Kompetencer og matematiklæring

Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisning i Danmark

Indholdsfortegnelse

Forord

En nærmest eksplosiv vidensproduktion og omfattende forandringer i kultur og samfund sætter vore uddannelser, fagene og fagligheden under pres og gør det mere end nogensinde påkrævet at forlade en traditionel pensumtænkning og anlægge nye vinkler på undervisningens mål og indhold og på evaluerings- og prøveformer. Som led i denne proces har Uddannelsesstyrelsen nedsat og finansieret analyse- og arbejdsgrupper i udvalgte fag og fagområder. Den første af disse grupper, der blev dannet i samarbejde med Naturvidenskabeligt Uddannelsesråd, har forestået projektet Kompetencer og Matematiklæring.

Gruppen, der har haft Mogens Niss, professor ved Roskilde Universitetscenter i matematik og matematikkens didaktik, som formand, fremlægger med denne rapport resultaterne af en omfattende analyse af faget matematik på alle niveauer i uddannelsessystemet.

Ansvaret for rapportens indhold og anbefalinger ligger fuldt ud hos arbejdsgruppen.Uddannelsesstyrelsen vil gerne rette en stor tak til gruppens medlemmer for gennemførelse af dette meget omfattende projekt, der forventes at sætte et betydeligt præg på først og fremmest udviklingen i matematikfaget, men også bredere på den faglige tænkning i andre fagområder.

Det kan varmt anbefales, at alle med interesse for matematik - eller faglighed på andre fagområder - lader sig inspirere af rapporten. Det gælder ikke mindst lærere på alle niveauer, lærebogsforfattere og tilrettelæggere af efteruddannelse.Også Uddannelsesstyrelsen vil i arbejdet med fornyelse af såvel matematikfaget som andre fag lægge vægt på at nyttiggøre de mange spændende ideer og perspektiver i rapporten.

Undervisningsministeriet har finansieret udarbejdelsen og udgivelsen af publikationen.

Jarl Damgaard
Uddannelsesdirektør
Undervisningsministeriet
Uddannelsesstyrelsen
September 2002

Forord

Hermed afgiver arbejdsgruppen for projektet Kompetencer Og Matematiklæring (KOM-projektet) sin rapport. Arbejdsgruppen blev nedsat i august 2000 af Naturvidenskabeligt Uddannelsesråd og Undervisningsministeriet i forening. Arbejdet har været .nansieret af en bevilling fra Undervisningsministeriet, som først og fremmest har dækket lønnen til projektets akademiske sekretær og til studentermedhjælp, og derudover udgifterne til mødevirksomhed for arbejdsgruppen og dens gruppe af "sparringspartnere".

Jeg vil gerne benytte lejligheden til at takke arbejdsgruppens medlemmer Tage Bai Andersen, Rune Wåhlin Andersen, Torben Christoffersen, Søren Damgaard, Therese Gustavsen (som deltog i arbejdet i den første fase), Kristine Jess, Jakob Lange, Lena Lindenskov, Malene Bonné Meyer (som deltog i arbejdet i den første fase) og Knud Nissen, samt ikke mindst arbejdsgruppens sekretær, Tomas Højgaard Jensen, for en stor og konstruktiv indsats. Dernæst fortjener også den store gruppe af sparringpartnere (som er nævnt i kapitel 1) og andre interesserede medvirkende megen tak for deres bidrag til projektet. Samarbejdet med Undervisningsministeriet, frem for alt med Torben Christoffersen, Jarl Damgaard og Jørgen Balling Rasmussen, men også med fagkonsulenter og andre, har været fortræffeligt og konstruktivt. Også for det vil jeg gerne udtrykke min tak. Sluttelig er der grund til at takke projektets skiftende, men altid beredvillige og effektive studentermedhjælpere, Eva Uhre, Gitte Jensen, Nesli Saglanmak og Arnold Skimminge, alle matematik- og fysikstuderende ved RUC, for deres indsats.

Roskilde den 21. maj 2002

Mogens Niss, formand for arbejdsgruppen

Oversigt over rapporten

Rapporten er opdelt i syv dele, der i alt rummer 19 kapitler. Her danner de første seks dele rapportens generelle afsnit, mens den sidste del rummer en omtale af træk ved matematikundervisningen i en række udvalgte uddannelsesformer eller -trin.

Del I: Introduktion

Projektets udgangspunkt, kommissorium, struktur og afgrænsning behandles i kapitel 1, der sammen med besvarelsen af kommissoriets spørgsmål - i kapitel 2- danner rapportens del I. Besvarelsen af kommissoriet er således præsenteret tidligt i rapporten, selv om det grundlag, besvarelsen hviler på, først etableres i de efterfølgende kapitler.

Del II: Kompetencer som middel til fagbeskrivelser af matematik

De grundlæggende afsnit i rapporten - de afsnit, hvori den tænkning, der bærer projektet, præsenteres - udgøres af henholdsvis kapitel 3, hvor opgaven for projektets teoretiske del præciseres, og kapitel 4, som er viet en indgående omtale af kompetencebeskrivelse af matematisk faglighed. Heri fremlægges otte ma tematiske kompetencer og tre former for overblik og dømmekraft vedrørende matematikken som fagområde som de fælles konstituenter i matematikbeherskelse/ matematikkompetence, uanset undervisningstrin og uanset de matematiske stofområder, beherskelsen kommer i spil over for. Det er projektets hovedtanke, at al matematikundervisning skal sigte på at fremme elevers og studerendes udvikling af disse matematiske kompetencer og former for overblik og dømmekraft. Til sammen udgør disse to kapitler rapportens del II.

Del III: Uddannelsen af matematiklærere

I betragtning af, at matematiklærerne har en nøglerolle at spille, hvis undervisningen skal efterstræbe udviklingen af matematikbeherskelse i dette projekts forstand, har vi fundet det væsentligt at give en omtale af matematiklæreres kompetencer en fremskudt placering i rapporten. Det sker i del III, som kort indledes af kapitel 5, der understreger betydningen af et frugtbart samspil mellem forskellige slags matematiklærerkompetencer. Det skal understreges, at del III behandler alle matematiklæreruddannelser under ét, dvs. både grundskolelærere, lærere ved de gymnasiale uddannelser, og lærere ved de videregående uddannelser. Derefter kommer to kapitler, hvor det første, kapitel 6, fremlægger seks former for speci.k didaktisk-pædagogisk kompetence, som en matematiklærer må besidde, mens det andet, kapitel 7, fokuserer på matematiklæreres matematiske kompetencer, sådan som de kommer til udtryk i en undervisning præget af faglig-pædagogisk adræthed, gennemslagskraft og overskud.

Del IV: Kompetencer og fagligt stof

Eftersom matematiske kompetencer både udvikles og udøves i omgangen med for skellige former for fagligt stof, er det væsentligt at klarlægge relationen mellem henholdvis kompetencerne og sådant stof. Det sker i del IV, som kun rummer ét kapitel (kapitel 8). Heri slås fast, at forholdet mellem kompetencer og faglige stof-  områder på et givet uddannelsestrin har en todimensional matrixkarakter. Tilføjes uddannelsestrinnet som variabel, bliver der tale om en tredimensional struktur. I kapitlet præsenteres også ti matematiske stofområder, som arbejdsgruppen har udpeget som bærende for matematikundervisningen i hele skolesystemet samt i de indledende trin af videregående matematikundervisning.

Del V: Progression i og evaluering af kompetenceudvikling

Det er et hovedpunkt for projektet at bidrage til at fremme progression og sammenhæng i matematikundervisningen på langs og tværs af uddannelsesystemet, og til at skabe gyldige og pålidelige former til evaluering af en persons besiddelse af matematiske kompetencer. Disse spørgsmål er på dagsorden i del V, hvis (eneste) kapitel, 9, dels diskuterer statistisk og dynamisk evaluering af kompetencebesiddelse i forhold til henholdsvis eksisterende og ønskelige evalueringsformer og -instrumenter, dels karakteriserer progression i matematisk kompetenceudvikling og mulighederne for (dynamisk) evaluering heraf.

Del VI: Videre frem: Udfordringer og anbefalinger

Rapportens generelle del afsluttes med del VI, der rummer to kapitler. I det første, kapitel 10, gives en karakteristik af udvalgte centrale problemstillinger for dansk matematikundervisning. Det er en hovedkonklusion, at matematikundervisningen i mange henseender er indrettet, bedrives og virker ganske tilfredsstillende, men at der .ndes en hel del problemer og udfordringer, som der bør og kan gøres noget ved. Man kunne måske sige, at det ville have forekommet mere naturligt at bringe dette kapitel tidligt i rapporten, som et middel til at sætte scenen for denne. Men da det kunne give det ikke dækkende indtryk, at det opstillede apparat til karakterisering og bedømmelse af matematisk kompetence er a.edt af disse problemer og udfordringer, har vi altså valgt at placere kapitlet på dette sted, hvor det også bliver muligt at pege på problemstillinger, som vi i projektet har måttet lade ligge.

Rapportens anbefalinger

Det sidste kapitel (kapitel 11) i del VI og i den generelle del af rapporten, udgøres af de anbefalinger, arbejdsgruppen har ønsket at fremsætte over for forskellige in stanser, nemlig Undervisningsministeriet, universiteter og højere læreanstalter, lærerseminarierne/ CVU'erne, erhvervsuddannelsesskoler, lokale skolemyndigheder, herunder kommuner og amter, matematiklærere og deres organisationer, lærebogsforfattere og forlag samt matematikdidaktiske forskere.

Del VII: Matematiske kompetencer på udvalgte uddannelser

Rapportens syvende og sidste del omfatter et antal mere indgående parallelle beskrivelser af matematiske kompetencer på udvalgte uddannelser. Disse beskrivelser skal først og fremmest tjene til i konkret form at speci.cere og eksempli.cere rapportens generelle betragtninger. Som nærmere beskrevet i kapitel A er disse af to slags. Dels uddannelser, der hører hjemme i den almene del af uddannelsessystemet, som ikke sigter mod bestemte erhverv eller professioner. Det drejer sig om uddannelserne i grundskolen (kapitel B), det almene gymnasium (kapitel D), samt universitetsuddannelser i matematiske fag (kapitel H). For disse uddannelser har vi valgt en normativ tilgang til kompetencebeskrivelsen. Dels uddannelser, som sigter mod bestemte erhverv eller professioner, nemlig gastronomuddannelsen (kapitel E), elektrikeruddannelsen (kapitel F) og datamatikeruddannelsen (kapitel G), hvor kompetencetilgangen er deskriptiv. På overgangen mellem de to slags uddannelser står henholdsvis forberedende og almen voksenundervisning (kapitel C), hvor vi også har anlagt en deskriptiv synsvinkel.

Litteraturliste

Rapporten afsluttes med en liste over udvalgt refereret litteratur.

1. Indledning

1.1 Udgangspunkt

Start i sommeren 2000 på initiativ fra Naturvidenskabeligt Uddannelsesråd og Undervisningsministeriet

Projektet Kompetenceudvikling Og Matematiklæring blev sat i værk i løbet af som meren 2000. Initiativet kom fra Naturvidenskabeligt Uddannelsesråd, som ønskede at medvirke til, at der blev igangsat en udvikling af matematikundervisningen som spydspids-projekt for en mulig tilsvarende udvikling inden for andre fag. Undervisningsministeriet gav herefter tilsagn om at ville finansiere projektet og - såfremt det nåede frem til implementerbare resultater - gå aktivt ind i spørgsmålet om implementering af de konkrete forslag, som den nedsatte arbejdsgruppe måtte fremkomme med, jf. kommissoriet nedenfor.

Arbejdsgruppen autonom

Det skal på dette sted slås fast, at fra og med arbejdsgruppens nedsættelse og modtagelse af kommissoriet har arbejdsgruppen virket helt uden at have været udsat for forsøg på ekstern påvirkning af dens arbejde fra opdragsgivernes eller anden side. Resultatet af arbejdet er derfor alene et produkt af arbejdsgruppens egne aktiviteter, betragtninger og beslutninger.

1.1.1 De involverede

Arbejdsgruppens medlemmer

De involverede i projektet har i første række bestået af den omtalte arbejds gruppe med tolv medlemmer¹: Rune Wåhlin Andersen (geolog; bestyrelsesformand i initiativet Højskolen for Natur og Kommunikation), Tage Bai Andersen (matematiker; studieleder, Aarhus Universitet), Torben Christoffersen (tidligere gymnasielærer i matematik; kontorchef, Undervisningsministeriet; forbindelsesofficer mellem arbejdsgruppen og Ministeriet), Søren Damgaard (fysiker; ansat ved IBM; formand for Naturvidenskabeligt Uddannelsesråd), Therese Gustavsen (folkeskolelærer; Brøndby Kommune), Tomas Højgaard Jensen (projektets sekretær, ph.d.-studerende i matematikkens didaktik; Roskilde Universitetscenter), Kristine Jess (seminarielærer i matematik; Københavns Dag- og Aftenseminarium), Jakob Lange (samfundsfagskandidat; kontorchef, Københavns Universitet, leder af Den Koordinerede Tilmelding), Lena Lindenskov (matematikdidaktiker; Danmarks Pædagogiske Universitet), Malene Bonné Meyer (humanbiolog; Hospitalslaborantskolen i København), Mogens Niss (projektets formand, matematiker og matematikdidaktiker; Roskilde Universitetscenter) og Knud Nissen (gymnasielærer i matematik og datalogi; VUC Aarhus). Af forskellige grunde har Therese Gustavsen og Malene Bonné Meyer ikke kunnet deltage i de senere faser af arbejdet.

Sparringspartnergruppen

Arbejdsgruppen har fået hjælp fra en stor gruppe "sparringspartnere", som løbende har bidraget med konstruktive reaktioner på arbejdsgruppens idéer og forestillinger, samt, for nogles vedkommende, hjælp til skrivningen af konkrete dele af rapporten. Med enkelte udskiftninger pga. jobskift undervejs drejer det sig samlet set om: Knud Flemming Andersen, Søren Antonius, Søren Bjerregaard, Michael Caspersen, Bjørn Grøn, Anne-Marie Kristensen, Karsten Enggaard, Dan Eriksen, Erik von Essen, Bent Hirsberg, Marianne Holmer, Eva Høg, Tom Høholdt, Torben Pilegaard Jensen, Claus Jessen, Hanne Kock, Jens Helveg Larsen, Kjeld Bagger Laursen, Peter Limkilde, Nikolaj Lomholt, Marianne Nissen, Elsebeth Pedersen, Bjarne Sonberg, Hans Søndergaard, Søren Vagner, Jørn Vesterdal og Karsten Wegener.

Kontakt med omverdenen

Herudover er gruppen af involverede løbende forsøgt udvidet til at indbefatte et større antal personer med tilknytning til matematikundervisningen i Danmark. Dette forsøg, på allerede i de tidlige faser af arbejdet at gøre det til "de manges projekt", er bl.a. sket ved at bede en række personer uden for arbejdsgruppen, og i begyndelsen også uden for sparringgruppen, om hjælp med dele af afklarings- og skrivearbejdet. Derudover har arbejdsgruppens formand og sekretær, samt andre medlemmer af gruppen, været indbudt til et meget stort antal møder på skoler, i foreninger, organisationer og amter, i råd og ministerier, ved møder og konferencer m.v. for at diskutere de bærende idéer i projektet, mens de udviklede sig. Kontakten med "omverdenen" har ikke kun omfattet matematikundervisningskredse, men også kredse med tilknytning til andre fagområder. For eksempel har der været holdt mange møder og pædagogiske eftermiddage med hele lærerkollegier på gymnasier og VUCer. Derudover er der skabt forbindelse og udveksling af betragtninger og tekster med mere eller mindre parallelle arbejdsgrupper for Fremtidens danskfag under ledelse af Frans Gregersen og Kompetenceudvikling fysik/kemi-læring under ledelse af Ove Poulsen, samt med de designerede ledere af planlagte fremtidige projekter om naturfag og fremmedsprog. Hensigten med hele denne kontaktvirksomhed har, helt fra begyndelsen, været at sikre projektet medejerskab hos de instanser, som i givet fald skal bære det igennem til realisering, herunder frem for alt landets nuværende og kommende matematiklærere på alle trin. Til støtte for denne hensigt har arbejdstekster i foreløbig skikkelse været gjort tilgængelige på projektets hjemmeside² http://imfufa.ruc.dk/kom for interesseredes orientering og reaktion.

1.1.2 Arbejdsprocessen

Mødevirksomhed og rapportskrivning

Arbejdet med projektet har fundet sted i et samspil mellem møder i arbejdsgrup pen, i alt 17, møder mellem arbejdsgruppen og sparringgruppen, i alt 4, samt ikke mindst virksomheden mellem møderne, hvor arbejdsgruppens formand og sekretær, med assistance fra de ovenfor nævnte personer, har arbejdet med at producere arbejdstekster, fremskaffe baggrundsmateriale osv. Som rapporten fremstår, har pennen i hovedsagen været ført af formanden, Mogens Niss, med sekretæren, Tomas Højgaard Jensen, som medforfatter. Den samlede rapport er imidlertid blevet produceret i en iterativ proces bestående af et meget stort antal skridt, omfattende skiftevis fremstilling af udkast og drøftelser i arbejdsgruppen. Rapporten er dermed den samlede arbejdsgruppes rapport.

1.2 Kommissorium

Projektets kommissorium blev i samarbejde mellem Naturvidenskabeligt Uddannelsesråd, Undervisningsministeriet og arbejdsgruppens formand formuleret som følger:

Kommissoriet

"Arbejdsgruppen har til opgave at belyse nedenstående spørgsmål (nævnt i tilfældig rækkefølge):

1. I hvilken udstrækning er der behov for at forny den eksisterende matematikundervisning?
     
2. Hvilke matematiske kompetencer skal der være opbygget hos eleverne på de forskellige stadier af uddannelsessystemet?
     
3. Hvordan sikrer man progression og sammenhæng i matematikundervisningen gennem hele uddannelsessystemet?
     
4. Hvordan måler man matematiske kompetencer?
     
5. Hvilket indhold skal der være i et tidssvarende matematikfag?
     
6. Hvordan sikrer man, at der sker en løbende udvikling af matematikfaget og matematikundervisningen?
     
7. Hvad er samfundets krav til matematikundervisningen?
     
8. Hvordan ser fremtidens undervisningsmaterialer i matematik ud?
    
9. Hvordan kan man i Danmark udnytte internationale erfaringer med matematikundervisning?
     
10. Hvordan skal fremtidens matematikundervisning være organiseret?

Gruppen skal derudover opstille en række anbefalinger, som giver forslag til, dels hvordan projektet skal videreføres, dels hvordan svarene på ovennævnte spørgsmål kan operationaliseres.

Gruppen indleder sit arbejde i september 2000 og skal have afsluttet sit arbejde med udgangen af 2001."

1.3 Struktur og afgrænsning

To faser i arbejdet

Som det antydes i kommissoriet, rummer projektet overordnet set to tæt forbundne faser af henholdsvis analytisk og pragmatisk karakter: en akademisk afklaringsfase og en pragmatisk operationaliseringsfase. Da der er tale om et projekt med et betydeligt undervisningspolitisk islæt, har der, som kommissoriet lader ane, allerede i udgangspunktet været planer om, at dette arbejde følges op af en tredje implementationsfase.

1.3.1 Afklaringsfasen

Problemafklaring og komp.beskrivelse som "bærende søjler"

Denne del af projektet har bestået i at analysere spørgsmålene i kommissoriet og heraf afledte problemstillinger, samt i at rapportere resultatet heraf. I struktureringen af dette arbejde har vi i arbejdsgruppen valgt at gøre arbejdet med kommissoriets spørgsmål a) og b) til de to "bærende søjler". Analysen er således bygget op omkring en deskriptiv problemkarakteristik og en normativ kompetencebeskrivelse af matematisk faglighed.

Problemkarakteristik

Udgangspunkt: "Noget" er ikke som det burde være

Det overordnede udgangspunkt for dette arbejde har været en enighed blandt ini tiativtagerne og medlemmerne af arbejdsgruppen om, at svaret på kommissoriets spørgsmål a) ikke er: "ingen". "Noget" vedrørende sammenhængen mellem befolkningens faktiske eller ønskværdige matematikkundskaber, og den matematikundervisning som gerne skulle være en hjørnesten i frembringelsen af de sidstnævnte, ser fra vores udkigspost ud til ikke at være, som det burde.

Centrale spørgsmål

Men hvori består det problematiske så? Er de gængse forestillinger, om hvem der bør besidde hvilke slags matematikkundskaber, blevet forældede og trængende til en kritisk revision? Hvis dette er tilfældet, hvilke forandringer af matematikundervisningen og dens rammer bør det så give anledning til? Eller er problemet tværtimod, at disse forestillinger stadig har gyldighed, men at forskellige forhold i eller omkring matematikundervisningen har gjort afstanden mellem de ønskelige kundskaber og de faktisk opnåede for stor? Hvis dette er tilfældet, hvor ligger da de svage punkter? Hvad er årsagerne til dem, hvilken karakter har de, og hvem har mulighed for at gøre noget ved dem? Hvilke tiltag kan tænkes at afhjælpe problemerne, og på hvilke betingelser og med hvilke konsekvenser?

Åben tilgang

Arbejdsgruppen har set det som sin opgave i princippet at betragte alle disse spørgs mål som åbne, uden at tage svarene på nogen af dem for givne. Naturligvis er det ikke realistisk at søge dem alle grundigt afklaret i et projekt som det foreliggende. På internationalt plan er hvert af spørgsmålene genstand for omfattende forskning. Ikke desto mindre har vi som en del af projektet forsøgt at opridse de vigtigste ingredienser i nogle svar på den overordnede problemstilling, sådan som vi mener, den tager sig ud i en dansk sammenhæng, jf. kapitel 10.

Kompetencebeskrivelse

Ingen forventning om "snuptagsløsninger"

Med så komplekse problemstillinger som dem vi her har med at gøre, skal man ikke gøre sig håb om hurtige snuptagsløsninger. Uanset hvilke tiltag man vælger at iværksætte, vil der være tale om at forsøge at påvirke en proces, hvor problemernes karakter, og forestillingerne om hvad der vil være et skridt i den rigtige retning, løbende ændrer sig. I arbejdet har vi derfor bevidst undladt at tage de identificerede problemer op til behandling ét ad gangen med sigte på at opnå svar af typen "hvis bare vi . . . så . . . ".

Komp. som pejlemærke for faglighed

I stedet har vi i arbejdsgruppen valgt at fokusere på at foreslå ændringer på et af de mange områder, som har indflydelse på, hvordan matematikundervisning bedrives. Det drejer sig om, hvordan det indholdsmæssigt set fastlægges, hvad der skal være det styrende for undervisningen. Konkret har vi arbejdet med at benytte en kompetencebeskrivelse af matematisk faglighed som "pejlemærke" for matematikundervisningen. Se nærmere om principperne herfor i kapitel 3 og 4.

Med valget af henholdsvis en problemkarakteristik og en kompetencebeskrivelse af matematisk faglighed som de to "bærende søjler" har resten af afklaringsarbejdet naturligt været styret af to spørgsmål: "Hvordan vil det være fornuftigt at forsøge at indrette sig i nogle af de andre henseender, der har stor betydning for matematikundervisningens praksis, givet at man beskriver 'pejlemærkerne' i kompetencetermer?" og "På hvilke områder og i hvilken udstrækning kan kompetencetilgangen potentielt yde et bidrag til at gøre noget ved de problemer og udfordringer, projektet peger på?"

En bred tilgang

I princippet: Bred tilgang mht. udd.trin. . .

Eftersom projektet angår befolkningens matematikkundskaber over en bred front, har der i afklaringsfasen ikke i udgangspunktet været foretaget nogen afgrænsning af de uddannelsestrin, som i særlig grad er relevante for projektet. I princippet har alle uddannelsestrin, fra grundskolens begyndelse til læreruddannelse og universitetsundervisning, været på dagsordenen for arbejdet, inklusive fx erhvervs, arbejdsmarkeds- og voksenuddannelser. I praksis har vi naturligvis måttet gå mere beskedent til værks og lade os nøje med en behandling af et mindre antal typer af matematikundervisning, udvalgt efter deres vigtighed og deres evne til at være eksemplariske, dvs. repræsentative for en større klasse af matematikundervisning.

. . . samt mht. mat. og mat.uv.

Heller ikke hvad det indholdsmæssige angår, har vi i udgangspunktet anlagt en snæ- ver betragtning. I projektet opererer vi således med et bredt begreb om matematik. Det betyder, at vi ikke kun betragter matematik som en rent teoretisk disciplin, men også som en disciplin der anvendes inden for andre fag- og praksisområder og derfor har forbindelser til sådanne, samt som et fag med relationer til kultur og samfund. Derfor omfattes fx statistik og matematikkens historie af det her benyttede matematikbegreb. Også når det gælder undervisning i matematik, anlægger projektet et bredt syn. Vi interesserer os ikke kun for, hvad der traditionelt rubriceres som matematikundervisning, hvad enten den angår matematik som ren eller anvendt disciplin, eller matematik som hjælpefag, men også for hvad man nu og da kalder matematikholdig undervisning, dvs. undervisning der de facto er undervisning i matematik, men hvor ordet "matematik" af den ene eller den anden grund ikke optræder i overskriften.

I praksis: Fokus på den almene uv.

Også her må vi imidlertid i praksis lade os nøje med at behandle udvalgte aspekter af matematik og matematikundervisning, i det håb at dette vil være til inspiration for de sammenhænge, vi her må lade ligge urørt. At vi således anskuer både "matematik" og "matematikundervisning" bredt, betyder ikke, at vi har forpligtet os til at dække alle manifestationer af matematikundervisning eller matematikholdig undervisning, hvor de end måtte forekomme, kun at vi ikke har begrænset os til at iagttage de traditionelt snævrere betydninger af termerne matematik og matematikundervisning. Hvad uddannelsestrin angår, har vi i praksis hovedsagelig fokuseret på den undervisning, der angår befolkningen som helhed, herunder navnlig skoleundervisningen for børn og unge samt uddannelsen af lærere til disse skoleformer.

1.3.2 Operationaliseringsfasen

Anbefalinger

Denne del af projektet har bestået i, på baggrund af afklaringsarbejdet, at pege på nogle konkrete indsatsområder og at fremsætte forslag til konkrete initiativer, som bør iværksættes inden for disse områder. Hovedpunkterne heri er opsamlet i en række anbefalinger til forskellige aktører og instanser i kapitel 11.

To grøfter: Overdreven generalitet og overdreven detaljeringsgrad

Den relative konkrethed af de fremsatte anbefalinger skal ikke ses som udtryk for en bestræbelse på at levere færdige opskrifter, som blot mangler politisk blåstempling for at kunne føres ud i livet. Arbejdsgruppen har hverken været tænkt eller fungeret som embedsværkets forlængede arm, men som idéproducent og inspirationsskaber. I operationaliseringsfasen har vi således bestræbt os på at finde en passende balance mellem, på den ene side, overdrevent generelle og dermed in tetsigende og harmløse anbefalinger og, på den anden side, anbefalinger med en overdreven detaljeringsgrad, som ville have krævet et langt mere velafgrænset og fokuseret udviklingsarbejde, samt for visse uddannelsesområders vedkommende et større detailkendskab, end arbejdsgruppen har kunnet og villet levere.

1.3.3 Implementationsfasen

Videre tiltag i forlængelse af projektet

Om alt går efter planerne, bliver afklarings- og operationaliseringsarbejdet fulgt op af en lang række tiltag, som på forskellig vis forsøger at implementere projektets anbefalinger. Som før nævnt er den praktiske udførelse af denne tredje fase af det samlede matematikundervisningspolitiske "plot" ikke en del af dette projekt, som vi fremad vil omtale som KOM-projektet (Kompetencer Og Matematiklæring). Ikke desto mindre kan man sige, at implementeringen af projektets idéer og anbefalinger er den vigtigste og den mest omfattende del af hele arbejdet. Den må blot, af flere forskellige grunde, foretages af nogle andre end arbejdsgruppen.

At arbejdsgruppen ikke direkte vil få lod og del i en eventuel implementering af (dele af) de anbefalinger der fremsættes, betyder ikke, at vi som gruppe har forholdt os passivt i forhold til denne del af det samlede uddannelses- og undervisningspolitiske projekt. Tværtimod har ønsket om, fra en vis ".yvehøjde", at bidrage til en uddannelsespolitisk udviklingsproces været en drivende kraft for arbejdsgruppens engagement i projektet.

Ønske om at bidrage til en udvikling som drivende kraft

Vi er således i en proces, hvor vi på to fronter forsøger at påvirke forløbet af imple mentationsfasen. For det første har mange ressourcer, som tidligere nævnt, været afsat til at bidrage til at "gøde jorden" for kommende tiltag gennem kontakt med og høring af et stort antal parthavere og interessenter i dansk matematikundervisning. Formålet med dette arbejde er bl.a. at trænge igennem den træthed overfor nye tiltag, som forståeligt nok eksisterer mange steder i uddannelsessystemet, for i stedet gennem en åben og nuanceret dialog at skabe "skvulp i bassinet og ringe i vandet" og få så mange som muligt til at føle sig som del af et fælles projekt, hvor behovet for forandringer mødes med optimisme, gåpåmod og engagement.

Modvirke forsøg på "snuptagsløsninger"

For det andet har der hos både arbejdsgruppen og repræsentanter for de dele af det politisk-administrative system, som skal stå for system- og lovgivningssiden af implementationsfasen, været stor interesse for at drøfte, hvordan dette arbejde kunne og burde foregå. I den meget åbne og konstruktive ånd, som har præget disse diskussioner, har interessen fra arbejdsgruppens side samlet sig om at forsøge at skabe forudsætninger for at undgå de så politisk fristende "snuptagsløsninger", hvor man alene gennem billige og nemt gennemførlige overfladeændringer, fx på regelniveau, forsøger at påvirke undervisningens realitet og praksis. Sådanne forandringer vil formentlig på længere sigt vise sig virkningsløse, mens de på kort sigt først og fremmest vil bidrage til ændringstrætheden hos dem, der arbejder med matematikundervisning på klasserumsniveau. Derved ville de være direkte skadelige i forhold til mere substantielle reformtiltag.

1.4 Hvad projektet ikke går ud på

De foregående afsnit har sigtet på at beskrive, hvad KOM-projektet går ud på, nemlig at levere en tilfredsstillende karakterisering af matematisk faglighed, baseret på matematiske kompetencer, som et middel til at møde nogle udfordringer og behandle nogle problemer. Erfaringen viser, at der desuden kan være grund til at sige noget om, hvad projektet ikke påtager sig at være eller gøre, men som man kunne tro, at det indbefattede, og som tillige i sig selv kan være af væsentlig betydning.

Ikke et forskningsprojekt

KOM-projektet er ikke et forskningsprojekt i egentlig forstand. Således formuleres der ikke nogen forskningsspørgsmål, som søges besvaret ved en etableret eller nyudviklet forskningsmetodologi. Det betyder imidlertid ikke, at projektet afstår fra fx begrebslige eller andre afklaringer og fra forsøg på systematisk nytænkning. I den forstand kan det bedst karakteriseres som et analytisk udviklingsprojekt.

Ikke en samlet matematikdidaktik

På den måde giver KOM-projektet sig fx ikke ud for at udgøre - og det skaber heller ikke - en overordnet matematikdidaktik, hverken i teoretisk eller i praktisk forstand. Dertil hører der uendeligt meget mere end de afklaringer, som tilbydes i projektet.

Ikke et projekt til begrundelse af mat.uv.’s eksistensberettigelse

Projektet påtager sig ikke at levere en sammenhængende stillingtagen til eller begrundelse af matematikfagets eksistensberettigelse i uddannelsessystemets forskellige dele, om end aspekter af denne problemstilling strejfes, ikke mindst i kapitel 10. Også dette er af overordentlig betydning og kunne faktisk fortjene et selvstændigt projekt, men netop på grund af omfanget af denne opgave har vi stort set måttet lade den ubehandlet i dette projekt. Det indebærer, at det vedrørende de forskellige trin af uddannelsessystemet, som berøres i projektet, tages som et udgangspunkt, at matematik og matematikundervisning principielt har en eksistensberettigelse. Det, som så kan diskuteres, er, på hvilke vilkår, under hvilke rammer, på hvilken måde, og med hvilken indretning matematikundervisningen skal placeres i den pågældende sammenhæng.

Ikke fokus på dannelse i almindelighed

Projektet går ikke ud på at karakterisere eller diskutere dannelse i almindelighed eller matematikfagets aktuelle og potentielle bidrag til udviklingen af en sådan. Det er naturligvis af stor betydning at kunne udrede disse forhold, det kan blot ikke finde sted i denne sammenhæng.

Ikke fokus på almene komp. og arbejdsmarkedskomp.

I sine forskellige betydninger er ordet "kompetence" i disse år genstand for stor op mærksomhed i mange uddannelsesmæssige, politiske og erhvervsmæssige kredse. Således er der, ikke mindst i uddannelsessystemet, stor interesse for at diskutere diverse former for almene kompetencer af intellektuel, personlighedsmæssig og social art. Det drejer sig bl.a. om kompetencer som gåpåmod, arbejdsevne, udholdenhed, selvtillid, evnen til at tage ansvar - fx for egen læring, evnen til at tage stilling, tolerance, samarbejdskompetence, indlevelseskompetence m.m.m. Uagtet disse kompetencers vigtighed, også for udviklingen af matematisk faglighed, er de ikke i fokus for dette projekt. Det samme gælder arbejdsmarkeds- og erhvervskompetencer af specifik og almen art, som samarbejdsevne, omstillingsparathed, fleksibilitet, it-beredskab, evnen til at begå sig på et eller flere fremmedsprog, osv., sådan som det efterspørges af erhvervslivet og dets organisationer. Også de er vigtige kompetencer, som falder uden for rammerne af KOM-projektet.

Ikke et implementeringsprojekt

Endelig går projektet, som fremhævet ovenfor, ikke ud på at forestå konkrete tiltag til implementering af idéerne og anbefalingerne i projektet, hverken når det gælder de juridiske, økonomiske og administrative rammer for matematikundervisningen i de forskellige dele af uddannelsessystemet, eller når det gælder konkrete anvisninger vedrørende undervisning, evaluering, tilvejebringelse af undervisningsmidler m.v. I disse henseender "begynder projektet først for alvor, når det er slut".

2. Besvarelse af kommissoriet

2.1 Indledning

Rapporten ikke opbygget efter kommissoriets spørgsmål

Den foreliggende rapport er ikke opbygget i overensstemmelse med spørgsmålene i kommissoriet, idet projektet først - i den i forrige kapitel nævnte afklaringsfase - har bestået i at skabe en struktur på feltet, som kommissoriet i sagens natur ikke kunne ventes at rumme ved projektets begyndelse. Ikke desto mindre er de fleste af kommissoriets spørgsmål i realiteten mere eller mindre direkte behandlet i de følgende kapitler i rapporten. Dette kapitel har til opgave at levere en kort sammenfatning af, hvad vi på denne baggrund mener, vi kan sige i forhold til de enkelte spørgsmål i kommissoriet, jf. afsnit 1.2 (side 15).

Spørgsmålene belyst, ikke besvaret

Det fremgår uden videre, at disse spørgsmål, taget i deres bredde, dækker et meget stort udsnit af de forhold, der er væsentlige i tilknytning til matematikundervisning. Et fyldestgørende forsøg på besvarelse af dem alle ville indebære års studier og lede til en rapport i mange bind. Det er i erkendelse heraf, at kommissoriet ikke beder om svar på spørgsmålene, men om belysning af dem, jf. afsnit 1.2.

2.2 Kommissoriets enkelte punkter

2.2.1 a) I hvilken udstrækning er der behov for at forny den eksisterende matematikundervisning?

Meget går godt, men der eksisterer problemer og udfordringer

Projektets indledende fase, problemafklaringsfasen, hvis hovedresultater er inde holdt i kapitel 10 af denne rapport, tog først og fremmest sigte på at afdække et sæt problemer for, i og med matematikundervisningen i Danmark. Konklusionen på denne fase var, at i adskillige henseender rummer dansk matematikundervisning centrale og bevaringsværdige kvaliteter på alle uddannelsestrin (om end kvaliteternes art varierer fra trin til trin), men at der også er en række problemer og udfordringer, som skaber et behov for fornyelse af visse sider af den eksisterende matematikundervisning.

Begrundelsesproblemer

Vi har identificeret en kreds af problemer relateret til matematikundervisningens begrundelse.

Mat.holdige udd. fravælges

Hertil hører det problem, at elever og studerende fravælger matematikholdige ud dannelser og uddannelsesgrene i en sådan grad, at der opstår et misforhold mellem de kvalifikationer, børn og unge tilegner sig, og dem, der er brug for i det arbejdsmæssige, offentlige og private liv. Hovedproblemet her er ikke først og fremmest den svigtende rekruttering til matematiske fag i uddannelsessystemet, om end der er en voksende mangel på kompetente matematiklærere i folkeskole og gymnasium, men det forhold at de unge i stort tal fravælger andre slags uddannelser med et markant islæt af matematik. Eftersom dette er et veldokumenteret, internationalt fænomen og problem, kan ikke alle dets årsager være særlige for Danmark. Det forhindrer selvsagt hverken, at de internationale tendenser overlejres eller forstærkes af specifikt danske forhold, eller at der er mulighed for gennem uddannelsessystemet i almindelighed og matematikundervisningen i særdeleshed at modvirke disse tendenser og de problemer, de skaber.

Relevansparadokset

Et andet problem i denne kreds er det såkaldte "relevansparadoks", som består i misforholdet mellem på den ene side matematikkens objektive, om end oftest skjulte, relevans for samfundets virksomhed, bredt forstået, og, på den anden side, den subjektive irrelevans som mange af matematikundervisningens modtagere føler med hensyn til deres egen beskæftigelse med matematik. Relevansparadokset manifesteres bl.a. som et isolationsproblem for matematikundervisningen, fx når den har vanskeligt ved at blive bragt i samspil med undervisningen i andre fag. Motivationsproblemet - som forstærkes af relevansparadokset, men også har sin egen baggrund og sit eget liv - består i, at mange elever finder arbejdet med matematik kedeligt, menings- eller perspektivløst, eller blot for krævende i forhold til de forventelige gevinster ved arbejdet.

Truslen mod "mat. for alle"

Det sidste af begrundelsesproblemerne er den gradvis voksende trussel mod "ma tematik for alle", der især ses i lande som USA, Japan, Tyskland og i mere spredt form i Norge og Sverige, men som også vinder frem i Danmark. I nogle kredse i samfundet sættes simpelthen spørgsmålstegn ved, om matematikkundskaber og matematiske kompetencer nu virkelig er så vigtige for hele befolkningen. Er det ikke nok, at sådanne kundskaber og kompetencer kun besiddes af et mindretal - mens resten kan klare sig med matematik formidlet og camoufleret af brugervenlige IT-systemer? I andre kredse, hovedsagelig blandt visse matematikere og naturvidenskabsfolk, er der snarere skepsis over for, at "for alle" betyder "for alle og sammen", idet frygten i disse kredse er, at "de svage" i henseende til tilegnelsesevne og motivation skal trække matematikundervisningen ned på et niveau, hvor den trivialiseres, så den ikke appellerer til eller giver tilstrækkeligt udbytte for "de stærke". Derved får ingen af parterne noget ud af matematikundervisningen, og samfundet får ingen, som besidder tilstrækkelige matematiske kompetencer. Uanset hvilken holdning man indtager til disse trusler mod "matematik for alle", giver de anledning til alvorlige udfordringer til dansk matematikundervisning og dens selvforståelse.

Implementationsproblemer

Den anden kreds af problemer, som er taget op i denne rapport, har vi samlet under overskriften implementationsproblemer.

Mat.lærernes kvalifikationer

Det første blandt disse knytter sig til matematiklærernes kvalifikationer. Selv om det mest karakteristiske ved de forskellige stænder af matematiklærere er den meget store spredning, som findes inden for hver stand, må det ses i øjnene, at der, hvis man ser på gennemsnittet, er rum for forbedring af lærernes kvalifikationer, inklusive deres holdninger, enten i faglig henseende, eller i didaktiskpædagogisk henseende eller i begge. Det gælder, hvad enten man ser på folkeskolelærere, diverse kategorier af lærere i ungdomsuddannelserne eller på matematiklærere på de videregående uddannelser.

Sammenhæng, overgange og progression

Vi har også blandt implementationsproblemerne hæftet os ved sammenhængs, overgangs- og progressionsproblemer i matematikundervisningen. Sammenhængsproblemet består i, at det fag, der bærer navnet matematik, i virkeligheden er så forskelligt tænkt, fortolket og realiseret i de forskellige afsnit af uddannelsessystemet, at det kan være svært at få øje på, hvad der er fælles for faget. For de elever, der i forskellige perioder i deres liv skal opholde sig i forskellige uddannelsesafsnit, giver dette anledning til forvirring og orienteringsvanskeligheder. Af særlig styrke er disse problemer, når det gælder overgangen fra et afsnit til et andet (fx fra folkeskole til gymnasiale uddannelser, eller fra gymnasiale uddannelser til videregående uddannelser), hvor der ofte opstår betydelig usikkerhed både hos elever og lærere, spild af mentale og andre ressourcer, svækkelse af motivation og interesse osv. Problemet med at opnå tilstrækkelig progression i matematikundervisning og -tilegnelse, både mellem og inden for uddannelsesformerne, hører hjemme i denne kontekst.

Spredningen i elevernes udbytte

Et andet implementationsproblem er problemer med spredningen i det udbytte, eleverne opnår ved undervisningen på et givet trin. Denne spredning er i dansk matematikundervisning ganske betydelig. Ud over at dette giver anledning til et problem med at fastholde et ensartet niveau for målgruppen for undervisningen, giver spredningen anledning til, hvad vi kalder et deklarationsproblem, som opstår ved "migration" på langs eller tværs i uddannelsessystemet, hvor modtagerne af de forskellige dimittendgrupper ikke ved, hvad de kan forvente af den matematiske bagage hos de elever, de modtager.

Undervisningsdifferentiering

Også de problemer, der forefindes ved den undervisningsdifferentiering, som prak tiseres i uddannelsessystemet, rubriceres som et implementationsproblem. Uanset hvilke forestillinger og hensigter man har med undervisningsdifferentiering (begrebet dækker i virkeligheden over flere forskellige, og på nogle punkter modstridende, ting), må der konstateres problemer med at skabe klare rammer og tilstrækkelige ressourcer til at virkeliggøre differentieringen. Og ønsket, men mislykket undervisningsdifferentiering er et problem i sig selv.

Evaluering

De sidste problemer, vi fremdrager i denne problemkreds, knytter sig til evaluering. Her peger vi dels på disharmoniproblemet, der består i, at mange af de traditionelt benyttede evalueringsformer kun i begrænset grad tillader evaluering af de matematiske kundskaber og kompetencer, man egentlig ønsker at fremme i matematikundervisningen. Dels fremhæver vi det mere dybtliggende fortolkningsproblem, som omfatter de ganske store vanskeligheder, der er ved at sikre sig, at de evalueringsformer, som faktisk benyttes, både tillader og udnyttes til en holdbar afdækning af elevernes matematiktilegnelse ogbeherskelse.

Fornyelse der adressérer de nævnte problemer

Det ovenstående skal ikke gøre det ud for en udtømmende kortlægning af pro blemerne for, i og med matematikundervisningen i Danmark. Men de fremdragne problemer er efter arbejdsgruppens opfattelse blandt de vigtigste. Heraf følger så det koncise svar på spørgsmål a): Der er behov for at forny den eksisterende matematikundervisning på en sådan måde og i en sådan udstrækning, at de ovenfor nævnte problemer kan løses eller reduceres betragteligt. De foreslåede midler til en sådan fornyelse er omtalt i kapitel 11, som rummer KOM-projektets anbefalinger.

2.2.2 b) Hvilke matematiske kompetencer skal der være opbygget hos eleverne på de forskellige stadier af uddannelsessystemet?

Svaret på dette spørgsmål udgør indholdet af denne rapports del III og VII. I betragtning af uddannelsessystemets omfang og mangfoldighed kan svaret kun opsummeres i generel form, nemlig som følger.

Alle otte mat.komp. på dagsordenen fra uv.´s begyndelse

Løbende udvikling

I lærerudd. og fra A-niveau og frem forventes komp. fuldt dækkede

Fra begyndelsen af formaliseret matematikundervisning sættes alle otte matema tikkompetencer - jf. kapitel 4 - på dagsordenen for undervisningen. Det er en afgørende pointe i KOM-projektet, at dette sker, idet det er en hovedidé at benytte kompetencerne til at skabe en fælles referenceramme for al matematikundervisning. Til gengæld er det i begyndelsen kun visse af de karakteristiske træk ved den enkelte kompetence, der tages i betragtning. Op igennem uddannelsessyste met forudsættes gradvis flere træk af hver kompetence tilføjet elevens kompetencebesiddelse. Ved udgangen af det gymnasiale A-niveau skal hver kompetence i fuld udfoldelse være i elevens besiddelse. Det samme er tilfældet med de matematiktunge videregående uddannelser, herunder uddannelserne til matematiklærer for børn, unge eller voksne. I den forbindelse forudsættes det altså også, at universiteternes kandidat- og bacheloruddannelser i matematik, til forskel fra hvad der ofte har været tilfældet, sigter mod at udvikle modellerings-, kommunikationsog hjælpemiddelkompetence. Hvad angår de ikke-matematiske, men matematikforbrugende uddannelser, som findes efter den almene skolegang, forventes igen  kun visse af kompetencerne at indgå i den matematiske bagage, som eleven eller den studerende søges udstyret med. Særlig vægt lægges her på modelleringskompetencen, og på hvad der i øvrigt skal til for at begå sig med matematik i ekstramatematiske forbindelser.

Nyttigt at belyse mat.indholdet i erhvervsudd.

Der kan være grund til en særlig bemærkning vedrørende de mange erhvervsuddan nelser, samt korte og mellemlange videregående uddannelser, som ikke i sig selv sigter mod at udvikle matematiske kundskaber hos deres elever og studerende, og som måske heller ikke leverer nogen undervisning under overskriften "matematik", men som ikke desto mindre betjener sig af eller de facto udvikler matematiske kompetencer. I denne rapport er gastronom-, elekriker- og datamatikeruddannelserne repræsentanter for denne store klasse af uddannelser. Det er her vores konklusion, at det vil være didaktisk og pædagogisk nyttigt at bringe selve det forhold, at disse uddannelser faktisk trækker på matematiske kompetencer, frem i lyset, ligesom det bør artikuleres, hvilke kompetencer der nærmere bestemt er tale om.

Komp. og fagligt stof

Mens kompetencerne i sig selv er på færde i hele uddannelsessystemet, er den måde, de manifesteres på i konkrete matematiske aktiviteter, meget variererende fra sted til sted, ikke mindst når det gælder samspillet med fagligt stof, sådan som det er behandlet i rapportens del IV. Der er uden tvivl også tale om, at vægtfordelingen mellem kompetencerne varierer med trin og sted.

Tre former for overblik og dømmekraft

På nogenlunde lignende vis forholder det sig med de tre former for overblik og dømmekraft vedrørende matematik som fagområde. Overblik og dømmekraft vedrørende henholdsvis matematikkens faktiske anvendelse i andre fag- og praksisområder og matematikkens karakter som fagområde er i princippet på færde fra matematikundervisningens begyndelse, men selvsagt på måder, der er tilpasset perspektiverne for de respektive uddannelsestrin, samt kompetencerne og det faglige stof, som undervisningen beskæftiger sig med. Overblik og dømmekraft vedrørende matematikkens historiske udvikling tænkes at indgå på et senere stadium i uddannelsesforløbet. Inden for de før omtalte erhvervsrettede uddannelser har det dog næppe mening at søge at udvikle overblik og dømmekraft vedrørende matematik som fagområde, ud over hvad der ligger i at gøre det klart for eleverne, at erhvervet faktisk indebærer og forudsætter visse matematiske kompetencer.

2.2.3 c) Hvordan sikrer man progression og sammenhæng i matematikundervisningen gennem hele uddannelsessystemet?

Nødvendigheden af mentalt fællesskab

Forudsætter vi et øjeblik, at vi ved, hvad der skal menes med progression og sam menhæng i matematikundervisningen, er én forudsætning afgørende, hvis progression og sammenhæng i matematikundervisningen gennem hele uddannelsessystemet skal sikres. Det er, at matematikundervisningsaktørerne - dvs. centrale og lokale myndigheder, lærere, læreruddannere, læremiddelsproducenter osv. - tænker på det samme fag, når de taler om matematik, og ikke kun på en ydre etiket, og at de opfatter deres opgave som værende på hver deres måde at bidrage til, at børn og unge op igennem uddannelsessystemet udvikler og udbygger deres matematiske kompetence. Med andre ord er det centralt, at matematikundervisningens aktører alle betragter sig som del af det samme overordnede undervisningsprojekt og ikke som aktører i en række adskilte projekter, der enten ikke har noget særligt med hinanden at gøre, eller som direkte kan komme hinanden på tværs. At skabe et sådant mentalt fællesskab er en mangesidet sag, der har at gøre med strukturelle og organisatoriske forhold, med faglige og professionsmæssige traditionsforskelle, og med arbejds- og lønvilkår m.m.m. Flere af disse forhold har ikke noget specielt med matematikundervisning at gøre og ligger derfor helt uden for rækkevidde af et projekt som det foreliggende.

Den for sammenhæng nødvendige følelse af fællesskab og samarbejde

Nyere eksempler på fællesskabsfremmende foranstaltninger

Inden for projektets rækkevidde er det derimod at bidrage på andre måder til ska belsen af det omtalte mentale fællesskab blandt folk, der er professionelt engagerede i matematikundervisning, uanset trin. I de senere år er der i Danmark sket en række tiltag, der på det organisatoriske plan har bidraget til at bringe matematikundervisningsfolk fra de fleste dele af uddannelsessystemet sammen. Man kunne nævne Danmarks Matematikundervisningskommission, Forum for Matematikkens Didaktik, arbejdet med at forberede Verdensmatematikåret 2000 i Danmark, projektet "Matematik og naturvidenskab i verdensklasse" vedrørende folkeskolen og gymnasiet i hovedstadsområdet, og arbejdet med at forberede ICME-10 - den tiende verdenskongres for matematikundervisning og matematikkens didaktik, som skal finde sted i København i 2004 - som nyere eksempler på fællesskabsfremmende foranstaltninger. Disse tiltag kan KOM-projektet visselig ikke tage æren for. Men de er et udtryk for, at der er en stigende forståelse for vigtigheden af fællesskab og samarbejde, samt en voksende grobund for begge dele. KOM-projektet i sig selv har, med dets kontakter til alle lag i uddannelsessystemet, været en vigtig accelerator og katalysator i samme retning.

Oprettelsen af lokale kontaktorganer tiltrængt

I anbefalingerne i kapitel 11 har vi yderligere foreslået en række tiltag, som har til formål at styrke det mentale og organisatoriske fællesskab i matematikundervisningen, ikke mindst i sammenhæng med overgangen mellem de store afsnit af uddannelsessystemet, fra folkeskole til ungdomsuddannelser og fra ungdomsuddannelser til videregående uddannelser, hvor vi har anbefalet oprettelsen af diverse lokale organer til varetagelse og fremme af kontakt mellem uddannelsessystemets dele.

Sådanne forbedrede muligheder for at etablere mødesteder mellem mange slags matematikundervisere danner en tiltrængt, for ikke at sige nødvendig, platform for at skabe den omtalte bevidsthed om matematikundervisningen som et fælles projekt. Det næste spørgsmål er så, hvordan dette kan videreføres i en fælles forståelse af, hvad det fælles projekt nærmere går/skal gå ud på. KOM-projektets bud på det er, at projektet skal gå ud på at bibringe matematikundervisningens modtagere på alle trin de i denne rapport omhandlede matematiske kompetencer og former for overblik og dømmekraft.

Forståelsen af sammenhæng

Den måde, hvorpå progression og sammenhæng herefter skal forstås og beskrives, er så hæftet op på disse kompetencer m.v. Sammenhængen består i, at det er de samme kompetencer, som efterstræbes overalt i uddannelsessystemet, således at matematikfaget ikke falder i en række ret forskellige fag, bundet sammen af den samme overskrift. Sammenhængen består endvidere i, at det er de samme ti matematiske stofområder, hvorfra det matematiske stof skal hentes, som foreslås gjort til genstand for undervisningen fra folkeskole til indledende videregående undervisning. Som fremhævet mange gange i denne rapport manifesterer kompetencerne sig forskelligt på de forskellige trin, ligesom den nærmere realisering af de matematiske stofområder selvsagt er bestemt af trinnet.

Progression i den enkeltes matematikbeherskelse

Progression i matematikbeherskelse og -undervisning

Hvad progression i den enkeltes matematikbeherskelse angår, består den dels i til vækst af matematisk kompetence, overblik og dømmekraft, dels i indvinding af nyt land vedrørende de matematiske stofområder, den enkelte bliver i stand til at begå sig i og med. Kompetencerne udvikles og udøves i beskæftigelsen med matematiske stofområder. I dette projekt foreslår vi at detektere og fremme progression i den enkelte matematiske kompetence ved at fokusere på dens vækst i tre dimensioner, nemlig dækningsgrad, aktionsradius og teknisk niveau, jf. afsnit 4.4.4 (side 64). Ses udviklingen af henholdsvis aktionsradius og det tekniske niveau for samtlige kompetencer under ét, fås en tæt kobling mellem kompetenceudvikling og indvinding af nyt land vedrørende matematiske stofområder. Progression i matematikundervisningen bliver derved synonymt med det at skabe progression i den enkeltes matematikbeherskelse, som netop beskrevet. Såvel progression i matematikbeherskelse som i matematikundervisning bliver altså den samme sag inden for, og på langs af, de enkelte udsnit af uddannelsessystemet, og dermed også hen over de sektorielle og institutionelle grænser, som uddannelsessystemet rummer.

Vedr. spørgsmålet om "hvordan"

Forstås progression på denne måde, bliver det pædagogiske hovedspørgsmål, hvor dan man konkret kan tilrettelægge en matematikundervisning, der fremmer den. Her bliver KOM-projektet nødt til at lade sig nøje med et par generelle betragtninger, idet en mere indgående behandling af dette spørgsmål for alle de relevante uddannelsestrin ville række langt ud over projektets rammer.

For det første er det vores opfattelse, at udnyttelsen af selve den her præsenterede kompetencetænkning overalt i matematikundervisningen, ikke mindst i dens hverdag, i sig selv vil være et første skridt til fremmelse af progression i undervisningen, alene ved at øge opmærksomheden om forehavendet.

For det andet vil udnyttelsen af denne tankegang i planlægningen, tilrettelæggelsen og gennemførelsen af undervisningen kunne bidrage til orkestrering af undervisnings- og læringsaktiviteter, som udtrykkeligt har til formål at udvikle den enkelte elevs matematiske kompetencer. Uden at vi her skal forsøge at gå i detaljer, lader det sig uden videre hævde, at der, som orkestermetaforen også lægger op til, er brug for en righoldig mangfoldighed af sådanne aktiviteter, der hver på sin måde, på sit sted og til sin tid kan bidrage til udvikling eller konsolidering af nogle af matematikkompetencerne.

For det tredje vil tilretningen og konstruktionen af evalueringsformer oginstrumenter, som sigter mod - og egner sig til - at detektere, karakterisere og bedømme matematiske kompetencer, tjene til at fremme den enkeltes kompetenceudvikling, men også til at skabe input til justering af selve undervisningen, så den i højere grad fremmer progression.

2.2.4 d) Hvordan måler man matematiske kompetencer?

Statisk og dynamisk måling i tre dimensioner

Udgangspunktet for måling, dvs. detektering, karakterisering og også bedømmelse af en matematisk kompetence, er de flere gange omtalte tre dimensioner ved kompetencen: dækningsgrad, aktionsradius og teknisk niveau. Som nærmere omtalt i kapitel 9 er dette midlet både til en statisk tilstandsbeskrivelse og en dynamisk udviklingsbeskrivelse. Med andre ord går en statisk eller dynamisk måling af en kompetence ud på at måle dens dækningsgrad, aktionsradius eller tekniske niveau.

