgrænsninger, bl.a. for at skabe overensstemmelse med den måde, matematikkens stofarkitektur nu engang har udviklet sig og er konstitueret på. Vi har altså ikke ønsket at bevæge os ind på den vej, som diverse udenlandske (frem for alt angelsaksiske) læreplansprojekter har betrådt, nemlig at erstatte traditionelle matematiske stofområder med overgribende tematiske eller fænomenologiske kategorier, som fx "rum", "form og mønstre", "forandring og vækst", "måling" osv. Sådanne kategorier kan være værdifulde i bestemte, afgrænsede forbindelser, fx i relation til en bestemt skoleform, men er næppe så nyttige, når man forsøger at identificere stofområder, som kan gøres gældende på mange, i øvrigt forskelligartede, uddannelsestrin.

"Anvendelsestoning" i valget af stofområder

En anden ledetråd for valget af stofområder er, at disse skulle afspejle det forhold, at størstedelen af den matematikundervisning, der gives i Danmark, i en eller anden forstand har - og bør have - et anvendelsesorienteret sigte. Et tidssvarende matematikfag, som ikke henvender sig til en snæver kreds af teoretiske specialister, må tage dette alvorligt. Det har ført til, at vi ud over basale internt matematiske stofområder har lagt vægt på sådanne, som enten direkte i deres teoribygning er motiveret af anvendelsesspørgsmål (det gælder sandsynlighedsregning, statistik og optimering), eller som er af central betydning for anvendelsen af matematik i andre fageller praksisområder (fx aritmetik, aspekter af geometri, aspekter af funktioner, infinitesimalregning og diskret matematik).

Stofområderne som grundliste for fastlæggelsen af det nærmere ønskede stof

At de ti stofområder er valgt som dækkende for størstedelen af matematikunder visningen, betyder ikke, at alle stofområder, eller alle de nærmere omtalte sider af et givet stofområde, foreslås programsat for alle de berørte uddannelsestrin. For eksempel anser vi det ikke for meningsfuldt at forlange, at algebra som eksplicit behandlet stofområde skal optræde før på grundskolens afsluttende trin (7.-9.klassetrin), eller at infinitesimalregning skal optræde i grundskolen eller i grundskolelæreruddannelsen.

Ikke for stor detaljering i fastlæggelsen

Pointerne er, at de ti stofområder danner en grundliste, hvorfra det nærmere ønskede stof på et givet trin skal hentes. I den forbindelse har arbejdsgruppen anset det for afgørende for et tidssvarende matematikfag, at der ikke - på noget undervisningstrin - sker en for stor detaljering af de stofkomponenter, som skal indgå i undervisningen. Stofvalget bør - for ikke at modarbejde de bærende hensigter og idéer med det foreliggende projekt - ske med en ret høj grad af sammenfatning. Blandt de former for modarbejdelse, som overdreven detaljering i stoffastlæggelsen erfaringsmæssigt kan frygtes at bevirke, er stoftrængsel og ansvarsforflygtigelse blandt matematikundervisningens udøvere.

2.2.6 f) Hvordan sikrer man, at der sker en løbende udvikling af matematikfaget og matematikundervisningen?

Fremme følelsen af et fælles projekt er en del af svaret

Dele af svaret på dette - meget omfattende - spørgsmål er allerede givet i svaret på spørgsmål c): Man skaber vilkår, omstændigheder og organisatoriske rammer, der fremmer, at alle matematikundervisningens aktører ser sig selv som parthavere i et fælles projekt, uanset uddannelsestrin. Det forudsætter skabelse af platforme og bastioner, bl.a. som foreslået i kapitel 11, som kan sikre erfarings- og idéudveksling, muligheder og ressourcer for udviklingsarbejde, forsøgsvirksomhed osv.

Bedre forbindelse mellem forskning og praksis

Bedre forbindelser mellem forskning og praksis

Af særlig betydning er det her at få skabt langt bedre forbindelser mellem mate matikundervisningens praksis og den matematikdidaktiske forskning i landet. Sådanne forbindelser skal ikke bestå i, at matematiklærere skal gøres bekendt med forskningens resultater og sættes til at omsætte dem til praksis. Kun sjældent fører matematikdidaktisk forskning til direkte omsættelige, positive resultater.

