1. Indledning

1.1 Udgangspunkt

Start i sommeren 2000 på initiativ fra Naturvidenskabeligt Uddannelsesråd og Undervisningsministeriet

Projektet Kompetenceudvikling Og Matematiklæring blev sat i værk i løbet af som meren 2000. Initiativet kom fra Naturvidenskabeligt Uddannelsesråd, som ønskede at medvirke til, at der blev igangsat en udvikling af matematikundervisningen som spydspids-projekt for en mulig tilsvarende udvikling inden for andre fag. Undervisningsministeriet gav herefter tilsagn om at ville finansiere projektet og - såfremt det nåede frem til implementerbare resultater - gå aktivt ind i spørgsmålet om implementering af de konkrete forslag, som den nedsatte arbejdsgruppe måtte fremkomme med, jf. kommissoriet nedenfor.

Arbejdsgruppen autonom

Det skal på dette sted slås fast, at fra og med arbejdsgruppens nedsættelse og modtagelse af kommissoriet har arbejdsgruppen virket helt uden at have været udsat for forsøg på ekstern påvirkning af dens arbejde fra opdragsgivernes eller anden side. Resultatet af arbejdet er derfor alene et produkt af arbejdsgruppens egne aktiviteter, betragtninger og beslutninger.

1.1.1 De involverede

Arbejdsgruppens medlemmer

De involverede i projektet har i første række bestået af den omtalte arbejds gruppe med tolv medlemmer¹: Rune Wåhlin Andersen (geolog; bestyrelsesformand i initiativet Højskolen for Natur og Kommunikation), Tage Bai Andersen (matematiker; studieleder, Aarhus Universitet), Torben Christoffersen (tidligere gymnasielærer i matematik; kontorchef, Undervisningsministeriet; forbindelsesofficer mellem arbejdsgruppen og Ministeriet), Søren Damgaard (fysiker; ansat ved IBM; formand for Naturvidenskabeligt Uddannelsesråd), Therese Gustavsen (folkeskolelærer; Brøndby Kommune), Tomas Højgaard Jensen (projektets sekretær, ph.d.-studerende i matematikkens didaktik; Roskilde Universitetscenter), Kristine Jess (seminarielærer i matematik; Københavns Dag- og Aftenseminarium), Jakob Lange (samfundsfagskandidat; kontorchef, Københavns Universitet, leder af Den Koordinerede Tilmelding), Lena Lindenskov (matematikdidaktiker; Danmarks Pædagogiske Universitet), Malene Bonné Meyer (humanbiolog; Hospitalslaborantskolen i København), Mogens Niss (projektets formand, matematiker og matematikdidaktiker; Roskilde Universitetscenter) og Knud Nissen (gymnasielærer i matematik og datalogi; VUC Aarhus). Af forskellige grunde har Therese Gustavsen og Malene Bonné Meyer ikke kunnet deltage i de senere faser af arbejdet.

Sparringspartnergruppen

Arbejdsgruppen har fået hjælp fra en stor gruppe "sparringspartnere", som løbende har bidraget med konstruktive reaktioner på arbejdsgruppens idéer og forestillinger, samt, for nogles vedkommende, hjælp til skrivningen af konkrete dele af rapporten. Med enkelte udskiftninger pga. jobskift undervejs drejer det sig samlet set om: Knud Flemming Andersen, Søren Antonius, Søren Bjerregaard, Michael Caspersen, Bjørn Grøn, Anne-Marie Kristensen, Karsten Enggaard, Dan Eriksen, Erik von Essen, Bent Hirsberg, Marianne Holmer, Eva Høg, Tom Høholdt, Torben Pilegaard Jensen, Claus Jessen, Hanne Kock, Jens Helveg Larsen, Kjeld Bagger Laursen, Peter Limkilde, Nikolaj Lomholt, Marianne Nissen, Elsebeth Pedersen, Bjarne Sonberg, Hans Søndergaard, Søren Vagner, Jørn Vesterdal og Karsten Wegener.