Hvordan?

Men selv om det nu i princippet er klarlagt, hvad der skal måles, er det ikke dermed sagt, hvordan det kan/skal måles, dvs. under hvilke omstændigheder og med hvilke instrumenter målingen kan udføres. Store dele af kapitel 9 er viet en gennemgang af henholdsvis veletablerede, nyere og endnu knap nok eksisterende evalueringsformer og -instrumenter, som enten kan benyttes til summativ evaluering i form af prøver og eksamener ved afslutningen af et uddannelseafsnit eller en uddannelse, eller som læreren kan benytte til formativ evaluering undervejs i matematikundervisningen, i begge tilfælde med de matematiske kompetencer som evalueringsgenstand.

Et bredt spektrum af redskaber er nødvendigt

Det bliver her dels konkluderet, at intet enkelt evalueringsredskab er tilstrække ligt til at indfange hele spektret af kompetencer (eller de tre former for overblik og dømmekraft). Et bredt spektrum af redskaber er nødvendigt. Det konkluderes endvidere, at størstedelen af de gængse evalueringsformer og -instrumenter faktisk egner sig til at evaluere nogle af kompetencerne, og til sammen ganske mange af dem, forudsat at de "bygges om" og orienteres til specifikt at sigte på de relevante kompetencer. Det kræver et ikke forsvindende, men ikke desto mindre overkommeligt, tilretnings- og udviklingsarbejde at bringe det i stand. Endelig konkluderes det, at skønt man med tilretning af de kendte evalueringsredskaber kan komme et ganske langt stykke vej med at evaluere kompetencerne, er der fortsat behov for at udvikle nye redskaber til brug for evaluering af disse, ikke mindst i forbindelse med det, diverse spektra af undervisnings- og aktivitetsformer, moderne matematikundervisning betjener sig af.

2.2.5 e) Hvilket indhold skal der være i et tidssvarende matematikfag?

Indhold som en kombination af kompetencer, stofområder og konkret indhold

Det er et af udgangspunkterne for KOM-projektet, at indholdet af et tidssvarende matematikfag ikke udelukkende kan karakteriseres ved hjælp af det faglige stof, matematikundervisningen omhandler. Indholdet består også i de kompetencer og i de former for overblik og dømmekraft, som sættes på dagsordenen for undervisning og læring, samt i det konkrete indhold, også af ekstra-matematisk art, som indgår i de objekter, fænomener, situationer, problemer, spørgsmål osv., som behandles i undervisningen.

Det indebærer imidlertid ingenlunde, at faglige stofområder er af sekundær betydning for matematikundervisningen. Således vil enhver udvikling og udøvelse af matematiske kompetencer finde sted i omgangen med faglige stofområder. Her har arbejdsgruppen peget på ti matematiske stofområder, som må danne den matematikstoflige grundstamme i størstedelen af matematikundervisningen fra indskoling til det første år eller to af universiteternes matematikstudier. Det forhindrer ikke, at der i forskellige sammenhænge kan være mening i eller brug for at inddrage andre stofområder. Dette er naturligvis navnlig tilfældet på videregående uddannelsestrin. Denne problemstilling har vi ladet ligge i dette projekt.

Ti stofområder

De ti stofområder er talområderne, aritmetik, algebra, geometri, funktioner, infinitesimalregning, sandsynlighedsregning, statistik, diskret matematik og optimering. I rapportens del IV er der foretaget en nærmere karakterisering, i overordnede termer, af indholdet i de ti stofområder, ligesom der er gjort rede for forbindelsen mellem disse stofområder, kompetencerne og uddannelsestrin i et tredimensionalt kasseskema, som ikke mindst tjener til at slå fast, at der er tale om tre helt forskellige akser, som bringes i samspil.

Klassiske overskrifter og afgrænsninger

Stofområderne er med vilje valgt med ret klassiske overskrifter og afgrænsninger, bl.a. for at skabe overensstemmelse med den måde, matematikkens stofarkitektur nu engang har udviklet sig og er konstitueret på. Vi har altså ikke ønsket at bevæge os ind på den vej, som diverse udenlandske (frem for alt angelsaksiske) læreplansprojekter har betrådt, nemlig at erstatte traditionelle matematiske stofområder med overgribende tematiske eller fænomenologiske kategorier, som fx "rum", "form og mønstre", "forandring og vækst", "måling" osv. Sådanne kategorier kan være værdifulde i bestemte, afgrænsede forbindelser, fx i relation til en bestemt skoleform, men er næppe så nyttige, når man forsøger at identificere stofområder, som kan gøres gældende på mange, i øvrigt forskelligartede, uddannelsestrin.

"Anvendelsestoning" i valget af stofområder

En anden ledetråd for valget af stofområder er, at disse skulle afspejle det forhold, at størstedelen af den matematikundervisning, der gives i Danmark, i en eller anden forstand har - og bør have - et anvendelsesorienteret sigte. Et tidssvarende matematikfag, som ikke henvender sig til en snæver kreds af teoretiske specialister, må tage dette alvorligt. Det har ført til, at vi ud over basale internt matematiske stofområder har lagt vægt på sådanne, som enten direkte i deres teoribygning er motiveret af anvendelsesspørgsmål (det gælder sandsynlighedsregning, statistik og optimering), eller som er af central betydning for anvendelsen af matematik i andre fageller praksisområder (fx aritmetik, aspekter af geometri, aspekter af funktioner, infinitesimalregning og diskret matematik).

Stofområderne som grundliste for fastlæggelsen af det nærmere ønskede stof

At de ti stofområder er valgt som dækkende for størstedelen af matematikunder visningen, betyder ikke, at alle stofområder, eller alle de nærmere omtalte sider af et givet stofområde, foreslås programsat for alle de berørte uddannelsestrin. For eksempel anser vi det ikke for meningsfuldt at forlange, at algebra som eksplicit behandlet stofområde skal optræde før på grundskolens afsluttende trin (7.-9.klassetrin), eller at infinitesimalregning skal optræde i grundskolen eller i grundskolelæreruddannelsen.

Ikke for stor detaljering i fastlæggelsen

Pointerne er, at de ti stofområder danner en grundliste, hvorfra det nærmere ønskede stof på et givet trin skal hentes. I den forbindelse har arbejdsgruppen anset det for afgørende for et tidssvarende matematikfag, at der ikke - på noget undervisningstrin - sker en for stor detaljering af de stofkomponenter, som skal indgå i undervisningen. Stofvalget bør - for ikke at modarbejde de bærende hensigter og idéer med det foreliggende projekt - ske med en ret høj grad af sammenfatning. Blandt de former for modarbejdelse, som overdreven detaljering i stoffastlæggelsen erfaringsmæssigt kan frygtes at bevirke, er stoftrængsel og ansvarsforflygtigelse blandt matematikundervisningens udøvere.

2.2.6 f) Hvordan sikrer man, at der sker en løbende udvikling af matematikfaget og matematikundervisningen?

Fremme følelsen af et fælles projekt er en del af svaret

Dele af svaret på dette - meget omfattende - spørgsmål er allerede givet i svaret på spørgsmål c): Man skaber vilkår, omstændigheder og organisatoriske rammer, der fremmer, at alle matematikundervisningens aktører ser sig selv som parthavere i et fælles projekt, uanset uddannelsestrin. Det forudsætter skabelse af platforme og bastioner, bl.a. som foreslået i kapitel 11, som kan sikre erfarings- og idéudveksling, muligheder og ressourcer for udviklingsarbejde, forsøgsvirksomhed osv.

Bedre forbindelse mellem forskning og praksis

Bedre forbindelser mellem forskning og praksis

Af særlig betydning er det her at få skabt langt bedre forbindelser mellem mate matikundervisningens praksis og den matematikdidaktiske forskning i landet. Sådanne forbindelser skal ikke bestå i, at matematiklærere skal gøres bekendt med forskningens resultater og sættes til at omsætte dem til praksis. Kun sjældent fører matematikdidaktisk forskning til direkte omsættelige, positive resultater.

Inspiration fra andre lande

Opgaven består snarere i at skabe forbindelser, centreret om konkrete forskningsog udviklingsarbejder mellem nogle lærere og nogle forskere. Vellykkede eksempler på sådanne arbejdsfællesskaber mellem praktikere og forskere kendes fx fra Frankrig (de såkaldte IREMer), Italien (de såkaldte NRDMer) og punktvis i USA. Ud over at være personligt givende for de direkte involverede er hovedudbyttet af sådanne aktiviteter, at der skabes "dønningseffekter" i både de berørte uddannelsesinstitutioner og forskningsmiljøer, derved at andre lærere og forskere får inspiration til deres virke fra aktiviteterne.

Gode muligheder for matematiklæreres efter- og videreuddannelse

Efter- og videreudd.

Derudover giver det sig selv, at righoldige og tilstrækkelige efter- og videreuddan nelsesmuligheder, konferencedeltagelse osv. for lærere på alle trin er essentielle, såvel for løbende udvikling af matematikfaget og matematikundervisningen i det hele taget, som i forhold til de perspektiver, der er fremdraget i dette projekt. Hvad det sidste angår, peger vi i kapitel 11 på, at det, alt andet lige, vil være mere virksomt for realiseringen af tankerne i - fx - dette projekt at satse kræfterne og ressourcerne på bedre grunduddannelse, samt efter- og videreuddannelse af lærerne, end på en øgning af timetallet for matematikundervisning i eksempelvis folkeskolen, selvom dette naturligvis kunne give matematikundervisningen mere udfoldelsesrum.

Udvikling bæres af lærerne

En vigtig grund til, at der på mange forskellige måder bør satses på at forbedre og udvikle lærernes arbejdsbetingelser, bredt set, er, at dette er forudsætningen for at lærerne føler sig respekteret og taget alvorligt af det politiske og administrative system. Gør de ikke det, er det umuligt at sikre en løbende udvikling af matematikfaget og matematikundervisningen, eftersom en sådan udvikling nødvendigvis må bæres af lærerne.

Reformer der respekteres af og involverer matematiklærerne

Reformer udelukkende dikteret fra oven er uden chance

KOM-projektet har investeret meget arbejde i at være et projekt, som var i løbende dialog og udviklingskontakt med mange slags matematikundervisningsaktører fra alle dele af uddannelsessystemet. Ud over at dette tænktes at bidrage til et bedre projekt, end tilfældet ellers ville have været, var denne fremgangsmåde et bevidst ønske om ikke at blive et "oppefra-og-ned-projekt". Det er uden tvivl en kendsgerning, at reformer, der alene sættes i værk ved diktat fra oven, nærmest ingen chance har for at slå igennem på andet end helt udvendige måder. Hvis ikke tilstrækkeligt mange af matematikundervisningens aktører føler medejerskab til en reform, er der endeløst mange forskellige måder, den reelt kan gå i vasken på, uden at det sker formelt.

Lærernes medejerskab og medvirken som nødvendig betingelse

Vi anser det derfor for at være en hovedsag, at enhver fremtidig reform finder sted på måder og i et tempo, som opnår lærernes faglige og procesmæssige respekt, tiltro, medejerskab og aktive medvirken, med mindre man da har til hensigt at udskifte hele korpset. Der er her tale om en nødvendig, ikke om en tilstrækkelig betingelse for en vellykket udvikling af matematikfaget og matematikundervisningen. Dette er ikke et spørgsmål om at stryge lærerne med hårene, men om at se realiteterne i øjnene. Hvilket hermed er anbefalet.

2.2.7 g) Hvad er samfundets krav til matematikundervisningen?

Overordnet set tre krav

Samfundets krav til matematikundervisningen er dels eksplicitte, dels implicitte, og ofte ligefrem ubevidste. I kort form har samfundet overordnet set tre forskellige hensigter med, og dermed krav til, matematikundervisningen (jf. afsnit 10.2).

Den skal bidrage til den teknologiske og socio-økonomiske udvikling af samfundet som helhed. Den skal udstyre individer med værktøjer, kvalifikationer og kompetencer, som kan hjælpe dem til at klare livets (ud)fordringer, som privatpersoner, i arbejdslivet og som samfundsborgere. Den skal bidrage til samfundets politiske, ideologiske og kulturelle vedligeholdelse og udvikling i Danmark i et demokratisk perspektiv.

Mulige indbyrdes konflikter

På det overordnede plan går disse hensigter udmærket i spænd med hinanden, og de kan endda ses som gensidigt forstærkende. Men når man på et konkret og pragmatisk plan skal omsætte dem i indretning af matematikundervisningen, kan de godt komme på tværs af, eller måske sågar i konflikt med, hinanden. Det sker især, hvis der skal foretages afvejninger og prioriteringer mellem forskellige hensyn og indsatser. Ønsker en sektor i samfundet fx at uddanne en arbejdskraft, som på et snævert område med hurtighed og sikkerhed kan udføre visse matematiske operationer af rutinemæssig karakter - det der af nogle er blevet kaldt "den levende regnemaskine" - og ønsker matematikundervisningen indrettet og gennemført, så denne opgave står i centrum, er det lidet sandsynligt, at den samme undervisning kan indløse den opgave at bidrage til uddannelsen af borgere, som på et vidende, tænksomt og analytisk grundlag kan forholde sig kritisk til brug og misbrug af matematik af betydning for samfundsmæssige beslutninger.

Dansk tradition for at vægte alle tre krav

I Danmark har det imidlertid i en del år været et udtrykkeligt ønske fra samfundet - repræsenteret ved det politiske og administrative system samt de store organisationer på arbejdsmarkedet - at tillægge alle tre hensigter vægt. På det udtrykkelige niveau, som det fx ses afspejlet i nedskrevne læseplansformål m.v., har det især været de to sidste hensigter, som i nyere tid har været artikuleret, selv om man let kan vise, at erhvervslivet og det politiske system også ofte slår på den først anførte hensigt. Dette har ikke mindst været synligt i de seneste par årtier, hvor der har været utilstrækkelig tilgang til matematiktunge uddannelser, som samfundet, og her ikke mindst industrien, efterspørger, jf. kapitel 10.

Mange forventninger til mat.uv.

Dette betyder, at samfundet kræver af matematikundervisningen, at den er velfun gerende nok til at engagere eleverne, så de motiveres til at påtage sig den opgave, det er at tilegne sig matematik, og til at vælge uddannelsesveje, som indebærer en eller anden form for beskæftigelse med matematik. I den forbindelse kræver samfundet, at matematikundervisningen bedrives, så den ikke giver for meget frafald, enten derved at den af for mange forlades "i utide", eller ved at for mange ikke består prøver og eksamener. Samfundet kræver videre, at matematikundervisningen til enhver tid er effektiv nok til at forsyne elever og studerende med de kvalifikationer og matematiske kompetencer, som efterspørges på arbejdsmarkedet - uden at det altid står klart, hvad disse nærmere består i. I disse år er der fx kredse i samfundet, som beder om mål- og dokumenterbare færdigheder af en nok så reduceret art, samt korte og letforståelige deklarationer af hvad eleverne "kan". Til andre tider efterspørges først og fremmest forståelse, indsigt, kreativitet og kritisk sans. Samfundet kræver tillige, at matematikundervisningen forsyner børn og unge med kundskaber og færdigheder, som gør, at de kan stå sig i internationale sammenligninger - navnlig i forhold til de andre nordiske lande - på en måde, der svarer til de nationale ambitioner i kombination med den nationale selvforståelse. Samfundet kræver også, at matematikundervisningen skal bidrage til uddannelsen af aktive, medlevende, selvstændige, stillingtagende og kritiske samfundsborgere. Samfundet kræver endelig, at matematikundervisningens modtagere trives ved den og er glade for den.

Utydelige signaler om indbyrdes afvejning

Dette er mange og forskelligartede krav, som det nok kan være vanskeligt at ho norere inden for én og samme matematikundervisning. Det siger derfor sig selv, at det ikke lader sig gøre at fremsætte enkle anvisninger på, hvordan det skal ske. Når samfundet ikke afgiver særligt tydelige signaler om, hvordan disse krav skal afvejes i forhold til hinanden, skyldes det naturligvis, at det danske samfund ikke er en enhedsorganisme med ét overordnet hoved som kommandocentral for samfundslegemet. Der er forskellige interesser, betoninger og prioriteringer, som skiftevis brydes og sameksisterer i et samfund som vort. Derfor må matematikundervisningssystemet selv forsøge at tage bestik af signaler, vilkår og omstændigheder i sine bestræbelser på at udmønte dem i rammer og realiseringer af de forskellige slags matematikundervisning, som findes i samfundet.

Komp.tænkning som middel til at artikulere hensigter

Det er her arbejdsgruppens opfattelse, at kompetencetænkningen kan bidrage til på en klarere vis end hidtil at artikulere hensigter med, krav til og prioriteringer i matematikundervisningen, sådan at beslutninger og foranstaltninger kan træffes og iværksættes på gennemtænkte og velforståede måder. Der er i den forbindelse tillige grund til at tro, at en del af de ufrugtbare og falske modstillinger, som man kan træffe på i sammenhæng med matematikundervisning, kan fjernes eller mindskes under inddragelse af en sådan tankegang.

2.2.8 h) Hvordan ser fremtidens undervisningsmaterialer i matematik ud?

Ikke indgående behandlet i KOM-projektet

Arbejdsgruppen har ikke kunnet behandle dette spørgsmål særligt indgående. Det rummer så mange kommunikationsmæssige, teknologiske, mediemæssige og kommercielle aspekter, at det kalder på en selvstændig undersøgelse. Noget lader sig dog sige på KOM-projektets grundlag.

Forandring er nødvendigt

Skal de idéer og forslag, som projektet rummer, føres ud i livet, kræves foran dringer af mange af de materialer, som er til rådighed for undervisningen. Således egner gængse lærebøger sig kun - ved traditionel brug - til at fremme udviklingen af en begrænset del af de matematiske kompetencer, som fremhæves i dette projekt, alene fordi de ikke er orienteret mod at operere i disse baner.

Sigte på udvikling af komp.spektret

Udviklingen af matematiske kompetencer, og af overblik og dømmekraft vedrø- rende matematikken som fagområde, finder sted gennem aktiviteter, der har denne udvikling som udtrykkeligt sigte. Sådanne aktiviteter forudsætter på deres side adgang til en righoldig fond af meget forskelligartede undervisningsmidler, som læreren kan betjene sig af til orkestrering af sin undervisning, og som eleverne kan gå til på egen hånd under udførelsen af aktiviteterne.

Tekstsiden

På tekstsiden bliver der tale om lærebogselementer, som leverer en systematisk op bygning af teoretisk stof; om aktivitetsbeskrivelser og stimulansmaterialer; tekstsamlinger af orienterende og fortællende art; faglige artikler om specifikke emner og problemstillinger; tekstsamlinger, der rummer typer af cases, fx eksempler på matematiske modeller, udklip fra aviser, magasiner og tidsskrifter, eller på løste matematiske problemer; opgavesamlinger, der rækker fra rutineøvelser til udfordrende rene eller anvendte matematiske problemer; om matematikhistoriebøger, opslags- og oversigtsværker osv.

it-siden

På it-siden bliver der dels tale om adgang til diverse former for databaser, både over datasamlinger, fx af statistisk art, og over biblioteker af matematiske objekter, såsom geometriske figurer og legemer, specielle funktioner og deres egenskaber, matematiske leksika, adresser på relevante internetsider af forskelligt indhold; dels om processeringssoftware, såsom CAS (Computer Algebra Systems), statistik- og differentialligningspakker, modelleringsværktøjer osv. Også dynamisk visualiseringssoftware, interaktive medier og præsentationsredskaber osv. vil være til rådighed for fremtidens matematikundervisning. Konkrete materialer af typen klodser, brikker, pinde, spil, kort, puslespil, snore, udklipspapir, programmerbare robotter, osv. vil fortsat indgå i det repertoire, matematikundervisningen kan benytte sig af.

Til rådighed for alle?

Hovedspørsmålet i denne sammenhæng er, i hvilket omfang sådanne materialer vil være til rådighed for den enkelte institution, den enkelte lærer, den enkelte klasse og den enkelte elev. I en tid hvor det er vanskeligt at skaffe midler til at forsyne undervisningen med tidssvarende "gammeldags" lærebøger, kan man frygte, at de nye undervisningsmidler kun vil blive et mindretal til del.

2.2.9 i) Hvordan kan man i Danmark udnytte internationale erfaringer med matematikundervisning?

Ser man på matematikundervisningen i andre lande, er to forhold karakteristiske.

Store forskelle mht. traditioner og vilkår

For det første at der er store forskelle i traditionerne, rammerne, vilkårene og omstændighederne for matematikundervisningen, selv i lande fra vor egen nære kulturkreds.

Alene de store forskelle i læreruddannelserne og i de organisatoriske rammer for matematikundervisningen inden for fx de nordiske lande springer i øjnene.

Ligheder mht. problemer og perspektiver

For det andet at der, på trods af disse mange forskelle, er store ligheder i pro blemerne, perspektiverne og diskussionerne angående matematikundervisningen i forskellige lande. Dette er en følge, på den ene side, af fælles træk i samfundsudviklingen i mange lande, og, på den anden side, af at der internationalt foregår en omfattende udveksling af informationer, erfaringer, diskussioner og idéer om matematikundervisningen, som har særligt let ved at finde sted på grund af fagets universelle præg. Det mangeårige internationale og bilaterale samarbejde om matematikdidaktik og matematikundervisning, der er under fortsat udbygning på mange niveauer, og som bl.a. har ført til et væld af projektsamarbejder og internationale konferencer af mange slags, har, sammen med iværksættelsen af store internationale komparative undersøgelser som TIMSS og PISA, medvirket til en globalisering - på godt og ondt - af matematikundervisningens problemer, doktriner og fremgangsmåder (eksempelvis er matematikdelen af OECDs PISA-projekt stærkt præget af kompetencetænkningen, bl.a. fordi KOM-projektets formand er medlem af PISAs matematikekspertgruppe).

Noget at lære af hinanden, men konkrete "gode ideer" kan sjældent overføres

Alt dette betyder, på den ene side, at der kan drages store fordele af at gøre sig bekendt med forholdene i andre landes matematikundervisning og med deres problemer, idéer og løsningstiltag. Det gælder både lande i vor egen kulturkreds og USA og fx asiatiske lande som Japan, Korea og Singapore, hvor der er væsentlige og udfordrende erfaringer at forstå og forholde sig til. På den anden side skal man være varsom med at foretage ubekymrede overføringer af lovende ordninger og "gode idéer" til danske forhold, netop fordi der er brug for først at klarlægge, hvornår der er tale om nationalt specifikke betingelser og særtræk, som ikke forefindes i Danmark, og hvornår der er tale om almene anliggender, som med fordel kan søges omplantet til danske forhold. Ikke alene kan man lære af andre landes gode idéer, man kan også lære af deres fejl. Således bliver matematikundervisningen internationalt set et globalt laboratorium, som kan komme dansk matematikundervisning til gode, såfremt laboratoriets resultater granskes med omhu og forsigtighed.

Der er med andre ord gode grunde til for dansk matematikundervisning at holde sig grundigt, men kritisk orienteret om internationale forhold. For eksempel ville det være vigtigt at trænge til bunds i årsagerne til, at det finske undervisningssystem i langt højere grad end det danske er i stand til at udjævne betydningen af forældrenes uddannelsesmæssige, sociale og økonomiske baggrund for elevernes præstationer i PISA2000 (Andersen et al.; 2001; OECD; 2001).

2.2.10 j) Hvordan skal fremtidens matematikundervisning være organiseret?

Centralt spørgsmål i forlængelse af KOM-projektet

Dette er i flere henseender et af de største spørgsmål i forlængelse af KOM-projektet. Spørgsmålet angår jo både den overordnede organisering af matematikundervisningssystemet som helhed, herunder læreruddannelserne, og den "interne" organisering af matematikundervisningen inden for et givet uddannelsesafsnit, og - videre - inden for en given undervisningssammenhæng, fx en klasse eller et hold.

Generelle strukturdiskussioner ikke del af projektet

Vi har, som det fremgår af rapporten, i hovedsagen afstået fra at fremsætte betragt ninger og forslag vedrørende matematikundervisningens struktur, fordi strukturspørgsmål ikke er begrænset til matematikundervisningen alene, men oftest berører hele sektorer af uddannelsessystemet. Således har vi fx ikke beskæftiget os med strukturelle eller organisatoriske spørgsmål i forbindelse med universiteternes matematikundervisning. Sådanne spørgsmål kan besvares på et stort antal forskellige, men hver for sig velbegrundede, måder, som det ville være udtryk for futil og skadelig harmoniseringsiver at foreslå erstattet af et enhedssvar. På samme måde er vi ikke gået ind i en diskussion af det betimelige i, at det eksisterende gymnasiums tre (eller fire) matematikundervisningsniveauer, A (1 og 3), B og C, har den arbejdsdeling, opdeling og rolle som tilfældet er. Det er en konsekvens af en overgribende tankegang i struktureringen af de gymnasiale uddannelsers fag, som i givet fald måtte behandles på et tilsvarende overgribende niveau. Her har vi imidlertid tilladt os i en enkelt henseende at gå uden for matematikundervisningens eget territorium, idet vi finder det væsentligt og derfor foreslår - også af hensyn til matematikundervisningen - at en kommende gymnasiereform fører til et "menugymnasium" til afløsning af det eksisterende "buffetgymnasium".

Undtagelse: "menugymnasium" frem for "buffetgymnasium"

Struktureret mangfoldighed som organisationsprincip

Hvad angår organiseringen af matematikundervisningen inden for et givet uddan nelsesafsnit eller i en given sammenhæng, er det en følge af de betragtninger, som er fremlagt i dette projekt, at det vigtigste organisationsprincip er struktureret mangfoldighed. Der er på den ene side brug for, at matematikundervisningen betjener sig af et stort antal ganske forskellige undervisningsformer og aktiviteter til fremme af elevernes udvikling af matematiske kompetencer, og af overblik og dømmekraft vedrørende matematik som fag. Heraf mangfoldigheden. På den anden side er der brug for, at disse undervisningsformer og aktiviteter kombineres og sættes i rækkefølge på en gennemtænkt og veltilrettelagt måde, både i forhold til den enkelte "lektion" og i forhold til kortere og længere stræk af undervisningen, op til hele blokke, moduler, semestre, år, eller hvad der nu måtte være relevant, alt med det formål at realisere en undervisning, der muliggør opbygningen og udviklingen af matematiske kompetencer, overblik og dømmekraft. Heraf behovet for struktur i mangfoldigheden.

Behov for udnyttelse af gamle og udvikling af nye aktivitetsformer

Hvilke undervisningsformer og aktiviteter, der i denne forbindelse nærmere kan være tale om, er så omfattende et spørgsmål, at vi må opgive at behandle det her. På samme måde som tilfældet er med evalueringsredskaber, er der både brug for en reorientering, tillempning og udnyttelse af de umådeligt mange kendte undervisningsformer og aktiviteter, som allerede er i anvendelse i matematikundervisningen, i større eller mindre omfang, og om at udtænke, afprøve og implementere nye former og aktiviteter.

KOM-projektet begynder for alvor når det er slut

Dette vil blive en af de vigtigste opgaver, hvis KOM-projektet skal realiseres. Alene derved bliver det klart, at KOM-projektet først begynder for alvor, når det er slut.

3. Hvad er opgaven?

3.1 Indledning

Inspiration fra tidligere arbejder

Arbejdsgruppens arbejde med at anvende matematiske kompetencer som middel til fagbeskrivelser af matematik betjener sig i vid udstrækning af tidligere arbejder af arbejdsgruppens formand Mogens Niss (se fx Niss; 1999, 2000), som også, i kraft af sit medlemskab af OECD/PISA-projektets ekspertgrupper for matematik (se fx OECD; 1999), har øvet indflydelse på dette projekts anvendelse af kompetencer som en central del af arbejdsgrundlaget. Også flere af arbejdsgruppens øvrige medlemmer har på hver deres måde betjent sig af tilsvarende tankegange i deres arbejde. Arbejdsgruppen som sådan har imidlertid gennem sit arbejde foretaget en betydelig videreudbygning og -udvikling af de oprindelige tanker.

3.2 Traditionen

Læseplaners tre ingredienser: Formål, pensum og evaluering

Der er i Danmark tradition for at specificere læseplanerne i matematik på et givet undervisningstrin ved hjælp af tre ingredienser:

1. Formålet med undervisningen.
2. Pensum, dvs. indholdet af undervisningen forstået som en eller flere lister af emner, begreber, teorier, metoder og resultater (eventuelt suppleret med specifikke faglige mål).
3. Evaluerings- og eksamensinstrumenter, der bl.a. tjener til at afgøre, om eleverne har opnået beherskelse af det fastsatte pensum (eventuelt i forhold til de faglige mål nævnt under b).

I nogle sammenhænge fastsættes formål og mål først, mens pensum (og eventuelt evalueringsinstrumenterne) fastsættes bagefter, således at der i pensumbeskrivelsen refereres til mål og formål. Ofte er rækkefølgen dog den omvendte, således at pensum fastlægges først, hvorefter formål og mål tilføjes som en slags forord til pensumbeskrivelsen. Lidt varierende med undervisningstrin og -form kommer også formerne for intern (lærerstyret) evaluering i anden række i forhold til pensumbeskrivelser, mens eksamensinstrumenter og -rammer sædvanligvis er givet relativt uafhængigt af læseplanen selv.

Evaluering, prøver og eksamener spiller en hovedrolle

I praksis betyder disse ting, at når det gælder skrevne læseplaner (bekendtgørelser, vejledninger, studieordninger osv.), er det pensum som er hovedsagen, mens formål, mål og evaluering spiller en sekundær rolle. Når det derimod drejer sig om den daglige virkelighed i undervisningen, spiller evaluering og afsluttende prøver/ eksamener en helt afgørende rolle for elevernes aktiviteter og holdninger, men også i høj grad for lærernes.

Problemer ved sådanne læseplaner:

Der kan rejses vigtige indvendinger mod den anførte måde at beskrive læseplaner på. Man kan bl.a. pege på følgende problemer:

Vanskeligt at klargøre hvad mat.uv. går ud på

• Det er med dette udgangspunkt vanskeligt at klargøre, i almene termer, hvad matematikundervisning på et givet trin egentlig går ud på, dvs. uden brug af beskrivelser der går i ring ("matematikundervisningen på dette niveau går ud på at lære følgende matematiske emneområder", hvilket ikke rækker afgørende ud over at sige, at matematikundervisningen går ud på at lære matematik). Henvisninger til det overordnede formål med matematikundervisningen hjælper kun til at forklare, hvorfor den (skal) findes, ikke til at gøre rede for hvad den går ud på, i fald det er besluttet, at den skal findes.

Reduktion af faglighed

• En pensumbaseret fagbeskrivelse fører meget let til, at der sættes lighedstegn mellem faglighed og pensumbeherskelse, dvs. viden og færdigheder knyttet specifikt til det pågældende pensum. I betragtning af at alle, der beskæftiger sig professionelt med matematiktilegnelse, er på det rene med, at der er langt mere dybtgående forhold på færde end pensumbeherskelse i den nævnte forstand, udgør identifikationen af faglighed og pensumbeherskelse en reduktion af forestillingen om faglighed, som leder til et for lavt ambitionsniveau for undervisningen.

Vanskeligt at sammenligne forskellige slags mat.uv.

• Hvis der udelukkende er pensumbaserede fagbeskrivelser til rådighed for karakterisering af matematikundervisningen i en given sammenhæng, bliver man nødvendigvis henvist til alene at foretage sammenligninger mellem pensa, såfremt man ønsker at sammenligne matematikundervisningen på forskellige steder i uddannelsessystemet. Man føres altså ud i at sige, at forskellen mellem matematikundervisningen i X og i Y er, at i X undervises i pensum-X bestående af det og det, mens man i Y undervises i pensumY, som består af det og det, og forskellen er, at følgende elementer indgår i pensum-X, men ikke i pensum-Y, og vice versa. Atter har vi at gøre med en sammenligning, der i hovedsagen er overfladisk, og som stort set ikke egner sig til at indfange de langt væsentligere forskelle, der findes i kompleksitet, krav til fordybelse osv. For eksempel vil, med et sådant udgangspunkt, to udgaver af matematikundervisning i ungdomsuddannelserne blive regnet for ækvivalente, hvis de rummer det samme pensum, mens alle professionelle ved, at der kan være en verden til forskel i kravene til indsigt, aktivitet og fordybelse.

Svært at karakterisere niveauforskelle

På samme måde bliver niveauforskelle i matematikundervisningen gjort til et pensumanliggende. Således anses pensum-X for at være på et lavere niveau end pensum-Y, hvis alle elementerne i pensum-X enten indgår i pensumY eller danner en begrebslogisk forudsætning for pensum-Y. Igen ved enhver der har med sagen at gøre, at et sådant niveaubegreb kan være aldeles misvisende. Selv om fx de naturlige tal kan siges at udgøre en begrebslogisk forudsætning for de rationale tal, er det nemt at beskrive undervisning i de to talområder, hvor den, der angår de naturlige tal, er på et umådeligt højere niveau end den, som vedrører de rationale tal.

3.3 Opgaven

Vi søger et overordnet, fælles middel til læseplansbeskrivelse

På denne baggrund kan vi stille os følgende opgave: Vi ønsker at finde et overord net middel til at beskrive læseplaner for faget matematik, som kan bidrage til på adækvat vis, og på et grundlag der er fælles for størstedelen af uddannelsessystemet

• at fastlægge og karakterisere, uden at gå i ring, hvad det vil sige at beherske (dvs. kende, forstå, udføre og anvende) matematik, både i sig selv og i forskellige sammenhænge, uden reference til et bestemt matematisk stof, specielt et bestemt pensum;

• at beskrive udvikling og progression i matematikundervisning ogtilegnelse både inden for en given læseplan og imellem forskellige læseplaner;

• at karakterisere forskellige niveauer af fagbeherskelse for dermed at kunne beskrive udvikling og progression i den enkelte elevs tilegnelse af matematik;

• at sammenligne forskellige matematiklæseplaner og forskellige slags matematikundervisning på parallelle eller forskellige undervisningstrin, på en måde der rækker væsentligt ud over sammenligning af pensa.

I fald denne opgave kan løses, vil vi utvivlsomt få bedre muligheder, end vi har for nærværende, for med folk uden for matematikundervisningsverdenen at diskutere matematikundervisningens begrundelsesproblem, dvs. hvem der på hvilke undervisningstrin bør beherske matematik på hvilket niveau og hvorfor.

Kompetencer som et sådant middel

Det er vores opfattelse, at begrebet matematiske kompetencer kan være til hjælp med løsningen af den nævnte opgave.

4. En kompetencebeskrivelse af matematisk faglighed

"Man burde spørge hvem der ved rigtigst, ikke hvem der ved mest."¹

4.1 Indledning

Komp. som ekspertise

En person besidder kompetence inden for et område, hvis han eller hun faktisk er i stand til at begå sig med gennemslagskraft, overblik, sikkerhed og dømmekraft inden for det pågældende område. Blandt de flere forskellige betydninger som begrebet kompetence har, vælges i denne sammenhæng betydningen ekspertise, og altså ikke den anden udbredte betydning autorisation.

Mat. kompetencer i almindelighed

Omsat til matematik betyder dette, at matematisk kompetence består i at have viden om, at forstå, udøve, anvende, og kunne tage stilling til matematik og matematikvirksomhed i en mangfoldighed af sammenhænge, hvori matematik indgår eller kan komme til at indgå. Dette implicerer naturligvis en mangfoldighed af konkret viden og konkrete færdigheder inden for diverse matematiske områder, men matematisk kompetence kan ikke, jf. det foregående, reduceres til disse forudsætninger.

Definition af en mat. komp.

Hvad er så en matematisk kompetence? Det er en selvstændig, rimeligt afgrænset hovedkomponent i matematisk kompetence som netop beskrevet. Man kan også sige, at en matematisk kompetence er indsigtsfuld parathed til at handle hensigtsmæssigt i situationer, som rummer en bestemt slags matematiske udfordringer. At sådanne kompetencer er selvstændige og rimeligt velafgrænsede, betyder ikke, at forskellige kompetencer er uden forbindelse med hinanden eller skarpt afgrænsede uden overlap. Man kan tænke på en kompetence som et "knudepunkt" i en "klynge" af ting, der er ophobet nær midten og udtyndes ud imod randen, og som værende til dels sammenvævede med forskellige andre klynger. Dette betyder også, at en kompetence i almindelighed ikke kan erhverves eller besiddes i isolation fra andre kompetencer.

4.1.1 Om karakteristikken

Otte mat. kompetencer udspænder mat. komp.

Vi er nået frem til, at vi med fordel kan udpege otte centrale matematiske kompetencer. De behandles indgående i de følgende afsnit. Kompetencerne er som anført indbyrdes forbundne, men har ikke desto mindre hver sin identitet. Ingen kompetence kan reduceres til de øvrige kompetencer. Holdes alle de ovennævnte forbehold for øje, kan det være nyttigt at tænke på de otte kompetencer som udgørende et sæt af velafgrænsede dimensioner, som tilsammen udspænder matematisk kompetence. Det ligger i sagens natur, at det er umuligt at levere en videnskabelig dokumentation af, at det både teoretisk og empirisk forholder sig sådan. Snarere er der tale om en pragmatisk påstand om, at disse kompetencer tilsammen udspænder og indfanger det væsentlige i matematisk kompetence. Om denne påstand kan opretholdes i praksis afgøres først og fremmest af, hvordan den står sin prøve i afklarende overvejelser og i konkret brug.

I den nedenstående karakterisering af den enkelte kompetence bruges sommetider ordet "evne". Det er vigtigt at slå fast, at dette blot er en sproglig substantivering af "det at kunne", og ingenlunde en psykologisk term der tænkes at referere til faste træk ved en persons mentale udstyr.

Tre slags overblik og dømmekraft

Ud over selve kompetencerne opererer vi med tre slags overblik og dømmekraft vedrørende matematik som fagområde. Som det vil fremgå af omtalen af dem, er de vigtige for opbygningen af en indsigt i matematikkens karakter og rolle i verden, og en sådan indsigt følger ikke automatisk af besiddelse af de otte kompetencer.

4.1.2 To grupper af kompetencer

At kunne spørge og svare

At kunne håndtere sprog og redskaber

Som antydet ovenfor, består hver af kompetencerne i at være i stand til, på grundlag af konkret viden og konkrete færdigheder (som i almindelighed ikke er omtalt i selve kompetencekarakteristikkerne), at udøve bestemte typer af matematiske aktiviteter. De otte kompetencer er inddelt i to grupper, som kan kaldes at kunne spørge og svare i og med matematik, som rummer de første fire kompetencer, og at kunne håndtere matematikkens sprog og redskaber, som udgøres af de fire resterende kompetencer.

En visuel repræsentation som i figur 4.1 kan, hvis den ikke overfortolkes, støtte forståelsen af kompetencerne, såvel som muligheden for at huske dem.

Når vi opererer med to grupper af kompetencer skyldes det hovedsagelig fremstillingsmæssige hensyn. Set fra et passende overordnet synspunkt kan evnen til at gebærde sig i og med matematik siges at bestå i netop disse to kapaciteter eller "overkompetencer", som så hver for sig ved nøjere konkretisering rummer et sæt specifikke kompetencer.

Figur 4.1
En visuel repræsentation af de otte matematiske kompetencer.

Ingredienserne i at kunne spørge og svare

Nærmere bestemt går det at kunne spørge og svare i og med matematik ud på, forenklet sagt, (a) at kunne stille sådanne spørgsmål og have blik for typen af svar, som kan opnås (tankegangskompetence), (b) at være i stand til selv at svare på sådanne spørgsmål, både i og med matematik (henholdsvis problembehandlingskompetence og modelleringskompetence), samt (c) at kunne forstå, bedømme og frembringe argumenter for svar på matematiske spørgsmål (ræsonnementskompetence).

Ingredienserne i at kunne håndtere sprog og redskaber

Tilsvarende går det at kunne håndtere matematikkens sprog og redskaber ud på (a) at være i stand til at omgås forskellige repræsentationer af matematiske sagsforhold (repræsentationskompetence), (b) at kunne håndtere de særlige repræsentationer som udgøres af matematisk symbolsprog og formalisme (symbol- og formalismekompetence), (c) at kunne kommunikere i, med og om matematik (kommunikationskompetence), samt (d) at kunne betjene sig af og forholde sig til diverse tekniske hjælpemidler for matematisk virksomhed (hjælpemiddelkompetence). Det er disse otte kompetencer som karakteriseres nærmere nedenfor.

Opdelingen må ikke overfortolkes

Opdelingen af kompetencerne i to grupper skal imidlertid ikke overfortolkes der hen, at to kompetencer fra hver sin gruppe er mindre forbundne end to kompetencer fra den samme gruppe. Anlægges andre synsvinkler end den valgte opdeling, kan der være lige så tæt forbindelse mellem to kompetencer fra hver sin gruppe. For eksempel er besiddelsen af symbol- og formalismekompetence oftest en afgørende forudsætning for at kunne svare på spørgsmål, dvs. for at besidde problembehandlingskompetence.

Det indtryk, som figur 4.1 måske kunne give af kompetencerne som tilhørende to adskilte sider af matematisk faglighed, er således et eksempel på overfortolkning af denne figur. Alle de otte kompetencer "bidrager" således direkte eller indirekte til besiddelsen af de to "overkompetencer", hvilket vi har forsøgt at visualisere i figur 4.2.

Figur 4.2
En visuel fremstilling af at de matematiske kompetencer alle "bidrager" til begge "overkompetencer".

Aspekter af komp. er ikke delkomp.

Til beskrivelse af den enkelte kompetence er der nedenfor anført en række aspekter og komponenter, som indgår i den. Det er ikke tanken, at disse aspekter og komponenter skal opfattes som en række delkompetencer, som kan selvstændiggøres. De tjener alene det formål at uddybe, hvad kompetencen går ud på. Det samme gælder i endnu højere grad de anførte eksempler, som har til opgave at illustrere punkterne. I den forbindelse er der flest eksempler anført ved kompetencer, som måske ikke er helt selvforklarende.

4.2 At kunne spørge og svare i og med matematik

4.2.1 Tankegangskompetence - at kunne udøve matematisk tankegang

Karakteristik

Arten af spørgsmål og svar

Denne kompetence består for det første i at være klar over, hvilke slags spørgsmål som er karakteristiske for matematik, i selv at kunne stille sådanne spørgsmål, og i at have blik for hvilke typer af svar som kan forventes. Af særlig vigtighed er her matematikkens efterstræbelse af nødvendige og tilstrækkelige betingelser for et objekts besiddelse af en given egenskab.

Begrebers rækkevidde

Den består tillige i at kende, forstå og håndtere givne matematiske begrebers ræk kevidde (og begrænsning) og deres forankring i diverse domæner, i at kunne udvide et begreb ved abstraktion af egenskaber i begrebet, i at kunne forstå hvad der ligger i generalisering af matematiske resultater, og selv at kunne generalisere sådanne til at omfatte en større klasse af objekter.

Forskellige slags mat. udsagn

Denne kompetence omfatter også det at kunne skelne, både passivt og aktivt, mellem forskellige slags matematiske udsagn og påstande, herunder "betingede udsagn", "destinitioner", "sætninger", "fænomenologiske påstande" om enkelttilfælde, og "formodninger" baseret på intuition eller erfaringer med specialtilfælde. Af særlig betydning er her forståelsen af den rolle eksplicitte eller implicitte "kvantorer" spiller i matematiske udsagn, ikke mindst når de kombineres.

Kommentar

Ikke substansen af spørgsmål og svar, men deres karakter, som står i centrum

Kernen i det, som berøres af denne kompetence, er selve arten af matematiske spørgsmål og svar. Det er derimod ikke det faktiske sagsforhold i spørgsmålene eller svarene, fremgangsmåder til at erhverve svarene, eller korrektheden af mulige svar, der er på dagsordenen her. Fremgangsmåderne til erhvervelse af svar er en hovedsag i den nedennævnte problembehandlingskompetence, mens korrektheden af svar står centralt i den såkaldte ræsonnementskompetence.

Der kan måske være grund til at understrege, at der i denne sammenhæng først og fremmest tænkes på spørgsmål og anliggender af egentlig matematisk art, også selv om de måtte være udsprunget af forhold uden for matematikken selv, fra omverdenen eller fra andre fagområder. Evnen til at udsætte sådanne udenomsmatematiske forhold for matematisk behandling er en selvstændig kompetence, som behandles nedenfor under modelleringskompetence.

Eksemplificering

Karakteristiske spørgsmål

Karakteristiske spørgsmål i matematik har ofte en prototypisk skikkelse à la, "Findes der. . . ?", "Hvor mange. . . ?", "Kan det tænkes at. . . ?", "Er påstanden nødvendig eller tilstrækkelig, eller begge dele?", "Kan man slække på de gjorte forudsætninger uden at ændre konklusionen?"

Karakteristiske svar

Svarene kan typisk have formen "Ja, fordi. . . ", "Nej, fordi. . . ", "Påstanden er nød vendig, men ikke tilstrækkelig, som følgende eksempel viser. . . ", "Det afhænger af situationen, idet. . . ", "Det er et åbent spørgsmål. . . ", "Hvis. . . så. . . ", "Der gælder.. . hvis og kun hvis. . . ".

Konkrete illustrationer af karakteristiske spørgsmål og svar, hentet fra forskellige undervisningstrin, kunne fx være:

4.2.2 Problembehandlingskompetence - at kunne formulere og løse matematiske problemer

Opstille og løse problemer

Denne kompetence består dels i at kunne opstille, dvs. detektere, formulere, af grænse og præcisere forskellige slags matematiske problemer, "rene" såvel som "anvendte", "åbne" såvel som "lukkede", dels i at kunne løse sådanne matematiske problemer i færdigformuleret form, egnes såvel som andres, og, om fornødent eller ønskeligt, på forskellige måder.

Kommentar

Begrebet "problem" er relativt

Et (formuleret) matematisk problem er et særlig type matematisk spørgsmål, nemlig ét hvor en matematisk undersøgelse er nødvendig for besvarelsen. Sådan set kunne også spørgsmål, som kan besvares alene ved hjælp af (få) specifikke rutineoperationer, falde ind under begrebet "problem". Sådanne spørgsmål, som for den der skal løse dem, kan besvares ved aktivering af rutinefærdigheder, henregner vi imidlertid ikke under matematiske problemer i denne forbindelse. Derved bliver begrebet "matematisk problem" ikke absolut, men relativt til den person som stilles over for det. Det, som for én person kan være en rutineopgave, kan for en anden være et problem, og omvendt.

Ikke ethvert spørgsmål opstiller et problem

Afgrænsning til andre komp.

Ikke ethvert matematisk spørgsmål opstiller et matematisk problem. For eksempel er "Hvad betyder det, når der står 0 i 406?" ikke et problem som kræver en matematisk undersøgelse, men er et spørgsmål til matematisk begrebsforståelse og sprogbrug. Men da mange spørgsmål faktisk opstiller et problem, er det at kunne formulere matematiske problemer intimt forbundet med det at kunne stille matematiske spørgsmål og have blik for typer af svar på dem, jf. tankegangskompetencen. Men de to kompetencer er altså ikke sammenfaldende. Det at kunne løse et matematisk problem indgår ikke i tankegangkompetencen. Omvendt indgår fx tankegangskompetencens skelnen mellem destinitioner og sætninger ikke i sig selv i problembehandlingskompetencen, om end denne skelnen i praksis kan være en vigtig forudsætning for denne kompetence.

Grænsen mellem behandlingen af anvendte matematiske problemer og aktiv matematisk modelbygning er flydende. Jo mere det er nødvendigt at tage specifikke træk ved de elementer der indgår i problemstillingen i betragtning, jo mere er der tale om modelbygning.

Det at kunne detektere og formulere matematiske problemer og det at kunne løse færdigformulerede matematiske problemer er ikke det samme. Det er meget vel muligt at kunne formulere matematiske problemer uden at være i stand til at løse dem. Man kan endda opstille problemer alene med et elementært begrebsapparat, uden at en løsning overhovedet kan skabes med dette begrebsapparat. Tilsvarende er det muligt at være en dygtig problemløser uden at være god til at finde og formulere matematiske problemer.

Eksemplificering

Kun "små" eksempler

I betragtning af hvor centralt problemopstilling, problemformulering og problemløsning er i matematisk virksomhed på ethvert trin, kan der gives endeløst mange eksempler på problemer og deres løsning. Eftersom problemløsning ofte er en kompliceret og langstrakt affære, er der grænser for, hvor detaljerede eksempler vi kan give her. Nogle få eksempler må række.

Så vil aksens skæringspunkt med taget have koordinaterne (0,0,(m+M)/2), mens (M-m,0,2r) vil være en normalvektor til tagplanen. Repræsenterer vi det typiske punkt på skæringskurven mellem cylinderen og taget ved koordinaterne (r cost, r sin t,h(t)),tÎ[0,2p[, er det essentielt højdefunktionen h, som skal bestemmes. Det sker ved at forlange, at vektoren fra cylinderaksens skæringspunkt med taget til punktet på randkurven er vinkelret på den valgte normalvektor til tagplanen, dvs.

altså

(M-m)r cost + 2rh(t)-r(m+M)=0

Heraf kan vi bestemme

Foretrækker vi at parametrisere højden som funktion af buelængden s (svarende til den underste side på kartonstykket), fremfor som funktion af drejningsvinklen t, har vi s _ rt_ sluttelig

Hermed er opgaven løst."

4.2.3 Modelleringskompetence - at kunne analysere og bygge matematiske modeller vedrørende andre felter

Karakteristik

Modelanalyse

Modelbygning

Denne kompetence består på den ene side i at kunne analysere grundlaget for og egenskaberne ved foreliggende modeller og at kunne bedømme deres rækkevidde og holdbarhed. Hertil hører at kunne "afmatematisere" (træk ved) foreliggende matematiske modeller, dvs. at kunne afkode og fortolke modelelementer ogresultater i forhold til det felt eller den situation som er modelleret. På den anden side består kompetencen i at kunne udføre aktiv modelbygning i en given sammenhæng, dvs. at bringe matematik i spil og anvendelse til behandling af anliggender uden for matematikken selv.

Elementer i modelbygning

Aktiv modelbygning indeholder en række forskellige elementer. Først at kunne strukturere det felt eller den situation der skal modelleres. Dernæst at kunne gennemføre en matematisering heraf, dvs. en oversættelse af objekter, relationer, problemstillinger m.v. til et område af matematikken, resulterende i en matematisk model. At kunne behandle den opståede model, herunder løse de matematiske problemer den måtte give anledning til, samt at kunne validere den færdige model, dvs. bedømme dens holdbarhed både internt (i forhold til modellens matematiske egenskaber) og eksternt (dvs. i forhold til det felt og den situation modellen omhandler). Der indgår tillige at kunne analysere modellen kritisk, både i forhold til dens egen brugbarhed og relevans og i forhold til mulige alternative modeller, og at kunne kommunikere med andre om modellen og dens resultater. Endelig indgår det i aktiv modelbygning at have overblik over og kunne styre den samlede modelleringsproces.

Kommentar

Inddragelse af den modellerede situation

Selv om der principielt set er tale om matematisk modeldannelse, hver gang matematikken bringes i anvendelse uden for dens eget område, vil vi her kun bruge ordene model og modelbygning i tilfælde, hvor der optræder en ikkeselvfølgelig tilskæring af den modellerede situation, som indebærer beslutninger, antagelser, indsamling af oplysninger og data m.v.

Afgrænsning til problembehandlingskomp.

Behandling af matematikholdige problemstillinger, som ikke for alvor kræver be arbejdning af de virkelighedselementer, der optræder, henhører under den ovenfor omtalte problembehandlingskompetence. De træk af modelleringskompetencen, som koncentrerer sig om selve modelbehandlingen, er tæt forbundet med den ovennævnte problembehandlingskompetence. Men derudover indgår der i modelleringskompetencen mange elementer, som ikke primært er af matematisk art, fx viden om udenomsmatematiske kendsgerninger og betragtninger, samt beslutninger vedrørende modelleringens formål, hensigtsmæssighed, relevans for stillede spørgsmål osv.

Eksemplificering

Modelanalyse

Når det gælder analysen af foreliggende (eller foreslåede) modeller, kanman fx

• betragte en model, der opererer med eksponentiel vækst af verdens befolkning i perioden 1900 2000 og sammenholde den med tilgængelige befolkningsdata.

• undersøge den preskriptive body-mass-index model (BMI = vægt [kg]/(højde)² [m²]) for undervægt, normalvægt, overvægt og fedme af mennesker.

Modelbygning

Hvad angår aktiv modelbygning, kan man fx opstille en model til behandling af udfordringer som de nedenstående. I alle tilfælde er det nødvendigt at foretage afgrænsninger, gøre antagelser, eller indhente data for at behandlingen kan foretages.

• En undersøgelse af hvordan grundplanen for et hus kan se ud, hvis dets areal skal være 120 m².

• En undersøgelse af hvor dyrt det er at tale i mobiltelefon.

• "Hvad er den effektive beskatning af en krone tjent af en lønmodtager, hvis der også tages hensyn til moms, afgifter m.m.?"

• En bestemmelse af den optimale form på en konservesdåse.

• En vurdering af hvor stor en del af energiforbruget i Danmark der kan dækkes af vindmøller, og hvor mange møller det ville give anledning til.

• "Hvordan udvikler antallet af AIDS-tilfælde i Danmark sig?"

• "Er det muligt, at gennemsnitsalderen i en befolkning er 35 år samtidig med at mindst 40% af befolkningen er 60 eller derover?"

4.2.4 Ræsonnementskompetence - at kunne ræsonnere matematisk

Karakteristik

Følge og bedømme ræsonnementer

Forstå hvad et bevis er

Denne kompetence består på den ene side i at kunne følge og bedømme et mate matisk ræsonnement, dvs. en kæde af argumenter fremsat af andre på skrift eller i tale til støtte for en påstand, specielt at vide og forstå hvad et matematisk bevis er, og hvordan det adskiller sig fra andre former for matematiske ræsonnementer, fx heuristiske ræsonnementer hvilende på intuition eller på betragtning af specialtilfælde, og at kunne afgøre hvornår et matematisk ræsonnement faktisk udgør et bevis, og hvornår ikke. Heri indgår at forstå den logiske betydning af et modek sempel. Det indgår tillige i kompetencen at kunne afdække de bærende idéer i et matematisk bevis, herunder skelne mellem hovedpunkter og detaljer, mellem idéer og teknikaliteter.

Udtænke og gennemføre

På den anden side består kompetencen i at kunne udtænke og gennemføre infor melle og formelle ræsonnementer (på basis af intuition), herunder omforme heuristiske ræsonnementer til egentlige (gyldige) beviser.

Kommentar

Ikke kun retfærdiggørelse af sætninger, også af svar på spørgsmål og problemer

Af mange betragtes matematisk bevisførelse, men også matematisk ræsonneren i almindelighed, som en sag, der først og fremmest angår retfærdiggørelsen af matematiske sætninger, endda ofte i form af ren og skær gengivelse af færdige beviser. Ræsonnementskompetencen omfatter også dette, men går videre, idet den kommer i spil overalt, når det gælder om at bedømme holdbarheden af matematiske påstande, inklusive at overbevise sig selv eller andre om den eventuelle gyldighed af sådanne. Det kan dreje sig både om reglers og sætningers rigtighed, men også om godtgørelsen af, at givne svar på spørgsmål, opgaver, eller problemer er korrekte og fyldestgørende. Ved således også at omhandle retfærdiggørelsen af svar og løsninger, er ræsonnementskompetencen intimt forbundet med både problembehandlings- og modelleringskompetencerne. Den udgør så at sige disses "juridiske" side.

Afgrænsning til andre komp.