Inspiration fra andre lande

Opgaven består snarere i at skabe forbindelser, centreret om konkrete forskningsog udviklingsarbejder mellem nogle lærere og nogle forskere. Vellykkede eksempler på sådanne arbejdsfællesskaber mellem praktikere og forskere kendes fx fra Frankrig (de såkaldte IREMer), Italien (de såkaldte NRDMer) og punktvis i USA. Ud over at være personligt givende for de direkte involverede er hovedudbyttet af sådanne aktiviteter, at der skabes "dønningseffekter" i både de berørte uddannelsesinstitutioner og forskningsmiljøer, derved at andre lærere og forskere får inspiration til deres virke fra aktiviteterne.

Gode muligheder for matematiklæreres efter- og videreuddannelse

Efter- og videreudd.

Derudover giver det sig selv, at righoldige og tilstrækkelige efter- og videreuddan nelsesmuligheder, konferencedeltagelse osv. for lærere på alle trin er essentielle, såvel for løbende udvikling af matematikfaget og matematikundervisningen i det hele taget, som i forhold til de perspektiver, der er fremdraget i dette projekt. Hvad det sidste angår, peger vi i kapitel 11 på, at det, alt andet lige, vil være mere virksomt for realiseringen af tankerne i - fx - dette projekt at satse kræfterne og ressourcerne på bedre grunduddannelse, samt efter- og videreuddannelse af lærerne, end på en øgning af timetallet for matematikundervisning i eksempelvis folkeskolen, selvom dette naturligvis kunne give matematikundervisningen mere udfoldelsesrum.

Udvikling bæres af lærerne

En vigtig grund til, at der på mange forskellige måder bør satses på at forbedre og udvikle lærernes arbejdsbetingelser, bredt set, er, at dette er forudsætningen for at lærerne føler sig respekteret og taget alvorligt af det politiske og administrative system. Gør de ikke det, er det umuligt at sikre en løbende udvikling af matematikfaget og matematikundervisningen, eftersom en sådan udvikling nødvendigvis må bæres af lærerne.

Reformer der respekteres af og involverer matematiklærerne

Reformer udelukkende dikteret fra oven er uden chance

KOM-projektet har investeret meget arbejde i at være et projekt, som var i løbende dialog og udviklingskontakt med mange slags matematikundervisningsaktører fra alle dele af uddannelsessystemet. Ud over at dette tænktes at bidrage til et bedre projekt, end tilfældet ellers ville have været, var denne fremgangsmåde et bevidst ønske om ikke at blive et "oppefra-og-ned-projekt". Det er uden tvivl en kendsgerning, at reformer, der alene sættes i værk ved diktat fra oven, nærmest ingen chance har for at slå igennem på andet end helt udvendige måder. Hvis ikke tilstrækkeligt mange af matematikundervisningens aktører føler medejerskab til en reform, er der endeløst mange forskellige måder, den reelt kan gå i vasken på, uden at det sker formelt.

Lærernes medejerskab og medvirken som nødvendig betingelse

Vi anser det derfor for at være en hovedsag, at enhver fremtidig reform finder sted på måder og i et tempo, som opnår lærernes faglige og procesmæssige respekt, tiltro, medejerskab og aktive medvirken, med mindre man da har til hensigt at udskifte hele korpset. Der er her tale om en nødvendig, ikke om en tilstrækkelig betingelse for en vellykket udvikling af matematikfaget og matematikundervisningen. Dette er ikke et spørgsmål om at stryge lærerne med hårene, men om at se realiteterne i øjnene. Hvilket hermed er anbefalet.

2.2.7 g) Hvad er samfundets krav til matematikundervisningen?

Overordnet set tre krav

Samfundets krav til matematikundervisningen er dels eksplicitte, dels implicitte, og ofte ligefrem ubevidste. I kort form har samfundet overordnet set tre forskellige hensigter med, og dermed krav til, matematikundervisningen (jf. afsnit 10.2).