Kontakt med omverdenen

Herudover er gruppen af involverede løbende forsøgt udvidet til at indbefatte et større antal personer med tilknytning til matematikundervisningen i Danmark. Dette forsøg, på allerede i de tidlige faser af arbejdet at gøre det til "de manges projekt", er bl.a. sket ved at bede en række personer uden for arbejdsgruppen, og i begyndelsen også uden for sparringgruppen, om hjælp med dele af afklarings- og skrivearbejdet. Derudover har arbejdsgruppens formand og sekretær, samt andre medlemmer af gruppen, været indbudt til et meget stort antal møder på skoler, i foreninger, organisationer og amter, i råd og ministerier, ved møder og konferencer m.v. for at diskutere de bærende idéer i projektet, mens de udviklede sig. Kontakten med "omverdenen" har ikke kun omfattet matematikundervisningskredse, men også kredse med tilknytning til andre fagområder. For eksempel har der været holdt mange møder og pædagogiske eftermiddage med hele lærerkollegier på gymnasier og VUCer. Derudover er der skabt forbindelse og udveksling af betragtninger og tekster med mere eller mindre parallelle arbejdsgrupper for Fremtidens danskfag under ledelse af Frans Gregersen og Kompetenceudvikling fysik/kemi-læring under ledelse af Ove Poulsen, samt med de designerede ledere af planlagte fremtidige projekter om naturfag og fremmedsprog. Hensigten med hele denne kontaktvirksomhed har, helt fra begyndelsen, været at sikre projektet medejerskab hos de instanser, som i givet fald skal bære det igennem til realisering, herunder frem for alt landets nuværende og kommende matematiklærere på alle trin. Til støtte for denne hensigt har arbejdstekster i foreløbig skikkelse været gjort tilgængelige på projektets hjemmeside² http://imfufa.ruc.dk/kom for interesseredes orientering og reaktion.

1.1.2 Arbejdsprocessen

Mødevirksomhed og rapportskrivning

Arbejdet med projektet har fundet sted i et samspil mellem møder i arbejdsgrup pen, i alt 17, møder mellem arbejdsgruppen og sparringgruppen, i alt 4, samt ikke mindst virksomheden mellem møderne, hvor arbejdsgruppens formand og sekretær, med assistance fra de ovenfor nævnte personer, har arbejdet med at producere arbejdstekster, fremskaffe baggrundsmateriale osv. Som rapporten fremstår, har pennen i hovedsagen været ført af formanden, Mogens Niss, med sekretæren, Tomas Højgaard Jensen, som medforfatter. Den samlede rapport er imidlertid blevet produceret i en iterativ proces bestående af et meget stort antal skridt, omfattende skiftevis fremstilling af udkast og drøftelser i arbejdsgruppen. Rapporten er dermed den samlede arbejdsgruppes rapport.

1.2 Kommissorium

Projektets kommissorium blev i samarbejde mellem Naturvidenskabeligt Uddannelsesråd, Undervisningsministeriet og arbejdsgruppens formand formuleret som følger:

Kommissoriet

"Arbejdsgruppen har til opgave at belyse nedenstående spørgsmål (nævnt i tilfældig rækkefølge):

1. I hvilken udstrækning er der behov for at forny den eksisterende matematikundervisning?
     
2. Hvilke matematiske kompetencer skal der være opbygget hos eleverne på de forskellige stadier af uddannelsessystemet?
     
3. Hvordan sikrer man progression og sammenhæng i matematikundervisningen gennem hele uddannelsessystemet?
     
4. Hvordan måler man matematiske kompetencer?
     
5. Hvilket indhold skal der være i et tidssvarende matematikfag?
     
6. Hvordan sikrer man, at der sker en løbende udvikling af matematikfaget og matematikundervisningen?
     
7. Hvad er samfundets krav til matematikundervisningen?
     
8. Hvordan ser fremtidens undervisningsmaterialer i matematik ud?
    
9. Hvordan kan man i Danmark udnytte internationale erfaringer med matematikundervisning?
     
10. Hvordan skal fremtidens matematikundervisning være organiseret?

Gruppen skal derudover opstille en række anbefalinger, som giver forslag til, dels hvordan projektet skal videreføres, dels hvordan svarene på ovennævnte spørgsmål kan operationaliseres.