I princippet kunne også evnen til at gennemføre rene rutineoperationer, fx udreg ninger, siges at falde ind under ræsonnementskompetencen, eftersom der jo er tale om at retfærdiggøre et regneresultat. Hvad der for en person er en rutineoperation, kan for en anden være et uoverstigeligt problem. Selve udførelsen af sådanne operationer henregnes imidlertid under den nedenfor omtalte symbol- og formalismekompetence, mens det at aktivere operationerne kan høre ind under ræsonnementskompetencen, hvis denne aktivering stiller krav til opfindsomhed, analyseevne eller overblik.

Eksemplificering

Følge og bedømme ræsonnementer

Som eksempler på det at følge og bedømme et matematisk ræsonnement kan nævnes:

• Beviset for irrationalitet af Ö2.

Forstå hvad et bevis (ikke) er

Til illustration af hvad det kan betyde at vide og forstå, hvad et bevis (ikke) er, kan vi anføre følgende bevisforslag:

Afdække de bærende ideer i et bevis

Afdækning af de bærende idéer i et (korrekt) bevis kan illustreres således:

• "Gauss' bevis for at 1+2+...+n=n(n+1)/2 hviler på den idé, at man kan bestemme summen ved hjælp af en ligning. Ved at lægge tallet n+...+2+1 til venstresiden fås dels den søgte sum to gange, dels n parenteser hver bestående af to tal, hvis sum er n+1. At udnytte dette til at udtrykke summen er derefter teknik (multiplikation af n med n+1 efterfulgt af løsning af en enkel ligning).

Dette bevis har en fordel fremfor et sædvanligt induktionsbevis, som har den svaghed, at det forudsætter et bud på summen, hvilket ikke er påkrævet i Gauss' bevis, som faktisk bestemmer summen."

Selvstændig bevisførelse

Endelig kan selvstændig bevisførelse, fra heuristik til formelt bevis, illustreres med følgende eksempel:

• "7 må være den hyppigst forekommende sum af øjnene i et kast med to terninger, fordi 7 er det tal blandt de mulige summer som kan opnås på .est måder. Det kan vi nærmere præcisere fx således: Hvis de to terningers udfald antages indbyrdes uafhængige, består det samlede sæt af lige sandsynlige udfald af 36 kombinationer af øjne, idet hver terning kan udvise 6 forskellige resultater. Dette kan illustreres af et kvadratisk skema. Af disse 36 kombinationer opstår summen 7 på netop 6 måder, nemlig ved 1 +6, 2 +5, 3+ 4, 4+ 3, 5+ 2, 6 +1 (det første tal i hver sum er antallet af øjne på den første terning; tilsvarende med det andet). Det svarer netop til antallet af måder, hvorpå 7 kan spaltes som sum af to naturlige tal. Ingen af de øvrige mulige summer kan fås på så mange som 6 måder. For summer under 7, fordi antallet af spaltninger åbenbart er mindre end antallet af spaltninger af 7. For summer fra og med 8 til og med 12, fordi kun nogle af spaltningerne svarer til terningkast, nemlig 2+ 6, 3+ 5, 4+ 4, 5+ 3, 6+ 2 for 8's vedkommende og så fremdeles, til og med 12, som kun kan realiseres som 6 +6."

Man kunne også nævne en reparation af forudsætningerne og argumenterne i ovenstående "bevis" vedrørende sammensatte funktioner. Hvis fx g forudsættes at være kontinuert i b, er påstanden korrekt, og bevisskitsen kan udbygges og præciseres til et korrekt bevis.

4.3 At kunne håndtere matematikkens sprog og redskaber

4.3.1 Repræsentationskompetence - at kunne håndtere forskellige repræsentationer af matematiske sagsforhold

Karakteristik

Forstå og betjene sig af forskellige repræsentationer

Vælge og oversætte mellem repræsentationer

Denne kompetence består dels i at kunne forstå (dvs. afkode, fortolke og skelne mellem) og betjene sig af forskellige slags repræsentationer af matematiske objekter, fænomener, problemer eller situationer (herunder symbolske, specielt algebraiske, visuelle, geometriske, grafiske, diagrammatiske, tabelmæssige eller verbale repræsentationer, men også konkrete repræsentationer ved materielle objekter), dels i at kunne forstå de indbyrdes forbindelser mellem forskellige repræsentationsformer for det samme sagsforhold og have kendskab til deres styrker og svagheder, herunder informationstab og -tilvækst, dels i at kunne vælge blandt og oversætte imellem forskellige repræsentationsformer for et givet sagsforhold, alt efter situation og formål.

Kommentar

Afgrænsning til andre komp.

Af særlig betydning i matematik er symbolske repræsentationer. Derfor er der en nær forbindelse mellem den foreliggende kompetence og den efterfølgende symbol- og formalismekompetence, som bl.a. fokuserer på "spillereglerne" for omgangen med matematiske symboler, men også omhandler sider af matematisk formalisme som ikke er knyttet til symbolske repræsentationer. Eftersom det at repræsentere matematiske sagsforhold er nært forbundet med kommunikation i, med og om matematik, er der også klare forbindelser til den senere omtalte kommunikationskompetence.

Repræsentationer ved hjælp af materielle objekter skaber forbindelse til den sidste af de otte kompetencer, hjælpemiddelkompetencen.

Eksemplificering

Også elementære repræsentationer er repræsentationer

Et elementært eksempel på denne kompetence kunne være evnen til at repræ- sentere et naturligt tal med prikker eller klodser af ens form og størrelse, eller opskrivning af tal i positionssystemet ved hjælp af cuisenairestænger, centicubes, kuglerammer eller lignende og ved hjælp af symboler i hindu-arabisk notation, romertal, kileskrift m.v., samt ved verbal repræsentation (eks. fem-millionerethundredeogseksogtyvetusinde nihundredeogsyvogtredive).

Et andet elementært eksempel er tidsangivelser, hvor viserure og digitalure leverer ækvivalente, men helt forskellige repræsentationer af det samme klokkeslet.

Det kunne også være at forstå og håndtere forskellige repræsentationer af objektet p og forbindelserne imellem dem. Repræsentationen kan fx være

• symbolet p.

• en uendelig decimalbrøk 3,14159265....

• en rational tilnærmelse (med deraf følgende unøjagtighed) med fx brøkerne 22/7 eller 223/71.

• geometrisk som omkredsen af en cirkel med diameter 1.

• grænseværdien for den uendelige række 4-4/3+4/5-4/7+4/9-4/11+....

Et andet eksempel er begrebet lineær funktion (i skolematematikkens forstand), som kan repræsenteres

• som regneforskrift, fx f (x)=3x-7.

• algebraisk som løsningsmængde til en ligning, fx 2y- 6x+14=0.

• som en parameterfremstillet punktmængde i et koordinatsystem, {fx x,y)|x=t,y= 3t-7,t Î R}.

• ved en tegnet graf i et koordinatsystem.

• ved et geometrisk objekt, fx den rette linie i planen som går gennem punkterne (2,-1) og (0,-7).

• ved en tabel af sammenhørende værdier af x og y (med indbygget informationstab, hvis det ikke i forvejen vides at tabellen fremstiller en lineær funktion, og med indbygget informationsoverskud, hvis det vides, at funktionen er lineær, og tabellen indeholder mere end to forskellige sammenhørende sæt).

Endnu et eksempel er en ellipse, der kan repræsenteres

• geometrisk som et snit i en kegle eller en cylinder.

• som skyggen af en kugle.

• som det geometriske sted for alle de punkter, hvis afstande til to givne punkter har en konstant sum.

• som mængden af punktpar i et koordinatsystem, som opfylder ligningen (x/a)²+(y/b)²=1(a,b¹0).

For alle eksemplerne går repræsentationskompetencen bl.a. ud på at forstå repræsentationerne, have klarhed over forbindelserne mellem dem, herunder informationstab og -gevinst ved overgang fra den ene til den anden, over styrker og svagheder ved de enkelte repræsentationer, og på at være i stand til at vælge (mellem) en eller flere af dem.

4.3.2 Symbol- og formalismekompetence - at kunne håndtere matematisk symbolsprog og formalisme

Karakteristik

Afkode, oversætte og behandle symbolholdige udsagn

Formelle mat. systemer

Denne kompetence består dels i at kunne afkode symbol- og formelsprog, i at kunne oversætte frem og tilbage mellem symbolholdigt matematisk sprog og naturligt sprog, og i at kunne behandle og betjene sig af symbolholdige udsagn og udtryk, herunder formler. Dels i at have indsigt i karakteren af og "spillereglerne" for formelle matematiske systemer (typisk aksiomatiske teorier).

Kommentar

Afgrænsning til repræsentationskomp.

Denne kompetence adskiller sig navnlig fra den ovennævnte repræsentationskom petence, som den ellers er nært forbundet med, ved at fokusere på symbolernes karakter, status og betydning og på selve håndteringen af dem, inklusive reglerne herfor. Dertil kommer, at den også omhandler omgang med formelle matematiske systemer, hvad enten disse har en symbolsk form eller ej.

Matematiske symboler omhandler ikke kun avancerede matematiske specialsymboler, men også talsymboler og basale tegn i forbindelse med regneoperationer. Tilsvarende omhandler symbolbehandling ikke kun "bogstavregning", "calculus" og lignende, men også de formelle sider af elementær regning.

Eksemplificering

Også elementære symboler og formler

På det elementære plan illustreres denne kompetence fx af omgangen med tal og talbehandling. Det kan dreje sig om

• at forstå, at 406 står for fire hundreder, ingen tiere og 6 enere.

• at man ikke har lov til at skrive 6+×5 eller 6- -3 (mens 6+ +3 ikke er meningsløst, men dårlig syntaks).

• at 5×(3+4) ikke er det samme som 5×3+4.

• at 4<7 er et udsagn, som skal læses "4 er mindre end 7".

På senere trin kan det dreje sig om at forstå

• at {( x,y)|x=t,y=3t-7,t ÎR} angiver mængden af alle reelle talpar, hvor førstekoordinaten antager en vilkårlig reel værdi, mens andenkoordinaten er bundet til at være netop tre gange denne værdi, minus 7.

• indholdet i, hvad der er blevet kaldt "verdens smukkeste formel": e^ip+1=0.

Det at kunne afkode symbol- og formelsprog kan eksemplificeres ved at kunne sige, at den ovenstående mængde netop beskriver den rette linje i et retvinklet koordinatsystem, som afskærer -7 på y-aksen og har 3 som hældningskoefficient.

Omvendt er fx det at kunne opskrive samlingen af alle naturlige tal, der ved division med 5 giver resten 4, i symbolsprog som {pÎN|$kÎN:p=5k+4} et eksempel på oversættelse fra naturligt sprog til symbolsprog. Det samme gælder (a+b)(a-b)=a²-b² som en oversættelse til symboler af den tidligere så "populære" regel "to tals sum gange de samme to tals differens er lig differencen mellem tallenes kvadrater".

Håndtering af symbolsprog og formler

Hvad angår eksempler på håndtering af symbolsprog og formler er der utallige. Der kan fx være tale om at kunne

• foretage omskrivninger som 3x³-2x²-x=x(3x^2-2x-1)=x(x-1)(3x+1), hvor det sidste skridt tillige kræver løsning af andengradsligningen 3x²-2x-1= 0.

• se umiddelbart, at .

• foretage omskrivningen P(A|B)=P(AÇB)/P(B)=P(B|A)P (A)/ P(B), for hændelser A og B, hvor P(A),P(B)¹0.

• konkludere, at ligningen x( y+z)=xyz er opfyldt for alle talsæt af formen (x,y,0) for vilkårlige x og y eller af formen (1,y, z) for vilkårlige y og z, men ikke af andre.

Omgang med formelle matematiske systemer

Endelig kan evnen til at omgås formelle matematiske systemer illustreres ved ind sigt i, hvad det vil sige at foretage geometriske konstruktioner på grundlag af Euklids aksiomer, herunder forståelse af i hvilken forstand det er umuligt at tredele en vinkel med passer og lineal.

Aksiomatisk euklidisk geometri kan tillige tjene som et eksempel på en matematisk formalisme, som ikke behøver at være bragt på symbolsk form.

4.3.3 Kommunikationskompetence - at kunne kommunikere i, med og om matematik

Forstå og fortolke udsagn og tekster

Udtrykke sig om mat.

Denne kompetence består dels i at kunne sætte sig ind i og fortolke andres matema tikholdige skriftlige, mundtlige eller visuelle udsagnog "tekster", dels i at kunne udtrykke sig på forskellige måder og på forskellige niveauer af teoretisk eller teknisk præcision om matematikholdige anliggender, skriftligt, mundtligt eller visuelt over for forskellige kategorier af modtagere.

Kommentar

Afgrænsning til andre komp.

Eftersom al skriftlig, mundtlig eller visuel kommunikation i og med matematik må betjene sig af diverse repræsentationsformer (og medier), har denne kompetence et nært slægtskab med den ovenfor omtalte repræsentationskompetence. Oftest vil en sådan kommunikation også betjene sig af matematiske symboler og termer, hvilket understreger forbindelsen til symbol- og formalismekompetencen.

Kommunikationskompetencen går imidlertid videre end de øvrige derved at kommunikationen sker mellem afsendere og modtagere, og at disses situation og forudsætninger tages i betragtning på linje med formål, budskab og medie for kommunikationen.

Der kan også være grund til at hæfte sig ved, at kommunikation om matematik ikke behøver at inddrage specifikke matematiske repræsentationsformer.

Eksemplificering

Mange udtryksformer

Afkodning og fortolkning

En hvilken som helst skriftlig eller mundtlig fremstilling af en matematisk aktivitet kan tjene til at eksemplificere udtrykssiden af kommunikationskompetencen. For eksempel falder det at kunne gøre rede for en matematisk betragtning, fx løsningen af en opgave, inden for denne. Tilsvarende vil afkodningen og fortolkningen af matematiske fremstillinger, fx i en lærebog eller et foredrag, eksemplificere, hvad man kunne betegne den modtagende side af kommunikationskompetencen.

Også evnen til at indgå i diskussioner med andre om matematikholdige emner kræver kommunikationskompetence. Man kunne fx tænke sig følgende dialog udspille sig mellem to elever på sidste trin i folkeskolen eller i gymnasiet:

4.3.4 Hjælpemiddelkompetence - at kunne betjene sig af og forholde sig til hjælpemidler for matematisk virksomhed (inkl. it)

Karakteristik

Kende muligheder og begrænsninger ved og kunne betjene sig af hjælpemidler

Denne kompetence består dels i at have kendskab til eksistensen og egenskaberne ved diverse former for relevante redskaber til brug for matematisk virksomhed, og have indblik i deres muligheder og begrænsninger i forskellige slags situationer, dels i at være i stand til, på reflekteret vis, at betjene sig af sådanne hjælpemidler.

Kommentar

Ikke kun it

Matematikken har altid betjent sig af diverse tekniske hjælpemidler, både til at repræsentere og fastholde matematiske sagsforhold og til at håndtere dem, fx i forbindelse med målinger og udregninger. Det drejer sig ikke kun om it, altså lommereg nere og computere (herunder beregningsprogrammer, grafiske tegneprogrammer, computeralgebra og regneark), men også om tabeller, regnestokke, kuglerammer, linealer, passere, vinkelmålere, logaritme- eller normalfordelingspapir m.v. Kompetencen går altså ud på at kunne omgås og forholde sig til sådanne hjælpemidler.

Afgrænsning til andre komp.

Da ethvert sådant hjælpemiddel involverer en eller flere typer af matematisk repræ- sentation, er hjælpemiddelkompetencen i slægt med repræsentationskompetencen. Da brugen af visse hjælpemidler også ofte er underlagt ret bestemte "spilleregler", og hviler på bestemte matematiske forudsætninger, har hjælpemiddelkompetencen tillige forbindelser til symbol- og formalismekompetencen.

Eksemplificering

Eksemplerne er utallige

Der er ingen grænser for, hvor mange eksempler man kan give på reflekteret om gang med hjælpemidler for matematisk virksomhed. På de lavere klassetrin kan man nævne evnen til at omgås konkrete materialer til støtte for begrebsdannelsen, undersøgelse af sammenhænge og mønstre, efterprøvelse af hypoteser, grundlæggelse af færdigheder osv. Geoboards, centicubes eller andre klods-, brik- eller stangsystemer, kuglerammer, geometriske skabeloner, spirografer, linealer, passere, vinkelmålere, terninger, særligt indstreget papir, karton til foldning eller udskæring hører alle hjemme i denne sammenhæng.

Vi kan også nævne den tænksomme omgang med lommeregnere og computere, samt it-software af typen LOGO, Cabri-Géomètre, regneark, MathCad, Maple, osv., til brug for såvel kalkulationer som grafiske repræsentationer, empiriske undersøgelser, visualisering osv.

4.4 Fem bemærkninger

4.4.1 Om kompetencernes beslægtethed

Forbindelser og forskelle: Repræsentations-, symbolog formalisme- og kommunikationskomp.

Som det allerede er fremgået, er flere af kompetencerne i nær familie med hinan den. Det gælder fx repræsentationskompetencen, symbol- og formalismekompe tencen samt kommunikationskompetencen, der da også ovenfor er placeret i gruppe sammen. Ikke desto mindre lægger de vægten forskellige steder. I repræsentationskompetencen lægges vægten på selve repræsentationen af et matematisk sagsforhold, og de forskellige muligheder der er for at vælge repræsentation. Man kunne sige at repræsentation er en semantisk aktivitet. Nogle af disse repræsentationer kan være symbolske, men de behøver ikke at være det. Symbol- og formalismekompetencen derimod betoner navnlig "spillereglerne" i omgangen med symbolsprog og formelle systemer (aksiomatiske teorier), hvilket kan betragtes som en hovedsagelig syntaktisk aktivitet. Endelig er fokus i kommunikationskompetencen på, hvordan man i det hele taget kommunikerer i, med og om matematik. Heri indtager både repræsentationer, symbolsprog og formalismer hver deres plads, men der er vældigt meget andet på færde, ikke mindst inddragelsen af afsendere og modtagere af kommunikationen.

Tankegangs-, ræsonnementsog problembehandlingskomp.

Ligeledes er tankegangs-, ræsonnements- og problembehandlingskompetencerne tæt forbundne, men betoningerne er atter forskellige. I tankegangskompetencen ligger vægten på de spørgsmål, matematikken beskæftiger sig med, problembehandlingskompetencen fokuserer på strategier, man kan benytte sig af til at besvare spørgsmålene, mens ræsonnementskompetencen angår retfærdiggørelsen af påstande, heri indbefattet påstande om at en given fremgangsmåde faktisk leverer en korrekt løsning på et problem, som udspringer af et matematisk spørgsmål. Naturligvis indgår også repræsentationskompetencen og symbol- og formalismekompetencen som redskaber i dette kompleks, men altså netop som redskaber, ikke som selve sagen.

Modellerings-, problembehandlings- og repræsentationskomp.

Til slut kan man blandt de mange familierelationer, som findes mellem kompe tencerne, fremhæve forbindelsen mellem modellerings-, problembehandlings- og repræsentationskompetencerne. Således er både repræsentationskompetencen og problembehandlingskompetencen afgørende for udøvelsen af modelleringskompetencen. Men kompetencerne har atter forskellige fokus. Vi har allerede fremhævet de forskellige betoninger i repræsentations- og problembehandlingskompetencerne. I modelleringskompetencen er det brugen af matematik til at forstå og behandle anliggender uden for matematikken selv, der står i centrum.

4.4.2 Om kompetencekarakteristikkernes duale karakter

En "undersøgende" og en "produktiv" side

Som det fremgår af karakteriseringerne, har alle kompetencerne både en "under søgende" og en "produktiv" side. Den "produktive" side af en kompetence består i, at man selv kan gennemføre de processer, kompetencen omfatter. Den "undersøgende" side angår forståelse, analyse og kritisk bedømmelse af allerede udførte processer og deres produkter.

Komp. har "adfærdskarakter", men er ikke behavioristiske

Det bør understreges, at også undersøgende virksomhed (refleksion, analyse og bedømmelse) har handlingskarakter, om end den kan foregå på det rent mentale plan. Der er blot tale om en anden slags aktivitet end selve den gennemførelse af de omhandlede processer, som leder frem til produkter, der i en eller anden forstand er "synlige". Både den undersøgende og den produktive side af kompetencerne angår mentale eller fysiske aktiviteter, som har adfærdskarakter. Fokus er på, at den, der besidder kompetencen, kan udføre de indgående aktiviteter.

At kompetencerne har adfærdskarakter, betyder bestemt ikke, at de skal forstås behavioristisk, dvs. at de nødvendigvis lader sig aflæse udefra som klart afgrænsede og veldefinerede handlinger, der skal forstås som et individs respons på givne stimuli.

4.4.3 Om intuition og kreativitet som tværgående træk ved kompetencerne

Intuition

Der kan være nogle, der savner visse matematiske kompetencer i listen. Det kan måske være udøvelse af matematisk intuition eller matematisk kreativitet. I den tankegang, der ligger til grund for den her benyttede opstilling, er hverken intuition eller kreativitet selvstændige kompetencer, men kombinationer af træk ved de nævnte kompetencer. Således er "intuition" at finde i navnlig tankegangs, ræsonnements-, problembehandlings- og repræsentationskompetencerne.

Kreativitet

"Kreativitet" kan vel nærmest betragtes som indbegrebet af alle de produktive sider af kompetencerne, altså det at kunne stille gode interne eller eksterne matematiske spørgsmål og formulere deraf udspringende problemer; dernæst ved hjælp af intuition, abstraktion, generalisation, valg af hensigtsmæssige repræsentationer, symbol- og formalismehåndtering, samt eventuelt brug af hjælpemidler, at løse disse problemer; derefter at levere korrekte og fuldstændige argumenter (beviser) for at de foreslåede løsninger virkelig virker, for sluttelig at kommunikere både proces og produkt på en klar og overbevisende måde til en målgruppe.

4.4.4 Om tre dimensioner i besiddelsen af en kompetence

Det forekommer meningsfuldt at operere med, at en persons besiddelse af en kompetence kan have tre dimensioner, som vi i mangel af bedre kan kalde dækningsgrad, aktionsradius og teknisk niveau.

Dækningsgrad

Dækningsgrad angår en komp.’s aspekter

En kompetences dækningsgrad hos en person benyttes til at betegne i hvor høj grad de aspekter, som karakteriserer kompetencen, er dækket hos den pågældende, dvs. hvor mange af disse aspekter, personen kan aktivere i forskellige foreliggende situationer, og med hvor høj grad af selvstændighed aktiveringen kan ske.

For eksempel har ræsonnementskompetencen hos den person, der ofte er i stand til at forstå andres beviser, men sjældent selv kan udtænke og gennemføre fyldestgørende beviser, en mindre dækningsgrad end hos en person, der ofte er i stand til begge dele. Tilsvarende har kommunikationskompetencen hos en person, der både er i stand til i almindeligt og klart sprog at gøre rede for tankegangen i løsningen af et matematisk problem og til at fremstille løsningen i tekniske termer, større dækningsgrad end hos den, der kun er i stand til det sidste.

Aktionsradius

Aktionsradius angår sammenhænge og situationer

En kompetences aktionsradius hos en person udgøres af det spektrum af sammen hænge og situationer personen kan aktivere kompetencen i. Det drejer sig først og fremmest om sammenhænge og situationer, der er bestemt af matematiske emneområder (såvel internt matematiske som anvendte emner), men også om sammenhænge og situationer der er bestemt af problemstillinger og udfordringer.

Hvis fx en persons problemløsningskompetence kan aktiveres med succes både inden for aritmetik, algebra, geometri og sandsynlighedsregning, har den større aktionsradius end hos en person, der kun kan aktivere den med succes i aritmetik og algebra. På tilsvarende vis har modelleringskompetencen større aktionsradius hos en person, som kan håndtere anvendelser i matematik i dagligøkonomi, i madlavning og gør-det-selv ombygninger end hos den, som kun kan aktivere kompetencen ved indkøb i supermarkedet.

Teknisk niveau

Teknisk niveau angår substansen i sagsforhold

En kompetences tekniske niveau hos en person bestemmes af, hvor begrebsligt og teknisk avancerede sagsforhold og værktøjer personen kan aktivere den pågældende kompetence overfor.

Hos den person, der er i stand til at regne korrekt i situationer, hvor der kun optræder to- eller trecifrede hele tal, har symbol- og formalismekompetencen et lavere teknisk niveau end hos den, som tillige kan klare situationer, hvor der optræder mangecifrede tal eller decimaltal. Og den person, der nok kan nå frem til at skitsere grafer for reelle funktioner af én variabel, men ikke for reelle funktioner af to variable, har en repræsentationskompetence på et lavere teknisk niveau end den, som kan begge dele.

Dimensionerne som partielle ikke-kvantitative ordningsprincipper

Hverken en total eller en kvantificerbar ordning

Det er vigtigt at få slået fast, at selv om vi her har valgt nogle ord som antyder mu ligheden af enkel kvantitativ måling, ligger der ingen antagelse om noget sådant til grund for de følgende betragtninger. Det eneste, vi forudsætter i den henseende, er, at hver af dimensionerne tillader en ordning, dvs. én udgave af en given kompetence kan i henseende til en bestemt dimension være mere eller mindre omfattende, end en anden udgave af den samme kompetence. Eftersom vi kun har at gøre med en partiel ordning, er det ikke sikkert, at to vilkårlige udgaver af den samme kompetence kan sammenlignes på denne måde.

Det giver således ingen mening at sige, at rækkevidden af problemløsningskompetencen hos en person, der kan løse problemer inden for algebra, geometri og sandsynlighedsregning, er mindre, end hos en person der kan løse problemer inden for sandsynlighedsregning, funktioner, infinitesimalregning og optimering. Ligeledes giver det heller ikke uden videre mening at sammenligne det tekniske niveau for symbol- og formalismekompetencen hos en person, der er virtuos til at behandle udtryk inden for fx trigonometri, med det tekniske niveau hos en person, som er virtuos i beregninger vedrørende sandsynlighedsfordelinger.

4.4.5 Om kompetencerne som fagspecifikke, men stofmæssigt generelle

Generelle og sammenfattende, men mat.specifikke

Den femte og sidste bemærkning er måske den vigtigste: Hver af de otte kompe tencer er af en generel og sammenfattende natur. De giver mening for (og er derfor uafhængige af) ethvert konkret matematisk stof, ligesom de giver mening for ethvert uddannelsestrin. Men de er også specifikke for matematik. Det er muligt, at man kan formulere lignende kompetencer m.v. for andre fagfelter, måske endda med anvendelse af mange af de samme ord. Men elementerne i matematikkompetencerne refererer alle til sagsforhold, som er af specifik matematisk art.

4.5 Overblik og dømmekraft vedrørende matematik som fagområde

"Aktive indsigter" vedr. mat. karakter og rolle i verden

De omtalte kompetencer har som nævnt alle et handlingspræg, derved at de er rettet mod omgangen med forskellige typer af udfordrende matematiske situationer. Udover de sider af matematisk faglighed, som vi med disse kompetencer forsøger at indfange, har vi fundet det ønskeligt at operere med en type "aktive indsigter" vedrørende matematikkens karakter og rolle i verden, som ikke har adfærdspræg i direkte forstand. Skønt disse indsigter udstyrer den, der besidder dem, med et sæt synsmåder, som giver overblik og dømmekraft over for matematikkens forbindelse til forhold og tilskikkelser i natur, samfund og kultur, og derved altså også kan siges at have en slags kompetencekarakter, blot rettet mod matematikken som fagområde snarere end mod matematiske situationer, afstår vi fra at kalde dem kompetencer for at undgå forvirrende sammenblanding med de ovenfor behandlede.

Genstanden er mat. som helhed

Besiddelsen af overblik og udøvelsen af dømmekraft er af væsentlig betydning for dannelsen af et balanceret billede af matematikken, selv om den ikke har adfærdskarakter i nogen simpel forstand. Pointen er altså, at genstanden for denne dømmekraft er matematikken som helhed og ikke specifikke matematiske situationer eller problemstillinger.

Tre slags overblik og dømmekraft

Det drejer sig om på baggrund af viden og kunnen at besidde overblik og dømme kraft vedrørende a) matematikkens faktiske anvendelse i andre fag- og praksisområder, b) matematikkens historiske udvikling, såvel internt som i samfundsmæssig belysning, og c) matematikkens karakter som fagområde.

Punkter i det uendeligt fjerne

Man kunne måske mene, at der med valget af termerne "overblik" og "dømmekraft" tages nogle store ord i brug, ikke mindst når vi insisterer på, at de giver mening på alle uddannelses- og undervisningstrin. I betragtning af at man aldrig vil kunne tale om "fuldstændigt overblik" og "total dømmekraft", som nærmest må ses som "punkter i det uendeligt fjerne", skal begreberne forstås relativt. Derved adskiller de sig jo ikke fra de otte kompetencer, som jo heller aldrig kan besiddes til fuldkommenhed. Det afgørende er, at de perspektiver på matematik som der her er tale om, gøres til genstand for udtrykkelig behandling, refleksion og artikulation.

4.5.1 Matematikkens faktiske andvendelse i andre fag- og praksisområder

Hvem anvender mat. til hvad?

Genstanden for denne form for overblik og dømmekraft er den faktiske anven delse af matematik til udenomsmatematiske formål inden for områder af dagligdags, samfundsmæssig eller videnskabelig betydning. Denne anvendelse kommer i stand og til udtryk gennem bygningen og udnyttelsen af matematiske modeller.

Kommentar

Afgrænsning til modelleringskomp.

Mens den tidligere beskrevne modelleringskompetence vedrører evnen til at handle i konkrete udenomsmatematiske situationer og problemstillinger, hvor matematikken bringes i spil, er der her snarere tale om en bred og sammenfattende form for overblik og dømmekraft af en nærmest sociologisk og videnskabsteoretisk art. Det er oplagt, at en veludviklet modelleringskompetence bidrager til en konkret forankring og konsolidering af overblik og dømmekraft, men det er ikke en automatisk følge heraf.

Sagen kan eksemplificeres af spørgsmål som:

• "Hvem uden for matematikken selv bruger den faktisk til noget?"

• "Til hvad?"

• "Hvorfor?"

• "Hvordan?"

• "Gennem hvilke midler?"

• "På hvilket grundlag?"

• "Med hvilke konsekvenser?"

• "Hvad skal der til for at kunne bruge den?"

Mat.’s udvikling i tid og rum

Genstanden for denne form for overblik og dømmekraft er det forhold, at matema tikken har udviklet sig i tid og rum, i kultur og samfund.

Kommentar

Ikke at forveksle med mat.historie

Den form for overblik og dømmekraft, der her er tale om, må ikke forveksles med kendskab til "matematikkens historie" anskuet som et selvstændigt emne. Fokus er på selve det forhold, at matematikken har udviklet sig, i kulturelle og samfundsmæssigt betingede miljøer, og på de drivkræfter og mekanismer som er ansvarlige for denne udvikling. På den anden side er det oplagt, at hvis overblik og dømmekraft vedrørende denne udvikling skal have soliditet, må de hvile på konkrete matematikhistoriske eksempler.

Hvor den førstnævnte form for overblik og dømmekraft kan siges at have et modstykke i en af kompetencerne, er noget tilsvarende ikke tilfældet her. Vi opererer ikke med en "matematikhistorisk kompetence" som en ingrediens i almen matematisk kompetence. Faktisk ville det være muligt at udpege og karakterisere en matematikhistorisk kompetence, men den må betragtes som for speciel til at høre hjemme i en generel sammenhæng.

Af interesse er spørgsmål som:

• "Hvordan har matematikken udviklet sig gennem tiden?"

• "Hvad har været de indre og ydre drivkræfter i udviklingen?"

• "Hvilke slags aktører har været indblandet i udviklingen?"

• "I hvilke samfundsinstitutioner har den fundet sted?"

• "Hvordan har samspillet med andre felter været?"

4.5.3 Matematikkens karakter som fagområde

Mat.’s karakteristika i forhold til andre fagområder

Som fagområde har matematikken sine egne karakteristika. Det er disse karakte ristika, der er genstand for den foreliggende type overblik og dømmekraft. Nogle karakteristika har matematikken tilfælles med andre fagområder, andre er den ret alene om.

Kommentar

Kræver artikulation og refleksion

Samtlige otte kompetencer bidrager til at forankre denne form for overblik og dømmekraft og til at give den kød og blod. Derved er det nok den blandt de tre former for overblik og dømmekraft, som i størst udstrækning ligger i forlængelse af kompetencerne. Pointen er imidlertid, at kun hvis matematikkens særlige karakter som fagområde i sig selv gøres til genstand for belysning og overvejelser, skabes bevidst og artikuleret overblik og dømmekraft.

Skulle man fremhæve nogle af kompetencerne som bidragende i særlig grad til at skabe fundament for overblik og dømmekraft vedrørende de særlige træk ved matematik, må det blive tankegangs-, ræsonnements- og symbol- og formalismekompetencerne.

Eksemplificering

Der tænkes her på spørgsmål som:

• "Hvad er karakteristisk for matematikkens problemstillinger, tankegange og metoder?"

• "Hvilke slags resultater leverer den, og hvad bruges de til?"

• "Hvilken videnskabsteoretisk status har dens begreber og resultater?"

• "Hvordan er matematikken opbygget?"

• "Hvordan er dens forbindelse til andre discipliner?"

• "På hvilke måder adskiller den sig som videnskab fra andre discipliner?"

4.6 Yderligere bemærkninger

Ikke automatiske konsekvenser af komp.

De betragtede typer af overblik og dømmekraft kan, som det fremgår, ikke automatisk afledes af de otte kompetencer, som er gennemgået ovenfor, men må på den anden side, for at være ordentligt forankrede, hvile på et fundament af disse kompetencer. Det er med andre ord ikke tilstrækkeligt for at besidde overblik og dømmekraft vedrørende matematik, at man har hørt (fortællinger) om matematikkens anvendelse, historiske udvikling og særlige karakter.

Det kan måske forekomme lidt vanskeligt at skelne mellem på den ene side den "undersøgende" del af de otte kompetencer og på den anden side de angivne typer af overblik og dømmekraft, måske navnlig den først- og sidstnævnte. Hovedforskellen er, som antydet, at kompetencerne altid skal tænkes udøvet over for konkrete matematiske objekter, problemstillinger eller situationer, mens overblik og dømmekraft her vedrører matematikken som et samlet fagområde, der har en særlig karakter, historie og samfundsmæssig placering, og som anvendes uden for sit eget terræn til formål, der ikke i sig selv er af matematisk art.

Generelle og sammenfattende, men mat.specifikke

Som tilfældet var med de otte kompetencer, er også de nævnte typer af overblik og dømmekraft af en generel og sammenfattende natur. Også de giver mening for (og er derfor uafhængige af) ethvert konkret matematisk indhold, ligesom de giver mening for ethvert uddannelsestrin, samtidig med at de er specifikke for matematik.

4.7 Anvendelsen af kompetencebeskrivelsen af matematisk faglighed

Et uendeligt spektrum af beherskelsesniveauer

Den enkelte kompetence kan anskues som et uendeligt, tredimensionalt, kontinuert spektrum af beherskelsesniveauer. Det samme gælder for overblik og dømmekraft vedrørende matematik. Besiddelsen af en kompetence, overblik eller dømmekraft er ikke et spørgsmål om enten-eller. Ser vi blot på dækningsgraden, kan man besidde en kompetence på et meget elementært plan, der kun omfatter de mest grundlæggende aspekter af den. Jo flere aspekter af en kompetence man kan aktivere og kombinere, jo flere sammenhænge og situationer man kan bringe den i spil over for, dvs. jo større rækkevidde kompetencen har for én, og jo mere begrebsligt og teknisk avancerede sagsforhold man kan håndtere den i, jo højere er det niveau, hvorpå man besidder denne kompetence.

Derimod kan man aldrig besidde en kompetence, et overblik eller dømmekraft fuldt ud, eftersom der ingen ende er på, hvor dybtliggende, sammensatte og komplicerede sagsforhold den kan angå. Alt dette betyder dog ikke nødvendigvis, at det i praksis er umuligt at foretage mere pragmatiske opdelinger af en kompetence i et mindre antal beherskelsesniveauer, hvis det er det, man ønsker.

4.7.1 Begrebsapparatet anvendt normativt og deskriptivt

Kompetencebeskrivelsen af matematisk faglighed kan nu anvendes til fagbeskrivelse på to forskellige måder.

Normativ brug, fx til fastlæggelse af læseplaner

Den kan anvendes normativt, dvs. til beslutninger om,med hvilken vægt og på hvil ket beherskelsesniveau de enkelte kompetencer bør være på dagsordenen i en given læseplanssammenhæng på et foreliggende undervisningstrin. Derved bliver kompetencerne et hovedinstrument til fastlæggelse af læseplaner (men ikke det eneste instrument). Denne brug er øjensynlig nært knyttet til forestillinger om formål og mål med undervisningen.

Denne normative brug af kompetencer kunne i princippet godt føre til, at det besluttes, at en eller flere af kompetencerne enten slet ikke skal søges udviklet på et givet undervisningstrin, eller at kun visse træk ved dem skal være på dagsordenen. Det kunne fx være, at nogle af kompetencerne kun optræder i deres undersøgende skikkelse, mens der gives afkald på at betone den produktive side af dem. I den forbindelse er det ikke umuligt, at det i selve formuleringen af en læseplan kunne være hensigtsmæssigt at foretage en sammensmeltning af nogle af kompetencerne eller af træk ved dem, for ikke at operere med en større detaljeringsgrad i beskrivelsen end den der efterstræbes i den pågældende sammenhæng.

Deskriptiv brug, fx til belysning af mat.uv.’s realitet

Kompetencerne kan også anvendes deskriptivt, dvs. til at beskrive og analysere hvad der faktisk er på færde i en given matematikundervisning, både på læseplansniveau og i den daglige undervisning. Desuden kan de bruges som et hjælpemiddel til detektering og karakterisering af matematiktilegnelsen hos den enkelte elev.

4.7.2 Kompetencebeskrivelsen som metakognitiv støtte

Hjælpemiddel i uv. for lærere og elever

Ud over til fagbeskrivelse kan kompetencebeskrivelser bruges som metakognitiv støtte, dvs. som hjælpemiddel i den daglige undervisning, både deskriptivt og normativt. Dels kan læreren betjene sig af dem i planlægningen og gennemførelsen af sin undervisning, dels kan de simpelthen gøres til genstand for samtaler og diskussioner mellem lærer og elever, og mellem eleverne indbyrdes, om hvad undervisningen går ud på, og om hvad der faktisk foregår, henholdsvis burde foregå, både på undervisnings- og tilegnelsesplan.

Endelig kan kompetencerne benyttes i lærerens faglige, didaktiske og pædagogiske diskussioner med kolleger.

4.7.3 Kompetencebeskrivelsen som omdrejningspunkt, ikke som stående alene

Stofvalg hviler på mere end komp.

Det er ikke tanken, at kompetencebeskrivelser er det eneste, der er at sige om kon kret fagbeskrivelse i en given sammenhæng. Et givet sæt af kompetencer kan fremmes og aktiveres ved beskæftigelsen med en mangfoldighed af helt forskelligt fagligt stof, sådan som det også er antydet i eksemplerne til illustration af de enkelte kompetencer. Hvad dette stof nærmere skal være, kan altså ikke afgøres alene ved betragtning af kompetencerne.

Når vi dertil lægger, at det er de samme kompetencer som - om end med forskellig vægt og prioritering - er på færde på ethvert undervisningstrin, og at undervisningen jo ikke uafbrudt skal beskæftige sig med det samme stof, er det klart, at valget af det undervisningsstof som kompetencerne skal manifesteres i forhold til må ske ved inddragelse af yderligere synsvinkler end kompetencerne alene. Til gengæld er det afgørende, at overvejelser over undervisningsstoffets egnethed til at fremme de kompetencer, der programsættes, spiller en væsentlig rolle for beslutningerne om stofvalg.

På tilsvarende måde forholder det sig med valget af evalueringsinstrumenter, herunder eksamensformer. Man kan ikke aflede disse instrumenter af kompetencerne, men mange gængse evalueringsinstrumenter tillader kun evaluering af et meget begrænset udsnit af de omtalte kompetencer. Det bliver derfor en hovedopgave at konstruere og implementere evalueringsinstrumenter og -rammer som egner sig til at evaluere kompetencerne.

Uv.aktiviteter til fremme af komp.

Endelig er der hidtil intet sagt om det, som måske ofte er det væsentligste: De ak tiviteter som bringes i spil i en given undervisning. Der er aktiviteter, som kun i ringe grad egner sig til at fremme opbygningen af hele spektret af kompetencer, mens andre har en større rækkevidde, hvad kompetencer angår. Hvordan sådanne relevante aktiviteter kan udtænkes, kombineres og implementeres, er en hovedopgave for den daglige undervisning, uanset trin. Det er et spørgsmål, som vi skal strejfe i slutningen af denne rapport.

5. Introduktion til del III

5.1 Behovet for samspil mellem forskellige typer kompetencer

Et minefelt

Diskussionen om uddannelsen af matematiklærere rummer sædvanligvis - og i alle lande - et minefelt, når det gælder afvejningen af henholdsvis matematikfaglig bagage og didaktisk og pædagogisk bagage, og ikke mindst en stillingtagen til samspillet mellem dem.

hverken mat. eller generel didaktisk komp. er tilstrækkelig

Her peger, for det første, al forskningsmæssig og anden erfaring på, at det i al mindelighed er en helt utilstrækkelig forberedelse til matematiklærerprofessionen kun at tilegne sig matematik som fag, stort set uanset hvilket niveau dette sker på. At der er mange eksempler på excellente matematiklærere, som ikke har anden basis for deres undervisning end matematisk fagkundskab, er sandt, men da de er undtagelsen snarere end reglen, kan de ikke danne grundlag for en alment holdbar strategi. Erfaringen peger i endnu højere grad på, at det ligeledes er en helt utilstrækkelig forberedelse til professionen udelukkende at være udstyret med en generel didaktisk og pædagogisk bagage, uden at der indgår matematiske kompetencer i bagagen.

For det andet viser mange erfaringer, at det også - i almindelighed - er helt utilstrækkeligt at besidde henholdsvis matematikfaglig og almendidaktisk/-pædagogisk bagage, hvis disse to komponenter alene besiddes i isoleret form uden at blive bragt i samspil med hinanden. Det er med andre ord nødvendigt for at være en god lærer tillige at besidde fagdidaktisk og -pædagogisk kompetence, dvs. en kompetence der bringer matematisk kompetence i samspil med problemstillinger vedrørende undervisning i og læring af matematik.

5.2 Struktureringen af det følgende

På samme måde som vi baserer beskrivelsen af faglighed i matematik på kompetencer, vil vi derfor her gennemføre en tilsvarende beskrivelse af matematiklæreres kompetence. Denne beskrivelse kommer til at indeholde to komponenter.

"Hvad vil det sige at være en god matematiklærer?"

Den første komponent udgøres af de kompetencer, som ligger i selve udø- velsen af professionen. Man kunne også sige, at den søger at give svar på spørgsmålet "Hvad vil det sige at være en god matematiklærer?", hvilket er et fagdidaktisk/-pædagogisk spørgsmål. Det er altså aldeles forskelligt fra spørgsmålet "Hvad vil det sige at være en god lærer, der desuden kan matematik?". Det sidste er et spørgsmål, som vi ikke .nder det relevant at stille.

"Hvilken matematisk kompetence bør den gode matematiklærer have?"

Den anden komponent består af en beskrivelse af den matematiske faglighed, som matematiklæreren bør besidde, dvs. de (aspekter af) matematiske kompetencer, samt de former for overblik og dømmekraft vedrørende matematik som fagområde, han eller hun bør have i bagagen, ikke som borger eller lærer i almindelighed, men netop som matematiklærer. Her spørger vi altså "Hvilken matematisk kompetence bør den gode matematiklærer have?" Skønt vi i de følgende kapitler beskriver disse to komponenter hver for sig, kan det ikke understreges tydeligt nok, at hos den gode lærer er de integreret i den forstand, at han eller hun både kan anlægge kompetente faglige synsvinkler på ethvert fagdidaktisk eller -pædagogisk problem, og kan tage stilling til de didaktisk/ pædagogiske potentialer i de matematiske kundskaber og indsigter han eller hun besidder, samt være i stand til at bringe de to komponenter i integreret samspil i undervisningen.

"Hvordan?" behandles ikke her

I fortsættelse af overvejelser over de kompetencer en god matematiklærer bør besidde, trænger et andet spørgsmål sig på: Hvordan skal disse kompetencer erhverves og udvikles, dels under uddannelsen til lærer, dels undervejs i selve udøvelsen af professionen? Dette spørgsmål er både meget komplekst og meget vigtigt, men vi kan i det store og hele ikke behandle det i denne rapport. Kun kan der være grund til at slå fast, at der med betragtningerne i denne del af rapporten ikke er taget stilling til, hvordan matematiklæreruddannelserne nærmere skal indrettes og organiseres. Dette kan ske på mange forskellige, hver for sig frugtbare, måder, og blandt de mange måder der er tale om, har vi altså ikke i dette projekt valgt side til fordel for bestemte.

Karakteriseringen af de didaktiske og pædagogiske kompetencer, som knytter sig til udøvelsen af professionen, er tilstrækkeligt fælles for forskellige læreruddannelser, fra grundskole til universitet, til at denne karakterisering kan gennemføres under ét. Derimod er der med hensyn til den matematiske faglighed brug for en opdeling mellem læreruddannelserne på linje med den, vi i del VII fremlægger for forskellige andre dele af uddannelsessystemet.

6. En kompetencebeskrivelse af matematiklærerfaglighed: Didaktiske og pædagogiske kompetencer

6.1 Indledning

En god lærer besidder en mangfoldighed af almene lærerkompetencer. En god matematiklærer, besidder tillige, uanset undervisningstrin, en række specifikke matematikdidaktiske og -pædagogiske kompetencer. De bliver skitseret nærmere nedenfor, hvor vi i øvrigt benytter ordet "elev" som den fælles term for en person, som er i færd med at lære (matematik), uanset om der er tale om en skoleelev eller en universitetsstuderende.

Ikke en karakteristik af almene lærerkomp.

Derimod ser vi det ikke som vores opgave i dette projekt at gå nærmere ind på at karakterisere de almene lærerkompetencer. Så selv om karakteriseringen nedenfor af de omhandlede kompetencer ofte sker i et ordvalg, der ikke specifikt refererer til matematik, er det ikke desto mindre overalt dette fag, der tænkes på. Der er altså ikke tale om generelle fagdidaktiske og -pædagogiske kompetencer. Om det så måtte være muligt at karakterisere faglærerkompetencen i et andet fag i tilsvarende termer, er en sag der helt må afgøres inden for dette fag selv.

Uddannelsen af matematiklærere har til opgave at udstyre dem med følgende didaktiske og pædagogiske kompetencer, som karakteriseres i de følgende afsnit:

• Læseplanskompetence.

• Undervisningskompetence.

• Læringsafdækningskompetence.

• Evalueringskompetence.

• Samarbejdskompetence.

• Professionel udviklingskompetence.

6.2 Læseplanskompetence - at kunne vurdere og udforme læseplaner

Sætte sig ind i og analysere

Denne kompetence består dels i at kunne sætte sig ind i, analysere og forholde sig til de til enhver tid gældende og mulige fremtidige rammelæseplaner for matematikundervisningen på de relevante undervisningstrin, og i at kunne vurdere sådanne planer og deres betydning for den enkeltes aktuelle undervisning.

Udforme og iværksætte

Dels består den i selv at kunne udforme og iværksætte forskellige slags læse- og kursusplaner med forskellige formål og mål og på forskellige niveauer, under iagttagelse af de overordnede rammer og vilkår der måtte foreligge, og både under aktuelle og under forventelige fremtidige forhold.

6.3 Undervisningskompetence - at kunne udtænke, tilrettelægge og gennemføre undervisning

Udtænke, tilrettelægge og gennemføre konkrete undervisningsforløb

Denne kompetence består i med overblik og i samspil med eleverne at kunne ud tænke, tilrettelægge og gennemføre konkrete undervisningsforløb med forskellige formål og mål.

Heri indgår skabelsen af et spektrum af righoldige undervisnings- og læringssituationer, inklusive tilrettelæggelsen og organiseringen af aktiviteter for elever og elevgrupper under hensyntagen til disses karakteristika og behov. Dette omfatter også udvælgelse og opstilling af opgaver, såvel som af andre hverv og udfordringer for elevernes virksomhed. Der indgår tillige at kunne finde, bedømme, udvælge eller frembringe forskellige slags undervisningsmidler og -materialer. Kompetencen omfatter desuden det at kunne begrunde og med eleverne diskutere undervisningens indhold, form og perspektiver, og at kunne motivere og inspirere eleverne til at engagere sig i matematiske aktiviteter, samt at kunne skabe rum for elevernes egne initiativer i matematikundervisningen.

6.4 Læringsafdækningskompetence - at kunne afdække og fortolke elevernes læring

Afdække og fortolke læring, forestillinger og holdninger

Denne kompetence består i at kunne afdække og fortolke elevernes faktiske mate matiske læring og besiddelse af matematiske kompetencer, samt forestillinger om og holdninger til matematik, herunder at kunne identificere udviklingen over tid heri.

I kompetencen indgår at kunne trænge ind bag facaden af de måder hvorpå den enkelte elevs matematiklæring, -forståelse og -beherskelse kommer til udtryk i konkrete situationer, i det øjemed at forstå og fortolke den kognitive og affektive baggrund for disse.

6.5 Evalueringskompetence - at kunne afdække, vurdere og karakterisere elevernes faglige udbytte og kompetencer

Udvælge eller konstruere, samt betjene sig af evalueringsinstrumenter

Denne kompetence består i at være i stand til at udvælge eller konstruere, samt be tjene sig af, et bredt spektrum af former og instrumenter til afdækning og vurdering af elevers og elevgruppers faglige udbytte og matematiske kompetencer, både undervejs i undervisningen og ved afslutningen af den, og både i absolut og i relativ forstand.

Heri indgår også evnen til kritisk at forholde sig til holdbarheden og rækkevidden af konklusioner erhvervet ved anvendelsen af de enkelte evalueringsinstrumenter. Denne kompetence er en forudsætning for løbende evaluering, dvs. evaluering gennemført undervejs i undervisningen, og indebærer også evnen til at karakterisere den enkelte elevs udbytte og kompetencer og at kunne kommunikere med eleven om de gjorte observationer og fortolkninger og hjælpe denne til at korrigere, forbedre eller videreudvikle sine matematiske kompetencer. Det samme gør sig gældende ved afsluttende evaluering, herunder eksamener, selv om vejledningen i denne situation ofte har en anden karakter.

6.6 Samarbejdskompetence - at kunne samarbejde med kolleger og andre omundervisningen og dens rammer

Kolleger

Denne kompetence består for det første i at kunne samarbejde med kolleger, både fagkolleger og kolleger i andre fag, om anliggender af betydning for matematikundervisningen. Heri indgår evnen til at bringe samtlige fire ovennævnte kompetencer i spil i faglige, pædagogiske og didaktiske samarbejdsprojekter og i diskussioner med forskellige typer af kolleger.

Forældre, administration, myndigheder m.fl.

For det andet omfatter kompetencen evnen til at indgå i samarbejde med perso ner uden for den kollegiale verden, fx elevernes forældre, administrative instanser, myndigheder osv. om rammerne for undervisningen.

6.7 Professionel udviklingskompetence - at kunne udvikle sin kompetence som matematiklærer

Denne kompetence består i at kunne udvikle sin matematiklærerkompetence. Den er med andre ord en slags meta-kompetence.

Indgå i og forholde sig til udviklende aktiviteter

Den består nærmere bestemt i at kunne indgå i og forholde sig til aktiviteter som kan tjene til udviklingen af den faglige, didaktiske og pædagogiske kompetence,   under hensyntagen til skiftende betingelser, omstændigheder og muligheder. Det drejer sig om at kunne reflektere over sin undervisning og diskutere denne med fagkolleger, om at kunne identificere udviklingsbehov, og om at kunne vælge eller foranstalte samt bedømme aktiviteter som kan fremme den ønskede udvikling, hvad enten der er tale om eksterne efter- og videreuddannelseskurser, konferencer eller om kollegiale projekter og aktiviteter som fx deltagelse i studiekredse og forskningsprojekter. Det drejer sig også om at holde sig á jour med nye tendenser, nye materialer og ny litteratur på ens felt, om at drage nytte af relevante forskningsog udviklingsbidrag, og måske om at skrive artikler eller bøger af faglig, didaktisk eller pædagogisk art.

7. Matematiklæreres matematiske kompetencer

7.1 Generelle kommentarer

7.1.1 Uddannelsen af lærere til grundskolen

En professionsrettet uddannelse

I Danmark er uddannelsen til grundskolelærer en professionsrettet uddannelse. Det vil sige, at lærerstudiet er en specifik forberedelse (hos os desuden ved en særlig slags uddannelsesinstitution) til en bestemt profession, ikke et alment studium der bl.a. kan lede til ansættelse i grundskolen som én blandt en række erhvervsmuligheder.

De strukturelle rammer er nyttigt at diskutere

Som bekendt er dette ikke den eneste mulige måde at indrette en læreruddannelse på. Alternativt kan man, som tilfældet er i nogle lande og i Danmark ved uddannelsen af lærere for de gymnasiale uddannelser, have en mere eller mindre almen fagrettet uddannelse, som så gennem forskellige didaktiske, pædagogiske eller undervisningspraktiske tillægskomponenter kvalificerer til ansættelse som lærer. Der knytter sig mange store spørgsmål af kulturel, politisk, økonomisk, organisatorisk, didaktisk og pædagogisk art til en diskussion om indretningen og placeringen af læreruddannelserne. Det ville være nyttigt for det danske samfund at sætte en så- dan grundlæggende diskussion på dagsordenen, med skyldig hensyntagen til den tid, de kræfter og de ressourcer, der skal til, hvis diskussionen skal blive kvalificeret.

...men vi gør det ikke her

Vi har ikke set det som vores opgave i sammenhæng med dette projekt at tage hul på en sådan diskussion. Derfor tages de store organisatoriske linjer i indretningen og institutionstilknytningen af grundskolelæreruddannelsen for givet. Det er imidlertid vores vurdering, at betragtningerne i denne rapport vil være robuste over for selv ganske omfattende organisatoriske forandringer af læreruddannelsessystemet i Danmark.

Komp. har fuld dækningsgrad

Som tilfældet generelt er med matematikkompetencer på de højere trin af uddan nelsessystemet, er det vores opfattelse, at en grundskolelærer i matematik bør besidde de otte matematikkompetencer og de tre former for overblik og dømmekraft vedrørende matematik som fagområde med fuld dækningsgrad. Hermed er intet sagt om kompetencernes aktionsradius eller begrebslige og tekniske niveau. Der er som bekendt heller intet sagt om det faglige stof, kompetencerne skal udøves i forhold til. Det er en sag, som kræver selvstændig stillingtagen, sådan som det tages op i kapitel 8.

7.1.2 Uddannelsen af lærere til de gymnasiale og de videregående uddannelser

En almen universitetsuddannelse

Didaktiske momenter vinder indpas

Uddannelsen af lærere i matematik til de gymnasiale og videregående uddannelser i Danmark finder i alt væsentligt sted på universiteterne. I de seneste ca. fire årtier har det typisk forholdt sig sådan, at de kommende lærere til disse trin har modtaget en almen universitetsuddannelse med matematik som fag, hvor professionen som lærer blot har været én blandt flere muligheder for fremtidigt erhverv. Tidligere har uddannelserne kun i enkelte tilfælde (fx ved RUC og AAU) rummet momenter, der kunne forberede de studerende specifikt på en profession som lærer, men i de senere år har sådanne momenter i stigende grad vundet indpas ved universite terne i almindelighed. Samtidig er der sket en udvikling på pædagogikumfronten i retning af opgradering af ikke blot den undervisningspraktiske forberedelse til professionen, men også til dens fagdidaktiske sider, ligesom der fra Undervisningsministeriets side er formuleret visse indholdskrav til universitetsuddannelsen, som forudsætning for at få tildelt formel kompetence (i betydningen autorisation) som lærer i det almene gymnasium og hf. På HHX og HTX er ansættelsesgrundlaget noget bredere, og det er i vid udstrækning op til forstanderne at afgøre, hvad der skal til for at bestride undervisningen.