Den skal bidrage til den teknologiske og socio-økonomiske udvikling af samfundet som helhed. Den skal udstyre individer med værktøjer, kvalifikationer og kompetencer, som kan hjælpe dem til at klare livets (ud)fordringer, som privatpersoner, i arbejdslivet og som samfundsborgere. Den skal bidrage til samfundets politiske, ideologiske og kulturelle vedligeholdelse og udvikling i Danmark i et demokratisk perspektiv.

Mulige indbyrdes konflikter

På det overordnede plan går disse hensigter udmærket i spænd med hinanden, og de kan endda ses som gensidigt forstærkende. Men når man på et konkret og pragmatisk plan skal omsætte dem i indretning af matematikundervisningen, kan de godt komme på tværs af, eller måske sågar i konflikt med, hinanden. Det sker især, hvis der skal foretages afvejninger og prioriteringer mellem forskellige hensyn og indsatser. Ønsker en sektor i samfundet fx at uddanne en arbejdskraft, som på et snævert område med hurtighed og sikkerhed kan udføre visse matematiske operationer af rutinemæssig karakter - det der af nogle er blevet kaldt "den levende regnemaskine" - og ønsker matematikundervisningen indrettet og gennemført, så denne opgave står i centrum, er det lidet sandsynligt, at den samme undervisning kan indløse den opgave at bidrage til uddannelsen af borgere, som på et vidende, tænksomt og analytisk grundlag kan forholde sig kritisk til brug og misbrug af matematik af betydning for samfundsmæssige beslutninger.

Dansk tradition for at vægte alle tre krav

I Danmark har det imidlertid i en del år været et udtrykkeligt ønske fra samfundet - repræsenteret ved det politiske og administrative system samt de store organisationer på arbejdsmarkedet - at tillægge alle tre hensigter vægt. På det udtrykkelige niveau, som det fx ses afspejlet i nedskrevne læseplansformål m.v., har det især været de to sidste hensigter, som i nyere tid har været artikuleret, selv om man let kan vise, at erhvervslivet og det politiske system også ofte slår på den først anførte hensigt. Dette har ikke mindst været synligt i de seneste par årtier, hvor der har været utilstrækkelig tilgang til matematiktunge uddannelser, som samfundet, og her ikke mindst industrien, efterspørger, jf. kapitel 10.

Mange forventninger til mat.uv.

Dette betyder, at samfundet kræver af matematikundervisningen, at den er velfun gerende nok til at engagere eleverne, så de motiveres til at påtage sig den opgave, det er at tilegne sig matematik, og til at vælge uddannelsesveje, som indebærer en eller anden form for beskæftigelse med matematik. I den forbindelse kræver samfundet, at matematikundervisningen bedrives, så den ikke giver for meget frafald, enten derved at den af for mange forlades "i utide", eller ved at for mange ikke består prøver og eksamener. Samfundet kræver videre, at matematikundervisningen til enhver tid er effektiv nok til at forsyne elever og studerende med de kvalifikationer og matematiske kompetencer, som efterspørges på arbejdsmarkedet - uden at det altid står klart, hvad disse nærmere består i. I disse år er der fx kredse i samfundet, som beder om mål- og dokumenterbare færdigheder af en nok så reduceret art, samt korte og letforståelige deklarationer af hvad eleverne "kan". Til andre tider efterspørges først og fremmest forståelse, indsigt, kreativitet og kritisk sans. Samfundet kræver tillige, at matematikundervisningen forsyner børn og unge med kundskaber og færdigheder, som gør, at de kan stå sig i internationale sammenligninger - navnlig i forhold til de andre nordiske lande - på en måde, der svarer til de nationale ambitioner i kombination med den nationale selvforståelse. Samfundet kræver også, at matematikundervisningen skal bidrage til uddannelsen af aktive, medlevende, selvstændige, stillingtagende og kritiske samfundsborgere. Samfundet kræver endelig, at matematikundervisningens modtagere trives ved den og er glade for den.