Gruppen indleder sit arbejde i september 2000 og skal have afsluttet sit arbejde med udgangen af 2001."

1.3 Struktur og afgrænsning

To faser i arbejdet

Som det antydes i kommissoriet, rummer projektet overordnet set to tæt forbundne faser af henholdsvis analytisk og pragmatisk karakter: en akademisk afklaringsfase og en pragmatisk operationaliseringsfase. Da der er tale om et projekt med et betydeligt undervisningspolitisk islæt, har der, som kommissoriet lader ane, allerede i udgangspunktet været planer om, at dette arbejde følges op af en tredje implementationsfase.

1.3.1 Afklaringsfasen

Problemafklaring og komp.beskrivelse som "bærende søjler"

Denne del af projektet har bestået i at analysere spørgsmålene i kommissoriet og heraf afledte problemstillinger, samt i at rapportere resultatet heraf. I struktureringen af dette arbejde har vi i arbejdsgruppen valgt at gøre arbejdet med kommissoriets spørgsmål a) og b) til de to "bærende søjler". Analysen er således bygget op omkring en deskriptiv problemkarakteristik og en normativ kompetencebeskrivelse af matematisk faglighed.

Problemkarakteristik

Udgangspunkt: "Noget" er ikke som det burde være

Det overordnede udgangspunkt for dette arbejde har været en enighed blandt ini tiativtagerne og medlemmerne af arbejdsgruppen om, at svaret på kommissoriets spørgsmål a) ikke er: "ingen". "Noget" vedrørende sammenhængen mellem befolkningens faktiske eller ønskværdige matematikkundskaber, og den matematikundervisning som gerne skulle være en hjørnesten i frembringelsen af de sidstnævnte, ser fra vores udkigspost ud til ikke at være, som det burde.

Centrale spørgsmål

Men hvori består det problematiske så? Er de gængse forestillinger, om hvem der bør besidde hvilke slags matematikkundskaber, blevet forældede og trængende til en kritisk revision? Hvis dette er tilfældet, hvilke forandringer af matematikundervisningen og dens rammer bør det så give anledning til? Eller er problemet tværtimod, at disse forestillinger stadig har gyldighed, men at forskellige forhold i eller omkring matematikundervisningen har gjort afstanden mellem de ønskelige kundskaber og de faktisk opnåede for stor? Hvis dette er tilfældet, hvor ligger da de svage punkter? Hvad er årsagerne til dem, hvilken karakter har de, og hvem har mulighed for at gøre noget ved dem? Hvilke tiltag kan tænkes at afhjælpe problemerne, og på hvilke betingelser og med hvilke konsekvenser?

Åben tilgang

Arbejdsgruppen har set det som sin opgave i princippet at betragte alle disse spørgs mål som åbne, uden at tage svarene på nogen af dem for givne. Naturligvis er det ikke realistisk at søge dem alle grundigt afklaret i et projekt som det foreliggende. På internationalt plan er hvert af spørgsmålene genstand for omfattende forskning. Ikke desto mindre har vi som en del af projektet forsøgt at opridse de vigtigste ingredienser i nogle svar på den overordnede problemstilling, sådan som vi mener, den tager sig ud i en dansk sammenhæng, jf. kapitel 10.

Kompetencebeskrivelse

Ingen forventning om "snuptagsløsninger"

Med så komplekse problemstillinger som dem vi her har med at gøre, skal man ikke gøre sig håb om hurtige snuptagsløsninger. Uanset hvilke tiltag man vælger at iværksætte, vil der være tale om at forsøge at påvirke en proces, hvor problemernes karakter, og forestillingerne om hvad der vil være et skridt i den rigtige retning, løbende ændrer sig. I arbejdet har vi derfor bevidst undladt at tage de identificerede problemer op til behandling ét ad gangen med sigte på at opnå svar af typen "hvis bare vi . . . så . . . ".