Ved universiteternes undervisning har der traditionelt ikke været nogen pædagogiske eller didaktiske krav til lærerne. Men i de senere år er der sket den ændring, at adjunkter skal gennemgå et særligt universitært pædagogikum for at kunne søge ansættelse som lektor.

De strukturelle rammer diskuteres ikke her

Også på de her betragtede områder er der mange, hver for sig fornuftige, mulig heder for at indrette uddannelsen af kommende lærere i matematik. Man kan både indrette fortræffelige uddannelser, hvor didaktisk-pædagogiske komponenter er en del af selve universitetsuddannelsen, og uddannelser, hvor sådanne komponenter først behandles i et efterfølgende forløb. Vi skal afstå fra at fremsætte synspunkter på, under hvilke strukturelle rammer didaktiske og pædagogiske komponenter bedst kan bringes i samspil med matematisk kompetence. Det afgørende er, som fremhævet i det foregående kapitel, at dette faktisk sker på seriøs vis.

Komp. har fuld dækningsgrad

Det giver sig selv, at også lærere på gymnasiale og videregående uddannelser med fuld dækningsgrad bør besidde de otte kompetencer og de tre former for overblik og dømmekraft vedrørende matematik.

7.1.3 Tilbage til det generelle

Komp. skal vise sig i undervisningen

Set i forhold til professionen som matematiklærer, uanset trin, skal kompetencerne først og fremmest komme til udtryk i sammenhænge og situationer, der aktuelt har, eller potentiel kunne få, relevans i forhold til matematikundervisningen. Vi har derfor valgt i den nedenstående gennemgang af lærerens matematikkompetencer at forbinde den komplette kompetencekarakteristik med kommentarer og eksempler, dels på lærerens egne kompetencer, og dels på lærerens udøvelse af den enkelte kompetence i forhold til sin profession som matematiklærer. Det sker bl.a. ud fra den forudsætning, at det giver sig selv, at matematiklærerens matematiske kompetence i alle dimensioner skal indbefatte kompetencerne hos de elever, han eller hun kan komme til at undervise, og at han eller hun derudover skal besidde et sådant kompetencemæssigt overskud, at han eller hun kan udøve de matematiklærerkompetencer, som er beskrevet i kapitlet herom. De eksempler, som fremdrages, er bevidst valgt, så de angår lærere ved forskellige undervisningstrin.

Fagligt overskud er essentielt

Ofte har man diskuteret, i hvilken grad matematiklæreren bør besidde fagligt overskud for at kunne varetage sin profession på tilfredsstillende vis. Det er jo ikke mindst et politisk og økonomisk spørgsmål om læreruddannelse og arbejdsforhold. Efter arbejdsgruppens opfattelse er det ikke desto mindre essentielt, at matematik lærerens faglige ballast rækker betydeligt ud over evnen til at undervise i det stof, der aktuelt er sat på dagsordenen på de enkelte uddannelsestrin, som det fx kommer til udtryk i gængse (og til tider kritisable) lærebøger. Kun gennem et betragteligt fagligt overskud, som vi her formulerer ved hjælp af de matematiske kompetencer, læreren bør besidde, kan denne blive i stand til at løfte de opgaver, matematiklærerprofessionen, som beskrevet ovenfor, rummer.

Uddannelsen af lærere i matematik har, uanset hvordan den konkret finder sted, til opgave at udstyre dem med nedennævnte matematiske kompetencer. Disse er, som sædvanlig, eksemplificeret hver for sig. Ud over de nedenfor anført eksempler, er også de eksempler, som i Del VII er anført i kapitlerne om grundskolen, det almene gymnasium og universitetsuddannelserne i og med matematik af relevans i denne sammenhæng.

Til slut skal det bemærkes, at vi nedenfor fortsat refererer til modtagerne af matematikundervisning som elever, også når der er tale om studerende.

7.2 Matematiske kompetencer hos matematiklærere

7.2.1 Tankegangskompetence

Karakteristik

Arten af spørgsmål og svar

Denne kompetence består for det første i at være klar over, hvilke slags spørgsmål som er karakteristiske for matematik, i selv at kunne stille sådanne spørgsmål, og i at have blik for hvilke typer af svar som kan forventes. Af særlig vigtighed er her matematikkens efterstræbelse af nødvendige og tilstrækkelige betingelser for et objekts besiddelse af en given egenskab.

Begrebers rækkevidde

Den består tillige i at kende, forstå og håndtere givne matematiske begrebers ræk kevidde (og begrænsning) og deres forankring i diverse domæner, i at kunne udvide et begreb ved abstraktion af egenskaber i begrebet, i at kunne forstå hvad der ligger i generalisering af matematiske resultater, og selv at kunne generalisere sådanne til at omfatte en større klasse af objekter.

Forskellige slags mat. udsagn

Denne kompetence omfatter også det at kunne skelne, både passivt og aktivt, mellem forskellige slags matematiske udsagn og påstande, herunder "betingede udsagn", "destinitioner", "sætninger", "fænomenologiske påstande" om enkelttilfælde, og "formodninger" baseret på intuition eller erfaringer med specialtilfælde. Af særlig betydning er her forståelsen af den rolle eksplicitte eller implicitte "kvantorer" spiller i matematiske udsagn, ikke mindst når de kombineres.

Didaktiske og pædagogiske kommentarer

Grundlæggende fagligt overblik

For at kunne arbejde som matematiklærer på et hvilket som helst undervisnings trin, som altid lægger op til anlæggelse af en række forskellige faglige synsvinkler, er det vigtigt at have en grundlæggende indsigt i, hvilke typer af spørgsmål og svar, som hører hjemme netop i undervisningsfaget matematik på det pågældende trin. Endvidere er det i forbindelse med fx igangsættelse af fagligt relevant virksomhed hos eleverne vigtigt ikke alene selv at kunne formulere sådanne spørgsmål og udtænke mulige svar, men også at have en fornemmelse af hvilke typer af svar, der kan forventes af elever på et givet trin.

Abstraktioner og generaliseringer

Ofte vil elevernes egne iagttagelser og resultater være knyttet til konkrete situatio ner og enkelttilfælde. Det er derfor vigtigt, at læreren med udgangspunkt i sådanne situationer og enkelttilfælde er i stand til at bringe arbejdet blandt eleverne videre, ved at kunne foretage begrebslige abstraktioner samt udlede og fremhæve generelle egenskaber og sammenhænge.

Skelne mellem typer af elevudsagn

Med henblik på at skabe klarhed i undervisning og læring, må læreren kunne af gøre, hvornår foreliggende betingelser optræder som nødvendige og/eller tilstrækkelige for et objekts besiddelse af en given egenskab. Endvidere er det væsentligt, at læreren er i stand til at afgøre, om elever fx er i færd med at navngive matematiske objekter eller med at udtale sig om egenskaber ved sådanne.

Eksemplificering

Karakteristiske undervisningsrelevante spørgsmål

Eksempler på karakteristiske undervisningsrelevante spørgsmål, som det er vigtigt, at læreren kan forholde sig til - og selv formulere, men ikke nødvendigvis besvare - kunne være:

Det er ligeledes vigtigt, at læreren er i stand til at klargøre, at fx ethvert realistisk forventeligt svar på et spørgsmål om befolkningens gennemsnitsindkomst et bestemt år må fremkomme ved beregning, altså ved en matematisk procedure, ikke ved måling. Heroverfor lægger et spørgsmål som "Hvornår var 1. verdenskrig?" eller "Hvor mange fuglearter findes der i verden?" op til svar bestående af tal, men hverken spørgsmålet eller svaret er karakteristiske for matematik.

Fagligt overskud

Som et eksempel på fagligt overskud i denne sammenhæng kan man nævne be hovet for, at læreren kan stille sig spørgsmål som "Hvorfor kan man tillade sig at udtage 30 10-stikprøver ud af en mængde på 10000 uden tilbagelægning, og så foretage beregninger ud fra en binomialfordeling, der jo forudsætter stikprøveudtagningen med tilbagelægning? Er det fordi 30 10-stikprøver udgør så lille en del af 10000, at det ikke spiller nogen rolle, om de lægges tilbage igen?" Et andet eksempel kunne være "Hvorfor er det egentlig, at man for sandsynligheder på uendelige sandsynlighedsfelter forlanger s-additivitet og ikke blot additivitet?".

Kender til, forstår og kan håndtere matematiske begrebers rækkevidde og begrænsning

Betydningen af at læreren kender til, forstår og kan håndtere matematiske begre bers rækkevidde og begrænsning, samt abstraktion, kan illustreres med en tænkt dialog mellem en lærer og en elev:

Her er et andet eksempel:

Et eksempel på gymnasieniveau på udvidelsen af matematiske begrebers rækkevidde har vi, når man går fra at definere sinus, cosinus og tangens for vinkler i retvinklede trekanter til vinkler placeret i en enhedscirkel, og siden til argumenter i R.

Fremme forståelsen af, hvad der ligger i generalisering

Når det gælder om at fremme forståelsen af, hvad der ligger i generalisering kunne læreren

• tage udgangspunkt i enkelteksempler som 1+3=4,3+6=9, og 6+10=16, og stimulere eleverne til at generalisere til formodningen "summen af to på hinanden følgende trekantstal er altid et kvadrattal".

• arbejde med generalisering (ikke nødvendigvis godtgørelse) af påstanden 0,99999... = 1 til T,99999... =T+1 for ethvert naturligt tal T.

• sætte sine elever til at undersøge, hvor mange af den reelle eksponentialfunktions egenskaber, der også gælder for den komplekse.

Skelne mellem forskellige slags matematiske udsagn

Det er vigtigt for læreren at kunne hjælpe eleverne til at skelne mellem forskellige slags matematiske udsagn, fx i forhold til at

• skelne mellem definitionen på højderne i en trekant og den sætning (korrekte påstand), at højderne i en trekant altid skærer hinanden i samme punkt. Og mellem denne påstand og påstanden (som ligeledes er korrekt) om, at også medianerne skærer hinanden i samme punkt.

• forstå at påstande som "Hvis -1< x< 1, må 1- x²>0" og "En funktion, der er differentiabel i et punkt, er også kontinuert i punktet" er formodninger indtil de er bevist.

• afgøre hvilke af påstandene der er hhv. nødvendige og tilstrækkelige i udsagn som "Da firkant ABCD er et parallellogram, halverer firkantens diagonaler hinanden" (at vide/indse at påstandene faktisk er ækvivalente, kræver specifikke geometriske kundskaber, som ikke kan indfanges alene af tankegangskompetencen) og "Eftersom vinklen v ligger i intervallet ]p/2, p[, har vi cos v =- Ö 1 -sin² v."

7.2.2 Problembehandlingskompetence

Opstille og løse problemer

Denne kompetence består dels i at kunne opstille, dvs. detektere, formulere, af grænse og præcisere forskellige slags matematiske problemer, "rene" såvel som "anvendte", "åbne" såvel som "lukkede", dels i at kunne løse sådanne matematiske problemer i færdigformuleret form, egnes såvel som andres, og om fornødent eller ønskeligt på forskellige måder.

Didaktiske og pædagogiskekommentarer

Egen fortrolighed

For at kunne igangsætte og lede læreprocesser af undersøgende, eksperimenterende og problemløsende art blandt eleverne er det i første omgang vigtigt, at læreren selv er fortrolig med sådanne processer. Erfaringsmæssigt finder mange lærer- og universitetsstuderende det til at begynde med vanskeligt at arbejde problemløsende, for ikke at tale om problemopstillende. På den baggrund bør formulering og løsning af matematiske problemer være et gennemgående træk i forberedelsen til matematiklærerprofessionen.

Hjælpe eleverne

Som tilrettelægger af undervisnings- og læringsaktiviteter må læreren kunne op stille og formulere problemstillinger og spørgsmål, som kan give anledning til problemløsende virksomhed hos eleverne. Det indgår heri i at kunne udpege, vælge, formulere og præcisere en mangfoldighed af matematiske problemer, som i forhold til forskellige elevgrupper kan give anledning til en sådan virksomhed. Det siger sig selv, at læreren selv skal være fortrolig med at løse sådanne problemer. Og i betragtning af, at eleverne ofte har meget forskellige forudsætninger, er det særlig betydningsfuldt, at læreren er i stand til at anlægge forskellige strategier over for behandlingen af et foreliggende problem, og til at hjælpe eleverne til at gribe det an fra en række forskellige vinkler, afhængigt af deres forudsætninger.

Eksemplificering

Løse færdigformulerede, lukkede problemer

Når det gælder evnen til at løse færdigformulerede, lukkede problemer med poten tiel anvendelse i matematikundervisningen, er det vigtigt, at læreren har en stor fond af erfaringer, også ud over hvad der (kan) tages op på det givne trin. Som eksempler herpå kunne nævnes:

• "Udtryk på talmæssig form forholdet mellem stykkerne i en linje AC opdelt af punktet B sådan, at forholdet mellem hele linjen og det største af stykkerne er det samme som forholdet mellem det største og det mindste af stykkerne" (det gyldne snit).

• "Hvad er mest fordelagtigt, ved køb af en vare med rabat, at få rabatten før eller efter tillæg af moms?"

• "Bestem summen af alle de firecifrede tal som kan dannes af forskellige cifre, valgt blandt 1,2,3,4,5,6,7,8,9."

• "Hvornår står den store og den lille viser første gang efter kl. 12 i direkte forlængelse af hinanden?"

• "Bestem dimensionerne i papirark i A-format, når disse er defineret ved, at A0 er 1 m², og ved, at A(N+1) fremgår af AN ved halvering vinkelret på den længste side."

• "Lad punktet P være et indre punkt i en halvcirkelskive. Konstruer P's projektion på diameteren med lineal alene."

• "Bestem alle funktioner f : R®R, som opfylder, at f(x)- f(y)<(x-y)² for alle x,y Î R."

• "En lærebog indeholder følgende opgave: 'Vi betragter en retvinklet trekant, hvis hypotenuse er 8, mens højden på den er 5. Hvad er arealet?' Opgaven indeholder en fejl. Find denne."

Formulering og præcisering af et problem

Et eksempel på lærerens formulering og præcisering af et problem, som kan danne udgangspunkt for eleveres undersøgende arbejde med flisemønstre, kunne være, "Hvad skal der gælde for en regulær polygon, hvis den skal udgøre det eneste grundelement i et dækkende flisemønster?", og videre "Hvad kan man fx sige om antallet af kanter i polygonen?".

En mere åben problemstilling som udgangspunkt for elevaktivitet kunne være spørgsmålet:

• "Hvor mange forskellige firkanter med arealet 2, kan der bygges på et sømbræt?"

• "Hvad vil være en hensigtsmæssig placering af et kulturhus på landet, når afstanden for beboerne i gårde og huse med kendt placering skal være så lille som mulig?" (et eksempel på en problemstilling, der kræver præcisering fra elevernes side).

• "Hvad kan man sige om forholdet mellem to på hinanden følgende tal langt ude i en såkaldt Fibonacci-følge a,b,a+b,a+2b,2a+3b,... ?"

Håndtere på flere forskellige måder

Som et eksempel på et rent og relativt lukket matematisk problem, som læreren bør have kompetence til at håndtere på flere forskellige måder, kunne nævnes:

• "Hvor stor en fejl begår man egentlig ved at tilnærme omkredsen af en cirkel med omkredset af en ligesidet n-kant?"

som fx kan præciseres til

• "Hvad er differensen mellem omkredsen af en cirkel med radius r og omkredsen af en indskrevet, ligesidet n-kant udtrykt ved hjælp af r og n, og hvornår er fejlen ved at erstatte cirklens omkreds med n-kantens omkreds mindre end fx 1%?"

Et andet eksempel på, at en række forskellige angrebsmåder kan komme på tale over for et opstillet problem, er at bede eleverne tage udgangspunkt i 1,2,3... n punkter i planen, hvoraf ikke tre ligger på samme linje, og søge svar på spørgsmålet "Hvor mange forskellige trekanter med hjørner i de n punkter kan der tegnes?". Her er det vigtigt, at læreren kan betjene sig af eller forholde sig til flere forskellige løsningsstrategier (simple optællinger, systematiserede optællinger, egentligt kombinatoriske tællemetoder, udledning af "mønstre" i antallet af trekanter for konkrete, stigende værdier af n).

Endnu et eksempel:

• "Anne er 8 år, og hendes mor er 38. De har fødselsdag samme dag. Hvilken alder har moderen, når hun er tre gange så gammel som datteren?"

Problemet kan enten løses ved opstilling af ligningen 38+ x= 3(x+8), hvor x er datterens alder; eller ligningerne y=3x og y-x=30, hvor y er moderens alder, x datterens. Man kan også vælge at tage udgangspunkt i den konstante aldersdifferens på 30 år og konstatere, at når moderen er 3 gange så gammel som datteren, må differensen være den dobbelte af datterens alder, som derfor må være 15 år. Lærerens problembehandlingskompetence bør også række til at assistere eleverne med at behandle udvidelser af den oprindelige problemstilling, fx til "Hvornår er moderen fem gange så gammel som datteren?".

7.2.3 Modelleringskompetence

Karakteristik

Modelanalyse

Modelbygning

Denne kompetence består på den ene side i at kunne analysere grundlaget for og egenskaberne ved foreliggende modeller og at kunne bedømme deres rækkevidde og holdbarhed. Hertil hører at kunne "afmatematisere" (træk ved) foreliggende matematiske modeller, dvs. at kunne afkode og fortolke modelelementer ogresultater i forhold til det felt eller den situation som er modelleret. På den anden side består kompetencen i at kunne udføre aktiv modelbygning i en given sammenhæng, dvs. at bringe matematik i spil og anvendelse til behandling af anliggender uden for matematikken selv.

Elementer i modelbygning

Aktiv modelbygning indeholder en række forskellige elementer. Først at kunne strukturere det felt eller den situation der skal modelleres. Dernæst at kunne gennemføre en matematisering heraf, dvs. en oversættelse af objekter, relationer, problemstillinger m.v. til et område af matematikken, resulterende i en matematisk model. At kunne behandle den opståede model, herunder løse de matematiske problemer den måtte give anledning til, samt at kunne validere den færdige model, dvs. bedømme dens holdbarhed både internt (i forhold til modellens matematiske egenskaber) og eksternt (dvs. i forhold til det felt og den situation modellen omhandler). Der indgår tillige at kunne analysere modellen kritisk, både i forhold til dens egen brugbarhed og relevans og i forhold til mulige alternative modeller, og at kunne kommunikere med andre om modellen og dens resultater. Endelig indgår det i aktiv modelbygning at have overblik over og kunne styre den samlede modelleringsproces.

Didaktiske og pædagogiske kommentarer

Analysere og vurdere andres brug af matematik

Det er væsentligt, at en matematiklærer kan igangsætte og lede elevers arbejde, så- vel med foreliggende modeller (fx fra skolebøger eller andre publikationer, fx artikler) som med aktiv modelbygning af enkle situationer. Læreren må derfor selv være i stand til at analysere og vurdere andres brug af matematik til anvendelsesformål og til selv at bringe matematik i anvendelse i forhold til problemstillinger og situationer i omverdenen.

Afkode og fortolke modeller og modelelementer

En væsentlig, men traditionelt også meget vanskelig, side af matematisk model lering i undervisningssammenhæng er elevers etablering og erkendelse af relationerne mellem på den ene side foreliggende modeller, eller elementer i sådanne, og på den anden side de situationer og omstændigheder som er modelleret. Det er derfor vigtigt, at læreren selv er fortrolig med at kunne afkode og fortolke modeller og modelelementer.

Beherske modelleringsprocessen

Når det gælder elevernes eget arbejde med matematisk modellering, vil det i mange situationer være nødvendigt eller hensigtsmæssigt at udvælge visse dele af modelleringsprocessen (fx afkodning af elementer i en foreliggende model i forhold til en given situation) som genstand for undervisning. Læreren må derfor selv beherske de delprocesser (strukturering af situationen, matematisering, fortolkning, validering osv.), der indgår i en modelleringsprocess, og han/hun må, med henblik på udvælgelse og vurdering af sværhedsgraden i de enkelte processer, også være i stand til at skabe sig overblik over den samlede proces i konkrete situationer.

Eksemplificering

Analysere grundlaget for og egenskaberne ved modeller

Når det gælder lærerens evne til at analysere grundlaget for og egenskaberne ved foreliggende (eller foreslåede) modeller af potentiel relevans for skolen, og at kunne bedømme deres rækkevidde og holdbarhed, kan man fx betragte rimeligheden af at benytte et "plat-og-krone"-baseret eksperiment til at simulere fordelinger af drenge og piger i børnefamilier. Eller binomialfordelingen b13 1 3 som grundlag for at vurdere chancen for forskellige typer af gevinst i tips.

Andre eksempler kunne være at forstå og bedømme grundlaget for at bruge den preskriptive body-mass-index model (BMI = vægt [kg]/(højde²[m²]) for undervægt, normalvægt, overvægt og fedme af mennesker. Eller de preskriptive modeller for takstsystemet for taxakørsel, frankeringstakster på breve, satssystemet for indkomstskat, fastlæggelse af den effektive rente ved obligationskøb m.m.m.

Afmatematisering af en model

Et eksempel på afmatematisering af en model kunne være at fortolke sammenhæn gen mellem nedbør og vindforhold ud fra en korrelationskoefficient, der er beregnet ud fra observationer af vindforhold og nedbør gennem en bestemt periode. Eller at kunne udrede relationen mellem, på den ene side, elementerne i formlen

og, på den anden side, en annuitetsopsparing.

Bedømmelse af foreliggende matematiske modellers egenskaber er af særlig betydning for en reflekteret vurdering af deres holdbarhed. Som fx følsomheden over for ændringer af de indgående parametre af Danmarks Statistiks model for en langtidsbefolkningsprognose for Danmark.

Aktiv modelbygning

Hvad angår aktiv modelbygning, kan man fx tænke sig projektprægede aktiviteter, der tager udgangspunkt i følgende eksempel:

A's bil har en aktuel værdi på 20000 kr. Skal den bringes i en forsvarlig stand, må den repareres for ca. 10000 kr., hvorefter den formodentlig kan holde i to år endnu. Er det en god løsning at få den repareret, eller skal A hellere købe en ny bil straks? Her indbefatter modelbygningen det at kunne

• strukturere en situation, der her består i at identificere de afgørende komponenter af betydning for modelbygningen, såsom af priser på ny biler, lånebetingelser, afskrivning på hhv. nye og gamle biler osv..

• gennemføre en matematisering af situationen og en behandling af denne, der her kunne bestå i at beregne udgifter for de næste to år for hhv. en ny og en gammel bil, og beregne værdiforringelse efter to år på begge biler og sammenligne disse beregninger.

• validere modellen ved fx at vurdere om der undervejs er sket uhensigtsmæssige forenklinger.

• analysere modellen kritisk, fx ved at vurdere mulighederne for yderligere reparationsomkostninger på den gamle bil, inddrage spørgsmål om benzinforbrug, sikkerhed, behagelighed m.m..

• kommunikere med andre om modellen og dens resultater, fx ved at kunne redegøre for problemstillingen, den valgte undersøgelsesform, og ved at være i stand til at begrunde konklusionen med inddragelse af relevante forbehold for rækkevidden af den.

Andre eksempler kunne være opstilling af en model til besvarelse af spørgsmål som

• "Hvor langt er der til horisonten, når man står og ser ud over havet?"

• "Hvor høj er 'denne' skorsten?"

• "Hvordan kan grundplanen for et hus se ud, hvis dets areal skal være 120 m2?"

• "Hvor dyrt er det at tale i mobiltelefon?"

• "Er det muligt, at gennemsnitsalderen i en befolkning er 35 år, samtidig med at mindst 40% af befolkningen er 60 eller derover?"

• "Bagerkasser er foldet/udskåret af et rektanguært stykke karton. Ved hvilke dimensioner af en sådan kasse rummer den mest?"

7.2.4 Ræsonnementskompetence

Karakteristik

Følge og bedømme ræsonnementer

Forstå hvad et bevis er

Denne kompetence består på den ene side i at kunne følge og bedømme et mate matisk ræsonnement, dvs. en kæde af argumenter fremsat af andre på skrift eller i tale til støtte for en påstand, specielt at vide og forstå hvad et matematisk bevis er, og hvordan det adskiller sig fra andre former for matematiske ræsonnementer, fx heuristiske ræsonnementer hvilende på intuition eller på betragtning af specialtilfælde, og at kunne afgøre hvornår et matematisk ræsonnement faktisk udgør et bevis, og hvornår ikke. Heri indgår at forstå den logiske betydning af et modek sempel. Det indgår tillige i kompetencen at kunne afdække de bærende idéer i et matematisk bevis, herunder skelne mellem hovedpunkter og detaljer, mellem idéer og teknikaliteter.

Udtænke og gennemføre

På den anden side består kompetencen i at kunne udtænke og gennemføre infor melle og formelle ræsonnementer (på basis af intuition), herunder omforme heuristiske ræsonnementer til egentlige (gyldige) beviser.

Didaktiske og pædagogiske kommentarer

Sætte sig ud over egne argumenter

Generelt er det en meget central del af en (matematik)lærers virksomhed at kunne sætte og leve sig ind i elevers måde at tænke og, ikke mindst, ræsonnere på. Når eleverne skal lære at foretage selvstændige matematiske ræsonnementer af den art, som omfattes af ræsonnementskompetencen, er det således vigtigt, at læreren er i stand til at sætte sig ud over sine egne argumenter, både med henblik på at følge, karakterisere, kommentere og bedømme elevernes ræsonnementer, og med henblik på at hjælpe dem til at udvikle deres matematiske ræsonneringsformåen.

Omforme og skærpe ræsonnementer

I den daglige undervisning vil elevernes ræsonnementer og slutninger ofte være fragmentariske. For at sådanne elevbidrag skal kunne indgå konstruktivt i den videre undervisning, er det vigtigt, at læreren med overblik og fleksibilitet er i stand til eventuelt at omforme og skærpe ræsonnementerne og på passende steder bringe elementer af egentlig bevisførelse ind i billedet.

Beviser

I grundskolen er det ikke altid muligt eller aktuelt at føre egentlige beviser for matematiske påstande. I stedet forklares, illustreres og sandsynliggøres mange påstande. I den forbindelse er det essentielt, både at læreren selv er i stand til at skelne mellem, hvornår et ræsonnement har karakter af et bevis, og hvornår der "blot" er tale om en god forklaring eller illustration, og at han/hun er i stand til at hjælpe eleverne til at foretage en sådan skelnen.

Der er i grundskolen grænser for, hvor dybtgående og detaljeret man kan arbejde med matematisk bevisførelse. Det er derfor væsentligt, at læreren i undervisningen kan fokusere på og formidle grundlæggende idéer ved beviser uden nødvendigvis at medtage alle detaljer. Det kræver, at han/hun i disse sammenhænge er i stand til at afdække bærende idéer og til at styre, i hvilket omfang mere tekniske sider af et bevis skal indgå i undervisningen i en konkret sammenhæng.

Op igennem de gymnasiale og de videregående uddannelser optræder behandling af beviser og aktiv bevisførelse med stigende intensitet og vægt. Her er det bl.a. en vigtig opgave for læreren at hjælpe eleverne med at forstå og tage stilling til, hvornår et bevisforslag er korrekt og fuldstændigt på det foreliggende grundlag.

Eksemplificering

Følge og bedømme matematiske ræsonnementer

En lærers evne til at kunne følge og bedømme elevers matematiske ræsonnementer kunne fx illustreres med følgende tænkte dialog med en elev:

Lærerens egen kompetence skulle gøre det muligt for ham/hende at fortsætte dialogen således, selv om den næppe kunne finde sted i mange grundskoleklasser:

Hvis nu 9 går op i T, som vi forudsatte, har vi i alt at

Men det viser, at tallet kan skrives som 9 gange et naturligt tal. Med andre ord går 9 op i tallet. Havde vi nu set på 3 i stedet, havde vi kunne argumentere lige sådan. For 3 går jo op i 9×(11a₂+a₁) (det går jo op i 9), og hvis 3 også går op i T, går det altså op i det samlede tal."

Lærerens evne til at aktivere et modeksempel på "sokratisk" vis er centralt i første del af denne dialog. Noget tilsvarende kunne forekomme med et tænkt elevforslag om, at hvis to trekanter har en vinkel, en hosliggende og en modstående side fælles, må de være kongruente.

Forstå hvad et bevis er og hvornår noget ikke er et bevis

At bringe eleverne i stand til at forstå hvad et bevis er og til at kunne afgøre, hvor når et matematisk ræsonnement faktisk (ikke) udgør et bevis, kan eksemplificeres ved at bede eleverne udpege - og om muligt rette - fejlene i ræsonnementerne

• "Det forholder sig sådan, at knap 70% af befolkningen ikke kommer på bibliotekerne, nemlig 39% af mændene og 30% af kvinderne."

• "Undersøgelser viser, at 60% af gymnasieeleverne er piger. Med andre ord går 60% af pigerne i de berørte aldersgrupper i gymnasiet."

• "Der gælder at 1=0. Vi har nemlig formlen (a+b)( a-b)=a²- b², og hvis vi her dividerer på begge sider med a-b, får vi jo a+b=(a²-b²)/_(a-b).
  Tager vi nu a= b-=½, er venstresiden åbenbart 1 (eftersom ½ + ½ = 1), mens højresiden åbenbart er 0, fordi tælleren er 0. Der gælder jo, at a²- b²= 0, når a=b. Ergo er 1=0." (Ræsonnementet er forkert fordi a- b=0, når a= b, og det er forbudt at dividere med 0. Undertrykkelsen af dette problem er pointen i "snyderiet").

Et andet eksempel kunne være at vise, hvor og hvordan et klassisk geometrisk bevis for, at de tre højder eller de tre medianer i en trekant skærer hinanden i samme punkt, adskiller sig fra en illustration fremskaffet ved et dynamisk geometriprogram på en computer.

Afdække de bærende idéer i et (korrekt) bevis

Lærerens evne til at assistere eleverne med at afdække de bærende idéer i et (kor rekt) bevis kan illustreres således:

• "Gauss' bevis for at 1+2+...+n=½n(n+1) hviler på den idé, at man kan bestemme summen ved hjælp af en ligning. Ved at lægge tallet n+...+2+1 til venstresiden fås dels den søgte sum to gange, dels n parenteser hver bestående af to tal, hvis sum er n+1. At udnytte dette til at udtrykke summen er derefter teknik (multiplikation af n med n+1 efterfulgt af løsning af en enkel ligning)."

• "Der findes mange forskellige beviser for algebraens fundamentalsætning (som siger, at ethver komplekst polynomien har en (kompleks) rod). Et af de mest gængse hviler på den idé, at et n'te grads polynomium P(z), opfattet som (kontinuert) kompleks funktion, må opfylde, at |P(z)| går mod ¥ for z gående mod .Uendelighedstegn. Det bevirker, at der findes en afsluttet cirkelskive S={z|| z|< r}, sådan at P uden for denne udelukkende antager værdier, som er numerisk større end en passende positiv konstant. Den kan altså ikke have nogen rødder uden for cirkelskiven. På S, som er kompakt, antager P , der jo er kontinuert, en mindsteværdi. Var nu denne mindsteværdi positiv, kan man opnå en modstrid med de foreliggende fakta, idet man samtidig kan indse - men det kræver lidt teknik - at inf {|P(z)||zÎS}=0. Ergo, må den antagne mindsteværdi være 0, hvilket viser, at P har en rod i S og dermed i C."

Endelig kan lærerens rolle ved selvstændig bevisførelse, fra heuristik til formelt bevis, illustreres med bestræbelser på at bevise følgende påstande:

• "Summen af to på hinanden følgende trekanttal er altid et kvadrattal."

• "7 må være den hyppigst forekommende sum af øjnene i et kast med to terninger", og at præcisere de forudsætninger påstanden og beviset hviler på.

• "Antallet af permutationer af et sæt genstande må være større end antallet af kombinationer af det samme sæt" (et eksempel på at et korrekt bevis ikke behøver at kræve symbolske manipulationer).

• "Der findes uendeligt mange rektangler, hvor omkredsen og arealet har den samme værdi. Alle sådanne rektangler må have sidelængder, der begge er større end 2."

• "Vi har et stykke kvadratisk papir ABCD, som foldes over en normal gennem midtpunkt M af siden BC. Derefter foldes papiret over en endnu ubestemt skrå linje, sådan at hjørnet A ender i M. Foldningslinjen går gennem et punkt F på siden AB. Derved dannes en retvinklet trekant DFBM. Denne trekant er altid en 3-4-5-trekant."

• "De funktioner f : R®R, der opfylder uligheden

f(x)-f(y)<(x-y)²

for alle x,y ÎR er netop de konstante funktioner."

• "De tre medianer i en vilkårlig trekant har et fælles skæringspunkt" opbygget som et geometrisk bevis, fx med udgangspunkt i iagttagelser af enkelttilfælde.

7.2.5 Repræsentationskompetence

Forstå og betjene sig af forskellige repræsentationer

Vælge og oversætte mellem repræsentationer

Denne kompetence består dels i at kunne forstå (dvs. afkode, fortolke og skelne mellem) og betjene sig af forskellige slags repræsentationer af matematiske objekter, fænomener, problemer eller situationer (herunder symbolske, specielt algebraiske, visuelle, geometriske, grafiske, diagrammatiske, tabelmæssige eller verbale repræsentationer, men også konkrete repræsentationer ved materielle objekter), dels i at kunne forstå de indbyrdes forbindelser mellem forskellige repræsentationsformer for det samme sagsforhold og have kendskab til deres styrker og svagheder, herunder informationstab og -tilvækst, dels i at kunne vælge blandt og oversætte imellem forskellige repræsentationsformer for et givet sagsforhold, alt efter situation og formål.

Didaktiske og pædagogiske kommentarer

Spredningen i elevernes forudsætninger

Hvis en lærer skal varetage kvalificeret matematikundervisning, er det vigtigt, at han/hun, med henblik på at kunne tilgodese en sammensat elevgruppes meget forskellige baggrunde og forudsætninger, kan belyse og behandle matematiske begreber, emner og problemstillinger på mange forskellige måder og iværksætte elevvirksomhed på det grundlag. En vigtig forudsætning for dette er, at læreren selv har kendskab til og kan betjene sig af et bredt spektrum af matematiske repræsentationer, og at han/hun kan forholde sig til og bidrage til udviklingen af elevernes brug af sådanne repræsentationer.

Vurdere repræsentationsformers styrker og svagheder

Lærerens repertoire af repræsentationsformer er imidlertid ikke kun væsentlig i for hold til spredningen i elevernes forudsætninger. Det er også vigtigt at kunne bringe en række repræsentationer i spil med henblik på belysning af et givet sagsforhold, og i den forbindelse at kunne vurdere repræsentationernes styrker og svagheder, bl.a. med det formål at kunne prioritere imellem dem, også i en undervisningssammenhæng.

"En rød tråd" i undervisningen

Af vigtighed er det tillige, at læreren i forhold til den ofte brogede elevskare, og af hensyn til den alsidige belysning af begreber og emner, formår at skabe og bevare "en rød tråd" i undervisningen ved at knytte forbindelser mellem de forskellige repræsentationsformer.

Eksemplificering

De første år af grundskolen

Et eksempel af relevans for de første år af grundskolen på denne kompetence kunne være lærerens evne til, over for eller sammen med eleverne, at .nde repræsentationer af naturlige tal i form af tegnede streger, prikker o.a., eller klodser af ens form og størrelse, eller opskrivning af tal i positionssystemet ved hjælp af cuisenairestænger, centicubes, kuglerammer eller lignende og ved hjælp af symboler i sædvanlig hindu-arabisk notation, romertal, m.v., samt ved verbal repræsentation (eks. fem-millioner-ethundredeogseksogtyvetusindenihundredeogsyvogtredive).

Et andet eksempel fra mindre børns verden er tidsangivelser, hvor viserure og digitalure leverer ækvivalente, men helt forskellige repræsentationer af det samme klokkeslet.

Længere fremme i uddannelsessystemet

Længere fremme i uddannelsessystemet kunne sagen dreje sig om at forstå og håndtere forskellige repræsentationer af objektet ð og forbindelserne imellem dem. Objektet kan repræsenteres såvel ved selve dette symbol, fx på en lommeregner, som ved en uendelig decimalbrøk 3,14159265... , eller en rational tilnærmelse (med deraf følgende unøjagtighed) med fx brøkerne 22/7 eller 223/71. Men p kan også repræsenteres geometrisk som omkredsen af en cirkel med diameter 1. På videregående trin er p fx repræsenteret som summen af forskellige uendelige rækker, eller som en værdi dannet ud fra diverse omvendte trigonometriske funtioner, fx 4arctan 1. I sådanne forbindelser er det vigtigt, at læreren kan bidrage til, at det bliver klart for eleverne, hvilken repræsentation der kan være på tale, når de i forskellige sammenhænge stilles over for andres påberåbelse af objektet p.

Et andet eksempel kunne være at skelne mellem og sammenholde repræsentationerne af en parabel som henholdvis grafen for et andengradspolynomium, et plant geometrisk sted givet ved ledelinje og brændpunkt, og et bestemt snit i henholdsvis en matematisk kegle og i en lyskegle, fx frembragt af en lommelygte holdt i en passende stilling i forhold til en væg.

Forstå og håndtere indbyrdes forbindelser

Som et gennemgående eksempel på betydningen af at kunne forstå og håndtere de indbyrdes forbindelser mellem forskellige repræsentationsformer for det samme sagsforhold, og at kunne pege på deres respektive styrker og svagheder, kan nævnes repræsentation af funktioner ved regneforskrifter, grafer, tabeller, regneark osv.

En illustration kan være en funktion, der, repræsenteret på forskellig vis, beskriver udviklingen af et bankindlån på 100 kr. forrentet med 5% p.a.:

- Som tabel:

- Som regneforskrift: f(x)=100×1,05^x.

- Som en eksponentielt voksende graf.

- I et regneark baseret på den frembringende rekursive relation f (x+1)= f(x)×1,05.

En beslægtet illustration kan være, at læreren i en given sammenhæng kan vurdere brugbarheden af, og om ønskeligt vælge imellem, den direkte formel y=G×^r /^[1-(1+r)-n] og rekursionsformlen G_ny= G_gl +G_gl × r-y til at repræsentere vigtige sammenhænge mellem de centrale størrelser i en gældsannuitet.

Konsolidere forståelsen af mat. resultater

Et eksempel på, at vekslingen mellem repræsentationer af læreren kan bruges til at konsolidere forståelsen af matematiske resultater, er sammenhængen mellem omskrivninger som (a+b)²⁼a²+b²+2ab og arealbetragtninger baseret på opdeling af et kvadrat med siden a+b i delkvadrater ogrektangler.

På tilsvarende måde kan uligheden mellem de geometriske og det algebraiske gennemsnit af to ikke-negative tal x y illustreres geometrisk på følgende måde: Afsættes x og y som linjestykker i forlængelse af hinanden, tegnes en halvcirkel med det sammensatte stykke som diameter, og oprejses normalen til diameteren i delepunktet mellem linjestykkerne til skæring med cirkelperiferien i punktet P, opstår en retvinklet trekant. Højden h fra P er mellemproportional mellem x og y, dvs. h er netop det geometriske gennemsnit af x og y. Højden er åbenbart højst radius i cirklen, altså  . Dermed gælder, at  . Det er just indholdet i uligheden for to variable. Dette eksempel er tillige velegnet til at diskutere fordele og ulemper ved sådanne repræsentationer i forhold til hinanden.

7.2.6 Symbol- og formalismekompetence

Afkode, oversætte og behandle symbolholdige udsagn

Formelle matematiske systemer

Denne kompetence består dels i at kunne afkode symbol- og formelsprog, i at kunne oversætte frem og tilbage mellem symbolholdigt matematisk sprog og naturligt sprog, og i at kunne behandle og betjene sig af symbolholdige udsagn og udtryk, herunder formler. Dels i at have indsigt i karakteren af og "spillereglerne" for formelle matematiske systemer (typisk aksiomatiske teorier).

Didaktiske og pædagogiske kommentarer

Afkode symbol- og formelsprog

På alle trin skal læreren gennem egne beskrivelser, forklaringer, illustrationer og konkretiseringer, såvel som gennem skabelse af situationer for elevvirksomhed, kunne støtte elevernes arbejde med mere eller mindre abstrakte symbolholdige udtryk. Som grundlag for det må læreren naturligvis selv være fortrolig med at kunne afkode symbol- og formelsprog.

"Oversætte"

Dette må i høj grad bygge på lærerens og elevernes brug af naturligt sprog. Derfor er det væsentligt, at han/hun er i stand til selv at oversætte frem og tilbage mellem symbolholdigt matematisk sprog og naturligt sprog, og til at kunne stimulere elevernes tilsvarende oversættelser.

Opstille, omforme og anvende symbolholdige udtryk

At opstille, omforme og anvende (herunder fortolke) symbolholdige udtryk er erfaringsmæssigt særdeles vanskeligt for mange elever på næsten alle trin. For at kunne forstå eleverne og deres ofte meget forskellige vanskeligheder, og for at kunne hjælpe dem med at overvinde disse, må læreren selv kunne håndtere sådanne udtryk med betydelig sikkerhed og overskud, og med et overblik der gør ham/hende i stand til at handle fleksibelt og effektivt i undervisningssituationerne. Dette er der ikke mindst brug for, når læreren skal kunne forstå, assistere og stimulere elever, som har et vaklende eller uortodokst, opfindsomt, eller måske ligefrem skabende, forhold til symbolske manipulationer.

Spillereglerne for formelle mat. systemer

Betydningen af, at læreren har indsigt i karakteren af og spillereglerne for for melle matematiske systemer, ligger på grundskoletrinnene først og fremmest i, at læreren har brug for at kunne trække på viden om, hvad der "i sidste instans" kan danne grundlaget for de matematiske begrebsdannelser, som er på dagsordenen i grundskolen. På videregående trin er sådanne systemer selv genstand for undervisning, hvorfor læreren selvsagt også må besidde de træk ved kompetencen, som angår formelle matematiske systemer.

Eksemplificering

Det elementære plan

På det elementære plan er det væsentligt, at læreren kan hjælpe eleverne med at komme til klarhed over vilkårene for omgang med tal og talbehandling, inklusive aritmetiske udregninger. Det kan dreje sig om

• at bringe dem til forstå positionssystemet i opskrivningen og aflæsningen af tal som 406.

• konventionerne i at man ikke har lov til at skrive 6+ ×5 eller 6- -3 (mens 6+ +3 ikke er meningsløst, men dårlig syntaks).

• at 5×(3+4) ikke er det samme som 5×3+4.

• at (2³)⁴ ikke er det samme som 2 opløftet til 3⁴, men det samme som 2¹², og generelt, at x^yz pr. konvention betyder x(y^z).

• at 4<7 er et udsagn og ikke et udtryk.

• hvad der menes med n!, med 7/9 eller med 7,423423423....

• hvorfor man ikke (i skolen!) kan uddrage kvadratroden af et negativt tal, mens dette bliver muligt inden for de komplekse tal.

Senere trin

På senere trin kan det dreje sig om for læreren at få eleverne til at forstå spillereg lerne for omgang med koordinatsystemer, hvilket fx indebærer at kunne

• Fortolke {(x,y)|x=t,y=3t-7,t ÎR} som mængden af alle reelle talpar, hvor førstekoordinaten antager en vilkårlig reel værdi, mens andenkoordinaten er bundet til at være netop tre gange denne værdi, minus 7.

• Analysere funktionsforskriften f (x)=ax²+bx+c algebraisk for alle koefficientsæt a, b og c med henblik på at kunne udtale sig om, hvilken betydning koefficienterne har for funktionsgrafens beliggenhed i et koordinatsystem.

Af særlig betydning er lærerens evne til at få eleverne til at forstå, at bortset fra hvad der gælder nogle få faste symboler, er der ret frit slag med symbolsk navngivning af matematiske størrelser, når blot forskellige størrelser ikke kaldes det samme, og den samme størrelse (helst) ikke kaldes noget forskelligt i den samme symbolsammenhæng. Men også at det ikke desto mindre er nogle i princippet helt tilfældige konventioner, som gør, at bestemte slags størrelser ofte kaldes noget bestemt, som når koefficienter, konstanter og parametre gerne navngives med bogstaver i begyndelsen af alfabetet, mens variable kaldes x, y, z, osv. Det er imidlertid væsentligt for lærere også at kunne håndtere situationer, hvor der helt brydes med disse konventioner.

"Oversætte"

Oversættelse mellem symbolholdigt matematisk sprog og naturligt sprog kan illu streres med lærerens klarlæggelse af

• at identiteten (a+b)( a- b)= a²- b² både udsiger at to vilkårlige tals sum gange de samme to tals differens er lig differensen mellem tallenes kvadrater, og - omvendt - at differensen mellem to tals kvadrater er det samme som produktet af tallens sum og differens.

• at P(n,r)=K(n,r)×r! udsiger, at antallet af måder, hvorpå r elementer kan udtages blandt n, sådan at der tages hensyn til elementernes rækkefølge, er det samme som antallet af måder, hvorpå man kan udtage r elementer blandt de n, uden hensyn til rækkefølgen, multipliceret med antallet af måder hvorpå r elementer kan omordnes i forskellige rækkefølger.

• at formlen K(n,r)=K(n,n-r) blot udtrykker at antallet af valg af r elementer blandt n stks er det samme som antallet af (fra)valg af n-r blandt de n.

• i naturligt sprog at kunne forklare, hvad formler som

udtrykker, og hvad der er forskellen på

Et udbredt problem på gymnasiale og videregående trin er elevers tendens til ubekymret og jævnt hen fejlagtig brug af logiske symboler til at skabe forbindelse mellem matematiske udsagn på symbolsk eller dagligsproglig form. Noget lignende gør sig gældende med symboler hentet fra mængdelæren. Læreren bør være i stand til at hjælpe eleverne til at nærme sig en korrekt og hensigtsmæssig anvendelse af sådanne symboler.

Behandling og udnyttelse af symbolholdige udsagn og udtryk kan fx bestå i, at læreren ved hjælp af egnede spørgsmål kan hjælpe en elev frem til

• ud fra formlen for volumenet af en cirkulær cylinder -V=p× r2× h - at kunne afgøre, hvorvidt en fordobling af radius eller af højden giver anledning til den største ændring af volumenet.

• at kunne omforme andengradsligningen ax²+bx+c=0 således, at de eventuelle løsninger

fremkommer.

• generelt at kunne genkende ò f(g(t))g¹(t) dt som funktionen t®F(g(t)), hvor F er en stamfunktion til f , og specielt, at (forudsat, at de optrædende integrander er integrable).

Omgang med formelle mat.systemer

Endelig kan lærerens evne til at hjælpe eleverne med at omgås formelle matema tiske systemer illustreres ved vilkårene og reglerne for omgang med de reelle tal, herunder med behandling og løsning af ligninger og uligheder, og med indsigt i, hvad det vil sige at foretage geometriske konstruktioner på grundlag af Euklids aksiomer, herunder forståelse af i hvilken forstand (ikke hvorfor!) det er umuligt at tredele en vinkel med passer og lineal. For øvrigt kan aksiomatisk euklidisk geometri tjene som et eksempel på en matematisk formalisme, som ikke behøver at være bragt på symbolsk form.

7.2.7 Kommunikationskompetence

Forstå og fortolke udsagn og tekster

Udtrykke sig om mat.

Denne kompetence består dels i at kunne sætte sig ind i og fortolke andres matema tikholdige skriftlige, mundtlige eller visuelle udsagn og "tekster", dels i at kunne udtrykke sig på forskellige måder og på forskellige niveauer af teoretisk eller teknisk præcision om matematikholdige anliggender, skriftligt, mundtligt eller visuelt over for forskellige kategorier af modtagere.

Didaktiske og pædagogiske kommentarer

Det er i sagens natur en helt central kvalifikation hos en lærer, at han/hun er i stand til at indgå i et kommunikativt fagligt samspil med eleverne.

Sætte sig ind i og fortolke

Selv kunne udtrykke sig

Det betyder for det første, at læreren må kunne sætte sig ind i og fortolke såvel skriftlige som mundtlige udsagn fra eleverne; herunder må han/hun være i stand til at forholde sig til forskellige elevers udtryksformer, som kan variere meget med hensyn til fx sprogbrug, teoretisk niveau og præcision. For det andet betyder det, at læreren selv må være i stand til at udtrykke sig om matematiske anliggender på va rieret måde, såvel skriftligt og mundtligt som visuelt, idet han/hun søger at tilpasse udtrykket til eleverne og til de øvrige omstændigheder i undervisningssituationen. Variationen må blandt andet omfatte faglig sprogbrug og dens præcisionsniveau, kombination eller vekslen mellem tekst, tale, visuelle illustrationer, og andre former for udtryk.

Derudover er det vigtigt, at læreren kan hjælpe eleverne til at udvikle og udbygge deres kommunikationskompetence ved at gøre forskellige kommunikationsformer og -midler til genstand for undervisning.

Vurdere uv.-materialer

Læreren må tillige være i stand til at vurdere fremstillingen og kommunikations kvaliteten af faglige emner i diverse slags undervisningsmaterialer, ikke mindst i lærebøger.

kommunikere med kolleger og andre

Endelig er det vigtigt, at læreren kan kommunikere på fleksible måder med kolleger i og uden for faget og med fx forældre om matematikundervisningens perspektiver, problemstillinger, indhold og metoder.

Eksemplificering

Kommunikere med elever

Til illustration af lærerens evne til at kommunikere med elever om basale matema tiske anliggender kunne man fx tænke sig følgende dialog udspille sig mellem en lærer og en elev på de sene trin i grundskolen:

Man kunne forestille sig analoge dialoger om, hvorfor kvadratroden af et positivt tal a altid er positivt, skønt ligningen x²⁼ a har både positive og negative løsninger, om hvorfor det er forbudt - i skolen - at operere med kvadratroden af et negativt tal, om hvorfor generelle potensfunktioner kun er defineret for positive værdier, når der ikke er noget problem med at uddrage kubikroden af ethvert reelt tal.

Sætte sig ind i andres mundtlige udsagn

Et eksempel på behovet for, at læreren kan sætte sig ind i andres mundtlige udsagn kunne være: "1 dm³ er det samme som 1 liter. Når der skal 1000 cm³ til 1 dm³, hvorfor skal der så ikke 1000 cL, men kun 100 cL til 1 liter?", hvor læreren skal kunne gå i dialog med eleverne om betydningen af "deci", "centi". "milli" osv. i forhold til forskellige enhedssystemer.

Udtrykke sig på forskellig måde

En illustration af det, at læreren kan udtrykke sig på forskellig måde, kunne bestå i, at læreren på sene klassetrin kan referere til kommutativiteten af multiplikation, mens han/hun i 3. klasse ville omtale det samme fænomen med dagligsproglige udsagn som "det er lige meget, hvad vi tager først, når vi ganger to tal", belyst med forklarende eksempler, fx støttet af tegninger. På videregående trin kan læreren omtale det bestemte integral som en lineær funktional, mens man i gymnasiet vil indskrænke sig til at konstatere, at

7.2.8 Hjælpemiddelkompetence

Kende muligheder og begrænsninger ved og kunne betjene sig af hjælpemidler

Denne kompetence består dels i at have kendskab til eksistensen og egenskaberne ved diverse former for relevante redskaber til brug for matematisk virksomhed, og have indblik i deres muligheder og begrænsninger i forskellige slags situationer, dels i at være i stand til, på reflekteret vis, at betjene sig af sådanne hjælpemidler.

Didaktiske og pædagogiske kommentarer

Eftersom det er en af matematikundervisningens opgaver at fremme elevernes kompetence til at begå sig med aktuelle og relevante matematiske hjælpemidler, må læreren selvfølgelig selv besidde denne kompetence i en rimelig udstrækning.

Elevernes forskellige udgangspunkter

Derudover underviser en matematiklærer typisk elever som spænder meget vidt med hensyn til modenhed, forudsætninger, interesser, "læringsstil" osv. Derfor er det vigtigt for læreren at have kendskab til og at kunne betjene sig af et bredt repertoire af hjælpemidler, som er typiske og tilgængelige for matematisk virksomhed på de trin, hvor han/hun underviser.

Indsigt i didaktiske potentialer

Læreren kan bringe forskellige hjælpemidler, fx it, i anvendelse som middel til at igangsætte eller fremme elevernes læreprocesser. Det betyder, at lærerens eget kendskab til og beherskelse af sådanne hjælpemidler må kombineres med indsigt i, hvad de enkelte hjælpemidler kan tilføre matematikundervisningen med hensyn til indhold og arbejdsmåder på forskellige trin og i forskellige sammenhænge.

Eksemplificering

De helt små klassetrin

På de helt små klassetrin kan man nævne lærerens evne til at tage stilling til og gennemføre anvendelse af konkrete materialer som tællebrikker, centicubes eller andre klods-, brik- eller stangsystemer, kuglerammer osv. til støtte for forskellige elevers begrebsdannelse, undersøgelse af sammenhænge og mønstre, efterprøvelse af hypoteser, grundlæggelse af færdigheder osv.

Senere klassetrin

På senere klassetrin kan der være tale om at inddrage geometriske skabeloner, spi rografer, linealer, passere, vinkelmålere, terninger, særligt indstreget papir, karton til foldning eller udskæring.

Vi kunne også nævne lærerens reflekterede igangsættelse af elevvirksomhed, der indebærer omgang med lommeregnere. Her er det centralt, at læreren har overblik over, hvordan en sådan omgang kan influere på elevers talbegreb ogforståelse samt kalkulatoriske formåen.

På samme vis skal læreren kunne tage stilling til anvendelsen af udvalgte computerprogrammer, fx til at skabe nye vinkler på arbejdet med faglige emner og begreber. Det kunne dreje sig om at

• fremme arbejdet med sandsynligheder ved hjælp af simulationer eller statistiske undersøgelser.

• øge mulighederne for grafisk støtte til problemløsning i tilknytning til arbejdet med funktioner.

• vurdere, om et dynamisk geometriprogram egner sig til eksplorative undersøgelser, fx af hvad der sker med arealet af en trekant, hvis man fastholder grundlinjen og "trækker" i den modstående vinkelspids, fx parallelt med grundlinjen eller vinkelret på denne, eller hvad der sker, når man lægger forskellige plane snit i en rumlig figur.

• vurdere brugbarheden af regneark til udregning af mange forskellige værdier af formeludtryk og til frembringelse af diverse typer af diagrammer, eller til   modelopbygning og -behandling (fx af typen saldo_n n+1 = saldo_n+saldo_n saldo_n × r+y til modellering af en annuitetsopsparing).

• forholde sig til mulighederne for ved hjælp af it-systemer at visualisere matematiske objekter, fænomener og situationer både statisk og dynamisk.

• tage stilling til brugbarheden af forskellige it-bårne matematikpakker til løsning af ligninger, herunder differentialligninger, symbolsk algebra, numerisk analyse, grafisk repræsentation, samt pakker som rummer særlige modelleringsværktøjer m.v.

7.3 Overblik og dømmekraft vedrørende matematik som fagområde hos matematiklærere

Forholde sig til faget som helhed

For matematiklærere er det væsentligt at besidde overblik og dømmekraft vedrø- rende matematikken som fagområde på en sådan måde, at de ikke blot kan forholde sig til bestemte faglige og undervisningsmæssige situationer, men også til faget som helhed.

Læreren skal selv besidde, og til eleverne kunne formidle, et dækkende billede af matematikken, som den manifesterer sig i forhold til en elevs aktuelle og fremtidige verden, og her spiller overblik og udøvelsen af dømmekraft vedrørende faget en nøglerolle.

7.3.1 Matematikkens faktiske anvendelse i andre fag og praksisområder

Hvem anvender mat. til hvad?