Utydelige signaler om indbyrdes afvejning

Dette er mange og forskelligartede krav, som det nok kan være vanskeligt at ho norere inden for én og samme matematikundervisning. Det siger derfor sig selv, at det ikke lader sig gøre at fremsætte enkle anvisninger på, hvordan det skal ske. Når samfundet ikke afgiver særligt tydelige signaler om, hvordan disse krav skal afvejes i forhold til hinanden, skyldes det naturligvis, at det danske samfund ikke er en enhedsorganisme med ét overordnet hoved som kommandocentral for samfundslegemet. Der er forskellige interesser, betoninger og prioriteringer, som skiftevis brydes og sameksisterer i et samfund som vort. Derfor må matematikundervisningssystemet selv forsøge at tage bestik af signaler, vilkår og omstændigheder i sine bestræbelser på at udmønte dem i rammer og realiseringer af de forskellige slags matematikundervisning, som findes i samfundet.

Komp.tænkning som middel til at artikulere hensigter

Det er her arbejdsgruppens opfattelse, at kompetencetænkningen kan bidrage til på en klarere vis end hidtil at artikulere hensigter med, krav til og prioriteringer i matematikundervisningen, sådan at beslutninger og foranstaltninger kan træffes og iværksættes på gennemtænkte og velforståede måder. Der er i den forbindelse tillige grund til at tro, at en del af de ufrugtbare og falske modstillinger, som man kan træffe på i sammenhæng med matematikundervisning, kan fjernes eller mindskes under inddragelse af en sådan tankegang.

2.2.8 h) Hvordan ser fremtidens undervisningsmaterialer i matematik ud?

Ikke indgående behandlet i KOM-projektet

Arbejdsgruppen har ikke kunnet behandle dette spørgsmål særligt indgående. Det rummer så mange kommunikationsmæssige, teknologiske, mediemæssige og kommercielle aspekter, at det kalder på en selvstændig undersøgelse. Noget lader sig dog sige på KOM-projektets grundlag.

Forandring er nødvendigt

Skal de idéer og forslag, som projektet rummer, føres ud i livet, kræves foran dringer af mange af de materialer, som er til rådighed for undervisningen. Således egner gængse lærebøger sig kun - ved traditionel brug - til at fremme udviklingen af en begrænset del af de matematiske kompetencer, som fremhæves i dette projekt, alene fordi de ikke er orienteret mod at operere i disse baner.

Sigte på udvikling af komp.spektret

Udviklingen af matematiske kompetencer, og af overblik og dømmekraft vedrø- rende matematikken som fagområde, finder sted gennem aktiviteter, der har denne udvikling som udtrykkeligt sigte. Sådanne aktiviteter forudsætter på deres side adgang til en righoldig fond af meget forskelligartede undervisningsmidler, som læreren kan betjene sig af til orkestrering af sin undervisning, og som eleverne kan gå til på egen hånd under udførelsen af aktiviteterne.

Tekstsiden

På tekstsiden bliver der tale om lærebogselementer, som leverer en systematisk op bygning af teoretisk stof; om aktivitetsbeskrivelser og stimulansmaterialer; tekstsamlinger af orienterende og fortællende art; faglige artikler om specifikke emner og problemstillinger; tekstsamlinger, der rummer typer af cases, fx eksempler på matematiske modeller, udklip fra aviser, magasiner og tidsskrifter, eller på løste matematiske problemer; opgavesamlinger, der rækker fra rutineøvelser til udfordrende rene eller anvendte matematiske problemer; om matematikhistoriebøger, opslags- og oversigtsværker osv.

it-siden

På it-siden bliver der dels tale om adgang til diverse former for databaser, både over datasamlinger, fx af statistisk art, og over biblioteker af matematiske objekter, såsom geometriske figurer og legemer, specielle funktioner og deres egenskaber, matematiske leksika, adresser på relevante internetsider af forskelligt indhold; dels om processeringssoftware, såsom CAS (Computer Algebra Systems), statistik- og differentialligningspakker, modelleringsværktøjer osv. Også dynamisk visualiseringssoftware, interaktive medier og præsentationsredskaber osv. vil være til rådighed for fremtidens matematikundervisning. Konkrete materialer af typen klodser, brikker, pinde, spil, kort, puslespil, snore, udklipspapir, programmerbare robotter, osv. vil fortsat indgå i det repertoire, matematikundervisningen kan benytte sig af.