Komp. som pejlemærke for faglighed

I stedet har vi i arbejdsgruppen valgt at fokusere på at foreslå ændringer på et af de mange områder, som har indflydelse på, hvordan matematikundervisning bedrives. Det drejer sig om, hvordan det indholdsmæssigt set fastlægges, hvad der skal være det styrende for undervisningen. Konkret har vi arbejdet med at benytte en kompetencebeskrivelse af matematisk faglighed som "pejlemærke" for matematikundervisningen. Se nærmere om principperne herfor i kapitel 3 og 4.

Med valget af henholdsvis en problemkarakteristik og en kompetencebeskrivelse af matematisk faglighed som de to "bærende søjler" har resten af afklaringsarbejdet naturligt været styret af to spørgsmål: "Hvordan vil det være fornuftigt at forsøge at indrette sig i nogle af de andre henseender, der har stor betydning for matematikundervisningens praksis, givet at man beskriver 'pejlemærkerne' i kompetencetermer?" og "På hvilke områder og i hvilken udstrækning kan kompetencetilgangen potentielt yde et bidrag til at gøre noget ved de problemer og udfordringer, projektet peger på?"

En bred tilgang

I princippet: Bred tilgang mht. udd.trin. . .

Eftersom projektet angår befolkningens matematikkundskaber over en bred front, har der i afklaringsfasen ikke i udgangspunktet været foretaget nogen afgrænsning af de uddannelsestrin, som i særlig grad er relevante for projektet. I princippet har alle uddannelsestrin, fra grundskolens begyndelse til læreruddannelse og universitetsundervisning, været på dagsordenen for arbejdet, inklusive fx erhvervs, arbejdsmarkeds- og voksenuddannelser. I praksis har vi naturligvis måttet gå mere beskedent til værks og lade os nøje med en behandling af et mindre antal typer af matematikundervisning, udvalgt efter deres vigtighed og deres evne til at være eksemplariske, dvs. repræsentative for en større klasse af matematikundervisning.

. . . samt mht. mat. og mat.uv.

Heller ikke hvad det indholdsmæssige angår, har vi i udgangspunktet anlagt en snæ- ver betragtning. I projektet opererer vi således med et bredt begreb om matematik. Det betyder, at vi ikke kun betragter matematik som en rent teoretisk disciplin, men også som en disciplin der anvendes inden for andre fag- og praksisområder og derfor har forbindelser til sådanne, samt som et fag med relationer til kultur og samfund. Derfor omfattes fx statistik og matematikkens historie af det her benyttede matematikbegreb. Også når det gælder undervisning i matematik, anlægger projektet et bredt syn. Vi interesserer os ikke kun for, hvad der traditionelt rubriceres som matematikundervisning, hvad enten den angår matematik som ren eller anvendt disciplin, eller matematik som hjælpefag, men også for hvad man nu og da kalder matematikholdig undervisning, dvs. undervisning der de facto er undervisning i matematik, men hvor ordet "matematik" af den ene eller den anden grund ikke optræder i overskriften.

I praksis: Fokus på den almene uv.

Også her må vi imidlertid i praksis lade os nøje med at behandle udvalgte aspekter af matematik og matematikundervisning, i det håb at dette vil være til inspiration for de sammenhænge, vi her må lade ligge urørt. At vi således anskuer både "matematik" og "matematikundervisning" bredt, betyder ikke, at vi har forpligtet os til at dække alle manifestationer af matematikundervisning eller matematikholdig undervisning, hvor de end måtte forekomme, kun at vi ikke har begrænset os til at iagttage de traditionelt snævrere betydninger af termerne matematik og matematikundervisning. Hvad uddannelsestrin angår, har vi i praksis hovedsagelig fokuseret på den undervisning, der angår befolkningen som helhed, herunder navnlig skoleundervisningen for børn og unge samt uddannelsen af lærere til disse skoleformer.

1.3.2 Operationaliseringsfasen

Anbefalinger

Denne del af projektet har bestået i, på baggrund af afklaringsarbejdet, at pege på nogle konkrete indsatsområder og at fremsætte forslag til konkrete initiativer, som bør iværksættes inden for disse områder. Hovedpunkterne heri er opsamlet i en række anbefalinger til forskellige aktører og instanser i kapitel 11.