Genstanden for denne form for overblik og dømmekraft er den faktiske anven delse af matematik til udenomsmatematiske formål inden for områder af dagligdags, samfundsmæssig eller videnskabelig betydning. Denne anvendelse kommer i stand og til udtryk gennem bygningen og udnyttelsen af matematiske modeller.

Didaktiske og pædagogiske kommentarer

Begrunde egen undervisning

For en lærer er det vigtigt at have overblik over, hvornår, til hvad og af hvem ma tematik faktisk anvendes og kan anvendes, og hvorfor det har betydning at lære matematik i et nutidigt samfund. Dette er en af forudsætningerne for, at læreren kan begrunde sin undervisning både over for sig selv, over for elever og forældre og over for kolleger.

Tværfaglig undervisning

På flere og flere undervisningstrin udbredes tværfaglig undervisning om emner og temaer, ofte i form af projektarbejde. For at tilgodese læring af matematik, også i sådanne sammenhænge, er det vigtigt, at læreren har en stor fond af viden om, hvornår matematik kan bringes i anvendelse og med hvilket udbytte, og om hvordan forbindelsen er/kan være mellem matematik og andre fagområder. Hertil hører også at kunne bedømme, hvornår en aktivitet ikke kan give anledning til tilfredsstillende aktualisering af matematisk virksomhed.

Forholde sig kritisk til mat.’s anvendelse og omstændigheder for berettiget anvendelse

I et større perspektiv er det vigtigt, at læreren er opmærksom på, at væsentlige dele af matematikkens anvendelse i dag er skjult i komplicerede modeller, ofte yderligere camoufleret af en kraftig it-iklædning. Denne anvendelse har ikke sjældent betydningsfulde samfundsmæssige konsekvenser, såvel af positiv som af negativ art, og det på et grundlag der lige så tit er ubegrundet som velbegrundet, om end matematikken ofte tildeles en autoritær rolle i disse sammenhænge, hvis denne rolle da overhovedet kommer frem i lyset. Indblik i disse forhold er en forudsætning for, at læreren på én gang kan forholde sig kritisk til matematikkens anvendelse og have blik for, under hvilke omstændigheder anvendelsen er berettiget, begge dele for at kunne medvirke til at bibringe eleverne en både dækkende og nuanceret opfattelse af forholdene.

7.3.2 Matematikkens historiske udvikling såvel internt som i samfundsmæssig belysning

Mat.’s udvikling i tid og rum

Genstanden for denne form for overblik og dømmekraft er det forhold, at matema tikken har udviklet sig i tid og rum, i kultur og samfund.

Didaktiske og pædagogiske kommentarer

Mat. ikke uforanderlig

Det er vigtigt, at eleverne opnår kendskab til, at matematikken ikke er en uforan derlig størrelse, som altid har set ud på en bestemt måde, men at den har udviklet sig gennem tiderne i kraft af menneskelig aktivitet og i takt med forskellige samfunds udvikling, og at den fortsat vil udvikle sig. Det kan medvirke til at give eleverne baggrund for at opnå et nuanceret perspektiv på matematik og matematisk virksomhed. Et sådant kendskab opnås bl.a. ved, at relevante historiske aspekter af matematikken inddrages i undervisningen. Det forudsætter, at læreren selv har et overblik over hovedtræk og -punkter i matematikkens historiske udvikling.

Historiske paraleller til elevernes vanskeligheder

Derudover kan lærerens brug af velvalgte historiske pointer og illustrationer tjene det didaktiske og pædagogiske formål at belyse, at nogle af elevernes vanskeligheder med at tilegne sig matematiske begreber også har været vanskeligheder, som matematikken har måttet overvinde undervejs i sin historie.

7.3.3 Matematikkens karakter som fagområde

Mat.’s karakteristika i forhold til andre fagområder

Som fagområde har matematikken sine egne karakteristika. Det er disse karakte ristika, der er genstand for den foreliggende type overblik og dømmekraft. Nogle karakteristika har matematikken tilfælles med andre fagområder, andre er den ret alene om.

Didaktiske og pædagogiske kommentarer

Hvornår og hvorfor kan bestemte områder inddrages?

Det er en del af matematikundervisningens opgave at udvikle elevernes forståelse for de karakteristiske træk ved matematisk tankegang og virksomhed. Hertil hører de træk, hvorved matematik som fag adskiller sig fra andre fagområder. Det forudsætter åbenbart, at læreren selv har indsigt i matematikkens særlige karakter. For at kunne vurdere til hvilket formål, hvornår og på hvilken måde bestemte områder af matematikken kan inddrages i undervisningen, må læreren have overblik over de problemstillinger, tankegange og metoder, som karakteriserer faget.

Dette er fx væsentligt for at kunne tilrettelægge undervisningssituationer, hvor eleverne inspireres til at finde mønstre og strukturer, opstille og afprøve hypoteser, udfinde eksempler, løse problemer, forsøge at generalisere og levere begrundelser for de fundne resultater; processer som ofte kalder på kvalificering gennem lærerens hensigtsmæssige spørgsmål og forslag.

8. Fagligt stof på de enkelte trin i samspil med kompetencerne

8.1 Indledning

En komp. udøves og udvikles i omgang med fagligt stof

Der er grundlæggende to slags forbindelser mellem kompetencer og fagligt stof:

• En kompetence kan udøves i forhold til et givet stof, dvs. komme i spil og til udtryk i omgangen med dette stof.

• En kompetence kan udvikles, dvs. skabes eller konsolideres, ved omgang med et givet stof.

Hvad det sidste angår, er det grundlæggende for tankegangen i KOM-projektet, at kompetencerne kun kan udvikles gennem nærkontakt og beskæftigelse med konkret matematisk stof, og altså ikke ved blot at høre eller læse om dem, eller gennem en eller anden form for almen, kontekstuafhængig eksercits.

Der er uden tvivl også tale om, at nogle slags stof er mere skikkede end andre til at fremme udviklingen af en bestemt kompetence. For eksempel er langvarig beskæftigelse med aritmetik utvivlsomt nødvendig for at udvikle modelleringskompetence i forhold til en mangfoldighed af hverdagsproblemstillinger, mens den næppe udgør det bedste grundlag for at udvikle fx den fulde ræsonnementskompetence, inklusive bevisførelse. Tilsvarende er fordybelsen i abstrakt algebra en væsentlig støtte for udviklingen af symbol- og formalismekompetence, men den er ikke et tilstrækkeligt middel til at udvikle modelleringskompetence.

Når dette er sagt, er der imidlertid mange grunde til at tro, at hver af kompetencerne i alt væsentligt kan udvikles gennem beskæftigelsen med et bredt spektrum af ganske forskelligt fagligt stof. Det skyldes, at det - overordnet set - er de samme matematiske betragtningsmåder og metoder, der går igen og er bærende i omgangen med alt matematisk stof.

Komp. alene kan ikke styre stofvalg

Disse overvejelser indebærer, at det kun i mindre grad er hensynet til kompeten cerne, der kan styre valget af det faglige stof, som skal sættes på dagsordenen på de forskellige uddannelses- og undervisningstrin. Dette valg må derfor hvile på andre hensyn. Det kunne dreje sig om det enkelte stofområdes betydning og placering i skabelsen af matematisk begrebsforståelse eller i opbygningen af matematikken som disciplin. Det kunne også dreje sig om stofområdets relevans i forhold til brugen af matematik til udenomsmatematiske formål for den målgruppe, der sigtes mod.

Fokus på udøvelsen af komp. i udvalgte stofområder

På den baggrund må det ses som vores opgave på den ene side at foretage en ud pegning af et mindre antal større og overordnede matematiske stofområder, som skal indgå i matematikundervisningen på de forskellige trin, og på den anden side at fremkomme med nogle overvejelser over, hvordan de enkelte kompetencer kan udøves i forhold til disse stofområder. Ønsket om, at antallet af stofområder skal være relativt lille, skyldes behovet for at undgå en uhensigtsmæssig overdetaljering, som let kan føre til, at opmærksomheden rettes mod tilstedeværelsen eller fraværet af enkeltpunkter i en pensumliste.

At vi her fokuserer på, hvordan kompetencerne udøves i forhold til stofområderne, betyder ikke, at udviklingen af kompetencerne gennem omgang med fagligt stof skal tillægges sekundær betydning. Tværtimod er dette anliggende af den største betydning for tilrettelæggelsen og gennemførelsen af den konkrete undervisning, men det er et tema, som vi ikke vil behandle i den foreliggende sammenhæng.

8.2 En matrixstruktur

Stof X komp. danner en matrix

Det vil være nærliggende for hvert undervisningstrin at tænke i en matrixstruk tur, hvor de matematiske stofområder udgør fx rækkerne og de otte kompetencer søjlerne. Matricen skal så betragtes som en opgørelse over, hvordan den enkelte kompetence udøves i forhold til det enkelte stofområde. Det betyder, at genstanden for betragtningerne er det enkelte stofområde, svarende til rækkerne, mens fokus er på manifestationen af kompetencerne heri, svarende til søjlerne.

Hver celle: Samspil mellem stofområde og komp.

Man kan tænke sig forskellige modeller for udfyldelsen og udnyttelsen af en sådan matrixstruktur. Vi har valgt en model, hvor der for den enkelte celle tages konkret stilling til det nærmere samspil mellem det optrædende stofområde og den optrædende kompetence. Arten af dette samspil kan altså variere fra celle til celle. For nogle celler kan det måske bestå i, at den pågældende kompetence (næsten) ikke spiller nogen rolle for beskæftigelsen med det pågældende stofområde. For andre kan der være tale om, at samspillet mellem kompetence og stofområde har en karakter, som adskiller sig fra forholdene i nabocellerne.

Belysning af repræsentativt udpluk af celler

Med denne model skal der altså for hvert uddannelses- og undervisningstrin tages stilling til indholdet af hver celle i matricen for sig. I praksis bliver det nødvendigt at nøjes med at illustrere fremgangsmåden gennem beskrivelsen af et repræsentativt udpluk af celler på forskellige undervisningstrin. Til belysning heraf kommer senere i denne tekst en skitse til en mulig beskrivelse af den måde, hvorpå kompetencerne kommer til udtryk i udvalgte stofområder på udvalgte trin.

8.3 Valget af stofområder

Undgå overdreven stofdetaljering

Den første opgave er her at tage stilling til detaljeringsgraden af de stofområder, vi udpeger. I arbejdsgruppen har der været enighed om at betjene os af et antal hovedstofområder, som for at undgå pensumfiksering ikke skal underopdeles i del områder, men beskrives i en kort tekst, hvis opgave alene er at gøre det muligt at forstå, hvad der tænkes at ligge i hovedoverskrifterne. Disse tekster tjener altså ikke til at normere et pensum.

Valg af ti mat. stofområder

Vi har koncentreret os om ti stofområder, som er på dagsordenen i skolesystemet eller i indledende videregående undervisning. Stofområder med en mere specialiseret stilling, fx på universitetsniveau, er ikke taget i betragtning her. Det skal understreges, at vi har valgt kun at pege på egentligt matematiske stofområder. Det betyder, at specifikke anvendelsesområder såsom mønt, mål og vægt, standardmodeller og lignende ikke er nævnt for sig, deres vigtighed ufortalt. De tænkes aktiveret i sammenhæng med de relevante matematiske stofområder og kompetencer. Lad det endelig være sagt, at ikke alle stofområder nødvendigvis optræder på alle undervisningstrin, og at selv om beskrivelsen af det enkelte stofområde tænkes at være den samme for alle de trin, den berører, betyder det ikke, at alle de træk, som optræder i beskrivelsen, nødvendigvis tænkes sat på dagsordenen på ethvert trin. Hvilke stofområder og træk, der skal tages op på det enkelte trin, er et spørgsmål, som kræver specifik stillingtagen for det pågældende trin.

8.3.1 En blanding af "klassiske hjørnesten" og nyere stofområder

Valget af stofområder hviler dels på en betragtning af de klassiske hjørnesten i matematikken som disciplin og undervisningsfag, dels på en udpegning af, hvilke moderne stofområder der har særlig betydning for anvendelsen af matematik inden for et bredt spektrum af andre fag- eller praksisområder.

De klassiske hjørnestene omfatter tal, algebra, geometri og funktioner, hvoraf de tre første har udgjort matematikkens kerne i et par årtusinder. De fire indgår alle i nedenstående liste over stofområder (og i lister over stofområder overalt i verden) med den modifikation, at området "tal" på grund af dets vigtighed er opdelt i to; ét som fokuserer på selve talbegrebet og talområderne, og ét som fokuserer på omgangen med og brugen af tallene til anvendelsesformål, dvs. aritmetik. Desuden er der foretaget en adskillelse mellem selve funktionsbegrebet og de basale specielle funktioner på den ene side, og det analytiske studium af funktioner (infinitesimalregningen) på den anden side.

Nyere stofområder bl.a. af betydning for anvendelser

Med hensyn til nyere stofområder har hovedsigtet som sagt været at vælge sådanne, der har en bred betydning, både anvendelsesmæssigt og i forhold til de undervisningstrin, som betragtes. Her er valget faldet på sandsynlighedsregning, statistik, diskret matematik og optimering, der har væsentlige roller at spille inden for en mangfoldighed af videnskabelige, faglige og praktiske domæner.

Talområderne: Hermed tænkes på talbegrebet og de klassiske hovedtalområder: De naturlige tal, de hele tal, de rationale tal, de reelle tal, og de komplekse tal. Der tænkes tillige på notation af tal, herunder positionssystemet, brøker, decimaltal m.v.

Aritmetik: Hermed tænkes på regningsarterne addition, subtraktion, multiplikation og division i spil over for konkrete tal og på diverse algoritmer til udførelse af regningerne. Til dette stofområde henregnes også procentregning samt overslags- og tilnærmelsesregning.

Algebra: Hermed tænkes på formelle træk ved kompositioner, der bringes i spil over for forskellige sæt af objekter, såsom kompositioner og deres samspil, herunder generelle regneregler, ligninger og ligningsløsning, algebraiske strukturer (grupper, ringe, legemer, vektorrum m.m.), algebraiske undersøgelser af geometriske objekter.

Geometri: Hermed tænkes på hele spektret af geometriske problemstillinger, betragtningsmåder og discipliner, såsom beskrivende geometri vedrørende plane og rumlige objekter, geometrisk måling, koordinatsystemer og analytisk geometri, deduktiv geometri (på et globalt eller et lokalt aksiomatisk grundlag), kurver og flader, differentialgeometri, geometriske undersøgelser af algebraiske objekter.

Funktioner: Hermed tænkes på såvel selve funktionsbegrebet, inklusive variabelbegrebet, og funktionsgrafer, såvel som på de basale specielle reelle funktioner: lineære og andre polynomiumsfunktioner, rationale funktioner, trigonometriske funktioner, potensfunktioner, eksponential- og logaritmefunktioner.

Infinitesimalregning: Hermed tænkes på klassisk reel analyse omhandlende emner som kontinuitet og grænseværdi for funktioner, differentiabilitet og differentiation, ekstrema, integrabilitet og integration, differentialligninger, og på konvergens og divergens af talfølger og rækker samt numerisk analyse.

Sandsynlighedsregning: Hermed tænkes på selve tilfældigheds- og sandsynlighedsbegrebet, kombinatoriske sandsynligheder og endelige sandsynlighedsfelter, stokastiske variable og fordelinger, herunder sædvanlige standardfordelinger, samt aksiomatisk sandsynlighedsteori.

Statistik: Hermed tænkes på organisering, fortolkning og slutningsdragning vedrørende kvantitative data, såsom usikkerhed, beskrivende statistik, empiriske fordelinger, parameterestimation, hypotesetestning, forsøgsplanlægning og inferens.

Diskret matematik: Hermed tænkes på undersøgelse af endelige samlinger af objekter (eller uendelige som ikke udgør et kontinuum): Tællemetoder og kombinatorik, klassisk (elementær) talteori, grafer og netværk, koder og algoritmer.

Optimering: Hermed tænkes på bestemmelse af lokale eller globale ekstremumsværdier for reelle funktioner med eller uden infinitesimalregning, såsom maksima og minima for reelle funktioner af en eller flere variable, optimering under bibetingelser, herunder lineær programmering.

8.4 Stofområder og uddannelses- og undervisningstrin

Stofområder og uv.trin: Hvad og hvornår?

I det følgende skema har vi taget stilling til, på hvilke uddannelses- og under visningstrin de enkelte stofområder senest bør behandles eksplicit og i forhold til trinnet systematisk, på den ene eller den anden måde.

Det skal understreges, at dette ikke er et forslag om, at stofområdet først bør indgå på dette trin. Megen god undervisning bygger i god tid implicit op til, at der på et senere stadium skal foretages en eksplicit behandling af et stofområde.

For eksempel vil det være nærliggende på 1.-3. klassetrin at arbejde med intuitive overvejelser om chance og risiko i forbindelse med spil, uden at sandsynlighedsbegrebet som sådan sættes på dagsordenen, eller med spørgsmål som hvad der sker med en bestemt størrelse i fald en anden størrelse ændres, uden at funktionsbegrebet tages op til udtrykkelig behandling. På samme måde vil der være god mening i på 7.-9. klassetrin og i det gymnasiale C-niveau at behandle visse problemstillinger vedrørende optimering, uden at stofområdet optimering er på dagsordenen.

Man kan udtrykke det sådan, at fraværet af en markering i en celle i nedenstående matrix ikke nødvendigvis betyder, at der ikke med rette kan undervises i stofområdet på det pågældende trin.

Det skal sluttelig endnu engang understreges, at der med tilstedeværelsen af et stofområde på et givet trin intet er sagt om det omfang og den måde, stofområdet skal være repræsenteret på.

8.5 Eksempler på samspillet mellem kompetencer og stofområder

To illustrerende eksempler

Når det gælder selve beskrivelsen og formuleringen af samspillet mellem stofom råder og kompetencer, kunne man forestille sig noget i stil med følgende.

8.5.1 Eksempel: Geometri på 1.-3. klassetrin

Geometri på 1.–3. klassetrin

Ved udgangen af 3. klasse forventes eleverne at kende navne for de elementære geometriske objekter og grundformer (som fx punkt, linje(stykke), cirkel, ring, trekant, firkant, kugle, terning, kasse m.m.) og at kunne anvende disse til idealiseret beskrivelse af fysiske genstande (fx tegning af en bil og en bus som cirkler med forskellige størrelser firkanter oven på, et hus som en firkant med en trekant oven på, etc.). De forventes tillige at have begreb om (tilnærmet) måling af længder, arealer og rumfang ved hjælp af forelagte enheder. De forudsættes at have erhvervet erfaring med repræsentation af elementære geometriske grundformer, situationer og fænomener ved hjælp af konkrete materialer som fx tegninger, puslespil, stænger, hængsler, snore, geoboards, skærmbilleder, ikoner o. lign. De kan i omgangen med konkrete geometriske genstande forholde sig til og stille spørgsmål af typen "Hvad hedder sådan en ting. . . ?", "Hvor mange hjørner har en 3-kant, en 4-kant, en terning?" eller "Findes der en 1-kant (eller en 2-kant), og hvor mange hjørner har den i givet fald?" På basis af inspektion af enkelttilfælde kan de også svare på sådanne spørgsmål. I den forbindelse kan de støtte deres svar på enkle ræsonnementer, der hviler på konkrete erfaringer. De forventes tillige at kunne kommunikere i dagligt talesprog og i tegnede billeder med kammerater og nære voksne om deres erfaringer og oplevelser med geometriske genstande og fænomener.

Hvordan udøves kompetencerne?

Hvilke komp. aktiveres?

Det fremgår heraf, at de grundlæggende træk af tankegangskompetence kommer til udtryk i sammenhæng med formuleringen af spørgsmål om geometriske genstandes navne og egenskaber. Modelleringskompetence kommer til udtryk i anskuelsen af geometriske objekter som idealiseringer af fysiske genstande, mens problemløsnings- og ræsonnementskompetencerne optræder i sammenhæng med undersøgelsen af grundlæggende geometriske fænomener og retfærdiggørelsen af de opnåede svar. Repræsentations- og hjælpemiddelkompetencerne kommer direkte i spil i forhold til selve den måde, eleverne møder geometriske genstande på, mens kommunikationskompetence direkte udøves i elevernes virksomhed i samarbejde med andre elever og i samtaler med voksne. Derimod synes symbol- og formalismekompetence ikke at have en selvstændig rolle i beskæftigelsen med geometri på dette trin.

8.5.2 Eksempel: Funktioner på 7.-9. klassetrin

Funktioner på 7.–9. klassetrin

Ved udgangen af 9. klasse forventes eleverne at kunne forstå, aktivere og udnytte funktionsbegrebet i almen form i internt matematiske sammenhænge og i forbindelse med diverse anvendelser af matematik, herunder modellering. I den forbindelse er de i stand til at vælge eller identificere de afhængige og de uafhængige variable i de betragtede forbindelser. Eleverne forventes tillige at kunne forstå, fortolke, udnytte og konstruere forskellige repræsentationer af funktioner, herunder regneforskrifter, tabeller, regneark m.v., og ikke mindst funktionsgrafer. Specielt forventes de aktivt at kunne omgås lineære funktioner, både algebraisk og grafisk, og at have kendskab til disse funktioners egenskaber og egenskabernes sammenhæng med de karakteristiske parametre for lineære funktioner. De kan i den forbindelse rejse, og ofte besvare, spørgsmål om tilstedeværelsen eller fraværet af proportionalitet og linearitet samt forholde sig til brugen heraf i matematisk modeller. Det indebærer bl.a., at eleverne i teori og praksis kan skelne mellem lineære og andre funktioner.

Hvordan udøves kompetencerne?

Hvilke komp. aktiveres?

For at kunne omgås funktionsbegrebet i almindelighed og lineære funktioner i sær deleshed må eleverne kunne aktivere tankegangskompetence. For at kunne formulere og løse "rene" eller "anvendte" problemer, hvori funktionsbegrebet indgår, må de besidde problemløsnings- og modelleringskompetence. For at kunne retfærdiggøre fortolkninger vedrørende påstande med et funktionsindhold, og for at kunne godtgøre rigtigheden af løsninger på problemer med et sådant indhold, må eleverne besidde et vist mål af ræsonnementskompetence. At repræsentationskompetencen står centralt i omgangen med næsten alle aspekter af funktionsbegrebet, også på dette trin, er åbenbart. Symbol- og formalismekompetence optræder navnlig i sammenhæng med manipulation af algebraiske (først og fremmest lineære) funktionsudtryk, til brug for fx ligningsløsning eller dragning af konklusioner af analytiskgeometrisk art. Hver gang elever på skrift, i tale eller med figurer skal vise, beskrive, forklare eller diskutere brugen, tilstedeværelsen eller egenskaberne ved en eller flere funktioner, aktiveres tydeligvis kommunikationskompetence. Hjælpemiddelskompetence spiller især en rolle, når eleverne benytter lommeregnere eller computere til visuel eller skemamæssig repræsentation af funktionsgrafer, variation af parametre, aflæsning af funktionsværdier, skæringspunkter m.v.

8.6 Overblik og dømmekraft i forhold til stofområder

For forbindelsen mellem kompetencer og stofområder gælder det som nævnt, at kompetencerne såvel kan udvikles som udøves i forhold til omgangen med stofområderne. På tilsvarende vis forholder det sig med forbindelsen mellem på den ene side overblik og dømmekraft og på den anden side stofområderne.

Udvikling og udøvelse af overblik og dømmekraft i forhold til mat. stofområder

Der er givetvis tale om, at overblik og dømmekraft udvikles (bl.a.) ved omgang med stofområderne, hvilket er et væsentligt spørgsmål for den konkrete undervisning. Omvendt vil udøvelsen af overblik og dømmekraft vedrørende henholdsvis matematikkens faktiske anvendelse, historiske udvikling og særlige karakter som fagområde bidrage til at motivere og farve beskæftigelsen med stofområderne og til at udbygge forståelsen af disses indretning og natur.

Måden, det sker på, afhænger både af trin og stofområde. Allerede udviklet overblik og dømmekraft vedrørende matematikkens anvendelse vil spille en rolle for beskæftigelsen med stofområder som aritmetik, funktioner, sandsynlighedsregning, statistik, diskret matematik og optimering. Overblik og dømmekraft vedrørende matematikkens historiske udvikling vil give fylde og støtte til beskæftigelsen med samtlige stofområder, ikke mindst talområderne, aritmetik, algebra, geometri, sandsynlighedsregning og infinitesimalregning. Sådan forholder det sig også med overblik og dømmekraft angående matematikkens særlige karakter, som bidrager til indsigt og forståelse for det centrale i stofområder som algebra, (deduktiv) geometri, infinitesimalregning og sandsynlighedsregning.

8.7 Pejlinger for naturlige fortsættelser af arbejdet

Invitation til videre udviklingsarbejde

Den struktur for samspillet mellem kompetencer og fagligt stof, som vi har lagt frem i dette kapitel, må ses som en invitation til et større analytisk udviklingsarbejde. I arbejdsgruppen har vi undervejs i arbejdet haft idéer til en række elementer, som bør indgå i en sådan fortsættelse af analysen, men som vi, inden for rammerne af dette projekt, kun har haft kræfter til at skitsere karakteren af.

"Udfyldelse" af cellerne i matricen

Den form for fortsat analyse, der mest umiddelbart byder sig til, handler om for hvert uddannelsestrin at "udfylde" alle de relevante celler i kompetence-stområdematricen. For hver celle handler det om at forsøge at svare på spørgsmål som

• Hvilken rolle bør denne kombination af kompetence og stofområde spille på dette uddannelsestrin?

• Hvis svaret er "ingen", da hvorfor? (Det giver med andre ord god mening også at kommentere de celler, som ved en første "udfyldning" af matricen efterlades tomme.)

• Hvis kombinationen har en rolle at spille, hvori består så det frugtbare ved netop denne kombination?

De to eksempler på udfyldelse af en celle, som vi har givet ovenfor, er tænkt som inspiration til et sådant arbejde.

Afvejning af indholdselementerne

En naturlig forlængelse heraf består i at afveje de forskellige indholdselementer i forhold til hinanden:

• Hvilke elementer bør veje tungt, og hvilke må nøjes med en mere beskeden rolle, givet at der er en endelig mængde tid og mentale kræfter til rådighed? (Man kan forestille sig "store" og "små" prikker i matricen - "enten eller" viser sig hurtigt at være en alt for firkantet tilgang.)

• Er der bestemte kompetencer, som på tværs af stofområderne bør have en særlig fremskudt placering på dette uddannelsestrin? Dette spørgsmål er dog til dels belyst i den VII af denne rapport.

• Gælder noget tilsvarende for bestemte stofområder?

Analyser af matricen søjleog rækkevis

De to sidste spørgsmål lægger op til at forlade "celleniveauet" og analysere matri cens enkelte søjler og rækker:

• Hvilke sammenhænge kan man forvente mellem måden, hvorpå en given kompetence kan/bør udvikles eller udøves i omgangen med de forskellige stofområder?

• Hvilke sammenhænge kan man forvente mellem måden, et givet stofområde bidrager til udviklingen af de forskellige kompetencer på?

I forhold til sidstnævnte spørgsmål kan man indledningsvis se på beskæftigelsen med et enkelt begreb: Hvordan kan arbejdet med (fx) begrebet "cirkel" tilrettelægges/ vinkles/udfordres, hvis man har et ønske om at bidrage til udviklingen af elevens ræsonnementskompetence? modelleringskompetence? hjælpemiddelkompetence? etc.

Uddannelsestrin som en tredje dimension

Alle de foregående typer overvejelser har kun forholdt sig til én given matrix og dermed ét givet uddannelsestrin. Den struktur, vi her har skitseret, er imidlertid tredimensional. Med matricen som udgangspunkt kommer uddannelsestrinnet således til at udgøre en tredje "dybdedimension", som kan være nærliggende at glemme. Analyser i denne dimension handler om langsgående stofområder og deres kompetenceforbindelser:

• Hvordan bør sammenhængen og udviklingen være på langs ad uddannelsessystemet mht. arbejdet med kompetence X i forhold til stofområde Y?

I forhold til KOM-projektets implementering er det måske det vigtigste spørgsmål af alle de her nævnte.

9. Evaluering af kompetencer

9.1 Kompetencer kommer til udfoldelse i aktiviteter

En komp. er indsigtsbaseret handleparathed og udfoldes i mat. aktiviteter

At besidde en af de otte matematiske kompetencer (i et eller andet omfang) består, som flere gange fremhævet i denne rapport, i at være beredt og i stand til at udføre visse matematiske handlinger på basis af indsigt. Kernen i en kompetence er med andre ord indsigtsbaseret handleberedthed, hvor "handlinger" kan være både fysiske, adfærdsmæssige - herunder sproglige - og mentale. En gyldig og dækkende evaluering af en persons matematiske kompetencer må derfor, i udgangspunktet, baseres på identificering af disses tilstedeværelse og rækkevidde i forhold til matematiske aktiviteter, som den pågældende er eller har været involveret i.

Om mat. aktiviteter

En matematisk aktivitet er udførelse af et sæt af bevidste og formålsbestemte ma tematiske handlinger i en situation. At handlingerne er formålsbestemte, betyder ikke, at de er givne på forhånd. En matematisk aktivitet kan fx være at løse et rent eller anvendt matematisk problem, at forstå eller bygge en konkret matematisk model, at læse en matematisk tekst med henblik på forståelse eller behandling, at bevise en matematisk sætning, at undersøge sammenhængen i en teoribygning, at skrive en matematikholdig tekst til andre, eller at holde et foredrag m.m.m.

Udførelsen af en hvilken som helst matematisk aktivitet kræver udøvelse af en eller flere matematiske kompetencer. Lad os et øjeblik forudsætte, at det for en given aktivitet på den ene side er muligt at identificere (henholdsvis nødvendige og tilstrækkelige) kompetencer på forhånd, og på den anden side at observere i hvilken forstand og i hvilket omfang en person beskæftiget med aktiviteten bringer forskellige kompetencer i spil under den. Derved skabes en mulighed for at detektere og bedømme den pågældendes kompetencer i forhold til beskæftigelsen med netop denne aktivitet.

Undersøgelse af komp.indholdet i aktiviteter

En forhåndsundersøgelse af kompetencerne i en given aktivitet er først og frem mest et teoretisk og analytisk foretagende, om end der også kan indgå empiriske momenter. Af afgørende betydning er det her at kunne præcisere og karakterisere aktiviteten og dens bestanddele samt dens fordringer på en nogenlunde velafgrænset og klar måde. En undersøgelse af hvilke kompetencer en person konkret bringer i spil i en given aktivitet er frem for alt et empirisk forehavende. Det kan kun realiseres, hvis kompetenceindholdet i personens handlinger under aktiviteten, og resultaterne af dem, lader sig detektere på en gyldig, pålidelig og klar måde.

Forskellige aktiviteter involverer forskellige komp.

Nu er det forventeligt, at en given aktivitet kun lægger op til brugen af et udvalg af kompetencerne. Dermed vil også forskellige aktiviteter lægge op til indblanding af forskellige sæt af kompetencer. Det er derfor rimeligt at antage, at der skal et spektrum af forskelligartede matematiske aktiviteter til, for at man kan opnå en dækkende og righoldig repræsentation af det samlede sæt af matematiske kompetencer. Tilsvarende må det forventes, at man, for at få et dækkende og righoldigt billede af en persons matematiske kompetencer, må undersøge personens virksomhed inden for en bredere palet af matematiske aktiviteter.

9.2 Opgaven

At fremskaffe aktiviteter, der demonstrerer en komp. eller en komp.pro.l

Hidtil har vi taget udgangspunkt i matematiske aktiviteter og efterspurgt deres kompetenceindhold både teoretisk og empirisk. Men egentlig er opgaven jo den omvendte: Dels at finde veje til at evaluere den enkelte persons besiddelse af en given matematisk kompetence, dels at danne sig et samlet billede af den pågældendes matematiske kompetencepro.l. Eftersom kompetencerne kommer til udtryk i matematiske aktiviteter, kan opgaven præciseres til følgende:

• At finde - eller konstruere - typer af matematiske aktiviteter, der egner sig til på gyldig, pålidelig og klar måde at demonstrere tilstedeværelsen af en given matematisk kompetence hos en person involveret i aktiviteten. Dette forudsætter, at der forefindes eller skabes instrumenter, der gør det muligt at detektere, karakterisere og bedømme omfanget og dybden af kompetencebesiddelsen, sådan som den kommer til udtryk i den enkelte aktivitet.

• At finde - eller konstruere - sæt af matematiske aktiviteter, der tilsammen eg ner sig til på gyldig, pålidelig og klar måde at tegne en persons samlede matematiske kompetencepro.l, dvs. personens besiddelse af det samlede kompetencespektrum.

• På baggrund heraf at finde veje til at identificere, karakterisere og bedømme progression i en persons besiddelse af en eller flere matematiske kompetencer.

Statisk og dynamisk beskrivelse af dimensionerne i komp.besiddelse

Vi har i afsnit 4.4.4 (side 64) indført tre dimensioner i en persons besiddelse af en kompetence, dækningsgrad, aktionsradius og teknisk niveau. Ved hjælp af dem kan opgaven yderligere præciseres til at angå detektering, karakterisering og bedømmelse af henholdvis dækningsgraden, aktionsradius og det tekniske niveau, hvormed en person kan aktivere en given matematisk kompetence i diverse slags matematiske aktiviteter. Hvor de to første dele af denne opgave består i at tegne et tilstandsbillede af en persons kompetencebesiddelse, altså et statisk billede, går den tredje opgave ud på at beskrive udviklingen over tid i denne kompetencebesiddelse, altså et dynamisk billede. Derved bliver de tre dimensioner også nøglen i beskrivelsen af progression i en persons kompetencebesiddelse.

Fokus på både formativ og summativ eval.

Det er afgørende at holde fast i, at vi med denne opgave ikke kun tænker på af sluttende - summativ - evaluering i form af forskellige test, årsprøver, eksamener og lignende, men i mindst lige så høj grad på løbende evaluering undervejs i undervisningen med det formål at skaffe informationer om og til den enkelte elev - formativ evaluering - eller til læreren om status og udvikling i undervisningen.¹

9.3 Progression

En komp.s dækningsgrad, aktionsradius og tekniske niveau udbygges over tid

En af de vigtige arbejdsopgaver for KOM-projektet har været at undersøge mulighederne for at identificere, karakterisere og bedømme progression i en elevs udvikling af matematiske kompetencer, mens han eller hun bevæger sig op igennem uddannelsessystemet. Med inddragelsen af dimensionerne dækningsgrad, aktionsradius og teknisk niveau til karakterisering af elevens aktuelle besiddelse af en bestemt kompetence opnås samtidig et middel til dynamisk beskrivelse af, hvordan den pågældende kompetence udvikles over tid hos den pågældende elev. Og da det er den samme kompetence, som er på spil hele vejen igennem uddannelsessystemet, er progressionsbeskrivelsen ikke begrænset af, hvad der foregår på det enkelte uddannelsestrin. Hos en elev udvikles en matematisk kompetence ved, at den ud bygges med tilvækst af "nyt land", dvs. ved at dens dækningsggrad, aktionsradius eller tekniske niveau udbygges over tid. Vi går her ud fra, at så længe man er uddannelsesmæssigt beskæftiget med matematik, kan der i almindelighed kun blive tale om stagnation eller vækst i en dimension, ikke om en skrumpning. At denne forudsætning næppe er holdbar, hvis der er lange afbrydelser i beskæftigelsen med matematik, må i denne sammenhæng ses som mindre betydningsfuld.

Figur 9.1 er et forsøg på at illustrere kompetencetilvæksten. Figuren egner sig tillige til at illustrere, at en kompetencen kan udbygges på adskillige måder, alt efter hvilke dimensioner som er berørt af udvidelsen. For eksempel kan man forestille sig, at dækningsgraden og aktionsradius udvides, mens det tekniske niveau er uændret. Eller at dækningsgraden og aktionsradius er uforandret, mens det tekniske niveau udvides osv. I princippet kan man tænke sig, at udviklingen af en bestemt matematisk kompetence hos en elev igennem hele hans eller hendes uddannelsesforløb følges og registreres.

Karakterisering af progression fremmer udvikling af komp.

Når vi er i stand til at karakterisere progression i udviklingen af en kompetence, får vi også et redskab til at fremme selve udviklingen, idet det bliver muligt for læreren at rette opmærksomheden på punkter hos den enkelte elev, hvor der er rum for yderligere landvindinger. Derved opnås forudsætninger for at programsætte foranstaltninger og aktiviteter, hvorigennem en sådan landvinding kan finde sted.

Hvis det med hensyn til en elev er lykkedes at beskrive progression i besiddelsen af hver af de matematiske kompetencer, på den her antydede måde, opnås automatisk en beskrivelse af progression i hele sættet af kompetencer, altså i den pågældende elevs matematiske kompetenceprofi. Også her fås samtidig et redskab til at fremme selve udviklingen af kompetenceprofilen som helhed.

Figur 9.1
Visuel fremstilling af progression i en persons besiddelse af en matematisk kompetence.

9.4 Evalueringsformer og instrumenter

Behov for forsknings- og udviklingsarbejde

Det må understreges, at løsningen af den nævnte opgave fordrer en hel del forsknings- og udviklingsarbejde, ikke mindst når det gælder opgavens anden og tredje del. En række af de allerede eksisterende, mere eller mindre gængse, evalueringsformer og -instrumenter kan være velegnede til at detektere og bedømme visse af kompetencerne.

Brug af velkendte eval.former

Løsning af skriftlige opgaver kan navnlig benyttes til evaluering af dele af problemløsnings-, ræsonnements-, repræsentations-, symbol- og formalisme, kommunikations- og hjælpemiddelkompetencerne. Det samme gælder, alt efter den nærmere ramme, mundtlige prøver, som tillige kan benyttes til evaluering af tankegangskompetencen samt til evaluering af de tre typer af overblik og dømmekraft. Essays kan være velegnede midler til at evaluere tankegangs- og kommunikationskompetencerne, samt overblik og dømmekraft. Projekter kan - alt efter art og form - tjene til at evaluere hele spektret af matematiske kompetencer, inklusive overblik og dømmekraft. Projekter er ikke mindst specielt velegnede ved evaluering af modelleringskompetence. Det samme gælder for grundige observationer af elever i arbejde, og for logbøger (dvs. en slags notes- og dagbog, hvori eleven løbende noterer sine aktiviteter samt betragtninger over, hvad han/hun har lært af dem), og porteføljer (dvs. en mappe indeholdende elevens skriftlige produkter). Aktiv formidling til andre i form af artikler, foredrag, posters og medieprodukter kan egne sig til at evaluere tankegangs-, repræsentations-, kommunikations- og hjælpemiddelkompetencerne.

Nogle af de beskrevne hverv er udtænkt til først og fremmest at være evalueringsinstrumenter (det gælder fx mundtlige prøver og porteføljer), andre tjener den blandede opgave på én gang at være et evalueringsinstrument og et læringsmiddel (fx skriftlige opgaver og essays), mens atter andre først og fremmest er et undervisningsmæssigt aktivitets- og læringsmiddel, som desuden kan benyttes til evalueringsformål (fx projekter og aktiv formidling til andre). Endelig tjener nogle både som evalueringsinstrument og som støtte for elevens refleksion over egen læring, ofte benævnt metakognition; det gælder logbøger.

Kendte eval.former skal videreudvikles

Dette skal ikke foregive at være en udtømmende oversigt over kompetencerelevante evalueringsformer, for slet ikke at tale om evalueringsformer i det hele taget. Sigtet er blot at påpege, at velkendte evalueringsformer kan egne sig som instrument til evaluering af en eller flere af kompetencerne. Der er imidlertid ikke tale om, at en hvilken som helst instans af hver af disse evalueringsformer oginstrumenter er lige skikket til at evaluere de anførte kompetencer, enkeltvis eller tilsammen. Der skal et betragteligt udviklings- og designarbejde til for at gøre dem velegnede til formålet. Dette arbejde må bestå i at inddrage forskellige slags relevante matematiske aktiviteter inden for forskellige felter i de omtalte evalueringsformer. Ikke desto mindre er der gode grunde til, som en begyndelse, at tage udgangspunkt i de nævnte former, med henblik at se hvor langt man med dem kan komme med evaluering af kompetencerne, så man bedre kan målrette investeringen af kræfter i udtænkningen af nye evalueringsformer til dette formål.

9.4.1 Prøver og eksamener - gamle og nye former

Klassiske former og variationer heraf

Prøver og eksamener domineres af individuelle skriftlige og mundtlige prøveformer

De evalueringsformer og -instrumenter, som oftest er i brug i dansk matematikundervisning, udgør en ret smal vifte. Når det gælder prøver og eksamener, er det individuelle skriftlige og mundtlige prøver, som dominerer billedet. De skriftlige prøver omfatter sædvanligvis færdigformulerede rene, eller postuleret/stiliseret anvendte, matematikopgaver, som under overvågning skal løses inden for en afgrænset tidsperiode, fra få minutter til 4-5 timer, typisk på selve uddannelsesstedet. De mundtlige prøver, som i hovedsagen anvendes ved årsprøver og eksamener, finder gerne sted ved at eleven ved lodtrækning tildeles et eller flere spørgsmål, som ønskes præsenteret og behandlet ved den mundtlige seance, hvorefter lærer og eventuelt censor har mulighed for at stille uddybende spørgsmål. Det er ret almindeligt, at der ved sådanne prøver gives eleven en vis forberedelsestid for at eliminere rene hukommelsesproblemer i præstationen.

Opblødning af de klassiske former

I de senere år, er disse "rene" former mange steder blevet opblødt på forskellig vis. Der kan fx være tale om, at en skriftlig eksamen tager form af en "tag-hjemeksamen", hvor eleven får nogle dage til rådighed til at besvare de stillede opgaver, og hvor en tro-og-love erklæring tænkes at sikre, at eleven har besvaret opgaverne uden assistance fra andre. Hensigten med denne modifikation af skriftlige eksamener er i hovedsagen at reducere den forvridende indflydelse af en for snæver tidsfaktor på besvarelsens kvalitet. Der kan også være tale om, at en mundtlig prøve inddrager et større eller mindre element af præsentation af hjemmeforberedt stof, fx af større opgaver eller projekter, som eleven har arbejdet med i løbet af undervisningen, eller om, at prøven ikke længere er individuel, men omfatter en gruppe elever.

Åbning mod eval. af .ere komp.(aspekter)

I deres klassiske rene former, er der ret snævre grænser for, hvilke (aspekter af) de matematiske kompetencer, skriftlige og mundtlige prøver kan evaluere. Det er især de opfindsomheds-, fordybelses- og tidskrævende sider af kompetencerne, som har vanskeligt ved at blive sat på dagsordenen i sådanne prøver. De nævnte opblød ninger af de skriftlige og mundtlige prøver og eksamener åbner for evaluering af flere sider af kompetencerne, end tilfældet er med de rene former, men der er stadig grænser for, hvad man kan opnå i den henseende. Navnlig evaluering af elevers evne til fx at genemføre hele komplekse modelleringsforløb, at udfinde og gennemføre ikke-rutinepræget problemløsning eller matematiske beviser, eller at producere større og sammenhængende stykker af matematisk tekst kræver andre rammer end dem, som er til rådighed ved de modificerede prøve- og eksamensformer.

Tilkomst af nye former

Nye prøve- og eksamensformer

Efterhånden som matematikundervisningen i løbet af de sidste to-tre årtier er blevet forandret, sådan at et bredere spektrum af undervisnings- og arbejdsformer har vundet et vist fodfæste i matematikundervisningens praksis, er der også sket en vis udvikling i de prøve- og eksamensformer, man betjener sig af rundt omkring i undervisningssystemet. Her er det ikke mindst den stigende inddragelse af projekt arbejde, først ved nogle universiteter, siden ved andre videregående uddannelsesinstitutioner og i folkeskolen og de gymnasiale uddannelser, som har givet anledning til forandringer.

Projektarbejde

Det er nu flere steder blevet mere almindeligt også at foranstalte gruppeprøver af projektarbejde udført af mindre grupper af elever eller studerende, enten over et længere tidsspan, eller på stedet i eksamenssituationen, sådan som det benyttes ved folkeskolens afsluttende projektprøve i matematik, hvor eleverne i små grupper arbejder med en to-timers projektopgave under observation og udspørgning af lærer og censor. I betragtning af kompleksitetsmulighederne i matematikrelateret projektarbejde giver det sig selv, at evaluering af projektarbejde åbner mange muligheder for at indlemme en evaluering af en hel del af de matematiske kompetencer.

Gymnasiets tredjeårsopgave

I det almene gymnasium har også elevers individuelle arbejde med den såkaldte tredjeårsopgave, hvis den udføres i matematik, åbnet nye evalueringsveje på eksamensniveau. Det forhold, at eleverne indleverer en samlet afrundet matematisk tekst til bedømmelse, stiller direkte fordringer om evaluering af en hel del af kompetencerne, alt efter tredjeårsopgavens art og tema. I alle fald står tankegangs, repræsentations-, symbol- og formalismekompetence, samt kommunikationskompetence centralt i besvarelsen af tredjeårsopgaven.

De klassiske former dominerer

Det må imidlertid ikke glemmes, at sådanne nyudviklede prøve- og eksamensfor mer fortsat indtager en beskeden plads i den samlede evalueringsvirksomhed i tilknytning til matematikundervisningen i Danmark. Dertil kommer, at hverken de klassiske eller de mere "moderne" evalueringsformer indtil nu har gjort afdækningen og artikuleringen af matematiske kompetencer til en hovedsag. Men til sammen rummer de et potentiale for at komme et stykke vej i den henseende.

Fortsat behov for nye prøve- og eksamensformer

Fortsat behov for nyudvikling

Imidlertid er der stadig et stort behov for løbende at udtænke, afprøve og vurdere nye prøve- og eksamensformer. Som et i princippet tilfældigt valgt eksempel på sådanne skal vi, for illustrationens og inspirationens skyld, omtale en to-leddet eksamensform, som blev indført i matematikstudiet ved Roskilde Universitetscenter omkring 1997. For en god ordens skyld skal det understreges, at selve kompetenceterminologien kun har været anvendt i begrænset omfang i forbindelse med denne eksamensform, og kun i de allerseneste år.

Et eksempel: Skriftlig prøve med mundtligt "forsvar"

Eksamen i to nærmere bestemte matematiske emnekredse (henholdsvis lineær al gebra med supplementer og matematisk analyse) finder sted på følgende måde: Først afhenter de studerende på et nærmere bestemt tidspunkt et opgavesæt til individuel skriftlig besvarelse inden for tre arbejdsdage. Opgaverne er typisk ganske komplekse, ofte med åbne elementer. Ud over gængse spørgsmål af typen "Bevis at . . . ", "Bestem . . . ", "Find . . . ", kan der fx være tale om spørgsmål som

Den skriftlige del

• "Undersøg om. . . "

• "Formulér nogle hypoteser om forbindelsen mellem objekter af kategori A og objekter af kategori B, og søg hypoteserne bekræftet eller afkræftet gennem beviste påstande, eksempelstøttede formodninger, modeksempler eller lignende."

• "Findes der objekter, som opfylder egenskaben P, men ikke egenskaben Q? Findes der objekter som opfylder Q men ikke P? Begrund de resultater du når frem til med beviste påstande eller eksempler."

• "Udtænk og kommentér et eksempel, som illustrerer pointen i . . . "

Sådanne spørgsmål indgår bl.a. for eksplicit at muliggøre evaluering (og dermed også udvikling) af tankegangs-, problembehandlings-, ræsonnements- og kommunikationskompetencerne, den sidste kun - på dette sted - i skriftlig form. Ofte vil nogle spørgsmål tillige lægge op til en evaluering af repræsentations- og hjælpemiddelkompetencerne. Sædvanligvis vil der også blandt spørgsmålene indgå nogle, som er opfindsomshedskrævende, og nogle, som fordrer teknisk overskud og gennemslagskraft. Det sidste muliggør skærpet evaluering af den studerendes symbol- og formalismekompetence. Derimod vil disse eksamensopgaver ikke indeholde modelleringsproblemstillinger. Modelleringskompetence evalueres således ved RUC's matematikstudium i anden sammenhæng.

Efter at den studerende har afleveret deres skriftlige besvarelse (ledsaget af en troog love erklæring om at have arbejdet med den uden hjælp fra andre), sendes denne til eksaminator og (ekstern) censor, som foretager en bedømmelse af besvarelsen.

Den mundtlige del

Efter ca. fjorten dage afholdes en mundtlig prøve. Her forklarer og forsvarer den studerende mundtligt sin besvarelse over for eksaminator og censor, som på baggrund af det skriftlige materiale stiller spørgsmål til dunkle eller svage punkter i fremstillingen, eller udsætter den studerende for udfordringer, fx af typen

• "På side . . . besvarer du spørgsmål x under de og de forudsætninger. Hvad nu hvis . . . ? Ville det give anledning til et andet svar? Hvis nej, hvorfor ikke? Hvis ja, hvordan, og hvorfor?"

• "Du har jo ikke besvaret spørgsmål y. Hvorfor ikke? Kan du forklare hvad hurdlen bestod i? Kan du i dag sige noget mere om spørgsmålet, fx foreslå et svar på det?"

• "Du gør en lidt ulden brug af begrebet z. Kan du fortælle os helt præcist hvad du forstår ved z og hvordan du bringer det i spil i den foreliggende sammenhæng?"

Ud over at den mundtlige prøve tjener det formål at sikre, at den studerende virkelige ejer og står inde for sin egen besvarelse, egner prøven sig også til at evaluere, til dels nye, træk ved tankegangs-, problembehandlings-, og ræsonnementskompetencerne (ofte også repræsentations- og symbol- og formalismekompetencerne), men navnlig den mundtlige del af kommunikationskompetence.

Én samlet karakter

Efter afslutningen af den mundtlige prøve tildeles den studerende én samlet eksa menskarakter, som rummer en integreret afvejning af den skriftlige og mundtlige prøve. Karakteren og den bagvedliggende præstation forelægges og diskuteres af eksaminator og censor med den studerende i en kort efterfølgende samtale.

Krævende men relevant eksamensform

Der kan måske være grund til at berette, at den beskrevne eksamensform af de stu derende, som har været udsat for den - og det er med tiden en hel del - bedømmes som anspændende og krævende, men samtidig som meget relevant og dækkende for, hvad de egentlige hensigter og formål er med de kurser, som evalueres på denne måde.

Lignende eksempler ved HTX og lærereksamen

Tilsvarende eksamensformer har ved 90'ernes slutning vundet indpas ved hen holdsvis lærereksamen i matematik, hvor en individuel skriftlig 6-timers prøve finder sted efter en umiddelbart forudgående beskæftigelse inden for 48 timer med et udleveret forberedelsesmateriale, og ved HTX's eksamen til B-niveau i matematik, hvor man forsøgsvis har har ladet eksamen bestå i et projektarbejde, der strækker sig over tre uger og resulterer i en rapport, der forsvares ved et mundtligt tjek på ti minutter.

9.4.2 Løbende evaluering

Klassiske former

Større frihed og fleksibilitet

Vender vi os dernæst mod løbende evaluering af eleverne, gennemført af læreren inden for rammerne af den daglige undervisning, er der i almindelighed større frihedsgrader i fastlæggelsen af de former og instrumenter, som er til rådighed, end tilfældet er ved afsluttende eksamener. I det omfang læreren betjener sig af prøver, er situationen dækket af den foregående diskussion.

Skriftlige hjemmeopgaver

Der er i Danmark en solid tradition for, at elevernes viden, kundskaber og færdig heder i matematik navnlig afdækkes og bedømmes gennem jævnlig besvarelse af skriftlige hjemmeopgaver, der typisk omfatter behandling af øvelser/problemer, i et spektrum rækkende fra rutineøvelser til (sjældnere) komplekse problemer, som fordrer ikke-rutinepræget overblik, kombinationsevne og opfindsomhed. Besvarelsen af sådanne opgaver tjener ikke alene evalueringsformål, men også læringsog træningsformål. Opgaverne rettes og kommenteres af læreren, hvilket er et af matematikundervisningens væsentligste midler til at orientere diverse interessenter om lærerens syn på elevens standpunkt og udvikling. I skolen danner lærerens bedømmelse af besvarelsernes kvalitet ofte en del af grundlaget for tildeling af standspunktskarakter, mens man ved de videregående uddannelser enten lader besvarelsens kvalitet indgå i afgørelsen af om et kursus er bestået eller ej, eller slet ikke drager konsekvenser af besvarelseskvaliteten på systemniveau.

Bortset fra at opgaverne ikke er udarbejdet under samme tidspres som ved prøver og eksamener, og fra at eleverne kan have modtaget forskellige former for hjælp under besvarelsen, er opgaverne ofte af samme art som dem, der optræder i prøver og eksamener. Det er derfor i hovedsagen de samme kompetencer, som kan komme til udtryk og afdækkes i de to slags sammenhænge.

Tavlefremlæggelser

Ud over besvarelsen af skriftlige hjemmeopgaver er det gængs praksis i dansk ma tematikundervisning, at eleverne ved tavlen får lejlighed til mundtligt med skriftlig støtte at fremlægge stofdele eller opgavebesvarelser. Også disse aktiviteter tjener flere forskellige formål på én gang, hvoraf evalueringsformålet kun er ét. Evalueringsformålet indløses især ved, at læreren (i sjældnere tilfælde også kammeraterne) kommenterer kvaliteten af elevens fremlæggelse, og - når det er på programmet - lader den indgå i sin tildeling af standpunktskarakter til eleven. Det er oplagt, at sådanne tavleaktiviteter tillader evaluering af sider af kompetencerne, som ikke så let kan evalueres i tilknytning til skriftlige arbejder. Det drejer sig frem for alt om kommunikationskompetence, men også om tankegangs-, ræsonnements, repræsentations- og symbol- og formalismekompetencerne.

Inddragelse af nye former

Med den udvikling, som har fundet sted i matematikundervisningens former i lø- bet af de sidste tre årtier, er der også åbnet nye behov og muligheder for løbende evaluering. Dette er først og fremmest sket i sammenhæng med elevarbejde i grupper, hvor lærerens rolle gerne er en blanding af vejlederens og iagttagerens, hvilket giver anledning til inddragelse af nye muligheder for evaluering af de matematiske kompetencer, som vanskeligt kommer til udtryk i traditionelt skriftligt eller mundtligt arbejde. Derimod har anvendelsen af essays, logbøger og porteføljer, jf. omtalen ovenfor, såvidt vides ikke nogen større udbredelse i dansk matematikundervisning.

Nye former

Men også i den løbende evaluering er der behov for udvikling af nye former og instrumenter, der går i spænd med indvindingen af nyt land for undervisning og læring.

Elevkonstruktion af opgaver

Der kan fx være tale om at bede elever om at konstruere opgaver, som lever op til på forhånd fastsatte specifikationer. Det kunne være, at opgaven skal illustrere en bestemt teoretisk pointe, såsom

• "Konstruer en virkelighedsrelateret matematikopgave, der dels viser forskellen på vækst i procent og vækst i procentpoint, dels godtgør, at man ikke ubekymret kan addere procenter."

• "Konstruer en opgave, der viser, at proportionalitet ikke altid er et karakteristisk træk ved problemstillinger fra virkeligheden."

• "Konstruer en matematikopgave, der illustrerer, hvorfor man ikke, i differentialregningens middelværdisætning, kan slække på forudsætningen om funktionens kontinuitet på det afsluttede interval."

Eleverne udveksler opgaverne efter et eller andet system, løser deres kammeraters opgaver, hvorefter forskelle, ligheder, pointer, gode og dårlige idéer diskuteres enten i mindre grupper eller i hele klassen/holdet. Evalueringen af resultaterne sker derefter i fællesskab mellem elever og lærer. Atter er en stor del af kompetencerne på dagsordenen i en sådan evaluering, men aktiviteten er særligt egnet til at bringe tankegangs-, ræsonnements- og kommunikationskompetencerne i fokus.