Til rådighed for alle?

Hovedspørsmålet i denne sammenhæng er, i hvilket omfang sådanne materialer vil være til rådighed for den enkelte institution, den enkelte lærer, den enkelte klasse og den enkelte elev. I en tid hvor det er vanskeligt at skaffe midler til at forsyne undervisningen med tidssvarende "gammeldags" lærebøger, kan man frygte, at de nye undervisningsmidler kun vil blive et mindretal til del.

2.2.9 i) Hvordan kan man i Danmark udnytte internationale erfaringer med matematikundervisning?

Ser man på matematikundervisningen i andre lande, er to forhold karakteristiske.

Store forskelle mht. traditioner og vilkår

For det første at der er store forskelle i traditionerne, rammerne, vilkårene og omstændighederne for matematikundervisningen, selv i lande fra vor egen nære kulturkreds.

Alene de store forskelle i læreruddannelserne og i de organisatoriske rammer for matematikundervisningen inden for fx de nordiske lande springer i øjnene.

Ligheder mht. problemer og perspektiver

For det andet at der, på trods af disse mange forskelle, er store ligheder i pro blemerne, perspektiverne og diskussionerne angående matematikundervisningen i forskellige lande. Dette er en følge, på den ene side, af fælles træk i samfundsudviklingen i mange lande, og, på den anden side, af at der internationalt foregår en omfattende udveksling af informationer, erfaringer, diskussioner og idéer om matematikundervisningen, som har særligt let ved at finde sted på grund af fagets universelle præg. Det mangeårige internationale og bilaterale samarbejde om matematikdidaktik og matematikundervisning, der er under fortsat udbygning på mange niveauer, og som bl.a. har ført til et væld af projektsamarbejder og internationale konferencer af mange slags, har, sammen med iværksættelsen af store internationale komparative undersøgelser som TIMSS og PISA, medvirket til en globalisering - på godt og ondt - af matematikundervisningens problemer, doktriner og fremgangsmåder (eksempelvis er matematikdelen af OECDs PISA-projekt stærkt præget af kompetencetænkningen, bl.a. fordi KOM-projektets formand er medlem af PISAs matematikekspertgruppe).

Noget at lære af hinanden, men konkrete "gode ideer" kan sjældent overføres

Alt dette betyder, på den ene side, at der kan drages store fordele af at gøre sig bekendt med forholdene i andre landes matematikundervisning og med deres problemer, idéer og løsningstiltag. Det gælder både lande i vor egen kulturkreds og USA og fx asiatiske lande som Japan, Korea og Singapore, hvor der er væsentlige og udfordrende erfaringer at forstå og forholde sig til. På den anden side skal man være varsom med at foretage ubekymrede overføringer af lovende ordninger og "gode idéer" til danske forhold, netop fordi der er brug for først at klarlægge, hvornår der er tale om nationalt specifikke betingelser og særtræk, som ikke forefindes i Danmark, og hvornår der er tale om almene anliggender, som med fordel kan søges omplantet til danske forhold. Ikke alene kan man lære af andre landes gode idéer, man kan også lære af deres fejl. Således bliver matematikundervisningen internationalt set et globalt laboratorium, som kan komme dansk matematikundervisning til gode, såfremt laboratoriets resultater granskes med omhu og forsigtighed.

Der er med andre ord gode grunde til for dansk matematikundervisning at holde sig grundigt, men kritisk orienteret om internationale forhold. For eksempel ville det være vigtigt at trænge til bunds i årsagerne til, at det finske undervisningssystem i langt højere grad end det danske er i stand til at udjævne betydningen af forældrenes uddannelsesmæssige, sociale og økonomiske baggrund for elevernes præstationer i PISA2000 (Andersen et al.; 2001; OECD; 2001).

2.2.10 j) Hvordan skal fremtidens matematikundervisning være organiseret?