To grøfter: Overdreven generalitet og overdreven detaljeringsgrad

Den relative konkrethed af de fremsatte anbefalinger skal ikke ses som udtryk for en bestræbelse på at levere færdige opskrifter, som blot mangler politisk blåstempling for at kunne føres ud i livet. Arbejdsgruppen har hverken været tænkt eller fungeret som embedsværkets forlængede arm, men som idéproducent og inspirationsskaber. I operationaliseringsfasen har vi således bestræbt os på at finde en passende balance mellem, på den ene side, overdrevent generelle og dermed in tetsigende og harmløse anbefalinger og, på den anden side, anbefalinger med en overdreven detaljeringsgrad, som ville have krævet et langt mere velafgrænset og fokuseret udviklingsarbejde, samt for visse uddannelsesområders vedkommende et større detailkendskab, end arbejdsgruppen har kunnet og villet levere.

1.3.3 Implementationsfasen

Videre tiltag i forlængelse af projektet

Om alt går efter planerne, bliver afklarings- og operationaliseringsarbejdet fulgt op af en lang række tiltag, som på forskellig vis forsøger at implementere projektets anbefalinger. Som før nævnt er den praktiske udførelse af denne tredje fase af det samlede matematikundervisningspolitiske "plot" ikke en del af dette projekt, som vi fremad vil omtale som KOM-projektet (Kompetencer Og Matematiklæring). Ikke desto mindre kan man sige, at implementeringen af projektets idéer og anbefalinger er den vigtigste og den mest omfattende del af hele arbejdet. Den må blot, af flere forskellige grunde, foretages af nogle andre end arbejdsgruppen.

At arbejdsgruppen ikke direkte vil få lod og del i en eventuel implementering af (dele af) de anbefalinger der fremsættes, betyder ikke, at vi som gruppe har forholdt os passivt i forhold til denne del af det samlede uddannelses- og undervisningspolitiske projekt. Tværtimod har ønsket om, fra en vis ".yvehøjde", at bidrage til en uddannelsespolitisk udviklingsproces været en drivende kraft for arbejdsgruppens engagement i projektet.

Ønske om at bidrage til en udvikling som drivende kraft

Vi er således i en proces, hvor vi på to fronter forsøger at påvirke forløbet af imple mentationsfasen. For det første har mange ressourcer, som tidligere nævnt, været afsat til at bidrage til at "gøde jorden" for kommende tiltag gennem kontakt med og høring af et stort antal parthavere og interessenter i dansk matematikundervisning. Formålet med dette arbejde er bl.a. at trænge igennem den træthed overfor nye tiltag, som forståeligt nok eksisterer mange steder i uddannelsessystemet, for i stedet gennem en åben og nuanceret dialog at skabe "skvulp i bassinet og ringe i vandet" og få så mange som muligt til at føle sig som del af et fælles projekt, hvor behovet for forandringer mødes med optimisme, gåpåmod og engagement.

Modvirke forsøg på "snuptagsløsninger"

For det andet har der hos både arbejdsgruppen og repræsentanter for de dele af det politisk-administrative system, som skal stå for system- og lovgivningssiden af implementationsfasen, været stor interesse for at drøfte, hvordan dette arbejde kunne og burde foregå. I den meget åbne og konstruktive ånd, som har præget disse diskussioner, har interessen fra arbejdsgruppens side samlet sig om at forsøge at skabe forudsætninger for at undgå de så politisk fristende "snuptagsløsninger", hvor man alene gennem billige og nemt gennemførlige overfladeændringer, fx på regelniveau, forsøger at påvirke undervisningens realitet og praksis. Sådanne forandringer vil formentlig på længere sigt vise sig virkningsløse, mens de på kort sigt først og fremmest vil bidrage til ændringstrætheden hos dem, der arbejder med matematikundervisning på klasserumsniveau. Derved ville de være direkte skadelige i forhold til mere substantielle reformtiltag.

1.4 Hvad projektet ikke går ud på

De foregående afsnit har sigtet på at beskrive, hvad KOM-projektet går ud på, nemlig at levere en tilfredsstillende karakterisering af matematisk faglighed, baseret på matematiske kompetencer, som et middel til at møde nogle udfordringer og behandle nogle problemer. Erfaringen viser, at der desuden kan være grund til at sige noget om, hvad projektet ikke påtager sig at være eller gøre, men som man kunne tro, at det indbefattede, og som tillige i sig selv kan være af væsentlig betydning.