Elever som opgaverettere

En anden mulighed er at bede par af elever producere skriftlige kommentarer til og rettelser af hinandens opgavebesvarelse, hvorefter de kommenterede besvarelser afleveres til læreren til videre kommentering og bedømmelse.

Afdækning af de bærende konstruktioner i mat. stof

Endnu et eksempel tager særligt sigte på at evaluere (og udvikle) tankegangskompetence sammen med formalismesiden af symbol- og formalismekompetence, i sammenhæng med ræsonnements- og repræsentationskompetence. Det er en form, som gennem årene er blevet benyttet ved megen kursusundervisning ved RUCs matematikstudium, hvor kurset har været centreret om gennemarbejdningen af en lærebog. Med mellemrum, efter afslutningen af større afsnit i bogen (kapitler, sektio ner, eller hvordan det nu passer), fx i størrelsesordenen 50 sider, er de studerende, enkeltvis eller i grupper, som det nu er faldet for, blevet bedt om på maksimalt 5 sider (begrænsningen er afgørende) at kondensere, i organiseret og konsistent form, de væsentlige bærende begreber, konstruktioner og resultater i de pågældende afsnit. At foretage udvælgelsen af, hvad der er essentielt og hvad der er mindre vigtigt, og skelne mellem almene begreber og eksempler osv., har vist sig som en stor og krævende, men også meget givende, udfordring for de studerende. Ofte er de studerendes forskellige, og ikke sjældent konkurrerende, bidrag alle blevet præsenteret for holdet, hvorefter en diskussion, ledet af læreren, har fundet sted med henblik på at opnå et fælles kondensat af det behandlede afsnit. Denne form har givet læreren særdeles gode muligheder for at få indblik ikke blot i den enkelte studerendes udvikling af de omtalte kompetencer, men også i undervisningens succes med at gøre vitale træk ved matematisk teoriopbygning til genstand for de studerendes bevidste tilegnelse.

9.4.3 Tilretning af kendte evalueringsformer til kompetenceformål

Som det fremgår, er der i virkeligheden et ganske stort repertoire af traditionelle og innovative evalueringsformer og -instrumenter til rådighed for evaluering matematiske kompetencer. Hovedopgaven her er imidlertid at indrette og målrette de pågældende former og instrumenter, så de eksplicit sigter mod evaluering af disse kompetencer. Det fordrer, at man for hver evalueringsform og -instrument gør klart hvilke kompetencer, man ønsker at benytte dem til at evaluere, samt præciserer på hvilken måde dette nærmere skal ske. Heri ligger et betragteligt, men overkommeligt udviklingsarbejde.

Adækvate eval.former er ofte tids- og ressourcekrævende

Det er desuden nødvendigt at være opmærksom på, at nogle af de skitserede adæ- kvate evalueringsformer er ret tids- og ressourcekrævende. Men det er en omkostning, som i alle fald må afholdes, hvis man seriøst ønsker at tilvejebringe en dækkende, gyldig og pålidelig evaluering af elevers matematiske kompetencer.

9.5 Evaluering af den enkelte kompetence

Bidrag fra forskning

OECD – PISA

Den matematikdidaktiske forskning har allerede længe beskæftiget sig med at finde veje til evaluering af nogle af kompetencerne, om end ikke nødvendigvis under anvendelse af dette ord. Det drejer sig frem for alt om problemløsnings, ræsonnements-, repræsentations-, og symbol- og formalismekompetencerne samt enkelte dele af tankegangskompetencen. I nyere tid er også modellerings- og hjælpemiddelkompetencerne samt til dels kommunikationskompetencen blev gjort til genstand for undersøgelse. Derimod er der gjort meget lidt ud af at søge samlede kompetenceprofiler beskrevet og evalueret. Det nærmeste man kommer forsøg på noget sådant er vel de igangværende PISA-undersøgelser², der indebærer en inter national sammenligning af, hvad man kunne kalde 15-åriges matematiske kompetenceprofiler i en lang række lande.

Karakterisering af en persons besiddelse af en komp.s tredimensioner

Hidtil har vi betragtet diverse evalueringsformer og -instrumenter i lyset af deres større eller mindre egnethed til at evaluere dele af det matematiske kompetence spektrum. Derimod skylder vi stadig at komme nærmere ind på, hvordan man kan detektere, karakterisere og bedømme en persons besiddelse af en given kompetences tre dimensioner. Det skal allerede på dette sted gøres klart, at der ikke foreligger noget færdigt svar på denne opgave. At opnå det er, som før fremhævet, en ikke forsvindende forsknings- og udviklingsopgave, som ligger uden for rammerne af dette projekt.

På bar bund er vi dog ikke. Vi er i stand til gennem udvalgte eksempler at illustrere, hvordan opgaven kan behandles. Fælles for eksemplerne er, at de vedrører besiddelsen af en bestemt matematisk kompetence hos en tænkt elev på et bestemt undervisningstrin. En total kortlægning af feltet ville indebære betragtning ikke blot at samtlige kompetencer kombineret med samtlige undervisningstrin, men også af forskellige kategorier af elever set i forhold til den pågældende kombination, alt i alt et meget omfattende sæt af eksempler.

9.5.1 Eksempel 1: Tankegangskompetence hos en 8. klasses elev

En tænkt elev i 8. klasse

Lad os forestille os en konkret folkeskoleelev, en dreng, D, i 8. klasse, hvis tanke gangskompetence vi ønsker at beskrive. Lad os videre forestille os, at den følgende tænkte beskrivelse hviler på mange forskellige observationer af hans virksomhed i gruppearbejde, ved besvarelsen af skriftlige opgaver, og i svar på spørgsmål samt diskussioner i klassen.

Dækningsgrad

Fokus på kvantitative spørgsmål

I sammenhæng med optællinger og beregninger af rent eller anvendt matematisk art er D i stand til på egen hånd at stille matematiske spørgsmål af kvantitativ type, såsom

• "Hvor mange er der af. . . ?"

• "Hvad får vi, når . . . ?"

• "Hvor meget giver det?"

• "Hvor mange procent bliver. . . ?"

• "Hvilken situation giver flest. . . ?"

Han har i den forbindelse blik for, at man ofte ved matematiske metoder - ikke mindst sådanne, som kan involvere en lommeregner - kan forvente at opnå svar på spørgsmålene i form af entydige talmæssige angivelser. Han har derimod ikke blik for, at der kan foreligge situationer, hvor kvantitative spørgsmål ikke nødvendigvis har et entydigt svar, eller et svar overhovedet.

Fokus på det konkrete og eksempelbaserede

D's matematiske begreber er i hovedsagen forbundne med naturlige og positive rationale tal, bortset fra at han kender navnene på gængse geometriske figurer. Begrebernes rækkevidde knytter sig til selve talområdet, reguleret af regnereglerne, og til situationer fra dagligdagen, hvor tallene optræder ledsaget af enheder. Han har ikke sans for indebyrden af en definition. For eksempel kan han kun sige, hvad en brøk er, ved at nævne nogle konkrete eksempler. Han har efter alt at dømme ingen forestillinger om, hvad abstraktion af matematiske begreber eller generalisation af matematiske resultater består i. I den forbindelse har han vanskeligt ved at skelne mellem påstande om et mindre antal enkelttilfælde og påstande om en hel klasse af situationer, dvs. matematiske sætninger. Han har også vanskeligt ved at skelne mellem destinitioner og sætninger, idet han synes at opfatte de definerende egenskaber ved fx geometriske figurer som sætninger om dem. At de fleste matematiske udsagn er betingede, dvs. hviler på udtalte eller uudtalte forudsætninger, er der ikke tegn på, at han har forståelse af. At en given påstand derfor kan være sand i nogle forbindelser, men ikke i andre, er han ikke opmærksom på.

Beskeden dækningsgrad

Sammenfattende er dækningsgraden i D's tankegangskompetence ganske beske den, idet den i hovedsagen omfatter klarhed over, at visse typer af kvantitative spørgsmål og svar er karakteristiske for matematik. Derudover rummer denne kompetence meget snævre forestillinger om matematiske begrebers rækkevidde, givet ved deres konkrete forankring i de - typisk dagligdags - situationer, hvori de har været bragt i spil.

Aktionsradius

Blik for kvantitative forhold

D har let ved at bringe sin i øvrigt smalle opfattelse af matematisk tankegang - som bestående i at stille og forvente svar på kvantitative spørgsmål - i forbindelse med mange forskellige typer af situationer, navnlig, men ikke udelukkende, uden for matematikken. Han kan således få øje på kvantitative spørgsmål i allehånde dag ligdags situationer, hvor man kunne interessere sig for at spørge om først, størst, hurtigst, stærkest, ældst, yngst, rigest, .est, mindst, længst osv.. Ikke mindst i sammenhæng med lege, spil og væddemål er han tilbøjelig til at formulere kvantitative spørgsmål. Han er tillige på det rene med, at i mange hverdagssammenhænge skal der matematiske beregninger til at finde et svar, ikke mindst hvis pengetransaktioner er på tale. Han kan også stille kvantitative spørgsmål i hverdagssammenhænge, hvor måling og vejning, m.m. indgår, ligesom samfundsstatistiske spørgsmål af deskriptiv art indgår i hans repertoire. I internt matematiske sammenhænge har han let ved at komme på spørgsmål vedrørende talmæssige udregninger, hvor han så forventer, at der gives entydige svar. De kan næsten altid leveres af en lommeregner. Han kan dog også stille spørgsmål om, hvor mange tal, der findes i verden, samt om hvad det mindste henholdsvis det største tal er. Her har han til gengæld ikke en klar fornemmelse af, at svarene på disse spørgsmål ikke er af simpel kvantitativ art, men af typen

• "Uendeligt mange."

• "Det afhænger af, hvilket talområde, man tager i betragtning. Er det fx samtlige rationale tal (eller samtlige positive rationale tal), findes der hverken et mindste eller et største. Er det fx kun de ikke-negative rationale tal, er 0 det mindste, mens der ikke findes noget største tal."

Ret stor aktionsradius

Sammenfattende har D's tankegangskompetence, givet dens dækningsgrad, en gan ske stor aktionsradius, når det gælder sammenhænge og situationer fra hverdagen og virkeligheden, mens den internt matematiske aktionsradius er begrænset til spørgsmål og svar angående tal og talmanipulation.

Teknisk niveau

Fokus på konkrete tal, aritmetik og lommeregnerbrug

Som det fremgår, knytter D's tankegangskompetence sig først og fremmest til kvantitative anliggender. Hvad nærmere angår det tekniske niveau, hvorpå han kan aktivere denne kompetence, er der tale om sammenhænge, som omfatter naturlige tal (og 0), der af D identificeres med deres fremstilling i titalssystemet, endelige decimalbrøker med ret få decimaler samt standardbrøker. Han tager det således for givet, at et naturligt tal simpelthen er identisk med dets fremstilling i titalssystemet. Til gengæld kan han gøre klart og korrekt rede for, hvad cifrene i et flercifret tal står for, tilsvarende med de første 3-4 decimaler i en decimalbrøk. Derimod er han ikke klar over forholdet mellem brøker og decimalbrøker. Han kan endvidere kun sjældent stille spørgsmål og forestille sig svar vedrørende negative tal, uendelige decimalbrøker, periodicitet af decimalbrøker, ligesom han næsten ikke inddrager potensfremstillede tal i sin udøvelse af matematisk tankegang. Irrationale tal tages ikke i betragtning. Heller ikke algebraiske, symbolbundne talanliggender indgår naturligt i hans opmærksomhedsfelt. Det samme gælder funktionsbegrebet. De former for spørgsmål og svar han opererer med vedrører næsten udelukkende klassisk rational aritmetik, altså de fire regningsarter samt procenter udført på konkrete rationale tal, ikke mindst sådanne som optræder i omgivelserne og i hverdagen. I den forbindelse kan han også formulere spørgsmål, der inddrager enkle statistiske deskriptorer som gennemsnit og "de øverste 10%". Svarene på den slags spørgsmål tilvejebringes efter D's opfattelse hurtigst og bedst af en lommeregner. Han er dog på det rene med, at man principielt selv kan producere svarene, det tager blot for lang tid og fører let til fejl. Inden for det nævnte afgrænsede terræn udviser han en betydelig adræthed i sin aktivering af tankegangskompetence.

Geometriske navne

Skønt D kender begreber og navne på gængse geometriske figurer som trekanter, rektangler, kvadrater, cirkler osv., kommer han ikke selv på geometriske spørgsmål. Tilsvarende har han svært ved at se geometriske udsagn som svar på - eventuelt implicitte - spørgsmål. Han opfatter tilsyneladende geometriske anliggender som en sag om navngivning, ikke som et spørgsmål om egenskaber, man kan spørge til og forvente svar om. Han har kun et begrænset blik for de begrebslogiske hierarkier på området, som fx kvadrat-rektangelfirkant.

Beskedent teknisk niveau

Sammenfattende kan D aktivere sin tankegangskompetence på et beskedent teknisk niveau, der er domineret af rational aritmetik med lommeregnerstøtte. Inden for dette terræn er hans tankegangskompetence teknisk set temmelig veludviklet. Uden for det kan han kun aktivere kompetencen spredt og usystematisk, også når det gælder felter, som faktisk har indgået i den undervisning, han har modtaget, som fx funktioner, geometri og ligninger.

9.5.2 Eksempel 2: Modelleringskompetence hos en 2. g. elev

En tænkt elev i 2. g.

Lad os nu gå over til at forestille os en pige P, som er elev i det almene gymnasiums 2. g., hvor hun er i færd med at fuldføre matematik på B-niveau. Vi ønsker at beskrive P's modelleringskompetence, også her på basis af tænkte observationer af hendes virksomhed i den daglige undervisning, herunder hendes besvarelse af skriftlige opgaver, inklusive prøver, hendes bidrag til gruppearbejder og mindre projekter, hendes mundtlige aktivitet ved tavlen og i klassen som helhed.

Dækningsgrad

Fokus på relationen model virkelighed

P er i stand til med grundighed, omhu og klarhed at analysere grundlaget for samt rækkevidden og holdbarheden af de konkrete matematiske modeller, hun har haft lejlighed til at arbejde med i gymnasiet. I den forbindelse er hun god til at afdække de antagelser og forudsætninger, som en model hviler på, og at sætte dem i relation til, hvad modellen kan udsiger noget om, og hvad den ikke tager i betragtning. Hun er sædvanligvis tillige i stand til at afkode og fortolke modelelementer ogresultater i forhold til de situationer, som modelleres. Derimod har hun sværere ved at afdække og bedømme modellernes mere principielle matematiske egenskaber, ud over hvad der umiddelbart kommer til udtryk i de resultater, som frembringes ved konkret brug af modellen.

Vanskeligheder med matematisering

Fokus på det velkendte

Når det gælder aktiv modelbygning, er P nok i stand til at strukturere den situation, der skal modelleres, herunder at udvælge de elementer, og koblinger mellem dem, som skal tages i betragtning. Derimod har hun oftest meget svært ved at gennemføre en frugtbar matematisering, der kan lede til opstillingen af en matematisk model. Her har hun navnlig problemer med at få øje på og vælge de idealiseringer og begrænsninger, samt at håndtere de informationstab, som er nødvendige for enhver matematisering. Når imidlertid en model foreligger, typisk med andres hjælp, kan hun foretage en matematisk behandling af modellen, så længe behandlingen kan opnås ved hjælp af velkendte metoder. Derved kan hun opnå matematiske resultater og konklusioner, som hun udmærket er i stand til at fortolke og bedømme i forhold til den situation, modellen søger at beskrive. I den forbindelse kan hun anlægge common sense betragtninger til validering af modellen, mens hun ikke behersker mere dybtgående eller sofistikerede midler, fx af teoretisk eller statistisk art, til at gennemføre en mere indgående validering af modellen. Hun har vanskeligt ved selv at modificere eller forbedre en utilstrækkelig model og ved at forestillle sig eller opstille alternativer. Hun har et veludviklet overblik over den samlede modelleringsproces, selv om hun, som nævnt, har vanskeligt ved at styre hele processen, fordi hun har problemer med nogle af dens vigtige punkter, hvilket hun selv er helt klar over. P er god til at kommunikere med andre om en model hun har været indblandet i opstillingen af, også vedrørende de punker, hun selv har svært ved at udføre.

Ret høj dækningsgrad i det grundliggende

Sammenfattende har P's modelleringskompetence en ret høj dækningsgrad, hvad angår grundtrækkene i analyse og bygning af matematiske modeller, men vigtige punkter vedrørende matematisering og håndtering af mere sofistikeret, ikkerutinepræget matematisk behandling af modellerne er kun i ringe grad dækket af hendes kompetence.

Aktionsradius

Fokus på vækst- og henfaldsproblemstillinger

P's modelleringskompetence angår først og fremmest problemstillinger vedrørende vækst og henfald. Hun har efaringer med aktiv modellering dels af vækst af menneske- og dyrepopulationer, bl.a. epidemispredning, dels af ændringer i økonomiske og finansielle størrelser, herunder lån og opsparing, samt af radioaktivt henfald. Sådanne vækstproblemstillinger kan hun behandle med overblik og sik kerhed, med hensyn til aktiv modellering dog især når de har et vist standardpræg. Derimod har hun ikke let ved at håndtere andre typer af modelleringssituationer, fx vedrørende geometriske former, tekniske, fysiske og kemiske sagsforhold, tilfældige fænomener m.v. De situationer, hun skal kunne håndtere, skal helst være delvis struktureret og præpareret i forvejen, så det ikke er nødvendigt at begynde på helt bar bund, fx med indsamling af basale informationer. Kommer hun ud for helt nye situationer med vækst eller henfald, som ikke rummer en hel del kendte træk, har hun meget svært ved at komme i gang med en modellering.

Beskeden aktionsradius

Sammenfattende har P's modelleringskompetence en beskeden aktionsradius, som i høj grad er bestemt af hendes hidtidige erfaringer med modeller og modelbygning. Efter alt at dømme kan hendes aktionsradius i denne henseende kun udvides gradvis, gennem grundig beskæftigelse med nye typer af modelleringssituationer.

Teknisk niveau

Fokus på "vækst"-funktioner

Vanskeligheder med ligninger

P kan først og fremmest aktivere sin modelleringskompetence i sammenhænge, hvor lineære eller andre polynomielle funktioner, potensfunktioner, eller eksponential- og logaritmefunktioner, helst i ren form, står centralt i sammenhængen. Hun har vanskeligere ved at inddrage trigonometriske funktioner i modelleringsforbindelser, fordi hun, p.g.a. deres periodiske svingninger, ikke har let ved at se dem som forbundet med de vækstspørgsmål, hendes modelleringserfaringer er knyttet til. Inden for modeller præget af de førstnævnte funktionsklasser, kan hun med ret stor sikkerhed udnytte sit grundige fænomenologiske kendskab til de pågældende funktioner i modelbehandlingen. Det gælder også, når spørgsmål som væksthastighed eller -rate kræver begreber og resultater fra differentialregningen. Derimod har hun ikke tekniske forudsætninger for at forstå eller behandle modeller på differentialligningsform. Heller ikke andre ligningsformulerede modeller er hun god til at konstruere - det volder hende generelt kvaler at sigte mod opstilling af ligninger som middel til at modellere situationer. Foreligger der derimod allerede en model på eksplicit ligningsform, kan hun sædvanligvis godt løse de indgående ligninger, hvis de er af en art, som har været på dagsordenen i den matematikundervisning hun har modtaget.

Hun er stort set ude af stand til at benytte statistiske metoder til parameterestimation, regressionsanalyse og test i valideringen af modelresultater i forhold til empirisk foreliggende data. Det skyldes bl.a. at disse spørgsmål kun har været nødtørftigt strejfet i undervisningen. Derimod kan hun godt benytte gra.ske metoder til på grundlag af common sense-overvejelser at foretage en sammenligning af modelresultater og data.

Nogenlunde højt teknisk niveau inden for et begrænset repertoire

Sammenfattende er det tekniske niveau for P's modelleringskompetence nogen lunde højt, givet det stof hendes undervisning har omfattet. Dog kan hun kun i ringe grad aktivere tekniske kundskaber vedrørende geometri, trigonometriske funktioner, ligninger og statistik til modelleringsformål. I disse henseender er der basis for højnelse af P's tekniske niveau.

9.5.3 Eksempel 3: Symbol- og formalismekompetence hos en studerende

Tænkt naturvidenskabsstuderende på indledende trin

Til sidst forestiller vi os en kvindelig studerende, K, på første eller andet år af et naturvidenskabeligt præget studium, som er matematikforbrugende, men ikke er et studium i matematiske fag. Man kunne fx tænke på studerende inden for biologiske eller kemiske fagområder, eller ved en naturvidenskabelig basisuddannelse eller en ingeniøruddannelse, som er i færd med at tage et indledende matematikkursus. Tanken er at karakterisere K's symbol- og formalismekompetence på basis af observationer af hendes individuelle besvarelse af skriftlige øvelsesopgaver og uformelle prøver, af hendes aktivitet på holdet og i gruppearbejde under lærervejledning, samt rapporter fra korte gruppeopgaver, som hun har bidraget til.

Dækningsgrad

God til symbol- og formelspil, men ikke til fortolkning

K udviser en betydelig fleksibilitet og gennemslagskraft i sin omgang med symbolog formelsprog, både når det gælder det at kunne følge andres symbol- og formelbehandling, og når det gælder selv at kunne udføre en målrettet, korrekt og effektiv manipulation af symbolholdige udsagn og formler. Hun er i den forbindelse meget orienteret mod, og har godt styr på, de spilleregler, som gælder for opskrivning og manipulationen af symbolholdige udtryk og formler, og på grund af en veludviklet teknisk rutine begår hun kun sjældent fejl i sådanne sammenhænge. Derimod er hendes forståelse og fortolkning af, hvad symbol- og formelbehandlingen dækker over, ikke helt så veludviklet. Hun er med andre ord vældigt god til at spille symbol- og formelspil, også i resultatorienteret forstand, men ikke så god til at se mening i spillet, hvilket hun heller ikke ser ud til at have noget stort behov for. Når det gælder formelle matematiske systemer, typisk opbygget som en samlet teori, har K derimod svært ved at forstå, hvad det hele går ud på, bortset fra når teorien leder frem til kalkulatoriske resultater og metoder, som hun så koncentrerer sig om at beherske, oftest uden noget klart blik for deres rolle i det samlede system, som hun er tilbøjelig til at ignorere eller opfatte som skræmmende, irriterende eller pedantiske udenværker.

Begrænset dækningsgrad

Sammenfattende er K en meget kompetent symbol- og formelmanipulator, men ikke nogen god forståer og fortolker af hvad der er på færde neden under symbolog formelbrugen. Hendes blik for karakteren og betydningen af formelle matematiske systemer er nærmest fraværende. Hendes symbol- og formalismekompetence har dermed en klart begrænset dækningsgrad, som det vil kræve en solid indsats at udvide.

Aktionsradius

Kan håndtere nye situationer, hvor symboler er indført

K's veludviklede evne til symbol- og formelbehandling medvirker til, at hun kan begå sig både i rutineprægede situationer og i situationer hun ikke har været i før, men som kan håndteres med det apparat hun har til rådighed. Det gælder, hvad enten der er tale om internt matematiske situationer eller om anvendelsessituationer. Hvad det sidste angår, er det en forudsætning, at anvendelsen af matematik enten er lagt til rette eller giver sig selv. Hendes gennemslagskraft er størst i situatio ner, hvor symbol- og formelbehandlingen har til formål at føre til et veldefineret - men ikke dermed entydigt - resultat, gerne af kalkulatorisk art. Hun lider ikke af den ellers udbredte identifikation af et matematisk symbol med den genstand, det symboliserer. Således er hun også i stand til at håndtere situationer, hvor gængse symboler er erstattet af andre, mindre gængse, symboler, men hvis der brydes mere grundlæggende med traditionen - fx ved at variable navngives a, b eller c, mens konstanter kaldes t, x,y, og funktioner kaldes m, n og p - opstår der nogen usikkerhed hos K. Denne usikkerhed kan dog i almindelighed overvindes, hvis hun først tager sig tid til at indprente sig, hvilken rolle symbolerne nu indtager.

Svært ved selv at indtænke symboler

K har ikke let ved selv at indføre symbolske betegnelser i situationer, hvor de ikke er introduceret i forvejen, med mindre situationen er af en kendt type, som når man kan navngive koordinater, funktioner, matricer, egenværdier m.v. i overensstemmelse med traditionen. At der i en matematisk situation træffes væsentlige beslutninger, når man afgør, hvilke objekter der spiller så stor en rolle, at de skal tillægges et symbol, er ikke omfattet af K's symbol- og formalismekompetence.

Relativt stor aktionsradius

Sammenfattende har K's symbol- og formalismekompetence en ret stor aktionsra dius relativt til dens dækningsgrad, dvs. i forhold til sammenhænge og situationer, der ikke involverer fortolkning af symbolsk aktivitet samt omgang med formelle matematiske systemer.

Teknisk niveau

Fokus på reelle funktioner og lineær algebra i standardsituationer

Det tekniske niveau i K's symbol- og formalismekompetence knytter sig, ud over til hendes gymnasiale kundskaber, til reelle funktioner af én eller .ere variable samt til lineær algebra i talrum. Hun kan både håndtere symbol- og formelproblemstillinger vedrørende konkrete eksempler på funktioner, vektorer, matricer, egenværdier, osv. og vedrørende generelle eksemplarer, det sidste forudsat at rammerne for symbolog formelbehandlingen er klare og ikke kræver indblanding af mere intrikate teoretiske problemer og betragtninger. Symbol- og formelhåndtering af differentiation, integration, rækkeudvikling, rækkekonvergens, bestemmelse af egenværdier, diagonalisering af matricer osv. har hun et vældigt godt greb om i teoretisk uproblematiske standardsituationer, hvor forudsætningerne for udnyttelsen af de kendte procedurer er opfyldt. Skal der derimod udvises originalitet og opfindsomhed, fordi situationen ikke fuldt ud er dækket af velkendte fremgangsmåder, kan hun almindeligvis ikke stille så meget op.

Vanskeligt ved formelle mat. systemer

K kan kun i ringe udstrækning begå sig i formelle matematiske systemer. Det betyder, at hun har svært ved afgøre hvad der lovligt følger af hvad i et sådant system, og hvad der ikke kan lade sig gøre, med mindre betragtningerne er hægtet op på symbol- og formelbehandling. Og det gælder, hvad enten hun skal følge andres fremstilling, eller - især - hvis hun selv producerer en sådan. Hun er tilbøjelig til at lære betingelserne for anvendelsen af regler og procedurer udenad, hvilket hun er god til.

Højt teknisk niveau

Sammenfattende er det tekniske niveau for K's symbol- og formalismekompetence højt, set i forhold til kompetencens begrænsede dækningsgrad. Var hun i stand til i højere grad at begå sig i situationer som kræver teoretisk overblik eller orginalitet og opfindsomhed, ville det være meget højt.

9.5.4 En kompetences "volumen"

Ønsker man af den ene eller den anden grund at foretage en sammenfattende helhedsbedømmelse af en given elevs besiddelse af en bestemt matematisk kompetence, fx til brug for en summativ evaluering af elevens standpunkt, måske i form af en karakter, muliggør den her indførte dimensionsbeskrivelse en sammenvejning af de tre dimensioners relative styrke i kompetencebeskrivelsen. Således kan en markant realisation af den ene dimension tænkes at kunne afbalancere en svagere realisation af de to andre.

"Volumen" ="produktet" af dimensionerne

Med en metafor: Man kan billedlig talt forestille sig kompetencenbesiddelsen "målt" ved "produktet" af realisationerne af de tre dimensionerne, altså ved en slags "volumen". Det ligger i denne metafor, at kompetencebesiddelsen i alt bliver tillagt målet 0, hvis en af dimensionerne ikke er realiseret for den pågældende elev, hviket er en naturlig følge af selve kompetencebegrebet Hvis enten dækningsgraden, aktionsradius eller det tekniske niveau er ikke-eksisterende, foreligger der slet ingen kompetence. Det ligger endvidere i metaforen, at forskellige elever kan have samme volumen i besiddelsen af en kompetence, selv om de indgående dimensioner har helt forskellige formater.

10. En karakteristik af udvalgte centrale problemer vedrørende den danske matematikundervisning

10.1 Indledning

Befolkningens mat. kundskaber anses for vigtige

Befolkningens matematiske kundskaber (forstået helt bredt), og den matematik undervisning der gerne skal være en hjørnesten i frembringelsen heraf, tillægges traditionelt stor betydning i alle typer af samfund, ikke mindst i de teknologisk og økonomisk avancerede. I det 20. århundrede har disse forhold med mellemrum været genstand for betydelig samfundsmæssig opmærksomhed, i form af diskussioner, udviklingsarbejder og reformvirksomhed. Hovedproblemstillingen har gennemgående været følgende: Hvem i samfundet bør besidde hvilke matematikkundskaber, og hvorfor? I hvilken grad forsyner uddannelsessystemet i almindelighed, og matematikundervisningen i særdeleshed, de pågældende befolkningsgrupper med de ønskede kundskaber? I det omfang dette ikke sker på tilfredsstillende vis, hvad kan der da gøres for at skabe forbedringer i situationen?

10.1.1 Meget går godt, men fokus her er på problemer og udfordringer

"Noget" burde forbedres

Det er denne problemstilling - måske i en ny skikkelse - som atter er blevet på- trængende i en dansk sammenhæng. "Noget" vedrørende sammenhængen mellem befolkningens faktiske eller ønskværdige matematikkundskaber og den underliggende matematikundervisning ser ud til ikke at være, som det burde.

Meget går godt

Samtidig er det væsentligt at holde sig for øje, at også mange ting i forbindelse med matematikundervisningen i Danmark fungerer godt; fx er der mange meldinger om, at eleverne i folkeskolen generelt er glade for matematikundervisningen, en stor andel af eleverne i det almene gymnasium vælger matematik på højt niveau, og Danmark klarer sig acceptabelt i internationalt sammenlignende undersøgelser som TIMSS og PISA (se fx Allerup et al. (1998) og Andersen et al. (2001)), på de højeste undervisningstrin endda godt.

Fokus på udfordringer

At fastholde sådanne positive elementer såvel i bevidstheden som i praksis i for bindelse med fremtidige ændringstiltag er en væsentlig del af udfordringen. Det gælder ikke mindst i dette projekt, hvor vi bevidst undlader en total kortlægning af situationen, men i stedet koncentrerer os om nogle sider af sagen, som vi eller andre finder, giver anledning til særlige udfordringer, som det er forventeligt, at man kan stille noget op med.

10.1.2 Vores perspektiv på problemfeltet

Fuldt objektiv analyse ikke mulig

Med udgangspunkt i så bredt formulerede og normativt betonede spørgsmål, som der her er tale om, er det naivt - og dybest set også udtryk for disrespekt for problemernes kompleksitet - at forestille sig, at man kan gennemføre en objektiv, endegyldig analyse af de forskellige problemstillinger. Der vil altid være tale om en delvis subjektiv, mere eller mindre bevidst afgrænsning af problemfeltet. Dette sagt for at understrege, at det følgende er vores perspektiv på sagen, hvilket allerede kommer til udtryk i de analytiske kategoriseringer, vi har valgt at strukturere arbejdet efter.

Tre slags problemstillinger: "hvorfor?", "hvad?" og "hvordan?"

Fremstillingen her bygger således på en forestilling om, at (matematik-)undervis ningens problemkompleks med fordel kan anskues som bestående af tre overordnede problemfelter: spørgsmål om hhv. "hvorfor", "hvad" og "hvordan". De problemstillinger, vi mener at kunne identificere i den forbindelse, kategoriserer vi som hhv. begrundelsesproblemer, indholdsproblemer og implementationsproblemer. I analysen i dette kapitel har vi valgt at koncentrere os om aspekter af hvorforspørgsmålet og hvordan-spørgsmålet, mens de indholdsmæssige problemstillinger er blevet behandlet tidligere i denne rapport.

Inden for problemfelterne om "hvorfor" og "hvordan" forsøger vi at identificere og karakterisere en række mere konkrete problemer og udfordringer, som de opleves af forskellige grupper i og omkring matematikundervisningen. I forbindelse hermed indfører vi for overblikkets skyld en grovskelnen, idet vi opererer med tre typer af matematikholdig uddannelse:

Matematikholdige almendannende uddannelser: Hermed menes uddannelser, der rummer matematikholdige elementer, og som sigter mod, som et konstituerende element, at bidrage til de deltagende personers almendannelse (her forstået som almen-gyldig personlighedsdannelse), viden og kunnen med "de mange" som målgruppe, jf. Niss (2000). Med den afgrænsning der følger af, at almendannelsessigtet er et konstituerende element, omfatter denne type uddannelse væsentligst - men ikke udelukkende - de matematikholdige dele af virksomheden i folkeskolen, de gymnasiale uddannelser og almen voksenuddannelse.

Matematikforbrugende uddannelser: Hermed menes uddannelser, der autoriserer og sigter mod at kvalificere de deltagende personer til at bestride professioner, hvor anvendelse af matematik i varierende grad har væsentlig betydning, men hvor professionalismen ikke kan karakteriseres som grundlæggende matematisk. Arkitekt, bankfuldmægtig, biolog, elektriker, farmaceut, industrioperatør, kranfører, købmand, politiker, sygeplejerske, tømrer og økonom er eksempler på professioner, som efter vores opfattelse lever op til disse kendetegn.

Matematiske professions-uddannelser: Hermed menes uddannelser, der autoriserer og sigter mod at kvalificere de deltagende personer til at bestride professioner, hvor professionalismen (bl.a.) kan karakteriseres som værende af grundlæggende matematisk art. Det gælder, som det mest oplagte, professionerne forsknings-matematiker og matematiklærer på alle niveauer, men også statistikere, fysikere, kemikere, astronomer, dataloger, aktuarer, landinspektører og visse typer af civilingeniører, samt lærere inden for disse fag, falder under denne kategori.

Hvem oplever problemer og udfordringer?

Desuden finder vi det hensigtsmæssigt at føje endnu en dimension til ved at interes sere os for, hvem der oplever problemer eller udfordringer (af såvel begrundelsessom implementationsmæssig karakter) i forhold til hver af de tre typer uddannelse: Er det aftagerne¹ af de matematisk uddannede personer? Er det tilrettelæggerne² af de matematikholdige dele af uddannelsen? Er det lærerne? Er det eleverne³? Eller er det de fremtidige brugere⁴ af matematikuddannelsens forventede resultater? Krydser man de to analytiske dimensioner "matematikuddannelsestype" og "interessegruppe" får man følgende 3 x 5 -matrix:

Mat.udd. problemrum

Hvis vi - uden at kaste os ud i en ny illustration - tilføjer den tredje analytiske dimension vedrørende typificeringen af problemet (begrundelses-, indholds- og implementationsproblemer), har vi i alt 45 (3 x 5 x 3) "celler" i dette tredimensionale⁵ matematikuddannelsernes problemrum. At vi som analytisk værktøj vælger at ud spænde et sådant problemrum, skal ikke tages som udtryk for, at vi mener, man kan eller skal anskue hver celle for sig. Det gælder hverken analytisk eller praktisk. Dertil er de situationer og omstændigheder, som forefindes rundt omkring i systemet, alt for sammensatte. Men tankestrukturen kan hjælpe med til at komme hele problemfeltet rundt og på den måde opdage problemer oplevet lokalt, hvis rækkevidde så efterfølgende kan analyseres. Desuden kan struktureringen modvirke en fristelse til at forblive på et så generelt beskrivelsesniveau, at ingen rigtig oplever, at beskrivelsen vedrører dem. Vi har selvsagt bestræbt os på at være opmærksomme på begge forhold både her i forbindelse med problemafklaringen og i rapportens analyser i øvrigt.

10.2 Begrundelsesproblemer

Årsager og begrundelser

Ved en årsag til at udbyde matematikholdig uddannelse til studerende inden for et område af uddannelsessystemet forstår vi en drivende kraft, der i realiteten har motiveret og givet anledning til eksistensen af matematikholdig undervisning inden for dette område. Ved en begrundelse for at udbyde matematikholdig uddannelse forstår vi det at bringe argumenter i spil til støtte for eksistensen af denne uddannelse. I praksis vil sådanne begrundelser ofte afspejle en eller flere årsager til, at der faktisk eksisterer matematikundervisning, men dette behøver ikke at være tilfældet.⁶ Når vi nedenfor analyserer begrundelsesproblemer, betyder det således, at vi ser på, hvorvidt - og, i bekræftende fald, under hvilke former - en given matematikholdig uddannelse skal eksistere, og de argumenter og problemstillinger der kan fremføres i den forbindelse.

Tre typer af årsager

Som led i opstillingen af en brugbar ramme for vores karakteristik af aktuelle problemer, der knytter an til sådanne årsager, konkluderer Niss (1996, p. 13), at der grundliggende er tale om kun tre typer af årsager til matematikuddannelse, der dækker hele den internationale scene:

Den økonomisk-teknologiskeårsag

• At bidrage til den teknologiske og socio-økonomiske udvikling af samfundet som helhed (herefter kaldet den økonomisk-teknologiske årsag).

Den individ-orienterede årsag

• At udstyre individer med værktøjer, kvalifikationer og kompetencer til at hjælpe dem med at klare livets (ud)fordringer (herefter kaldet den individorienterede årsag).

Den politisk-kulturelle årsag

• At bidrage til samfundets politiske, ideologiske og kulturelle vedligeholdelse og udvikling (herefter kaldet den politisk-kulturelle årsag).⁷

Når disse årsagskategorier er relevante skyldes det, at mange begrundelsesproblemer i det væsentlige udspringer af at fokusere på en af de tre kategorier. Det gælder også de tre problemstillinger, vi nedenfor har valgt at fremhæve.

10.2.1 Skævvridning af arbejdsstyrkens kvalifikationer

Behov for en mat. veludd. befolkning

Igennem de sidste 50 år har en central begrundelse for eksistensen af matematikundervisning fra aftagerside været, at en matematisk (og teknisknaturvidenskabeligt) veluddannet befolkning var og er en forudsætning for først etableringen, og siden opretholdelsen, af velfærdsstaterne i de fleste vesteuropæiske lande.⁸ Begrundelsen rummer to aspekter; et der refererer til den økonomisk/teknologiske årsag, og et der refererer til den individorienterede årsag. Den sidstnævnte, der primært drejer sig om livet som borger i et demokratisk samfund, behandles i afsnit 10.2.3. Rationalet bag den økonomisk-teknologiske begrundelse er i korte træk som følger:

Lokomotivet foran etableringen af den danske velfærdsstat⁹ i 50'erne og 60'erne var en stigende økonomisk vækst. Som det tydeligt fremgår af den politiske debat i disse år, regnes en sådan vækst også for en forudsætning for dens opretholdelse, i hvert fald i de ledende lag i samfundet. Et stort og voksende bruttonationalprodukt er den bedste måde at sikre, at staten kan opretholde et højt aktivitetsniveau. I den forbindelse har der i nyere tid været bred politisk enighed om, at store mængder arbejdskraft ikke i sig selv er svaret, men at arbejdskraftens vidensniveau er nok så væsentlig. Et afgørende kvali.kationskrav er således evnen til at udvikle og udnytte produktionsforhold, der muliggør øget produktivitet. Det svarer til et optimistisk  teknologibegreb, der opfatter teknologien som "en størrelse mennesket indskyder mellem sig og naturen" for bedre at kunne få magt over den og nyttiggøre den.¹⁰

Mat.kundskaber og teknologi

I den sammenhæng kommer matematiske kundskaber - og dermed den undervisning der skal frembringe dem - på banen som central aktør af to grunde: For det første fordi sådanne kundskaber ofte er nødvendige for at kunne udnytte teknologi i traditionel forstand. For det andet fordi matematik gennem matematiske modeller selv udgør en sådan teknologi. Hermed er det ræsonnement, der fra en aftagervinkel begrunder matematikundervisningens så fremskudte placering, tilendebragt: Uddannelsespolitikken med matematikundervisningen i en frontrolle er, via arbejdsmarkedspolitikken, helt central for velfærdsstatens opretholdelse og videreudvikling. Altså på sin vis en politisk-kulturel begrundelse, som fører en økonomisk-teknologisk begrundelse med sig.

Utilstrækkelig søgning til mat.holdige udd.

På denne baggrund er det et problem, når eleverne ikke i tilstrækkelig grad vælger de former for uddannelse, som samfundet gerne vil have dem til. Der er en generel tendens til, at søgningen til de forskellige videregående studier udviser negativ korrelation med den vægt, matematisk indsigt og kunnen deklareres at have på de respektive studier. Flere undersøgelser (fx Simonsen & Ulriksen; 1998) peger på, at et af de afgørende kriterier ved valg af studieretning for mange mennesker er, at studierne kan bidrage til deres løbende selvrealiseringsprojekt, som de oplever, at en stadig mere kompleks verden nødvendiggør. Her kan matematikholdige uddannelser let komme i klemme.

De mulige kilder til dette problem kan befinde sig flere steder, fx i selve matematikken som fagområde, eller i det forhold, at matematikholdige uddannelser traditionelt stiller betragtelige arbejdsmæssige, psykologiske og andre krav til eleverne. Vi skal afstå fra at gå i dybden med dette spørgsmål i denne sammenhæng.

Søgningen til nogle af ingeniøruddannelserne er faldet kraftigt de senere år, medens flere af de andre matematiske professionsuddannelser ikke er direkte svækket - men der er på den anden side ikke indtruffet en vækst, der modsvarer samfundets efterspørgsel.

Et ubehageligt dilemma

På de matematikforbrugende uddannelser står uddannelsesplanlæggerne i et ubehageligt dilemma: Som konsekvens af ovennævnte negative korrelation kan de enten melde ærligt ud, hvilket matematikforbrug der er tale om, og tilrettelægge studiet derefter, hvilket let fører til, at uddannelsen sættes i bås med de matematiske professionsuddannelser. Eller man kan for at øge ansøgningstallet nedtone matematikindholdet, og så forsøge ad hoc at råde bod på de skævheder i ansøgernes kompetencemønster, der følger i kølvandet på den beslutning.

Begge dele fører til den skævvridning af arbejdsstyrkens kvalifikationer, som nævnes i overskriften. Der er - set fra aftagerside - simpelthen for få, der stiller sig positivt til en matematikholdig uddannelse.

10.2.2 Relevansparadokset og motivationsproblemet

På den ene side tillægges matematikkundskaber (og matematikundervisning til at Mat.kundskabers objektive relevans frembringe dem) altså væsentlig betydning i alle samfund af vores type. Man kan konstatere, at det af samfundsmæssige grunde er objektivt relevant, at "nogle" besidder sådanne kundskaber. I løbet af det seneste århundrede er tendensen gået i retning af, at "nogle" skal forstås som "stadig flere", og i den sidste fjerdel af det 20. århundrede simpelthen som "alle".¹¹

På den anden side er der mangfoldige vidnesbyrd fra alle lande og alle undervis- Subjektiv irrelevans ningstrin om, at betragtelige grupper af elever i uddannelsessystemet har svært ved at se den subjektive relevans af den matematikundervisning, de modtager, og af i det hele taget at beskæftige sig med matematik. Det kan der være flere forklaringer på. En mulighed er, at det er, fordi eleverne ikke får adgang til at stifte bekendtskab med den objektive relevans af matematikkundskaber, eller fordi de på trods heraf ikke føler sig overbevist om den. En anden mulighed er, at eleverne faktisk er overbevist om denne relevans på det samfundsmæssige plan, men uanset dette ikke føler matematikkundskaber personligt nyttige eller vedkommende i forhold til deres forestillinger om fremtidig karriere og tilværelse. På individplanet kan det for nogle give sig udtryk i en opfattelse, der i slagordsform kan formuleres således: "Jeg ved godt, at jeg ikke kan bruges til noget uden matematik; alligevel kan jeg ikke bruge matematik til noget."

I begge tilfælde skaber modsætningen mellem den objektivt foreliggende relevans og den subjektivt oplevede irrelevans et paradoks, det såkaldte relevansparadoks. Hvis relevansparadokset angår tilstrækkeligt store grupper af elever, bliver det til Relevansparadokset et samfundsproblem og dermed til en udfordring, som uddannelsessystemet i almindelighed og matematikundervisningen i særdeleshed må gøre, hvad de kan for at tackle. Meget tyder på, at et sådant samfundsproblem i disse år eksisterer både internationalt og i Danmark.

Relevansparadokset ytrer sig ikke blot på samfunds- og individniveau, men også på institutionsniveau. I folke- og gymnasieskoler, såvel som på videregående uddannelsesinstitutioner, ses der at være problemer med at bringe matematikfaget i spil i sammenhæng med andre fag. Ofte har lærere i andre fag, men ikke sjældent også matematiklærere, vanskeligt ved at se, hvad matematikken gør godt for, enten på institutionen som helhed eller over for netop disse andre fag. Dette på trods af, at flere og flere fag rummer matematikholdige ingredienser i stadig stigende omfang, omend den matematiske karakter af ingredienserne ikke altid erkendes, fx på grund af sprogbrug eller begrebsapparat. Denne manifestation af relevansparadokset giver sig udslag i et isolationsproblem, som både er til skade for matematikun- Isolationsproblemet dervisningen og for de fag, som kunne have udbytte af en bevidst inddragelse af matematiske komponenter i deres virksomhed.

Motivationsproblemet

Det kan også være, at eleverne nok er blevet overbevist om relevansen af at erhverve sig matematikkundskaber, fx i forhold til de uddannelses- og karriereplaner de har, og derved for så vidt også finder beskæftigelsen med matematik med henblik på at opnå disse kundskaber subjektivt relevant, men at de ikke desto mindre finder arbejdet med matematik kedeligt, menings- eller perspektivløst, uvedkommende, eller måske simpelthen for krævende i forhold til det forventede eller opnåede udbytte. I denne situation foreligger der sådan set ikke noget relevansparadoks, men der foreligger et væsentligt motivationsproblem, som - hvis det har et markant omfang (og også det synes at være tilfældet i disse år, i det mindste på nogle uddannelsestrin) - kan være lige så alvorligt for bestræbelserne på at udstyre befolkningen med funktionelle matematikkundskaber som relevansparadokset. Sat skarpt op kan man sige, at hvis ikke matematikundervisningen er i stand til at frembringe et mindstemål af begejstring for faget hos modtagerne, kommer selv de bedst begrundede, gennemtænkte og tilrettelagte undervisningsplaner til kort.

Relevansparadokset og motivationsproblemet skaber udfordringer

Det er arbejdsgruppens opfattelse, at både relevansparadokset (inklusive dets manifestation som et isolationsproblem) og motivationsproblemet er til stede i en grad, som skaber betydelige udfordringer for indretningen og gennemførelsen af en vellykket og udbytterig matematikundervisning.

10.2.3 En mulig trussel mod "matematik for alle"?

Hidtil: Fokus på "matematik for alle"

Som tidligere nævnt har politikere og andre beslutningstagere, den almindelige offentlighed og matematikundervisningsmiljøer i alle lande, i løbet af det 20. århundrede vænnet sig til at tage det for givet, at matematikkundskaber og matematikundervisning tillægges stor og voksende betydning på alle uddannelsestrin. Mange lande har investeret store ressourcer og anstrengelser i at oprette matematikundervisning på steder, hvor den ikke tidligere fandtes, og i at konsolidere og udbygge den på steder, hvor den allerede eksisterede. På den måde har matematikundervisning fundet vej til nye kategorier af modtagere, som ikke tidligere fik adgang til en sådan. Det er ikke en overdrivelse internationalt set at karakterisere hovedstrømningen i matematikundervisningen i den anden halvdel af det 20. århundrede som en udvikling hen imod "matematik for alle". Som det også blev antydet i afsnit 10.2.1 har alle lande - både industrialiserede lande i øst og vest og i den tredje verden - været overbeviste om, at deres borgeres matematikkundskaber er af afgørende betydning for den vellykkede funktion og videreudvikling af samfundet i form af teknologisk, socio-økonomisk og kulturel velfærd. Jo mere matematisk kompetent den almene befolkning i et land er, jo bedre ville dette land være stillet i henseende til materiel og immateriel velstand og vækst, sagde doktrinen.

Med andre ord, mens matematikundervisning (ud over elementær regning) før omkring 1960 udelukkende blev et ret begrænset udsnit af befolkningen til del, var matematikundervisningen ved slutningen af det 20. århundrede udbygget til at henvende sig til mange grupper af elever, som ikke ville have valgt den af egen drift, dvs. såfremt personlig tilbøjelighed og interesse på valgtidspunktet var det eneste som talte.

Tegn på kursskift

Globalt set tyder meget på, at det ikke længere kan regnes for en selvfølge, at samfundet vedblivende vil betragte matematikundervisning for alle som noget særdeles væsentligt, der løbende skal udvikles og udbygges.

I Japan er det for nyligt blevet besluttet at reducere omfanget af den almene matematikundervisning i skolen betragteligt. For et par år siden udspandt der sig - under overskriften "Sieben Jahre sind genug" - i Tyskland en voldsom debat om, hvor megen matematik den enkelte i virkeligheden havde brug for at tilegne sig.¹² I Norge og Sverige høres røster fra almenpædagogisk hold, der slår til lyd for en væsentlig reduktion eller ligefrem fjernelse af matematikken i den almene skole. I Danmark fremsættes fra Gymnasieskolernes Lærerforening forslag om, at matematik ikke skal være obligatorisk (fælles)fag i HF. I dagspressen offentliggøres fra tid til anden artikler, som taler for en drastisk nedtoning af matematikundervisning for almindelige elever. Et eksempel på det er en artikel i Politiken den 24.10. 2001 af teknisk direktør Rasmus Wiuff (medlem af Teknisk Uddannelsesråd), som bl.a. skriver, at "matematik alt for længe har fået lov til at stå urørt som en indiskutabel nødvendighed, både på de videregående uddannelser, i gymnasiet og i folkeskolen." Dette er blot enkelteksempler, men grundlæggende træk ved de moderne samfunds indretning og virkemåde peger på, at disse eksempler måske ikke er så tilfældige, men led i mere dybtliggende processer. Vi skal forsøge at fremdrage nogle af disse træk.

Mat.s konkrete nytte er svært dokumenterbar

For det første er det, i vore dages komplekse samfund, ikke så lige til at levere en direkte og konkret påvisning af, nøjagtigt hvilke matematiske kundskaber som er nødvendige for at begå sig i forskellige livssfærer og samfundssektorer. Derfor kan det, jf. relevansparadokset, være nok så vanskeligt at forbinde de ting, som er på dagsordenen i matematikundervisningen med forhold af samfundsmæssig relevans, i det mindste for det flertal af befolkningen som ikke skal arbejde i markant matematikforbrugende professioner. Hvis det, siges det af nogle, vedvarende viser sig vanskeligt at demonstrere den umiddelbare relevans af skole- eller universitetsmatematiske kundskaber for verden uden for undervisningslokalerne, er matematik måske slet ikke så vigtig for flertallet.¹³

For mange får for ringe udbytte

For det andet må det indrømmes, at der trods betydelige indsatser i undervisnings- udvikling og -forskning er grænser for, hvor godt det i de fleste lande er lykkedes at bibringe det store flertal af elever i uddannelsessystemet så solide, overbevisende og brugbare matematikkundskaber, som det var tilsigtet. For mange modtagere af matematikundervisning får et for ringe udbytte af den. Ville det så ikke være mere rationelt og humant at koncentere bestræbelserne om at undervise dem, som virkelig kan få noget ud af undervisningen? Måske ville der, ved at reservere substantiel matematikundervisning for sådanne elever, skabes et højere udbytte af uddannelsesinvesteringerne end ved at fastholde "matematik for alle" som den bærende opgave. Ikke mindst mange matematiklærere og andre matematikere rundt om i verden er begyndt at fremføre sådanne synspunkter, blandt andet i frustration over ikke at have tilstrækkelige muligheder for at gøre noget effektivt for den sidstnævnte gruppe.

it som erstatning

For det tredje ser det ud til, at en stor del af den viden og de færdigheder, som traditionelt har været hjørnesten i matematikundervisningen på forskellige niveauer, nu kan varetages hurtigere og sikrere ved hjælp af IT, der tillige kan håndtere opgaver, som var helt utilgængelige i de tider, hvor matematikundervisningen brugte mange kræfter på at uddanne "den menneskelige regnemaskine". Ville det så ikke, lyder tankegangen i fortsættelse af den foregående, være meget mere effektivt at fokusere samfundets uddannelsesindsats på at sætte folk i almindelighed i stand til, på kompetent og fleksibel vis, at omgås IT, også når det gælder matematik, i stedet for at spendere betydelige ressourcer på at gennemføre matematikundervisning for store grupper af elever, som ikke har så let ved at lære det? Selvfølgelig har samfundet stadig brug for en hel del mennesker, som virkelig kender og behersker en stor mængde matematik på en dybtgående måde. Men denne gruppe vil ikke desto mindre være af relativt beskeden størrelse, og antagelig langt lettere at undervise end flertallet.

Generel nedskæring af forskning og uv.

Koncentration om "de lette" problemer

En understregning af denne tendens ses i det forhold, at mange lande har iværksat opbremsning af de udgifter til undervisning (og forskning), som ikke giver et åbenbart og umiddelbart udbytte. Nedskæringer af et system fører let til svigtende entusiasme og demoralisering, og dermed fremkomsten af fejlfunktioner og ineffektivitet. Dette fører til krav om yderligere rationalisering (trimning og omorganisering) af systemet, der ender med, i bred ligegyldighed, at koncentrere sine indsatser om de mindre tunge problemer. I uddannelsessystemet fører det mange  steder til, at kræfterne sættes ind over for de dygtigere elever, som kan klare sig godt og gøre fremskridt uden alt for megen assistance, mens de elever, som har brug for mere hjælp, negligeres eller lades tilbage.

Tendenserne er nået Danmark

Der er mange grunde til at tro, at tendenser, som de beskrevne, også vil vinde fodfæste i Danmark med større styrke, end tilfældet er i dag. Vi påstår ikke, at dette vil ske meget hurtigt, eller at disse tendenser vil blive de dominerende i de nærmeste år. Alligevel finder vi det nødvendigt at bruge kræfter på at overveje problemstillingen nøje. Hvis overvejelserne munder ud i, at disse tendenser bør have medvind, vil det føre til en væsentlig forandring af såvel rammerne og perspektiverne for matematikundervisningen på alle trin, som af den nærmere udformning og gennemførelse af den. Hvis konklusionen derimod bliver, at tendenserne bør modarbejdes, er det nødvendigt at udtænke og iværksætte mere effektive strategier til formålet end dem, der synes at være til rådighed for øjeblikket. Om det ene eller det andet er situationen, må komme an på en nærmere analyse. I alle tilfælde repræsenterer den latente trussel mod "matematik for alle" en væsentlig udfordring for dette projekt og for dansk matematikundervisning fra top til bund. Vi vil dog ikke undlade at markere, at vi - om ikke andet så af hensyn til et ønske om at fremme befolkningens demokratiske kompetence - anser det for væsentligt at fastholde "matematik for alle" som en central opgave for dansk matematikundervisning. Hvordan denne opgave så nærmere skal fortolkes og løses, er en anden sag.

10.3 Implementationsproblemer

Afstand mellem det tilsigtede og det realiserede

Der er en afstand mellem det mulige og det realiserede udbytte af de forskellige slags matematikholdige uddannelser. Uden for en utopisk forestillingsverden vil det selvfølgelig altid være tilfældet, men for nogle af eleverne er afstanden større, end rimeligt er, og der er for få, der på et givet uddannelsestrin når op på det højest mulige niveau.

Denne karakteristik udgør det fælles element for alt, hvad vi vil betegne implementationsproblemer. Sådanne problemer er uundgåeligt forbundet med forestillinger om det tilsigtede indhold på en given uddannelse, og begrundelser for måden dette indhold bringes i spil på, men det er oplevelsen af, at "det virker ikke (godt nok)", der er i fokus her. Alle de forhold, der omtales nedenfor, kan ses som forsøg på gensidigt supplerende forklaringer på, at denne oplevelse eksisterer forskellige steder i uddannelsessystemet.