Centralt spørgsmål i forlængelse af KOM-projektet

Dette er i flere henseender et af de største spørgsmål i forlængelse af KOM-projektet. Spørgsmålet angår jo både den overordnede organisering af matematikundervisningssystemet som helhed, herunder læreruddannelserne, og den "interne" organisering af matematikundervisningen inden for et givet uddannelsesafsnit, og - videre - inden for en given undervisningssammenhæng, fx en klasse eller et hold.

Generelle strukturdiskussioner ikke del af projektet

Vi har, som det fremgår af rapporten, i hovedsagen afstået fra at fremsætte betragt ninger og forslag vedrørende matematikundervisningens struktur, fordi strukturspørgsmål ikke er begrænset til matematikundervisningen alene, men oftest berører hele sektorer af uddannelsessystemet. Således har vi fx ikke beskæftiget os med strukturelle eller organisatoriske spørgsmål i forbindelse med universiteternes matematikundervisning. Sådanne spørgsmål kan besvares på et stort antal forskellige, men hver for sig velbegrundede, måder, som det ville være udtryk for futil og skadelig harmoniseringsiver at foreslå erstattet af et enhedssvar. På samme måde er vi ikke gået ind i en diskussion af det betimelige i, at det eksisterende gymnasiums tre (eller fire) matematikundervisningsniveauer, A (1 og 3), B og C, har den arbejdsdeling, opdeling og rolle som tilfældet er. Det er en konsekvens af en overgribende tankegang i struktureringen af de gymnasiale uddannelsers fag, som i givet fald måtte behandles på et tilsvarende overgribende niveau. Her har vi imidlertid tilladt os i en enkelt henseende at gå uden for matematikundervisningens eget territorium, idet vi finder det væsentligt og derfor foreslår - også af hensyn til matematikundervisningen - at en kommende gymnasiereform fører til et "menugymnasium" til afløsning af det eksisterende "buffetgymnasium".

Undtagelse: "menugymnasium" frem for "buffetgymnasium"

Struktureret mangfoldighed som organisationsprincip

Hvad angår organiseringen af matematikundervisningen inden for et givet uddan nelsesafsnit eller i en given sammenhæng, er det en følge af de betragtninger, som er fremlagt i dette projekt, at det vigtigste organisationsprincip er struktureret mangfoldighed. Der er på den ene side brug for, at matematikundervisningen betjener sig af et stort antal ganske forskellige undervisningsformer og aktiviteter til fremme af elevernes udvikling af matematiske kompetencer, og af overblik og dømmekraft vedrørende matematik som fag. Heraf mangfoldigheden. På den anden side er der brug for, at disse undervisningsformer og aktiviteter kombineres og sættes i rækkefølge på en gennemtænkt og veltilrettelagt måde, både i forhold til den enkelte "lektion" og i forhold til kortere og længere stræk af undervisningen, op til hele blokke, moduler, semestre, år, eller hvad der nu måtte være relevant, alt med det formål at realisere en undervisning, der muliggør opbygningen og udviklingen af matematiske kompetencer, overblik og dømmekraft. Heraf behovet for struktur i mangfoldigheden.

Behov for udnyttelse af gamle og udvikling af nye aktivitetsformer

Hvilke undervisningsformer og aktiviteter, der i denne forbindelse nærmere kan være tale om, er så omfattende et spørgsmål, at vi må opgive at behandle det her. På samme måde som tilfældet er med evalueringsredskaber, er der både brug for en reorientering, tillempning og udnyttelse af de umådeligt mange kendte undervisningsformer og aktiviteter, som allerede er i anvendelse i matematikundervisningen, i større eller mindre omfang, og om at udtænke, afprøve og implementere nye former og aktiviteter.

KOM-projektet begynder for alvor når det er slut

Dette vil blive en af de vigtigste opgaver, hvis KOM-projektet skal realiseres. Alene derved bliver det klart, at KOM-projektet først begynder for alvor, når det er slut.

Denne side indgår i publikationen "Kompetencer og matematiklæring" som kapitel 2 af 11
© Undervisningsministeriet 2002