Ikke et forskningsprojekt

KOM-projektet er ikke et forskningsprojekt i egentlig forstand. Således formuleres der ikke nogen forskningsspørgsmål, som søges besvaret ved en etableret eller nyudviklet forskningsmetodologi. Det betyder imidlertid ikke, at projektet afstår fra fx begrebslige eller andre afklaringer og fra forsøg på systematisk nytænkning. I den forstand kan det bedst karakteriseres som et analytisk udviklingsprojekt.

Ikke en samlet matematikdidaktik

På den måde giver KOM-projektet sig fx ikke ud for at udgøre - og det skaber heller ikke - en overordnet matematikdidaktik, hverken i teoretisk eller i praktisk forstand. Dertil hører der uendeligt meget mere end de afklaringer, som tilbydes i projektet.

Ikke et projekt til begrundelse af mat.uv.’s eksistensberettigelse

Projektet påtager sig ikke at levere en sammenhængende stillingtagen til eller begrundelse af matematikfagets eksistensberettigelse i uddannelsessystemets forskellige dele, om end aspekter af denne problemstilling strejfes, ikke mindst i kapitel 10. Også dette er af overordentlig betydning og kunne faktisk fortjene et selvstændigt projekt, men netop på grund af omfanget af denne opgave har vi stort set måttet lade den ubehandlet i dette projekt. Det indebærer, at det vedrørende de forskellige trin af uddannelsessystemet, som berøres i projektet, tages som et udgangspunkt, at matematik og matematikundervisning principielt har en eksistensberettigelse. Det, som så kan diskuteres, er, på hvilke vilkår, under hvilke rammer, på hvilken måde, og med hvilken indretning matematikundervisningen skal placeres i den pågældende sammenhæng.

Ikke fokus på dannelse i almindelighed

Projektet går ikke ud på at karakterisere eller diskutere dannelse i almindelighed eller matematikfagets aktuelle og potentielle bidrag til udviklingen af en sådan. Det er naturligvis af stor betydning at kunne udrede disse forhold, det kan blot ikke finde sted i denne sammenhæng.

Ikke fokus på almene komp. og arbejdsmarkedskomp.

I sine forskellige betydninger er ordet "kompetence" i disse år genstand for stor op mærksomhed i mange uddannelsesmæssige, politiske og erhvervsmæssige kredse. Således er der, ikke mindst i uddannelsessystemet, stor interesse for at diskutere diverse former for almene kompetencer af intellektuel, personlighedsmæssig og social art. Det drejer sig bl.a. om kompetencer som gåpåmod, arbejdsevne, udholdenhed, selvtillid, evnen til at tage ansvar - fx for egen læring, evnen til at tage stilling, tolerance, samarbejdskompetence, indlevelseskompetence m.m.m. Uagtet disse kompetencers vigtighed, også for udviklingen af matematisk faglighed, er de ikke i fokus for dette projekt. Det samme gælder arbejdsmarkeds- og erhvervskompetencer af specifik og almen art, som samarbejdsevne, omstillingsparathed, fleksibilitet, it-beredskab, evnen til at begå sig på et eller flere fremmedsprog, osv., sådan som det efterspørges af erhvervslivet og dets organisationer. Også de er vigtige kompetencer, som falder uden for rammerne af KOM-projektet.

Ikke et implementeringsprojekt

Endelig går projektet, som fremhævet ovenfor, ikke ud på at forestå konkrete tiltag til implementering af idéerne og anbefalingerne i projektet, hverken når det gælder de juridiske, økonomiske og administrative rammer for matematikundervisningen i de forskellige dele af uddannelsessystemet, eller når det gælder konkrete anvisninger vedrørende undervisning, evaluering, tilvejebringelse af undervisningsmidler m.v. I disse henseender "begynder projektet først for alvor, når det er slut".

Denne side indgår i publikationen "Kompetencer og matematiklæring" som kapitel 1 af 11
© Undervisningsministeriet 2002