10.3.1 Problemer med lærernes kvalifikationer

Stor variation i lærerkvalifikationer

Som det fremgår af kapitel 6 om matematiklæreres kompetencer, er det at være en god matematiklærer en kompleks udfordring, som mange undervisere på alle niveauer møder på fortræffelig vis og oplever som både spændende og personligt meningsgivende. Da der alene i Danmark er et femcifret antal mennesker, som i deres daglige beskæftigelse stilles overfor denne udfordring, er det trivielt, at der også er nogle, der ikke til fulde magter udfordringen. Det kan den enkelte og de miljøer, han/hun er en del af, opleve som problematisk og forsøge at gøre noget ved, men eksistensen af mindre gode matematiklærere er noget, uddannelsessystemet til enhver tid må leve med. Er antallet begrænset, udgør eksistensen af sådanne lærere ikke i sig selv et samfundsmæssigt problem.

Nogle magter ikke udfordringen

Det problematiske består - som vi ser det - i, at det desværre er en ikke forsvindende andel af matematiklærerne på de forskellige niveauer, som ikke i tilfredsstillende grad magter udfordringen, og at der er tegn på, at det et stykke hen ad vejen skyldes mangler i den vifte af kompetencer, som man efter vores mening skal være i besiddelse af for at kunne levere god matematikundervisning. At der så ydermere kan spores en vis systematik - se nedenfor - i typen af kompetencer, som matematiklærerne på de forskellige uddannelsesmæssige niveauer synes at mangle, er på sin vis foruroligende, men giver også begrundet håb om, at der er tale om et problem, som ad politisk og tilrettelæggelsesmæssig vej kan afhjælpes.

Vi vil i et senere afsnit fremsætte nogle konkrete bud på, hvilke initiativer det i den forbindelse vil være ønskeligt at iværksætte. På dette sted vil vi resumere nogle af de betragtninger om den gode matematiklærer, som blev fremsat i kapitlet om matematiklærere, for herigennem at kunne pege på, hvori det systematiske i problemets karakter ligger.

Den gode matematiklærer

Den gode matematiklærer er fagdidaktisk reflekteret

På den teoretiske front skal den gode matematiklærer være fagdidaktisk reflekteret, hvilket vi bruger som samlende betegnelse for det at være i stand til - og se det som en naturlig del af lærerprofessionen - i et fagligt perspektiv at reflektere over de tre klasser af grundlæggende didaktiske spørgsmål og, nok så vigtigt, deres indbyrdes sammenhæng, jf. afsnit 10.1: Hvorfor iværksættes den foreliggende matematikholdige undervisning - hvad er den objektive samfundsmæssige begrundelse, og i hvilken udstrækning kan jeg identificere mig med den? Hvad er det, eleverne gerne skal lære ved at deltage i undervisningen, og hvilke kompetencer skal de udvikle herigennem, lige fra de helt overordnede alment pædagogiske og metafaglige aspekter til de helt konkrete færdigheder? Hvordan kan jeg bedst bidrage til, at eleverne udvikler de ønskede kompetencer, og lærer det de skal - hvad er de optimale "vækstbetingelser" i den foreliggende situation, og hvilke vanskeligheder og forhindringer skal jeg være opmærksom på? Det er værd atter at pointere, at hvis man skal kunne reflektere over spørgsmål som disse på kvalificeret vis, er det hverken tilstrækkeligt at være fagligt eller alment didaktisk reflekteret.

Den gode lærer kan "brænde igennem" til eleverne

Hvad angår den praktiske del af professionen, skal den gode lærer selvfølgelig være i stand til at "brænde igennem", at "nå ud over katederet" til eleverne. Om man er i stand til det, er i første række et spørgsmål om den enkeltes personlige karaktertræk, stil og livserfaring, og kun i anden række om skoling i betydningen "systematisk tillærte kompetencer og pædagogiske teknikker". Der, hvor skoling potentielt spiller en central rolle, er, når det handler om, hvorvidt den enkelte lærer er i stand til at få sin praktiske formåen og sin fagdidaktiske indsigt til at spille konstruktivt sammen og på den måde udgøre en helhed, hvilket vi opfatter som en afgørende del af karakteristikken.¹⁴

Idealtypen på den gode matematiklærer vil vi således karakterisere som en fagdidaktisk reflekteret person, der er i stand til at praktisere på dette grundlag, og som anerkender og konstant er i dialog med sig selv (og andre) om det komplementære forhold mellem den fagdidaktisk reflekterende og den praktiserende side af god undervisning.

Malet med den brede pensel mener vi med dette udgangspunkt at kunne se følgende generelle mønster:

Folkeskolen

Fokus på praksis og metodik: "hvordan?"

I folkeskolen - eller mere generelt på de uddannelser, hvor autorisation som lærer forudsætter en seminarie-uddannelse - kan man ikke tage matematiklærernes nære forhold til matematikkens substans for givet, alene af den grund at ganske mange praktiserende matematiklærere ikke virker på baggrund af en fagligtpædagogisk uddannelse i faget. Til gengæld er de fleste gode praktikere, bl.a. fordi de i almindelighed holder af at undervise og på anden måde opdrage børn og unge. Som hovedregel foregår praktiseringen i et kvalificeret samspil med refleksioner over generelle problemstillinger af hvordan-karakter, der som det mest karakteristiske indebærer en fokusering på tilrettelæggelse af aktiviteter, der danner grundlag for læring i en meget spredt elevgruppe.

Mindre vægt på fagdidaktiske refleksioner

Problemet er, at den store optagethed af og viden om generelle metodemæssige diskussioner og problemstilllinger ofte sker på bekostning af fagdidaktiske refleksioner af begrundelses-, indholds- og læringsmæssig art, bedømt ud fra de diskussioner, der føres. Når begrundelses-, indholds- og læringsmæssige refleksioner ind imellem bringes på banen, er det overordnede fagdidaktiske perspektiv ofte så godt som fraværende: Begrundelsesdiskussionerne foregår på et alment pædagogisk grundlag med henvisning til undervisningens generelle opdragelsesmæssige aspekter, refleksioner over undervisningens indhold foregår fragmenteret og forbliver ved den meget praksisnære overvejelse om, hvad der i forhold til enkeltstående begreber og færdigheder kan lade sig gøre, mens læringsdiskussioner forbliver på et generelt niveau, som alle i lærergruppen uanset faglig baggrund kan deltage i på lige fod.

De gymnasiale uddannelser og de højere læreanstalter

Fokus på det faglige, især på "hvad?"

På de gymnasiale uddannelser og de højere læreanstalter - eller mere generelt på de uddannelser, hvor autorisation som lærer forudsætter en kandidatuddannelse - kan man ikke tage matematiklærernes kærlighed til selve det at undervise i matematik for givet. Heraf følger ikke, at der ikke er mange gode praktikere blandt dem, blot at udgangspunktet for mange er en fascination af, og interesse for, faget matematik, snarere end for det didaktiske problemfelt. For andre er matematik et sekundært fag i forhold til deres hovedfag, som måske ikke har den mindste forbindelse til matematik eller naturvidenskab. Nogle lærere har valgt at studere matematik som et karrierefremmende middel, snarere end som et fag med egne attraktioner. I begge tilfælde bliver perspektivet på arbejdet som matematiklærer domineret af indholdsmæssige refleksioner ("hvad-problemer"), primært med fokus på internt faglige problemstillinger, som de fleste lærere på disse uddannelsestrin føler at kunne forholde sig til på et godt grundlag. Lærerens undervisning og faglige overblik står som det centrale omdrejningspunkt.

Mindre interesse for bredere perspektiver på faget

I forhold til karakteristikken af den gode matematiklærer er problemet på gymnasieområdet, at de internt faglige indholdsmæssige problemstillinger, som .ittigt vendes og drejes (debatten i lærerforeningsudgivelsen LMFK-bladet er en god indikator), kommer til at fylde så meget, at det skygger for en diskussion med flere nuancer. Interessen i for alvor at inddrage begrundelses- og implementationsmæssige refleksioner kan - hvad enten det drejer sig om problemstillinger med udgangspunkt heri eller om at anlægge et lidt bredere metafagligt perspektiv på indholdsmæssige problemstillinger - ofte ligge på et lille sted, hvilket kan tænkes langt hen ad vejen at hænge sammen med, at de matematiklærere, vi her taler om, føler sig mindre kompetente på disse områder i sammenligning med deres, i mange tilfælde, solide internt faglige kundskaber.

Sammenfatning

"Metodefetichering" vs. "fagfetichering"

Sammenfattende, om end uden tvivl forenklende, synes der således at være to forskellige - og til dels modsatrettede - problemer i forhold til kvalifikationsmønsteret blandt matematiklærerne på de forskellige typer uddannelser: Et metodefeticheringsproblem, som, sat på spidsen, består i at opmærksomhed på elevernes mulighed for læring gennem aktivitet ophøjes til det, som alle andre problemstillinger roterer omkring, og et tilsvarende fagfeticheringsproblem, som består i at tilskrive lærerens opmærksomhed på videnskabsfaget matematik denne status. De to vidt forskellige matematiklærerkulturer, som følger af, at de to problemer eksisterer samtidig forskellige steder i det danske uddannelsessystem, rummer nok en ikke uvæsentlig del af forklaringen på mange af de øvrige implementationsproblemer, som omtales nedenfor.

10.3.2 Sammenhængs-, overgangs- og progressionsproblemer

Sammenhængs-, overgangsog progressionsproblemer udgør et kompleks

Blandt de problemer og udfordringer, som har ført til oprettelsen af KOM-projektet og nedsættelsen af arbejdsgruppen, er der flere, som er indbyrdes forbundne i en grad, som nærmest får dem til at udgøre et kompleks. For nemheds skyld kalder vi  dem alle problemer, selv om de oftest tager form af udfordringer. Den ene type angår sammenhæng i den matematikundervisning og -tilegnelse, som finder sted i de forskellige lag i uddannelsessystemet. Den anden type problemer angår overgangen mellem uddannelsesformer og -niveauer, fx fra folkeskole til gymnasium, eller fra gymnasium til videregående uddannelse. Den tredje og sidste type problemer angår progressionen i matematiktilegnelsen - herunder vækst af viden, kundskaber og færdigheder - op igennem uddannelsessystemet, både på langs ad uddannelsesniveauerne og inden for det enkelte niveau.

Sammenhængsproblemer

Forskellige opfattelser af faget på forskellige trin

Det er en ofte gjort observation, at forskellige uddannelsesformer og institutionstyper opretholder forskellige opfattelser af, hvad faget matematik er og går ud på, af hvad matematikundskaber består i, og hvordan de erhverves, og af hvordan matematikundervisningen derfor bør bedrives. Hårdt optrukket ser vi følgende generelle mønster: I folkeskolen og på seminarierne lægges ofte stor vægt på begrebsopbygning og forståelse gennem udforskende og afsøgende elevaktiviteter inden for uformelle disciplinrammer og mindre på fx indøvelse af færdigheder og - for folkeskolens vedkommende - formel symbolbehandling. I det almene gymnasium lægges ofte vægt på begrebsopbygning og forståelse gennem opgaveregning med tyngdepunkt i netop symbolbehandling, og i erhvervsgymnasierne betones navnlig anvendelsen af begreber og metoder i andre fag- og praksisområder. I universiteternes matematikundervisning (også i hjælpefagsundervisning) fokuseres derimod ofte på stringent teoriopbygning og matematisk bevisførelse.

Fravær af en fælles opgave

Manglende sammenhæng

Problemet heri er ikke så meget selve forskelligheden i de forskellige uddannelsesformers betoninger af, hvad der er det væsentlige i matematik, som jo kan være velbegrundede nok (de har jo ikke identiske opgaver eller vilkår), men at disse forskelle af lærere og elever kan opfattes som næsten modsatrettede. Det opleves af mange aktører sådan, at uddannelsesniveauerne ikke er fælles om den opgave at lære eleverne matematik, men håndhæver så forskellige opfattelser og traditioner på feltet, at man i stedet for at bidrage til at løse den samme opgave fra forskellige sider og synsvinkler næsten kommer til at spænde ben for hinandens virksomhed. For mange elever opleves det som om, de på et nyt uddannelsestrin pludselig skal til at foretage sig noget helt andet end det, der var på dagsordenen tidligere, og at det, der før var uvigtigt, nu pludselig er blevet vigtigt, og omvendt. Det er imidlertid væsentligt at holde sig for øje, at sammenhængsproblemet ikke i sig selv er et overgangsproblem (se nedenfor), selv om det måske nok i særlig grad kommer til syne ved overgangen fra en uddannelsesform til en anden, men først og fremmest er et spørgsmål om forskelle mellem disse former.

Fare for "dem-og-os" syndromer

Undertiden er holdnings-, traditions- og kulturforskellene mellem uddannelsesniveauerne så store, at der opstår gensidig mangel på respekt for de andres arbejde og institutioner. Problemer på et trin henføres gerne til at være det umiddelbart foregående (eller efterfølgende) trins "skyld", idet man der lægger vægt og bruger kræfter på "det forkerte", har for svage forudsætninger osv., sådan at man fx ikke "leverer en ordentlig vare", respektive har helt urealistiske forventninger. Når sådanne "dem-og-os" syndromer skabes og udvikles, ledsages de ofte af manglende lyst og vilje til at orientere sig ordentligt om betingelser og realiteter i de andres verden, og i stedet for indsigtsbaserede billeder og beskrivelser af denne verden udvikles karikaturer og vrængbilleder, som bidrager til at forøge afstanden mellem miljøerne.

Komp. kan bygge bro

I sagens natur er det vanskeligt at få overblik over, i hvilken grad der faktisk hersker forhold som skitseret overfor. At der er noget om snakken, er imidlertid uomtvisteligt. Og i det omfang det er tilfældet, er det klart, at et resultat let kan blive forvirring og manglende sammenhæng og konsistens i den enkelte elevs matematikopfattelse, og sandsynligvis dermed også i deres matematikkundskaber. Fra KOM-projektets perspektiv vil det at benytte fælles sæt af matematiske kompetencer, som de her foreslåede, som et hovedmiddel i beskrivelsen og tilrettelæggelsen Komp. kan bygge bro af undervisningen på alle trin, være et første - stort - skridt på vejen til at gøre noget ved sammenhængsproblemet.

Overgangsproblemer

Denne type problemer vedrører de vanskeligheder i form af faglig diskontinuitet, faglige tilpasnings- og tilrettelæggelsesproblemer, og dermed forbundet elev- og lærerusikkerhed, som opstår i forbindelse med elevers overgang fra et uddannelsesniveau til det næste. Det fører videre til spild af mentale og økonomiske ressourcer, og til svækkelse af elevers motivation og interesse for at beskæftige sig med matematikholdige gøremål, samt til tab af tempo og progression i matematiktilegnelsen.

Årsager til problemerne

Årsagerne til overgangsproblemerne ligger dels i selve det, at skiftet fra en institutionsform til en anden, som har andre opgaver, perspektiver og vilkår, i alle fald vil afstedkomme friktion, ikke mindst da elevernes personlige modning samtidig kommer i spil over længere tidsstræk. Men de ligger også i de holdnings-, kulturog traditionsforskelle uddannelsesniveauerne imellem, som omtaltes ovenfor, både i henseende til uddannelsesniveauerne i almindelighed og i henseende til matematikspecifikke forhold i særdeleshed.

Progressionsproblemer

Utilstrækkelig progression

Denne type problemer går ud på, at en række forskellige aktører, iagttagere og aftagere i tilknytning til dansk matematikundervisning finder, at der sker en for ringe progression i væksten, udviklingen og konsolideringen af den enkelte elevs matematikkundskaber i løbet af hans/hendes vej op igennem uddannelsessystemet. Der tales om, at der både i matematikundervisningen inden for den enkelte uddannelsesform (det kunne fx være folkeskolen eller HF) og på langs ad disse, finder en utilstrækkelig faglig progression sted, dvs. at tingene i for høj grad udspiller sig på det samme niveau, uden at der for alvor vindes nyt land.

En del af problemet hidrører fra de før omtalte forskelle mellem uddannelsesformerne, men en anden del vedrører tilstandene inden for en given uddannelsesform. I det omfang der måtte ske for ringe progression inden for en given uddannelsesform, kunne årsagerne bl.a. tænkes at ligge i utilstrækkelig opmærksomhed over for behovet for progression, eller i de vilkår og redskaber som er til rådighed for at fremme den.

Komp.betragtninger kan være en hjælp

Progressionsproblemerne er tidligere omtalt i denne rapport. Også her finder vi, at en fokusering på udviklingen af elevernes matematiske kompetencer henover skellene mellem de forskellige uddannelsestrin vil kunne bidrage til at afhjælpe de progressionsproblemer, som ikke først og fremmest skabes af almene uddannelsessociologiske omstændigheder.

10.3.3 Problemer med spredning henover det samme niveau

Spredning i elevernes mat.ske "bagage"

En problemkreds som er forbundet med, men ikke sammenfaldende med, den ovenfor behandlede, ses ofte fremdraget både fra centralt politisk/administrativt hold, og fra aftagere af elever eller kandidater fra et givet trin af uddannelsessystemet. Det er spredningen i, hvad de pågældende har med sig fra den matematikundervisning, de har modtaget. Det, der tænkes på, er bl.a., at gruppen af elever, der forlader et givet uddannelsesafsnit - fx folkeskolens 9. klasse med afgangsprøve i matematik, nyudklækkede studenter med A-niveau fra gymnasiet, nyuddannede folkeskolelærere eller universitetskandidater i matematik - med stor sandsynlighed har været udsat for en mangfoldighed af forskellig slags matematikundervisning inden for det uddannelsesniveau, der er tale om. Det resulterer i store variationer i de matematiske erfaringer, kompetencer og færdigheder dimittenderne har med sig fra et givet trin, på trods af at der principielt og angiveligt er tale om det samme "faglige niveau" henover det pågældende trin. Det gælder ikke mindst på ungdomsuddannelsesområdet, hvor et tilsigtet fagligt niveau ligefrem udstyres med en klassifikation (A-, B- eller C-niveau) på tværs af de forskellige ungdomsuddannelser, skønt det er almindeligt erkendt, at fx et B-niveau dækker over et meget stort felt af forskellige baggrunde, alt efter om det hidrører fra et HF-tilvalgsfag, fra det almene gymnasiums matematiske linje eller fra HHX og HTX.

Når disse variationer henover det samme niveau af nogle opleves som problematisk, er det hovedsagelig af to - ret forskellige - grunde.

Deklarationsproblemet

Spredning fører til et deklarationsproblem

For det første er der tale om et "varedeklarationsproblem", lad os kalde det deklarationsproblemet, som fortrinsvis opleves af aftagerne af de forskellige dimittendgrupper. Problemet kunne overfladisk betragtet ligne et overgangsproblem, men er det egentlig ikke. Det er nemlig ikke selve overgangen, der er problemet (selv om det, i lighed med hvad tilfældet var med sammenhængsproblemet, kommer særligt til udtryk ved overgangen mellem uddannelsestrin), men netop den variation der findes inden for en given deklaration.

Ungdomsuddannelserne ved fx ikke nøjagtigt, hvad de kan forvente af eleverne fra folkeskolen, hvad angår matematisk indsigt og kunnen. Tilsvarende ved de videregående uddannelser ikke nøjagtigt, hvilken matematisk indsigt og kunnen de kan forvente af studenterne efter en gennemført gymnasial uddannelse, og det samme gælder arbejdsgivere som modtager dimittender fra ungdomsuddannelserne. Ansættelsesinstanserne for folkeskolelærere oplever ofte et lignende problem, der dog ikke så meget angår detaljerne i en ansøgers matematiske indsigt og kunnen som eksistensen af den. De instanser, der ansætter lærere til det gymnasiale trin, hæfter sig sædvanligvis også mest ved tilstedeværelsen eller fraværet af større matematiske elementer på emne- eller disciplinniveau, hvor fokus først og fremmest er på, om en ansøger nu også har været udsat for det, der skal til for at opnå formel undervisningsautorisation eller ej. Andre kategorier af arbejdsgivere synes i mindre grad at have problemer med varedeklarationen, så længe der "foreligger en vare". I det omfang der overhovedet er sådanne problemer, består de typisk i usikkerhed om, hvilken slags arbejde folk kan sættes til.

Problem for tilrettelæggelse af uv.

Deklarationsproblemet ser først og fremmest ud til at være et problem ved tilrettelæggelse af undervisning, der hviler på forudgående uddannelsestrin. Hvis der er stor variation i de matematiske forudsætninger hos dem, som skal udsættes for matematikbaseret eller -forbrugende undervisning, kan der opstå problemer med overhovedet at detektere disse forudsætninger, eller problemer med at justere eller måske helt ændre de oprindelige planer for undervisningen. Begge dele kan være tidskrævende og besværligt for aftagerne, som enten må investere arbejde i detektion af forudsætninger og revision af planer, eller løber en risiko for at ramme ved siden af i deres henvendelse til modtagerne af undervisningen.

Spredning kan ikke undgås

Deklarationsproblemet er vanskeligt at komme til livs, fordi der inden for enhver population vil være spredning, som ikke kan indfanges af en summarisk beskrivelse. Også inden for fx tidligere tiders klassiske elitestudentereksamen for ganske få procent af befolkningen, eller inden for en klassisk eliteuniversitetsuddannelse i matematik for brøkdele af en promille af befolkningen, kunne man træffe på ganske store variationer. Men det giver naturligvis sig selv, at deklarationsproblemet vokser med størrelsen af populationen og med spredningen inden for den.

Målgruppeniveauproblemet

Indholdsmæssige konsekvenser af spredningsproblemet for målgruppernes udbytte

Hvor deklarationsproblemet fokuserer på det tidsforbrug og besvær, som kan opstå af stor spredning i dimittendernes indsigt og kunnen, fokuserer det andet problem, målgruppeniveauproblemet, på indholdsmæssige konsekvenser af denne spredning. Dette problem, som hovedsagelig, men ikke udelukkende opleves i undervisningsinstitutionerne, består i, at hvis en given undervisning skal meddeles til en meget heterogen modtagerkreds, er det vanskeligt at tilrettelægge den på en sådan måde, at alle får et rimeligt udbytte af den (med mindre der da afsættes yderligere ressourcer til i realiteten at betjene forskellige delgrupper forskelligt - jf. nedenstående afsnit om undervisningsdifferentiering - hvilket giver anledningen til nye problemer), for slet ikke at tale om at alle når samme "niveau" (hvis vi et øjeblik antager, at indholdet i dette begreb er klart). Hvis undervisningen, som det typisk ses, så indrettes til at henvende sig til eller under "den gennemsnitlige deltager", kan det opleves, at der sker en sænkning af det oprindeligt tilsigtede niveau. Sigtes omvendt på elever med den mest righoldige indsigt og kunnen, er der fare for, at undervisningen går hen over hovedet på flertallet, med de formelle eller reelle konsekvenser som måtte følge heraf, konsekvenser som både vi og mange andre betragter som menneskeligt, politisk og økonomisk uacceptable.

Problemets baggrund

Målgruppeniveauproblemet kommer af flere forskellige årsager, hvoraf hovedparten har almen uddannelsespolitisk karakter. En sådan årsag er knyttet til det forhold, at de forskellige dele af uddannelsessystemet frekventeres af en betydelig andel af de årgange de henvender sig til. En anden sådan årsag har at gøre med, at vi i Danmark har ønsket at undgå en meget finmasket opdeling og sortering af eleverne i folkeskolen og ungdomsuddannelserne i en mangfoldighed af linjer, grene, specialiseringer og niveauer, i hvert fald når det gælder et fag som matematik. At årsagerne til målgruppeproblemet har almen karakter betyder imidlertid ikke nødvendigvis, at det er helt uden for rækkevidde af fornuftige tiltag.

10.3.4 Problemer med undervisningsdifferentiering

Uv.differentiering som middel til at tackle heterogenitet

I de senere år har man i dansk matematikundervisning, især i grundskolen, fokuseret på undervisningsdifferentiering inden for den enkelte klasse. Det er til dels tænkt som et svar på nogle af de heterogenitetsproblemer, som følger af, at elever med stor spredning i baggrund, forudsætninger og interesse går i den samme klasse, hvilket på sin side er en følge af den føromtalte modstand mod vidtgående deling af eleverne i det danske skolesystem. Undervisningsdifferentiering sigter mod at indrette og tilpasse undervisningen i den enkelte klasse, så der netop tages særligt hensyn til den enkelte elevs baggrund, forudsætninger, interesser og formodede behov.

Hvad betyder uv.differentiering?

Der er forskellige problemstillinger knyttet til differentieringsspørgsmålet. Den første har at gøre med, hvad begrebet undervisningsdifferentiering overhovedet indebærer. Det andet angår forholdet mellem idealer og realiteter, dvs. mellem forskellige syn på og holdninger til differentiering på den ene side, og virkeligheden i institutioner og klasseværelser på den anden side.

Begrebsafklaring

Karakteristika ved ikkedifferentieret uv.

Ser vi et øjeblik på sædvanlig, ikke-differentieret undervisning er der tale om, at alle elever i en klasse modtager den samme opmærksomhed fra læreren, både kvantitativt og kvalitativt set. Det vil sige, at læreren fordeler sin tid ligeligt mellem eleverne og udsætter dem for ca. de samme undervisningsaktiviteter, hvad enten det sker i form af klasseundervisning eller på anden måde. På den vis tages der ikke specielle hensyn til den enkelte elevs situation. Der kan dog godt foregå en begrænset individualisering af forholdet til den enkelte elev, fx ved at skriftlige opgaver eller gruppearbejder kommenteres individuelt, eller ved at der gives individuel tilbagemelding om standpunkt, udvikling osv. Men det, der er programsat i undervisningen, henvender sig til alle elever i lige grad, både hvad angår art og omfang.

Ensartet behandling fører til differentierede resultater

Mangfoldige vidnesbyrd slår fast, at med en sådan ikke-individualiseret undervisning bliver elevernes udbytte i almindelighed helt forskelligt, selv om man har tilstræbt at give dem den samme behandling. Nogle elever i en klasse kan få et betydeligt udbytte af undervisningen, mens dette for andre bliver langt mere beskedent. Det er med andre ord en kendt sag, at ensartet behandling næsten sikkert fører til meget varierende resultater, altså til resultatdifferentiering.

Kvantitativ og kvalitativ uv.differentiering

Alternativet er differentieret undervisning, også kaldet undervisningsdifferentiering, hvor de forskellige elever i en klasse modtager forskellig undervisning. Forskellen kan enten være af kvantitativ art, hvor den mængde læreropmærksomhed, som bliver de enkelte elever til del, kan variere betragteligt, eller af kvalitativ art, hvor de aktiviteter, som tilbydes de enkelte elever, varierer i form eller indhold. Naturligvis kan der også være tale om en kombination af kvantitativ og kvalitativ variation. Undervisningsdifferentiering, som her defineret, er tilsigtet og sættes i værk på baggrund af lærerens bedømmelse af den enkelte elevs situation, kapacitet og behov med henblik på at støtte hans eller hendes matematiktilegnelse. Vi taler altså ikke her om eventuelle utilsigtede forskelle.

Hensigten med undervisningsdifferentiering

Forskellige hensigter med uv.differentiering

Mål: Samme udbytte

Der kan være helt forskellige hensigter med undervisningsdifferentiering. Det kan fx være hensigten, at alle elever i klassen søges bragt frem til stort set de samme mål og resultater, men at det erkendes, at de for at opnå det har brug for meget forskelligartet støtte. Nogle elever kan på grundlag af ret begrænset hjælp fra læreren opnå det tilsigtede udbytte, mens andre nok kan opnå dette, men kun under anvendelse af en mere omfattende indsats målrettet til netop dem. Vi kunne kalde denne form af undervisningsdifferentiering differentiering med henblik på at bibringe eleverne det samme udbytte. Selv om det er hensigten at bringe eleverne "det samme sted hen" ved hjælp af undervisningsdifferentiering, er dette ikke så let at opnå i praksis. Hvis det mislykkes, får eleverne altså på trods af hensigten et ganske forskelligt udbytte af undervisningen.

Mål: Tilgodese elevernes forskellige behov og potentialer

Det kan også være hensigten at differentiere undervisningsindsatsen ud fra forestillinger om, at den enkelte elev har en bestemt stabil kerne af egne iboende behov eller muligheder, som har brug for forskellige grader af lærerindsats for at blive støttet eller komme til udfoldelse. For eksempel kunne det tænkes at såvel elever med store matematiktilegnelsesvanskeligheder som elever med særlig interesse og kapacitet for matematik havde brug for ekstra læreropmærksomhed. Det ligger i denne tankegang, at nogle elever har en på forhånd givet lyst, behov og kapacitet til at nå langt i beskæftigelsen med matematik, mens andre ikke har muligheder for at nå ret langt. Med denne hensigt er det en nærliggende konsekvens, at eleverne får meget varierende udbytte af matematikundervisningen, også selv om det ikke primært er hensigten at skabe denne variation. Vi kunne kalde denne form for undervisningsdifferentiering differentiering med henblik på at realisere den enkelte elevs potentiale.

Problemer mht. undervisningsdifferentiering

Arbejdsgruppen går ind for uv.differentiering

Hvilke problemer er der nu med undervisningsdifferentiering? Lad os som udgangspunkt slå fast, at arbejdsgruppen er tilhænger af undervisningsdifferentiering  i matematikundervisningen. Elevernes situation er så forskellig, at udifferentieret undervisning fører til uønsket store forskelle i udbytte. Problemet er altså ikke af principiel, men af konkret karakter.

Utilstrækkelige ressourcer til differentiering

For det første er det et problem, hvis det er ønsket eller besluttet at gennemføre undervisningsdifferentiering, samtidig med at de lærerressourcer, der stilles til rådighed, reelt ikke tillader en sådan. Det ser fx ud til at være situationen mange steder i folkeskolen. Denne situation kommer let til at betyde, at undervisningsdifferentieringen enten helt udebliver, eller at den søges gennemført alligevel, med den konsekvens at nogle elevgrupper bliver ladt i stikken med en ringe grad af læreropmærksomhed. Begge dele fører til resultatdifferentiering, hvad enten det er tilsigtet eller ej. Dette problem bliver særlig tydeligt i klasser med stor spredning mellem eleverne.

Faren for fejlbedømmelse af den enkelte elevs behov og muligheder

Et andet, og lidt mere grundliggende, problem opstår, hvis undervisningsdifferentiering med henblik på at realisere den enkelte elevs potentiale finder sted på grundlag af en fejlbedømmelse af elevernes adfærd, muligheder og behov. Det stiller betydelige krav til læreren at trænge til bunds i en elevs virkelige potentialer, ikke mindst fordi disse næppe er statiske, men er underkastet udvikling. Ved at låse nogle elever fast i bestemte roller og behandle dem derefter, kan matematikundervisningen ende med at give dem stene for brød. Man kan her spørge, om ikke dansk matematikundervisning i for høj grad affinder sig med unødvendigt store forskelle i elevernes udbytte og fortolker dem som forskelle i elevernes kapacitet. Derved kan en sådan undervisningsdifferentiering forstærke i forvejen eksisterende forskelle i elevernes sociale, økonomiske og uddannelsesmæssige miljø i stedet for at bidrage til at udjævne dem. På den anden side er det naturligvis tilsvarende et problem, hvis undervisningsdifferentiering, iværksat med henblik på at bibringe eleverne det samme udbytte, kommer til kort over for opgaven, fordi spredningen er for stor eller vilkårene for vanskelige.

Syn på uv.differentiering afspejler almene holdninger

En stillingtagen til disse problemers betydning er nært forbundet med såvel menneskesyn som almene politiske og samfundsmæssige holdninger. Et lighedsorienteret standpunkt vil finde udtalt resultatdifferentiering meget problematisk, hvad enten den er tilstræbt eller ej. Et ulighedsorienteret standpunkt vil ikke i sig selv se problemer i resultatdifferentiering, når blot undervisningsdifferentieringen afspejler, hvad der anses for de reelle forskelle i elevers situation og kapacitet.

At rede de mange tråde i denne problemstilling ud gennem undersøgelser af alle de nævnte problemers eksistens og omfang, ville kræve selvstændige forskningsprojekter. Det falder uden for rammerne af dette projekt.

10.3.5 Evalueringsproblemer

Evaluering virker tilbage på uv. og læring

I al matematikundervisning er evalueringsspørgsmål af central betydning, hvad enten man tænker på forskellige former for afsluttende evaluering, herunder prøver og eksamener, eller på løbende evaluering knyttet til selve undervisningen. Der er overvældende forskningsmæssig evidens for, at uanset hvilke evalueringsformer der benyttes, udøver evalueringen en væsentlig tilbagevirkende indflydelse på undervisnings- og læreprocesser.¹⁵ Kort og sloganagtigt bliver det nogle gange formuleret som "det, man evaluerer, er det, man opnår" (og også det, man får øje på).

Det, der ikke evalueres, overses

Evalueringens tilbagevirkning på undervisnings- og læreprocesserne er ikke i sig selv et problem. Tværtimod kan koblingen betragtes som et potentielt nyttigt instrument i forbindelse med undervisningstilrettelæggelse og -afvikling. At have et så kraftfuldt instrument til sin rådighed kræver imidlertid, at man er meget opmærksom på, hvordan det bruges: Kompetencer, viden og færdigheder, som ikke gøres til genstand for evaluering - i et system hvori evaluering overhovedet findes - bliver let usynlige, hvis ikke de simpelthen visner væk. Med andre ord, de kompetencer, man ønsker, at eleverne udvikler, må ikke alene sættes udtrykkeligt på dagsordenen i undervisningen, de må også sættes på dagsordenen for evalueringen. Evalueringsformerne leverer et meget mere effektivt instrument for den reelle udpegning af, hvad der på et givet matematikundervisningstrin anses for henholdsvis vigtigt og uvigtigt, end alverdens formålsformuleringer, lærebogsformaninger, lærerforedrag osv.

På den baggrund kan man pege på to varianter af evalueringsproblemet, som har særlig betydning for dansk matematikundervisning.

Disharmoniproblemet

Disharmoni mellem evalueringsformer og det man ønsker at fremme og måle

Den første variant, som man i mangel af et bedre ord kunne kalde disharmoniproblemet, består i, at mange af de evalueringsformer, der traditionelt benyttes i dansk matematikundervisning, kun i begrænset grad tillader evaluering af de matematiske kundskaber, man egentlig ønsker at fremme i matematikundervisningen. I nogle tilfælde er der tale om, at de nærmest modvirker efterstræbelsen af disse kundskaber. Det er ikke mindst tilfældet med de gængse eksamensformer, som fx - alene på grund af tidsrammerne - ikke giver rum for seriøst arbejde med matematisk modelbygning eller med mere dybtgående problemløsning.

Disharmoni mellem evalueringsformer og undervisning

I det omfang den faktiske daglige undervisning søger at opbygge erfaringer, indsigt, viden, kundskaber og færdigheder, som ikke kan tages ordentligt i betragtning af de benyttede evalueringsformer, findes disharmonien ikke blot mellem disse former og de kundskaber, som dybest set efterspørges, men også mellem evalueringsformerne og selve den undervisning som bedrives. Men eftersom evaluering som nævnt oftere udøver en stærk tilbagevirkning på undervisningen end omvendt, giver disharmoniproblemet anledning til forvridning af både matematikundervisning og -læring i forhold til det, som egentlig tilsigtes.

Selv om der i de senere år i Danmark er foregået en del udviklingsarbejde på evalueringsfronten samtidig med en opblødning af de traditionelle rammer for evaluering, er disharmoniproblemet stadig ganske manifest, ikke mindst i forhold til sanktionsgivende prøver og eksamener. Der er altså fortsat behov for tiltag på forskellige fronter, som kan bidrage til at mindske disharmoniproblemet.

Fortolkningsproblemet

Problemer med at tolke evalueringsresultater på gyldig og dækkende måde

Fare for vildledende konklusioner

Den anden variant er fortolkningsproblemet. Det består i, at hvad enten de benyttede evalueringsformer nu egner sig til at evaluere det vigtige eller ej, er der ofte problemer med at sikre sig, at det, de faktisk sigter mod at evaluere, bliver evalueret pålideligt og dækkende. Det er svært at skaffe sikkerhed for, at de fortolkninger og konklusioner, som ved hjælp af et givet evalueringsinstrument opnås om elevers matematiktilegnelse og -beherskelse, faktisk er holdbare for en nærmere og mere dybtgående efterprøvning. Her er der mange forskningsresultater som viser¹⁶, at man ofte kan nå til vildledende konklusioner med evalueringsformer som ikke muliggør kontrol- og opfølgningsspørgsmål på givne svar, sådan som det fx er tilfældet med mange former for skriftlige opgaver, ikke mindst af "stykkeregningstypen".

En afdækning af det virkelige omfang af dette problem i matematikundervisningens praksis ville kræve et forsknings-, snarere end et udviklingsarbejde. Imidlertid kan der, jf. kapitel 9, være grund til at slå fast, at der findes evalueringsinstrumenter, som tillader en rimelig grad af fortolkningsvaliditet og -pålidelighed, men at disse sædvanligvis er ressource- og tidskrævende både for lærere og elever.

Forklaringer på evalueringsproblemet

Årsager: Ressourcebegrænsninger, inerti og ukendskab

Når de to varianter af evalueringsproblemet ikke sådan er til at blive af med, skyldes det hovedsagelig tre forhold. For det første ressource- og tidsbegrænsninger, herunder vanskelighederne med at afveje hvordan evalueringsaktiviteter skal afbalanceres med sædvanlig undervisning. For det andet almindelig inerti i alle lag af systemet og skepsis over for nye tiltag, ikke mindst på et traditionelt følsomt og konsekvenstungt felt som evaluering, der jo bl.a. spiller en rolle i udstikningen af elevers fremtidige levevej og tilværelse. Og sidst, men ikke mindst, ukendskab til alternative evalueringsformer og deres muligheder, rækkevidde og begrænsninger.

11. Anbefalinger

11.1 Indledning

Ikke et beslutnings- eller implementeringsprojekt

Realisering af anbefalingerne er arbejdskrævende

Det har hele tiden ligget i KOM-projektets vilkår og karakter, at det skulle være afsøgende, udviklende, idéskabende og eksemplificerende. Projektet har hverken skullet være et forskningsprojekt i traditionel forstand eller et beslutnings- og implementationsprojekt. Det indgår således ikke i kommissoriet for arbejdet, eller for den sags skyld i arbejdsgruppens baggrund, at der skal fremsættes fx forslag til bekendtgørelser eller ændringer heri, konkrete læseplaner, og lignende, for de forskellige slags matematikundervisning som findes i landet. Dette følger allerede af, at arbejdsgruppen ikke er blevet udstyret med et mandat, der indebærer overførelse af myndighedsbeføjelser fra andre instanser til arbejdsgruppen. På den måde bliver det op til de forskellige relevante instanser at tage stilling til, om, og i givet fald på hvilken måde, tankerne og de overordnede anbefalinger i denne rapport kan konkretiseres og føres ud i livet. Arbejdet med det må antages at få et ikke forsvindende omfang.

Nedenfor anføres de overordnede anbefalinger, arbejdsgruppen ønsker at fremsætte i den forbindelse. Først bringes en oversigt over anbefalingerne i punktform, struktureret efter adressaterne på anbefalingerne, dvs. de instanser som opfordres til at gøre sig til aktører i forhold til den enkelte anbefaling. Dernæst fremsættes arbejdsgruppens kommentarer til og begrundelser for anbefalingerne.

Ikke et enten-eller spørgsmål

Der kan være grund til at understrege, at anbefalingerne ikke har enten-eller karakter. Det er altså ikke kun en total realisering af dem, der er meningsfuld. Også en partiel realisering kan bidrage til at fremme tanker og intentioner i KOM-projektet. Men naturligvis er rækkevidden heraf nært forbundet med omfanget af realiseringen af anbefalingerne.

11.2 Oversigt over anbefalingerne

*-markerede anbefalinger

Nogle af de nedenstående anbefalinger er markeret med en *. Det er anbefalinger, som arbejdsgruppen tillægger særlig vægt, og som ufortøvet bør sættes i værk. Man må ikke deraf slutte, at de øvrige anbefalinger ikke også har betydning. De skal blot enten ses som til dels a.edte anbefalinger eller som anbefalinger af en mere langsigtet og mangesidet karakter.

11.2.1 Undervisningsministeriet anbefales at

11.2.2 Universiteter og højere læreanstalter anbefales at

11.2.3 Lærerseminarierne/CVUerne anbefales at

11.2.4 Erhvervsuddannelsesskolerne anbefales at

11.2.5 Kommuner og amter og andre lokale skolemyndigheder anbefales at

11.2.6 Matematiklærere og deres organisationer anbefales at

11.2.7 Lærebogsforfattere og forlag anbefales at

11.2.8 Matematikdidaktiske forskere anbefales at

11.3 Kommentarer til og begrundelser for anbefalingerne

11.3.1 Anbefalinger om læse- og kursusplansrevisioner

Det er arbejdsgruppens opfattelse, at tiltag, der fører nogle af KOM-projektets betragtninger ud i livet i form af læseplans- og studieordningsrevisioner, kan give et væsentligt bidrag til højnelse af matematikundervisningens (ambitions)niveau de fleste steder.

Nyorientering og nybeskrivelse

Undgå overdetaljering

Undgå forsimpling

I forbindelse med et sådant arbejde med at nyorientere og nybeskrive formål med og mål for, samt indretning af matematikundervisningen, vil der antagelig mange steder være et behov for nærmere præcisering af elevers eller studerendes besiddelser af de forskellige kompetencer og disses sampil med fagligt stof; sikkert også i større grad end vi har kunnet præstere i denne rapport. Hvis noget sådant sættes i værk, er det essentielt at søge at undvige to farer. For det første kan der være fare for, i et for så vidt forståeligt ønske om med en sådan præcisering at blive så konkret og specifik som mulig, at ende i en alt for omfattende og detaljeret udpinding og selvstændiggørelse af de enkelte træk ved og elementer i de omhandlede matematiske kompetencer. Dette vil føre til en forskertsning af selve den bagvedliggende tankegang, som jo består i at identificere et mindre antal bærende komponenter i besiddelsen af matematisk faglighed. For det andet kunne det måske, for nogle, være fristende at omsætte kompetencerne, der jo hver for sig repræsenterer et flerdimensionalt spektrum af beherskelse, som aldrig kan erhverves "fuldt ud", til udpegning af overskuelige og genkendelige, behavioristisk beskrevne færdigheder i at håndtere et sæt af veldefinerede situationer og hverv. Men det ville føre til en dramatisk reduktion af det ambitionsniveau, der knytter sig til den her foreslåede karakterisering af matematisk faglighed. Det er altså afgørende, at "klare mål" ikke identificeres med "simple" eller "forenklede mål".

Integreret tilgang

Disse overvejelser er baggrunden for anbefalingerne 1.1, 1.2, 1.5, 2.1, 3.1, 4.1 og 5.1. Her anbefales for det første, at de relevante myndigheder, organer, organisationer og institutioner overvejer - fx gennem nedsættelse af arbejdsudvalg - i hvilke henseender, og på hvilken måde, læse- og kursusplanerne i matematik i de respektive uddannelser kan baseres på en beskrivelse af matematiske kompetencer, som præsenteret i denne rapport. Det bør ske under inddragelse af rapportens betragtninger om samspillet mellem kompetencer og fagligt stof og om mulighederne for evaluering af kompetencer. Under forudsætning af at disse overvejelser for et givet uddannelsestrin når frem til, at en sådan beskrivelse er mulig og ønskelig, bør arbejdsudvalgene have til opgave at udarbejde udkast til bekendtgørelse(r) eller tilsvarende regelsæt på det nævnte grundlag. For det andet anbefales det at sikre informationsudveksling, konsistens, og i fornødent omfang samordning, på langs og tværs af matematikundervisningen på de ovenfor nævnte uddannelsestrin. Dette er en følge af, at det har været et hovedformål med KOM-projektet at bidrage til at skabe sammenhæng og progression i matematikundervisningen op igennem uddannelsessystemet, gennem etablering af et fælles begrebs- og beskrivelsesapparat.

Mat.forbrugende fag

Hvad specielt angår de erhvervsmæssige eller videregående uddannelser, som ikke   i sig selv har et matematisk præg, men hvori matematik er et vigtigt hjælpe- eller redskabsfag, vil vi understrege den traditionelle betydning af modelleringskompetence, repræsentationskompetence, symbol- og formalismekompetence, men tillige hjælpemiddelkompetence, hvor fx computeralgebrasystemer, regneark og statistiksoftware bør tillægges vægt. Imidlertid er det i stigende grad væsentligt, at både problembehandlingskompetence og kommunikationskompetence udvikles til gavn for de matematikforbrugende fag. Det diskuteres ofte blandt matematikundervisere og matematikbrugere, hvor megen vægt, der skal lægges på tankegangs- og ræsonnementskompetence.

it

Det er her arbejdsgruppens synspunkt, at jo mere magtfulde it-redskaber, der er til rådighed for den tekniske bearbejdning af matematikholdige problemstillinger, jo væsentligere er det at kunne forholde sig til de spørgsmål, der behandles, og til de svar, der gives, hvilket netop står i centrum for tankegangs- og ræsonnementskompetencerne.

Alle komp. bør tillægges (varierende) vægt

Med hensyn til matematikuddannelserne er det arbejdsgruppens opfattelse, at alle kompetencerne i spektret bør tillægges vægt, også dem, som - nogle steder - traditionelt ikke har været på dagsordenen, såsom modellerings-, kommunikationsog hjælpemiddelkompetencerne. I sammenhænge hvor det kan lade sig gøre, bør modelleringskompetence så vidt muligt udvikles i nært samarbejde med nabofag, som fysik, økonomi, biologi, datalogi osv.

11.3.2 Anbefalinger vedrørende kontakt og samarbejde mellem uddannelsesformer og trin

Brud og overgangsproblemer

Et af de overordnede problemer i dansk matematikundervisning, som blev nærmere omtalt i kapitel 10, er de store brud i kultur, perspektiver, indhold, krav og undervisningspraksis, der sker ved overgangen fra en del af uddannelsessystemet til en anden - fra grundskole til ungdomsuddannelser, fra ungdomsuddannelser til videregående uddannelser - brud som bl.a. skaber overgangsproblemer vedrørende de elever, som går fra den ene del til den anden.

Opblødning nødvendig

Det er en hovedpointe for dette projekt, at nogle af disse problemer kan afhjælpes og mindskes gennem accept og anvendelse af en fælles, overordnet forståelse af matematikundervisningens hensigter og endemål, som den der tilbydes af en kompetencebaseret tilgang. Imidlertid er brudlinjerne mellem delene så rodfæstede, at det ikke er realistisk at vente sig væsentlige fremskridt i opblødningen af dem ved hjælp af et enkelt middel. En mangfoldighed af tiltag på alle niveauer er nødvendige for at opnå dette.

Kontakt- og samarbejdsorganer

Nogle af disse tiltag indgår i anbefalingerne 1.2, 2.7 og 6.5. Her anbefales det at oprette permanente kontakt- og samarbejdsorganer, med den opgave at igangsætte og vedligeholde diskussioner og projekter om overgangsproblemerne i matematik. Det er arbejdsgruppens opfattelse, at kompetencetilgangen vil kunne være til væsentlig hjælp som et fælles grundlag for sådanne diskussioner og projekter. På grund af den indholdsmæssige og geografiske kompleksitet af dele af uddannelsessystemet kan vi ikke foreslå nogen fælles, simpel model for sådanne organer. I nogle forbindelser ville være nærliggende, om den enkelte videregående uddannelsesinstitution tog initiativet til at oprette et sådant organ, i andre bør det være en sag for skolerne og matematiklærerne i et område at udtænke brugbare modeller for kontakten og samarbejdet.

11.3.3 Anbefalinger vedrørende forsøgsundervisning

KOM-projektet har koncentreret sig om selve karakteriseringen af matematikbeherskelse i forhold til forskellige dele af uddannelsessystemet, og dermed om indretningen af rammerne for matematikundervisningen, om de overordnede problemer, matematikundervisningen kan siges at stå over for, samt om matematiklærernes professionelle kompetencer. Dette kan, som ovenfor anbefalet, danne baggrund for nye måder at beskrive kursus- og læseplaner på. Det skaber tillige en række instrumenter som kan anvendes af lærere til at udvikle eller nyorientere deres undervisning, så den for alvor sætter fokus på udvikling af elevers og studerendes matematiske kompetencer. Det er ikke oplagt, at form og indhold af al den matematikundervisning, som aktuelt bedrives i Danmark, egner sig lige godt til dette formål.

Det falder uden for KOM-projektets rammer at give anvisninger på, hvordan undervisningen konkret kan tilrettelægges og gennemføres, så den bidrager til at løse denne opgave, på hvilke elev- og studenteraktiviteter, der kan være formålstjenlige, og på hvordan lærebøger og andre undervisningsmaterialer kan udformes, så de fremmer forehavendet m.m.m.

Ingen enkle, hurtige svar - nødvendigt med forsøg

Det siger sig selv, at disse spørgsmål på mange måder er de vigtigste for realiseringen af KOM-projektets tanker, og at der ikke findes enkle og hurtige svar på dem. Svarene må indvindes gennem forsøgsundervisning både inden for og uden for de gældende formelle rammer for matematikundervisningen.

Vejen for forsøg må banes

Dette er noget af baggrunden for anbefalingerne 1.3, 2.2, 5.2, 5.3, 6.1, 7.1 og til dels 8.1. Her anbefales det på den ene side Undervisningsministeriet, kommuner, amter, samt uddannelsesinstitutioner at sikre juridisk-administrativt, tidsmæssigt og ressourcemæssigt råderum for en mangfoldighed af forsøgsundervisning, sigtende mod at (videre)udvikle veje til at sætte de matematiske kompetencer på dagsordenen for undervisningen, og på den anden side matematiklærere og andre relevante aktører at gå aktivt ind i en sådan forsøgsundervisning. Det vil tillige være ønskeligt, at særligt interesserede og engagerede matematiklærere på alle trin samarbejder med matematikdidaktiske forskere om egentlige forskningsprojekter vedrørende kompetenceorienteret matematikundervisning. Dette er netop indholdet af anbefaling 6.4.

11.3.4 Anbefaling vedrørende lærebøger og andre undervisningsmidler

Behov for nye uv.midler

Det er oplagt, at en kompetenceorienteret matematikundervisning må betjene sig af lærebøger og andre undervisningsmidler, som er i harmoni med forehavendet. Her er det tydeligt, at kun en mindre del af kompetencespektret er repræsenteret, for ikke at tale om betonet, i de .este af de eksisterende bøger og materialer. Dette er hovedbaggrunden for anbefaling 7.1.

11.3.5 Anbefaling vedrørende efter- og videreuddannelse af lærere

Professionel komp.udvikling

Hvis KOM-projektets tanker skal kunne føres ud i livet, må matematiklærerne på alle trin udstyres med kompetencer til at tilrettelægge, organisere og gennemføre undervisning, som tager sigte på at udvikle elevernes og de studerendes matematiske kompetencer. Med henblik på at imødekomme det, uden tvivl omfattende, behov for professionel kompetenceudvikling hos de eksisterende lærere, der følger heraf, er det nødvendigt, at iværksætte et spektrum af efter- og videreuddannelsesaktiviteter på alle uddannelses- og undervisningstrin, hvilket er indholdet i anbefalingerne 1.7, 2.4, 3.3, 5.5 og 6.3.

Efter- og videreuddannelsesvirksomhed kan finde sted på forskellige ambitionsniveauer, rækkende fra kollegiale studiekredse på lokalt niveau, over møder og konferencer, til egentlige kurser samt omfattende lokale, regionale eller nationale udviklingsprojekter. Også her er det afgørende, at der afsættes tid, rum og ressourcer, hvis aktiviteterne skal kunne få tilstrækkeligt omfang og gennemslag.

Komp.udvikling af lærerne vigtigst

Det giver sig selv, at jo mere vidtgående en opkvalificering af landets matematiklærerkorps, man ønsker, jo større en skala bør efter- og videreuddannelsesaktiviteterne finde sted på. I den forbindelse er det arbejdsgruppens opfattelse, at der vil være langt større positive effekter at hente i en substantiel, generel opgradering af matematiklærerne i overensstemmelse med KOM-projektets tanker end ved at afsætte fllre timer til undervisningen, om end en timetalsforøgelse naturligvis vil give matematikundervisningen et øget udfoldelsesrum.

11.3.6 Anbefalinger vedrørende uddannelsen af matematiklærere

Når det gælder kommende matematiklærere, er virkeliggørelsen af KOMprojektets tanker og idéer en mere omfattende og kompleks opgave, der har betydelige uddannelsespolitiske, -strukturelle og -økonomiske implikationer af en almen art.

Sammenvævet med lærerudd. i almindelighed

Imidlertid kan tiltag, der måtte føre til ændringer af matematiklæreruddannelserne, ikke ses isoleret fra overordnede spørgsmål om uddannelsen af lærere i almindelighed. Som det blev diskuteret i nogen detalje i kapitel 10, er der på alle trin forskellige problemer og udfordringer knyttet til danske matematiklæreres virke, og til den baggrund de har for at udøve deres profession.

Forskellighed og mangfoldighed

Det mest påfaldende og dominerede træk ved matematiklærerne på et givet uddannelsestrin er den kolossale forskellighed og mangfoldighed, der karakteriserer dem. Det betyder, at enhver generalisering vil være misvisende i forhold til store delgrupper af lærerne. Ikke desto mindre ser vi for de forskellige grupper nogle gennemgående problematiske træk, som ikke bør tabubelægges og forties, og som kalder på forandringer.

Systemproblemer

Lad det straks være sagt meget klart, at disse problematiske træk ikke skyldes fejl og mangler ved enkeltpersoner, -grupper eller -institutioner. Der er tale om  systemproblemer for det samlede danske uddannelsessystem, hvorfor de bør håndteres som sådanne og ikke som netop tiltag over for enkeltelementer i systemet.

Fokus på komp.

Anbefalingerne 1.5, 2.3, 2.4, 3.1, 3.2, og til dels 2.1 og 5.4 går ud på, at uddannelsen af matematiklærere på alle trin, fra grundskole til universitet, indrettes og tilrettelægges sådan, at de kommende lærere forberedes på at bedrive undervisning, der sigter mod at udstyre modtagerne med de foreslåede matematiske kompetencer. Som det fremgår af del III, indebærer dette selvsagt, at lærerne må uddannes til selv at besidde disse kompetencer.

Da de forandringer af de forskellige uddannelser af lærere, som det kan give anledning til, kan tage mange forskellige former, bør selve udformningen af uddannelserne i hovedsagen overlades til varetagelse af læreruddannelsesinstitutionerne selv, om end initiativet til forandringer kan komme fra politisk-administrativt hold.

Matematiklærere i grundskolen

Kun fagligt-pædagogisk udd. mat.lærere

Specielt med hensyn til uddannelsen af matematiklærere i grundskolen er situationen den, at mange studerende kun har eller opnår meget beskedne faglige, og dermed også fagdidaktiske, forudsætninger for at kunne varetage de opgaver, som professionen indebærer, jf. del III. I den forbindelse har arbejdsgruppen fundet det fornødent at anbefale - i nr. 1.6 og 5.4 - at kun lærere med faglig pædagogisk uddannelse i matematik varetager undervisning i faget. Det er endnu uklart, i hvilken grad de nylige forandringer af seminarielæreruddannelsens struktur kan stille noget op med dette problem, men det må befrygtes, at de i alle fald vil være utilstrækkelige i forhold til behovet.

Om ændringer af forholdene vil kunne indebære mere fundamentale forandringer af læreruddannelsens struktur og organisatoriske placering, må naturligvis undersøges og diskuteres meget grundigt i relevante fora, som selvsagt må indbefatte lærerseminarierne.

Ikke enhedsgørelse

Det skal understreges, at der ikke heri ligger nogen anbefaling om enshedsgørelse af grundskolelæreruddannelsen på tværs af de institutioner, som leverer den. Man kan tænke sig adskillige, hver for sig værdifulde, måder at indrette læreruddannelsen på. Vi håber, at man ikke viger tilbage for sådanne diskussioner, på trods af de vanskeligheder, problemer og ubehageligheder, de utvivlsomt vil afstedkomme.

Matematiklærere i de gymnasiale uddannelser

Med hensyn til matematiklærere i ungdomsuddannelserne er variationsbredden så stor, at vi her skal indskrænke os til at se på de gymnasiale uddannelser. Her er problemet kun i mindre grad lærernes matematikfaglige ballast i traditionel forstand (men i nogle tilfælde måske nok deres matematiske kompetencer, som defineret i denne rapport), og sædvanligvis heller ikke deres undervisningsmæssige kompetence i klassisk betydning; den udvikles jo ofte gennem erfaring og praksis. Hovedproblemet er, at en del matematiklærere i de gymnasiale uddannelser har et for beskedent fagdidaktisk beredskab til, at de kan håndtere alle de udfordringer, som stadige forandringer af rammerne, vilkårene og omstændighederne for undervisningen skaber.

Styrkelse af det fagdidaktiske beredskab

Her er der, som det også anbefales, brug for en synlig styrkelse af det fagdidaktiske beredskab ved uddannelsen af lærere til de gymnasiale uddannelser. En sådan styrkelse kan finde sted på mange forskellige måder inden for eller efter universitetsuddannelsen, så længe det holdes for øje, at den fornødne styrkelse ikke kan blive tilstrækkelig, hvis den udelukkende søges opnået gennem undervisningstræning og -praksis eller gennem beskæftigelse med almene didaktiske og pædagogiske spørgsmål.

Ingen harmonisering

Heller ikke her anbefaler vi harmonisering af vejene til at opnå den ønskede fagdidaktiske styrkelse. Mange forskellige veje kan lede til dette mål.

Matematiklærere ved universiteter og andre videregående uddannelser

Hvad sluttelig angår lærere i matematik ved universiteter og andre videregående uddannelser, er hovedproblemet sædvanligvis heller ikke den matematikfaglige ballast (mens der igen, for nogle læreres vedkommende, kan være problemer med matematikkompetencerne som helhed). Problemerne kan derimod være af både fagpædagogisk og fagdidaktisk art.

Fagdidaktisk og -pædagogisk opgradering

En del videregående matematikundervisning finder sted under former, fx forelæsninger for store hold, hvor mange lærere har begrænset direkte kontakt med de studerende, og deraf følgende begrænsede muligheder for løbende konstruktiv feedback på undervisningen. Men også på de videregående uddannelser sker der forandringer af rammer, vilkår og omstændigheder, som gør, at mange læreres fagdidaktiske og -pædagogiske kompetencer bør styrkes betragteligt. Igen bør disse forløb hverken indskrænkes til at omfatte almene didaktiske og pædagogiske spørgsmål eller til at ske gennem praksisøvelser.

Ingen harmonisering

Som tilfældet var for de øvrige læreruddannelser, vil vi naturligvis heller ikke her anbefale nogen form for harmonisering af tiltagene på tværs af enheder eller institutioner.

11.3.7 Anbefalinger vedrørende evaluering og eksamener

Harmoni mellem mål, arbejdsformer og evaluering

En af de vigtigste faktorer for en succesfuld gennemførelse af ethvert (nyt) tiltag i matematikundervisningen er evaluering, såvel løbende evaluering undervejs i undervisningen som prøver og eksamener. I et system, som i øvrigt betjener sig af organiseret evaluering som et hovedmiddel til at overvåge, regulere og kontrollere undervisningen og dens resultater, vil ingen nye tiltag vinde fodfæste hos lærere og elever, hvis ikke de forhold, de angår, gøres til genstand for evaluering. I den forbindelse er det afgørende, at de evalueringsmidler, man vælger at betjene sig af, afspejler de formål og mål, som forfølges i undervisningen, og at de har en passende grad af overensstemmelse med de aktiviteter og arbejdsformer, der benyttes heri.

I den aktuelle matematikundervisning i Danmark er tilfældet det, at der i alle former for evaluering kun sættes fokus på en begrænset del af de matematiske kompetencer, som er identificeret i denne rapport; og i det omfang dette foregår, sker det temmelig indirekte, uden eksplicit afdækning og artikulation af hvilke kompetencer der er i spil.

Potentialet i gængse evalueringsformer og -instrumenter

Imidlertid må de former og instrumenter, der i Danmark traditionelt er til rådighed for læreren til løbende evaluering undervejs i undervisningen, anses for tilsammen at have potentiale til at tillade evaluering af kompetencerne i et ganske stort omgang. Men for at realisere dette potentiale må evalueringsformerne oginstrumenterne efterses, tilpasses og målrettes med henblik på eksplicit at sigte mod identi. kation og vurdering af elevers og studerendes besiddelse af de enkelte matematiske kompetencer.

Undersøgelse og tilretning

Når det derimod gælder de gængse skriftlige og mundtlige prøve- og eksamensformer og tilhørende instrumenter, som er i brug til evaluering af matematik, har disse kun potentiale til at tillade evaluering af et begrænset udvalg af kompetencerne. Men også her er der brug for undersøgelse, tilpasning og målretning, for at de potentialer, disse former og instrumenter faktisk har, kan komme til udfoldelse til evaluering af kompetencerne. Dette er netop indholdet i anbefalingerne 1.3, 2.5, 3.4 og 6.2.

Behov for nyudvikling

Når det gælder de hyppigst anvendte prøve- og eksamensformer oginstrumenter, er det arbejdsgruppens vurdering, at vigtige dele af kompetencerne ikke kan indfanges på dækkende og velfunderet vis af de gængse former og instrumenter. Med henblik på at ændre denne situation har vi fremsat anbefalingerne 1.4, 2.6, 3.5, og til dels 1.3 og 6.2, til Undervisningsministeriet og samtlige uddannelsesinstitutioner, fra grundskoler til universiteter, om at igangsætte et arbejde med revision og supplering af de anvendte prøve- og eksamensformer oginstrumenter.

Det er her afgørende, at det resulterende evalueringsapparat har den ovenfor omtalte overensstemmelse med undervisningens formål og mål, og med de aktiviteter og arbejdsformer der benyttes i den.

Fokus på større opgaver

De fremtidige evalueringsformer på de videregående uddannelser kan med fordel være domineret af diverse former for større opgaver med efterfølgende samtale, og med et større islæt af mundtlige eksamener end tilfældet er i dag.

11.3.8 Anbefaling vedrørende parthaverne i implementering af KOM-projektets idéer

Medejerskab og entusiasme

Især hos lærerne

Det er flere gange fremhævet i denne rapport, at ingen reformer af matematikundervisningen, heller ikke den her foreslåede, har chance for at blive vellykket - eller for den sags skyld overhovedet at blive til ført ud i livet - hvis ikke de centrale aktører har et rimeligt mål af overbevisning om forehavendets værdi og realisme og føler en passende grad af medejerskab og entusiasme over for det. I forhold til det foreliggende projekt er de centrale aktører matematiklærerne på alle trin samt de planlæggende, administrerede og kontrollerende myndigheder, der har ansvaret for matematikundervisningens rammer og for kontrollen af udbyttet af den.

KOM-projektet og omverdenen

Det er for at opnå det, at projektets leder og sekretær såvel som medlemmer af arbejdsgruppen i løbet af projektperioden har deltaget i et meget betydeligt antal møder, uddannelsesdage, konferencer osv. rundt om i landet for at præsentere og diskutere projektet med praktiserende (og kommende) matematiklærere, samt repræsentanter for uddannelsesmyndighederne på alle trin af uddannelsessystemet, såvel som med en hel del repræsentanter fra andre fagområder. Af samme grund har arbejdsgruppen holdt jævnlige møder med den i indledningen omtalte sparringgruppe, som i tættere form har fulgt projektet med væsentlige kommentarer og forslag. Endelig har projektet været fremlagt og diskuteret af arbejdsgruppens formand ved møder og konferencer i Japan, Sverige, Tyskland og USA, bl.a. med henblik på at teste dets holdbarhed over for international ekspertise.

Fortsat kontakt, dialog og medvirken

Skønt erfaringerne med alle disse kontakter med omverdenen kun kan karakteriseres som særdeles opmuntrende og lovende for projektets videreførelse og implementering, bedømmer vi det ikke desto mindre som afgørende, at der også fremover, i implementationsfasen, holdes udbredt og tæt kontakt og dialog med matematikundervisningens aktører, bl.a. gennem aktiv inddragelse af et stort antal af dem i alle faser af de ovenfor foreslåede arbejds-, udvalgs-, projekt- og uddannelsesaktiviteter. Dette er indholdet i anbefaling 1.8.

Forældrene som alliancepartnere

Blandt de vigtigste parthavere i skolens matematikundervisning er selvsagt eleverne, men også deres forældre. I betragtning af at udviklingen af matematiske kompetencer notorisk er en indsats- og tidskrævende proces for praktisk taget enhver elev, er det afgørende, at skolen på alle niveauer - fra den enkelte lærer over skoleledelse og -bestyrelse til skolemyndighederne - arbejder aktivt for at vinde forståelse hos elever og forældre for denne kendsgerning. Dette er indholdet i anbefaling 5.6.

Naturligvis er det også essentielt, at undervisningen fremstår kyndig, relevant og engagerende for eleverne, men selv den mest inciterende og overbevisende matematikundervisning kan ikke overflødiggøre elevernes eget solide arbejde med faget.

11.3.9 Betragtninger vedrørende de overordnede rammer og strukturer i undervisningssystemet

(Næsten) ingen anbefalinger vedrørende uv.systemets struktur

Det fremgår af det ovenstående, at vi i hovedsagen har afstået fra at fremsætte anbefalinger vedrørende de overordnede rammer og strukturer i undervisningssystemet, skønt disse jo naturligvis har væsentlig indflydelse på mulighederne for at realisere KOM-projektets tanker og idéer. Der er flere grunde til dette valg.

For det første er det næppe realistisk at forestille sig, at et begrænset projekt kan øve indflydelse på vitale uddannelsespolitiske, -strukturelle og -økonomiske anliggender, som rækker langt ud over matematikundervisningen, dennes omfang og udbredelse til trods, og som derfor berører en stor og sammensat skare af interessenter og aktører. Det kunne derfor forekomme futilt, om vi benyttede lejligheden til at fremsætte kommentarer og anbefalinger af meget almen art.

Forbedringer kan realiseres inden for rammerne

For det andet er det magtpåliggende at slå fast, at væsentlige dele af projektets perspektiver og anbefalinger kan føres ud i livet inden for de eksisterende rammer og strukturer. Således er projektet ikke afhængigt af, at der afsættes flere timer til matematikundervisningen i grundskolen. Heller ikke af, at alle de studerende på de videregående uddannelser, som har brug for matematiske kompetencer, udsættes for et øget volumen af formaliseret matematikundervisning, eller at fremtidens læreruddannelser alle foregår i universitetsregie osv. Naturligvis er der, som det fremgår af denne rapport og af anbefalingerne ovenfor, brug for forandringer, også af mere vidtgående karakter. Men disse fordrer næppe grundlæggende omkalfatringer af hele uddannelsessystemet.

Undtagelse: Gymnasiet

På et enkelt punkt vil vi imidlertid bevæge os uden for matematikundervisningens egen horisont og berøre et overordnet strukturelt problem: Det almene gymnasiums indretning. Opbygningen af matematiske kompetencer på dette trin er alt for vigtig til alene at blive overladt til matematikundervisningen. Dette er især essentielt, når det gælder anvendelsen af matematik inden for andre fagområder - hvor modelleringskompetencen står centralt. Her er der både brug for, at matematikundervisningen kan tage problemstillinger op fra andre fag, og at andre fag kan behandle matematikholdige problemstillinger. Dette kræver fagsamarbejde. Imidlertid har systematisk fagsamarbejde ganske dårlige vilkår i det eksisterende valggymnasium, som i praksis stiller sig hindrende i vejen for samarbejdet.

Problemet er ikke udelukkende af betydning internt i gymnasiet. Det spiller også en rolle for studenternes videre skæbne i den matematikforbrugende del af uddannelsessystemet, at deres matematiske kompetencer og disses forbindelser til andre fag er så forskelligartede, som tilfældet er.

"Menugymnasium" frem for "buffetgymnasium"

Her ville det være ønskeligt med en gymnasiereform, som afskaffer valggymnasiet - "buffetgymnasiet", som det er blevet kaldt - til fordel for et gymnasium, som opererer med gennemtænkte, komponerede fagpakker, der vil muliggøre samarbejde mellem fagene - et "menugymnasium". Dette er indholdet i anbefaling 1.9.

Som bekendt kan en sådan reform gøres mere eller mindre vidtgående, rækkende fra en fælles fagpakke for alle, med ingen eller kun få valgmuligheder, over et linjegymnasium med et antal linjer, som hver har en fast fagpakke, til et kombineret linje- og grengymnasium, sådan som man havde det før 1988. Vi skal ikke her fremsætte forslag til, hvilken af disse eller andre udformninger en ny gymnasieordning bør have.

A. Introduktion til del VII

Del II rummede en generel kompetencebeskrivelse

Del II af denne rapport indeholdt en generel fremstilling af kompetencer til beskrivelse af matematisk faglighed. Fremstillingen var ledsaget af et antal eksempler på hver kompetence, hentet fra forskellige uddannelsestrin. Hensigten med disse eksempler var udelukkende at illustrere, hvad der nærmere bestemt tænkes på med de enkelte kompetencer, ikke at foreslå præcis de eksempler gjort til genstand for undervisning på nogen af de trin, de kunne referere til. Del III var viet en særlig omtale af uddannelsen af matematiklærere - på flere uddannelsestrin - i kompetencebelysning.

A.1 Om de udvalgte uddannelsestrin

Her behandles en række udvalgte trin - eksemplarisk

I denne del af rapporten er vi gået et skridt videre, idet vi har forsøgt at behandle de otte matematiske kompetencer og de tre former for overblik og dømmekraft vedrørende matematikken som fagområde på en række udvalgte trin af uddannelsessystemet. Lad det straks være slået fast, at der netop er tale om et udvalg. I princippet kunne vi have ønsket os at gennemføre en behandling af al matematikundervisning i det danske uddannelsessystem under den synsvinkel, der er anlagt i dette projekt. Men det har været en urealistisk stor opgave at gennemføre. I stedet har vi valgt at se nærmere på et mindre antal uddannelsestrin- eller former, under den antagelse og i det håb, at vi derved har kunnet levere tilstrækkelig inspiration til, at lignende behandlinger kunne blive andre trin til del gennem andres indsats.

Dels udsnit af det almene uddannelsessystem

Vi har for det første valgt at behandle grundskolens matematikundervisning (kapitel B). Det kræver næppe særlige argumenter, grundskolens placering og opgaver taget i betragtning. I den forbindelse har vi undladt at give en nærmere omtale af 10. klasse. Når det gælder de gymnasiale uddannelser, har vi fokuseret på det almene gymnasium (kapitel D). Men det er vores opfattelse, at helt parallelle betragtninger kan gøres gældende - mutatis mutandis - for de øvrige gymnasiale uddannelser, HTX, HHX og hf. Vi har også fundet det vigtigt at gå nærmere ind på universitetsuddannelser i og med matematik, men også der har vi måttet begrænse os, ikke mindst fordi spektret af universitetsuddannelser, der betjener sig af matematiske kompetencer, er meget bredt og sammensat. Valget er derfor faldet på en nærmere omtale af universitetsuddannelserne i matematiske fag (kapitel H). Igen er det håbet, at denne rapport rummer tilstrækkelig inspiration til at anskue matematikundervisningen ved fx fysik-, ingeniør-, biologi-, økonomi-, geofags- og psykologistudierne m.m.m. i et analogt lys.

Normativ anvendelse af kompetencerne

Fælles for de nævnte uddannelsestrin og -former (og tillige for uddannelserne til lærer i matematik) er en normativ anvendelse af kompetencebetragtningerne. Det vil sige, at vi har forsøgt at tegne et billede af, hvad det, for os at se, vil være ønskeligt at stræbe efter på de pågældende trin. Det lægger op til forskellige slags forandringer - større eller mindre - for indretningen, tilrettelæggelsen og gennemførelsen af undervisningen på de berørte trin. Karakteren af nogle af disse forandringer kommer til udtryk i de anbefalinger, vi har fremsat i kapitel 11. Andre forandringer - og ikke de mindst vigtige - knytter sig til undervisnings- og evalueringspraksis.

Dels et udvalg af erhvervsorienterede uddannelser

Men vi er ikke standset ved uddannelserne i uddannelsessystemets "almene hovedvej". En ganske betragtelig del af de matematikkompetencer, som efterspørges og udnyttes i samfundet, udøves i forhold til en lang række uddannelser, fra erhvervsuddannelser til korte og mellemlange videregående uddannelser, og i kortuddannede voksnes liv i samfundet og på arbejdspladsen. Vi har derfor udvalgt et mindre antal af sådanne uddannelser for - for det første - at vise, hvordan de pågældende uddannelser faktisk forudsætter og trækker på, eller sigter mod, at bibringe deres elever og studerende matematiske kompetencer, også selv om matematikundervisning ikke altid er formelt programsat i disse uddannelser. For det andet har det været ambitionen at antyde, hvordan man kan have fordel af kompetencebetragtninger, når man indretter og beskriver de pågældende uddannelser. Endelig har det været hensigten og - atter engang - håbet, at andre uddannelser kunne overveje at betjene sig af tilsvarende tankegange i fastlæggelsen og karakteriseringen af de matematiske kompetencer, de opererer med.

Spektrum fra næsten ingen til megen matematik

Valget er først faldet på voksenuddannelserne AVU og FVU på grundskoleniveau (kapitel C), som danner en slags overgang mellem "hovedvejen" i det almene uddannelsessystem og de uddannelser, som i højere grad forbereder til diverse slags erhverv. Dernæst har vi valgt gastronomuddannelsen (kapitel E) som et eksempel på en erhvervsuddannelse uden noget udtrykkeligt indhold af matematik, men i realiteten med et ikke-forsvindende islæt af matematiske kompetencer. I den anden ende af spektret har vi elektrikeruddannelsen (kapitel F), der ikke alene inkluderer åbenbare matematiske elementer, men også rummer undervisning af et eksplicit matematisk indhold. Endelig har vi, som repræsentant for en kortere videregående uddannelse der i flere henseender involverer matematiske kompetencer, valgt datamatikeruddannelsen (kapitel G).

Deskriptiv anvendelse af kompetencerne

Til forskel fra hvad tilfældet er med den førnævnte klasse af uddannelser, hvor vi har anlagt et normativt sysnpunkt, har vi for de netop nævnte uddannelser anlagt et deskriptivt synspunkt. Vi har med andre ord ikke forsøgt at tage stilling til, hvordan disse uddannelser bør indrettes i henseende til matematiske komponenter, men har snarere set det som vores opgave at bringe de matematiske kompetencer, de faktisk rummer og trækker på, frem i lyset.

A.2 Læsevejledning

Kapitlerne her er "parallelle"

Kapitlerne i denne del af rapporten skal betragtes som parallelle i den forstand, at hver af dem kan læses uafhængigt af de andre. Hvad det angår, afviger denne del fra resten af rapporten, hvor der - som det forhåbentlig fremgår - er tale om, at rækkefølgen af kapitler udtrykker en analytisk udvikling. Det er for at markere denne forskel, at kapitlerne her er betegnet med et bogstav, og ikke et nummer, i forlængelse af de øvrige kapitler.

Givende at læse dem alle

At kapitlerne kan læses uafhængigt af de andre, skal ikke forstås som en opfordring til at gøre det. Det er således arbejdsgruppens opfattelse, at personer med særlig interesse for et undervisningstrin vil kunne få dette trin belyst ved at sammenholde det med beskrivelserne på andre trin. Det er jo en af hovedopgaverne for KOM-projektet at bidrage til at skabe sammenhæng på langs og tværs i uddannelsessystemet. Dertil kommer, at der er inspiration at overføre, ikke mindst fra eksemplerne, fra et trin til et andet.

Reference til kapitel 4

Karakteristikkerne

Alle kapitlerne her bør læses i sammenhæng med fremstillingen af matematisk kompetence i kapitel 4, som der på flere måder tages afsæt i og refereres til. Med udgangspunkt i den tilsvarende grundkarakteristik i kapitel 4, er karakteristikkerne i denne afsluttende del af rapporten således et bud på dækningsgraden af hver kompetence på de respektive uddannelser, jf. afsnit 4.4.4 og 9.3. For at tilgodese ønsket om at illustrere kompetencetilgangens potentiale som sammenhængsskabende beskrivelsesværktøj, er de fleste karakteristikafsnit bevidst gentagende mht. formuleringer. De dele af grundkarakteristikkerne, der ikke er skønnet relevante på de respektive uddannelser, er simpelthen udeladt. Eksempelvis er der hverken i forbindelse med gastronom- eller datamatikeruddannelsen nogen omtale af de tre former for overblik og dømmekraft, fordi de ikke vurderes som værende af selvstændig relevans for disse uddannelser.

Kommentarerne

Hvad angår kommentarerne til karakteristikkerne, er den del, som handler om at belyse afgrænsningen af kompetencerne over for hinanden, af pladshensyn udeladt i hele denne sidste del af rapporten, skønt sådanne kommentarer naturligvis fortsat er fuldt relevante. Også her vil vi henvise til de almene kommentarer i kapitel 4.

Eksemplerne valgt med henblik på at forklare og illustrere karakteristikken

I kapitlerne B, C og D illustreres bl.a. progression

Endelig skal det for alle de uddannelser, vi omtaler i denne del af rapporten, understreges, at de anførte eksempler grundlæggende er forsøgt valgt og udformet med tanke på deres illustrationskraft i forhold til de mere abstrakte karakteristikafsnit. Der er altså ikke tale om et forsøg på at foreslå netop de valgte eksempler sat på dagsordenen for undervisningen på de behandlede uddannelser. I kapitlerne B, C og D, hvor flere uddannelsestrin karakteriseres under et, bruges eksemplerne bl.a. til at illustrere progression i kompetencebesiddelsen mht. aktionsradius og teknisk niveau. At vi i de tre nævnte kapitler har tilføjet Eksemplificeringen disse dimensioner, skulle gerne sætte en streg under, at den progression i dækningsgrad, som er indbygget i karakteristikafsnittene, kun udgør en af tre dimensioner i en persons besiddelse af en given kompetence, jf. afsnit 4.4.4.

På grund af den fælles strukturering af kapitlerne i denne del af rapporten, som kommer til udtryk i afsnitsinddelingen, har vi valgt at undlade at komme med marginkommentarer i de efterfølgende kapitler.

B. Grundskolen

B.1 Generelle kommentarer

Grundskolen er et langstrakt og aldersmæssigt tidligt placeret uddannelsesforløb, hvor eleverne, i løbet af de år de er der, gennemgår en personlig udvikling, som ikke kan sidestilles med nogen anden uddannelse. Det vil derfor - uanset hvilke analytiske "briller" man har på - kun på et meget overordnet plan være meningsfuldt at lave en samlet karakteristik af forløbet, hvilket vi for at kunne komme ned under "overfladen" derfor vil undlade. I karakteristikken her kommer de enkelte kompetencer således til udtryk og er afgrænset på en måde, der er tilpasset de alders- og undervisningstrin, grundskolen favner. Det indebærer både, at det ofte kun er visse træk ved den enkelte kompetence, vi vurderer som relevante på de forskellige trin, og at selve formuleringen af kompetencerne tager hensyn til trinnet.

Vi har dog af flere grunde bevidst afstået fra at forsøge at karakterisere, hvordan kompetencerne kan komme til udtryk på det enkelte klassetrin. Dels ville det give et falsk indtryk af homogenitet i elevgruppen på det enkelte klassetrin, dels ville det sende et utilsigtet og forkert signal om, at jo mere fintmasket og detaljeret en karakteristik man kan lave, jo bedre.

I forsøget på at finde en balance mellem en meget overordnet, og derfor meget lidt handlingsorienteret, karakteristik på den ene side, og en urimeligt atomiseret karakteristik på den anden side, har vi valgt at følge traditionen og gennemføre kompetencebeskrivelsen af matematikindervisningen i grundskolen gennem tre udviklingstrin: Begyndertrinnet (1.-3. klassetrin), mellemtrinnet (4.-6. klassetrin) og afsluttende trin (7.-9. klassetrin).

B.1.1 Afgrænsning af karakteristikkerne her i forhold til grundkarakteristikken

I fremstillingerne nedenfor er omdrejningspunktet en fremadrettet karakteristik af, hvad det, hvad dækningsgraden angår, efter vores mening er rimeligt at have som sigtepunkt på hver af de tre trin i forhold til arbejdet med hver af kompetencerne. For at gøre det nemmere at sammenholde karakteristikken af grundskolen med omtalen af kompetencerne i kapitel 4 vil vi her kort sammenfatte, hvordan hver af kompetencerne er afgrænset i forhold til grundkarakteristikken i kapitel 4.

Tankegangskompetencen er for grundskolen som helhed kun dækningsgradsmæssigt afgrænset i forhold til grundkarakteristikken ved ikke at omfatte abstraktion af egenskaber i matematiske begreber. På mellemtrinnet og ned omfatter karakteristikken ikke generalisering af matematiske resultater, ligesom der kun fordres en lejlighedsvis aktiv skelnen mellem destinitioner og sætninger, ikke en mere udbygget og detaljeret forståelse af forskellen mellem forskellige slags udsagn og deres status. På begyndertrinnet omfatter karakteristikken kun passiv skelnen mellem definitioner og sætninger.

Problembehandlingskompetencen er for grundskolen som helhed ikke afgrænset i forhold til grundkarakteristikken, hvad dækningsgrad angår. På mellemtrinnet og ned er der to elementer af grundkarakteristikken, der ikke stresses: Dels det at kunne afgrænse og præcisere matematiske problemer, dels det at kunne løse matematiske problemer på forskellige måder.

Heller ikke modelleringskompetencen er for grundskolen som helhed afgrænset i forhold til grundkarakteristikken, hvad dækningsgrad angår. På mellemtrinnet forventes kun i begrænset omfang evne til at kunne styre den samlede modelleringsproces. På begyndertrinnet optræder hverken afmatematisering af matematiske modeller eller strukturering, kritisk analyse, og ej heller det at have overblik over og kunne styre aktive modelleringsprocesser.

Når det gælder ræsonnementskompetencen indgår det at kunne afdække de bærende idéer i et matematisk bevis ikke i grundskolen. Et par forhold vedrørende forbindelsen mellem ræsonnementer generelt og matematiske beviser som specialtilfælde indgår kun i karakteristikken i form af en forventning om eksemplariske erfaringer. Det er tilfældet med hensyn til det at vide og forstå, hvad et matematisk bevis er, samt det at kunne omforme heuristiske ræsonnementer til egentlige (gyldige) beviser. På mellemtrinnet og ned omfatter karakteristikken ikke det at kunne bedømme et matematisk ræsonnement, kun at kunne følge og forholde sig til et sådant.

Repræsentationskompetencen er i forhold til grundkarakteristikken bevaret i sin fulde form gennem hele grundskolen, bortset fra at kendskab til styrker og svagheder ved forskellige repræsentationsformer ikke eksplicit er på dagsordenen på begyndertrinnet.

Symbol- og formalismekompetencen afgrænses i forhold til grundkarakteristikken dels ved ikke at inkludere en forventning om indsigt i - kun kendskab til - karakteren af og "spillereglerne" for formelle matematiske systemer, dels ved ikke at betone, at omgangen med sådanne systemer typisk handler om at forholde sig til aksiomatiske teorier. På mellemtrinnet og ned optræder fordringen om at beskæftige sig med formelle matematiske systemer slet ikke i karakteristikken. På begyndertrinnet er ikke inkluderet en fordring om at beskæftigelsen med symbolholdige udsagn også omfatter formler.

Kommunikationskompetencen er bevaret uafgrænset gennem hele grundskolen med undtagelse af, at man på begyndertrinnet ikke behøver at kunne udtrykke sig på flere forskellige måder om matematikholdige anliggender.

Også hjælpemiddelkompetencen er bevaret uafgrænset gennem hele grundskolen, bortset fra at det ikke forudsættes, at eleverne på begyndertrinnet opnår artikuleret kendskab til hjælpemidlernes begrænsninger.

Hvad sluttelig angår de tre former for overblik og dømmekraft vedrørende matematik som fag, er de ikke afgrænsede i forhold til grundkarakteristikkernes påpegning af de respektive genstandsfelter. Afgrænsningen ligger i, at eleverne kun forventes at få erfaringer af orienterende og alment diskuterende karakter, og - med undtagelse af anvendelsesmæssigt overblik og dømmekraft - kun eksplicit adresseret på afsluttende trin.

B.1.2 Læsevejledning

Karakteristikken i dette kapitel er normativ. Det betyder, at man som læser hverken skal se det som vores bud på "tingenes tilstand", eller som noget man med rimelighed kunne forvente af eleverne her og nu. Karakteristikken gælder, hvad det, efter vores mening, er fornuftigt og realistisk at sætte op som pejlemærker for grundskolens matematikundervisning, i en tænkt fremtidig situation, hvor det almene uddannelsessystem, hvad matematikundervisningen angår, er reformeret i overensstemmelse med anbefalingerne i kapitel 11.

For den faktiske undervisning i grundskolen vil de otte kompetencer i ret høj grad være sammenvævede, faktisk i en grad, så de i praksis kan være svære at skille ad. Jo tidligere i skoleforløbet man befinder sig, jo mere vil det høre til sjældenhederne, at matematiske begreber og fænomener på dette trin optræder i "ren" form, dvs. uden forbindelse med børnenes livsverden. Alligevel er det vigtigt for klarhedens skyld at fastholde, at kompetencerne er analytisk forskellige.

Hvad angår karakteristikken af hver af kompetencerne, er det gennemgående, at der er mange elementer, som er gennemgående på hver af de tre grundskoletrin. Det skal tages som et positivt signal om, at det grundlæggende er en og samme kompetence, som videreudvikles, og altså ikke som et signal om, at eleverne ikke forventes at udvikle sig på disse områder.

Eksemplificeringen er iøvrigt generelt mest fyldig på begyndertrinnet, dels fordi det er med dette trin, at kompetencekarakteristikkerne udspændes nedadtil både alders- og niveaumæssigt, dels fordi vi har erfaring for, at det er på dette trin, det volder størst vanskeligheder umiddelbart at se kompetencernes manifestation for sig.

B.2 Matematiske kompetencer i grundskolen

B.2.1 Tankegangskompetence

Karakteristik

Gennem hele grundskolen består dennne kompetence i at kunne udøve matematisk tankegang i forhold til elementær matematik, dvs. grundbegreberne for størrelser, tal og rum, som de kommer i spil, i forhold til den verden de respektive aldersgrupper befinder sig i. Udfoldet drejer det sig dels om at kunne stille spørgsmål, som er karakteristiske for elementær matematik, og at have blik for hvilke typer af svar, som kan komme på tale, dels om at kunne skelne passivt mellem forskellige slags matematiske udsagn som del af forståelsen af, hvilke typer svar som kan opnås på spørgsmål vedrørende elementær matematik. Hovedvægten ligger her på at kunne skelne mellem på den ene side destinitioner, forstået som en aftale om tildeling af navne til ting, og på den anden side sætninger, forstået som påstande i form af alment gældende resultater og regler.

Af særlig betydning er her forståelsen af betingede udsagn. I denne skelnen indgår også det at have blik for betydningen af underforståede eller udtrykkelige kvantorer i matematiske udsagn ("Der findes en. . . med den egenskab at. . . ", "For alle . . . gælder. . . "). Også det at kunne skelne sætninger fra påstande om enkelttilfælde, og fra formodninger baseret på intuition eller erfaringer med specialtilfælde, hører hjemme her.

Fra mellemtrinnet og frem bør der ske en gradvis udvikling i forhold til, hvor aktivt der kan skelnes mellem forskellige slags matematiske udsagn. Herudover øges forventningerne ved at tilføje karakteristikken det at kunne udøve kendskab til givne matematiske begrebers rækkevidde som en anden del af forståelsen af, hvilke typer svar som kan opnås på spørgsmål vedrørende elementær matematik.

På afsluttende trin bør man forvente, at dækningsgraden udvides til, ud over rækkevidden af de centrale matematiske begreber, også at omfatte kendskab til disse begrebers begrænsning. Desuden tilføjes karakteristikken det at være klar, over hvilke slags spørgsmål som er karakteristiske for elementær matematik som udtryk for en øget bevidsthed omkring det at kunne stille sådanne spørgsmål og have blik for typen af svar. På dette trin indgår også det at kunne forstå, hvad der ligger i generalisering af matematiske resultater og selv at kunne generalisere sådanne til at omfatte en større klasse af objekter.

Kommentar

At elever i grundskolen kan udøve matematisk tankegang som her beskrevet, indebærer ikke, at de også er i stand til at udtrykke, hvori denne tankegang består eller at kunne gøre rede for de forskellige former for skelnen, som indgår heri. Selvfølgelig er det heller ikke et spørgsmål om at have kendskab til den terminologi, som her er benyttet. I stedet er der tale om, at eleverne i praksis kan forholde sig til og betjene sig af de vigtigste ingredienser i en sådan tankegang i de matematiske sammenhænge, de støder på.

Der kan også være grund til at understrege, at det at være i stand til at stille matematiske spørgsmål, som er karakteristiske for de respektive trin, ikke nødvendigvis indebærer, at man også kan besvare dem.

Eksemplificering

Med formuleringen om at kunne stille spørgsmål, som er karakteristiske for elementær matematik, tænkes her på spørgsmål af typen "Findes der. . . ?", "Hvor mange. . . ?", "Hvad betyder. . . ?", "Hvad kaldes. . . ?" osv.

I forbindelse med det at have blik for hvilke typer af svar, som kan komme på tale, tænkes på svar af typen "Der findes. . . (fordi). . . ", "Der findes ikke . . . (fordi). . . ", "Så mange. . . ", "Det bliver. . . ", "Det betyder. . . ", "Det kaldes. . . " osv.

Med hensyn til forståelsen af betingede udsagn tænkes på udsagn af typen "Hvis. . . så. . . ", "Hvis ikke. . . så. . . ", "Kun når. . . er. . . ", "På betingelse af. . . kan man sige at. . . " osv.

Til illustration af matematisk tankegangskompetence kan nævnes det at have blik for typen af svar på, og selv kunne stille, konkrete karakteristiske spørgsmål som

Der kan være grund til at pege på, at selv om nogle af disse spørgsmål refererer til verden uden for matematikken, er selve spørgsmålene alle af matematisk art, og de processer, som skal til for at svare på dem, er det i alt væsentligt også, selv om de skal bringes i spil over for et udenomsmatematisk virkelighedsområde. At tælle bordene og stolene i klassen, eller eleverne i skolens klasser, kræver selvfølgelig, at man forholder sig til de konkrete stole og borde, respektive elever, men selve tælleprocessen er af matematisk natur, selv om den angår virkelige genstande. Ligeså forholder det sig, hvis man i stedet for at tælle borde og stole fx parrer dem sammen, indtil én eller begge kategorier er udtømt, og derefter svarer på spørgsmålet "Er der flere stole end borde i klassen?" ved at sige "Ja, for jeg har sat hvert bord sammen med en stol, og bagefter var der stole tilovers".

Eksempler på forskellige slags matematiske udsagn som alle er destinitioner, eller instanser heraf, kunne være

Som eksempler på sætninger (som ikke nødvendigvis kan/skal doceres eller godtgøres på det pågældende trin) har vi:

Derimod er følgende eksempler på påstande om enkelttilfælde, som skal generaliseres i større eller mindre grad for at blive til sætninger.

B.2.2 Problembehandlingskompetence

Karakteristik

Gennem hele grundskolen består dennne kompetence dels i at kunne finde og formulere forskellige slags elementære matematiske problemer, "rene" såvel som "anvendte", "åbne" såvel som "lukkede", dels i at kunne løse sådanne matematiske problemer i færdigformuleret form, egnes såvel som andres.

På afsluttende trin, og gradvist på vej hertil, udvides den forventede dækningsgrad på to områder: For det første forventes det, at eleverne udvikler deres evne til at opstille forskellige slags elementære matematiske problemer, så de udover at kunne finde og formulere sådanne problemer også kan afgrænse og præcisere dem. For det andet skal eleverne udvikle sig i retning af at kunne løse færdigformulerede problemer på forskellige måder, hvis det er klargørende eller af andre grunde ønskeligt.

Kommentar

Et matematisk problem er en særlig type matematisk spørgsmål, nemlig ét hvor en matematisk undersøgelse er nødvendig for besvarelsen. Spørgsmål, som kan besvares alene ved hjælp af (få) specifikke rutinefærdigheder, henregnes således ikke som matematiske problemer.

Det er meget vel muligt at kunne formulere matematiske problemer uden at være i stand til at løse dem. Tilsvarende er det muligt at være en dygtig problemløser uden at være god til at finde og formulere matematiske problemer.

Eksemplificering

Som eksempel på det at løse, og i nogle af tilfældene eventuelt selv finde og formulere, matematiske problemer, vil vi - i den "lukkede" afdeling, hvor der eksisterer ét entydigt rigtigt svar - nævne følgende:

Det fremgår, at nogle af problemerne er af internt matematisk art, dvs. alene angår tal- eller størrelsesbegreber eller geometriske begreber om rummet (inklusive planen), mens andre refererer til genstande og fænomener fra verden uden for matematikken. De udenomsmatematiske problemer er (jf. kommentaren i afsnit 4.2.2) rubriceret under denne kompetence og ikke under modelleringskompetencen, fordi løsningen af dem ikke forudsætter hypoteser om og afgrænsning af det virkelighedsudsnit, der er tale om.

I den mere mere "åbne" afdeling, hvor det vil være selvmodsigende at anvise et kort og entydigt svar, kan følgende "rene" opgaver tjene som eksempler:

Hvad angår opgaver, som kan karakteriseres som "åbne" og "anvendte", har udfordringen en karakter, som gør, at det i første omgang er modelleringskompetence, som skal bringes i spil, jf. kommentarerne til nedenstående afsnit, som også rummer adskillige eksempler.

B.2.3 Modelleringskompetence

Karakteristik

Gennem hele grundskolen består denne kompetence på den ene side i at kunne analysere grundlaget for og egenskaberne ved foreliggende modeller og at kunne bedømme deres rækkevidde og holdbarhed. På den anden side består kompetencen i at kunne udføre aktiv modelbygning i en given sammenhæng, dvs. at bringe elementær matematik i spil og anvendelse til behandling af anliggender uden for matematikken selv.

Aktiv modelbygning indeholder en række forskellige elementer. Først at kunne strukturere det felt eller den situation der skal modelleres. Dernæst at kunne gennemføre en matematisering heraf, dvs. en oversættelse af objekter, relationer, problemstillinger m.v. til et område af matematikken, resulterende i en matematisk model. At kunne behandle den opståede model, herunder løse de matematiske problemer den måtte give anledning til, samt at kunne validere den færdige model, dvs. bedømme dens holdbarhed både internt (i forhold til modellens matematiske egenskaber) og eksternt (dvs. i forhold til det felt og den situation modellen omhandler). Der indgår tillige at kunne analysere modellen kritisk, både i forhold til dens egen brugbarhed og relevans og i forhold til mulige alternative modeller, og at kunne kommunikere med andre om modellen og dens resultater. Endelig indgår det i aktiv modelbygning at have overblik over og kunne styre den samlede modelleringsproces.

I forhold til denne model af den matematiske modelleringsproces bør den aktive modelbygning på begyndertrinnet bestå i delprocesserne matematisering, behandling af den opståede model, som på dette trin oftest vil være et anvendt regnestykke eller en tænkt, tegnet eller bygget geometrisk genstand, validering af den færdige model, hvilket her kommer ud på at tage stilling til, om de opnåede resultater af modelbehandlingen ser rimelige ud og giver anledning til brugbare konklusioner i lyset af de tilskæringer af og antagelser om feltet/situationen, som er foretaget, samt kommunikation med andre om modellen og dens resultater, hvilket på dette trin i hovedsagen består i at vise og forklare, hvad man har gjort, samt at svare på spørgsmål og indvendinger herom.

Fra mellemtrinnet og frem fordres dækningsgraden udvidet til også at inkludere kritisk analyse af de byggede modeller samt overblik over den gennemførte del af modelleringsprocessen. Desuden bør den del af aktiv modelbygning, der handler om strukturering, gradvist inddrages mere og mere fra dette trin og frem. Den del af modelleringskompetencen, der handler om analysen af grundlaget for og egenskaberne ved foreliggende modeller, bør fra mellemtrinnet og frem i stigende grad inkludere det at "afmatematisere" (træk ved) foreliggende matematiske modeller, dvs. at kunne afkode og fortolke modelelementer og -resultater i forhold til det felt eller den situation, som er modelleret.

På afsluttende trin bør såvel den undersøgende som den produktive side af modelleringskompetencen inkludere alle dele af den matematiske modelleringsproces.

Kommentar

Selv om der teoretisk set er tale om matematisk modeldannelse eller -bygning, hver gang matematikken bringes i spil uden for dens eget område, vil vi her kun bruge ordene model og modelbygning i tilfælde, hvor der optræder en ikkeselvfølgelig tilskæring af den modellerede situation, som indebærer beslutninger, antagelser, indsamling af oplysninger og data m.v.

Behandling af matematikholdige problemstillinger, som ikke for alvor kræver bearbejdning af de virkelighedselementer, der optræder, henhører under den ovenfor omtalte problembehandlingskompetence. De træk af modelleringskompetencen, som koncentrerer sig om selve modelbehandlingen, er ofte tæt forbundet med problembehandlingskompetence. Men derudover indgår der i modelleringskompetencen mange elementer, som ikke er af klassisk matematisk art, fx viden om udenomsmatematiske kendsgerninger og betragtninger, og beslutninger vedrørende modelleringens formål, hensigtsmæssighed, relevans for stillede spørgsmål osv.

Eksemplificering

På trods af, at den "undersøgende" og den "produktive" side af modelleringskompetence i praksis oftest vil være på banen samtidigt, vil vi for illustrationens skyld splitte Eksemplificeringen op på udfordringer, som vi mener overvejende peger i henholdsvis den ene og den anden retning.

Den del af modelleringskompetencen, som består i at analysere grundlaget for og egenskaberne ved foreliggende modeller og at kunne bedømme deres rækkevidde og holdbarhed, kan på begyndertrinnet fx illustreres vha. følgende tænkte dialoger:

Det er værd at lægge mærke til, at det at kunne undersøge og kontrollere andres matematikinvolverende påstande ikke forudsætter, at man selv ville være i stand til at formulere disse påstande. Ved konstruktionen af dialogerne ovenfor har det således været tanken, at E₁ kunne være en elev på begyndertrinnet, mens det realistiske er at forestille sig, at E₂ er en ældre elev eller i visse af tilfældene en lærer.

De følgende punkter er tænkt som eksempler på mulige afsæt for en lignende kritisk stillingtagen på de øvrige trin.

Den "produktive" side af modelleringskompetence - aktiv modelbygning - kan fx komme til udtryk med afsæt i følgende problemstillinger:

Med hensyn til aktiv modelbygning fra mellemtrinnet og frem, er det som nævnt i karakteristikken et afgørende træk, at man som en del af udfordringen skal forholde sig strukturerende til virkeligheden. Denne del af arbejdsprocessen kan få meget forskelligt omfang, alt efter hvor kompleks og diffus udfordringen er i udgangspunktet, og hvor meget den mere eller mindre eksplicit kræver inddragelse af andre ting (hjælpemidler, data, udefrakommende personer etc.), end de i situationen forhåndenværende. Da det er en afgørende ting at forholde sig til, når man skal tilrettelægge arbejdet med sigte på modellleringskompetence, vil vi splitte eksemplificeringen op i oplæg til henholdsvis kortere- og længerevarende modelleringsaktiviteter. De korterevarende oplæg er karakteriseret ved, at vi forestiller os, at man meningsfyldt kan tage udfordringen op i klasseværelset inden for rammerne af en lektion eller to. Derimod vil eksemplerne på oplæg til længerevarende modelleringsprocesser givet kræve, at man sprænger disse rammer.

Først eksemplerne på korterevarende modelleringsforløb:

Som eksempler på oplæg til længerevarende modelleringsforløb vil vi nævne følgende:

B.2.4 Ræsonnementskompetence

Karakteristik

Gennem hele grundskolen består denne kompetence dels i at kunne følge og forholde sig til et elementært matematisk ræsonnement, dvs. en kæde af argumenter fremsat af andre på skrift eller i tale til støtte for en påstand, dels i selv at kunne udtænke og gennemføre sådanne ræsonnementer. I begge henseender indgår det at kunne forstå den logiske betydning af et modeksempel.

På afsluttende trin bør man forvente at dækningsgraden udvides på to områder: For det første bør eleverne ikke alene kunne forholde sig til, men også kunne bedømme et matematisk ræsonnement. For det andet bør eleverne gøre sig eksemplariske erfaringer med, hvad et matematisk bevis er, hvordan det adskiller sig fra andre former for matematiske ræsonnementer, fx heuristiske ræsonnementer hvilende på intuition eller på betragtning af specialtilfælde, samt med selv at omforme heuristiske ræsonnementer til egentlige (gyldige) beviser.

Kommentar

Ræsonnementskompetencen kommer både i spil, når det gælder om at overbevise sig om reglers og påstandes rigtighed, og om at godtgøre at svar på spørgsmål, opgaver eller problemer er korrekte og fyldestgørende. Det gælder, hvad enten der er tale om rent matematiske forhold eller om spørgsmål i tilknytning til anvendelser.

Ved at knytte sig til retfærdiggørelsen af svar og løsninger, er ræsonnementskompetencen intimt forbundet med både modelleringskompetencen og problembehandlingskompetencen. Den udgør så at sige disses "juridiske" side.

I princippet kunne også evnen til at gennemføre rene rutineprocedurer, fx udregninger, siges ind under ræsonnementskompetence, men med mindre disse enten forudsætter opfindsomhed eller er komplekse og overblikskrævende, vil vi henregne dem under den nedenfor omtalte symbol- og formalismekompetence.

På begyndertrinnet, og som overgangsperiode til en gradvist mere formel tilgang også på mellemtrinnet, vil alle ræsonnementer være enten intuitive og uformelle eller konkrete (fx baseret på specifikke optællinger, udregninger eller tegninger). Der er derfor ikke tale om bevisførelse i nogen streng betydning af dette begreb.

I forbindelse med de eksemplariske erfaringer med matematisk bevisførelse på afsluttende trin er det vigtigt at minde om, at matematiske beviser ikke pr. nødvendighed hænger sammen med eksplicit formulerede sætninger og aksiomatiske systemer.

Eksemplificering

Størstedelen af eksemplerne på lukkede problemer vil kunne genbruges her, hvis man sætter fokus på måden, udfordringen tages op på. Her vil vi af pladshensyn nøjes med nogle udfoldninger af sådanne tænkte reaktioner.

Til illustration af, hvad det på begyndertrinnet kan indebære at kunne følge og forholde sig til et elementært matematisk ræsonnement, kan nævnes:

Her er endnu et par eksempler på, at det at kunne udøve en kompetences produktive side på et givet felt ikke er en forudsætning - ligesom det heller ikke er en tilstrækkelig betingelse - for at kunne udøve den tilsvarende undersøgende side af kompetencen (selv om de to ting selvfølgelig langt fra er uafhængige). E2 ovenfor er således tænkt som en elev på begyndertrinnet, mens E1 specielt i andet eksempel foretager beregninger som de færreste elever på begyndertrinnet ville være i stand til at gennemføre.

På mellemtrinnet kan det handle om at følge og forholde sig til ræsonnementer som

Her er et eksempel på afsluttende trin, hvor det at følge og forholde sig til ræsonnementer og selv at udtænke og gennemføre dem sammenvæves:

Lignende dialoger kan skitseres i forhold til ræsonnementer som

I forbindelse med forventningen om eksemplariske erfaringer med matematisk bevisførelse på afsluttende trin, kan påpegningen af, at matematiske beviser ikke pr. nødvendighed hænger sammen med eksplicit formulerede sætninger og aksiomatiske systemer, illustreres med følgende bevis:

B.2.5 Repræsentationskompetence

Karakteristik

Gennem hele grundskolen består denne kompetence dels i at kunne forstå (dvs. afkode, fortolke og skelne mellem) og betjene sig af forskellige slags repræsentationer af matematiske objekter, fænomener, problemer eller situationer (herunder symbolske, specielt algebraiske, visuelle, geometriske, grafiske, diagrammatiske, tabelmæssige eller verbale repræsentationer, men også konkrete repræsentationer ved materielle objekter), dels i at kunne forstå de indbyrdes forbindelser mellem forskellige repræsentationsformer for det samme sagsforhold, dels i at kunne vælge blandt og oversætte imellem forskellige repræsentationsformer for et givet sagsforhold, alt efter situation og formål.

Fra mellemtrinnet og frem udvides den forventede dækningsgrad gradvist til også at omfatte det at have kendskab til styrker og svagheder ved forskellige repræsentationsformer for det samme sagsforhold, herunder informationstab ogtilvækst.

Kommentar

Af særlig betydning i matematik er symbolske repræsentationer. På begyndertrinnet er der frem for alt tale om talsymboler og symboler for regneoperationerne, lighedstegn osv. Derfor er der på dette trin en nær forbindelse mellem denne kompetence og den efterfølgende symbol- og formalismekompetence, som bl.a. fokuserer på spillereglerne for omgangen med standardsymboler.

Eftersom det at repræsentere matematiske sagsforhold er nært forbundet med at kommunikere i, med og om matematik, er der også stærke bånd til den senere omtalte kommunikationskompetence.

Det indgår også i denne kompetence at have blik for forskellen mellem standardrepræsentationer, såsom talsymboler, og repræsentationer som op.ndes på stedet til at lette tænkning eller kommunikation.

Til illustration af denne kompetence er der særlig grund til at pege på mange forskellige repræsentationsformer for naturlige tal:

Ikonisk vha. prikker eller klodser af ens form og størrelse, cuisenairestænger, centicubes, kuglerammer osv.

Symbolsk vha. "vores" hindu-arabiske notation, romertal, kileskrift osv.

Verbalt vha. udtryk som "otte", "trehundredeogsyv" osv.

Af særlig betydning på begyndertrinnet er ækvivalensen mellem forskellige sådanne talrepræsentationer, når det gælder entydighed, og forskellene mellem dem når det gælder håndterbarhed. Fremstillingen af tallet 0 i de forskellige repræsentationer giver anledning til særlige betragtninger.

Også forskellige repræsentationer af regneoperationerne +, -, × og : (her skrevet med deres danske tegn!) og regneopstillinger hører hjemme i denne forbindelse. Det samme gælder det 20-talsystem som ligger til grund for de danske talnavne (halvfjerds står for "halvfjerde" (dvs. 4-½=3,5) "sinde" (dvs. gange) tyve).

I den geometriske verden kan man tænke på forskellige repræsentationer af et linjestykke, fx

• en tynd træstav.

• en snor stramt udspændt mellem to pløkke.

• en rystet frihåndstegning på papir.

• en sirlig tegning med lineal og arkitektblyant på papir.

• en kridtstreg på en tavle.

• en punktmængde på en computerskærm.

Man kan også tænke på en plan firkant, eksempelvis repræsenteret ved

• en tegning.

• en fysisk firkant samlet af fire stænger med led.

• en stiliseret ikon, hvis man blot har brug for at referere til begrebet firkant til forskel fra fx tre- eller femkant.

På tilsvarende vis kan det handle om forskellen mellem en tegnet cirkel i en bog og én, som fremstår ved tegning på tavlen med en snor og et stykke kridt.

På mellemtrinnet kan det at forstå og betjene sig af forskellige repræsentationsformer eksemplificeres således:

Hvad angår det at kunne vælge blandt og oversætte imellem forskellige repræsentationsformer, vil vi nævne følgende:

B.2.6 Symbol- og formalismekompetence

Karakteristik

Gennem hele grundskolen består denne kompetence dels i at kunne afkode symbolog formelsprog, i at kunne oversætte frem og tilbage mellem symbolholdigt matematisk sprog og naturligt sprog, og i at kunne behandle og betjene sig af symbolholdige udsagn og udtryk.

Fra mellemtrinnet og frem udvides den forventede dækningsgrad ved, at de symbolholdige udsagn, eleverne skal kunne behandle og betjene sig af, fordres at inkludere formler.

På afsluttende trin udvides dækningsgraden yderligere ved også at inkludere det at have kendskab til karakteren af, og "spillereglerne" for, formelle matematiske systemer.

Denne kompetence adskiller sig på begyndertrinnet fra den ovennævnte repræsentationskompetence, som den ellers er nært forbundet med, ved at fokusere på symbolernes karakter, status og betydning, og på reglerne for omgang med dem. I sammenhæng med den elementære matematik angår symbol- og formalismekompetencen frem for alt omgangen med standardsymboler og navne i tilknytning til størrelser, tal og regning, og tilknytning til grundlæggende begreber fra plan og rum.

Eksemplificering

Eksempler til illustration af denne kompetence byder sig næsten automatisk til. Med hensyn til det at afkode symbol- og formelsprog kan det dreje sig om at forstå

Som eksempler på det at oversætte frem og tilbage mellem symbolholdigt matematisk sprog og naturligt sprog kan nævnes:

Hvad angår det at behandle og betjene sig af symbolholdige udsagn og udtryk vil vi nævne følgende eksempler:

I forhold til det at have kendskab til karakteren af og "spillereglerne" for formelle matematiske systemer kan vi nævne:

B.2.7 Kommunikationskompetence

Karakteristik

Gennem hele grundskolen består denne kompetence dels i at kunne sætte sig ind i og fortolke andres matematikholdige skriftlige, mundtlige eller visuelle udsagn og "tekster", dels i at kunne udtrykke sig om matematikholdige anliggender, skriftligt, mundtligt eller visuelt over for forskellige kategorier af modtagere.

Fra mellemtrinnet og frem fordres herudover, at elevernes evne til at kunne udtrykke sig om matematikholdige anliggender indbefatter det at kunne gøre det på forskellige måder og på forskellige niveauer af teoretisk eller teknisk præcision.

Eftersom al skriftlig, mundtlig eller visuel kommunikation i og med matematik må betjene sig af diverse repræsentationsformer, er der et nært slægtskab med den ovenfor omtalte repræsentationskompetence. Oftest vil en sådan kommunikation også betjene sig af matematiske symboler og termer, hvilket understreger forbindelsen til symbol- og formalismekompetencen. Kommunikation om matematik, derimod, behøver ikke nødvendigvis at betjene sig af specifikke matematiske repræsentationsformer.

Eksemplificering

Næsten alle de eksempler, som tidligere er givet til illustration af de øvrige kompetencer, kan også tjene til at eksemplificere kommunikationskompetence i og med matematik. Andre (tænkte) eksempler kunne være:

Også evnen til at fremsætte betragtninger over matematikkens natur er udtryk for kommunikationskompetence, fx:

I forhold til det at udtrykke sig over for forskellige kategorier af modtagere, kan det at afpasse sin reaktion på en given udfordring efter, hvem modtageren er, tjene som eksempel. Med det følgende som udgangspunkt, udfordres både kommunikationskompetencens "undersøgende" og "produktive" side, jf. afsnit 4.4.2 (side 63).

"[. . . ] Jeg står her med en udskrift fra en kilde¹, [. . . ] som ministeren selv har udgivet. [. . . ] Og med hensyn til, hvem der kommer på bibliotekerne, og hvem der ikke kommer, er der en tabel 18 med en gruppe delt ind efter alder, og dér står, at 39 pct. af den mandlige del af befolkningen aldrig kommer på bibliotekerne, og at 30 pct. af den kvindelige del af befolkningen, altså fordelt gennemsnitligt over alder, aldrig kommer der. Og når jeg lægger mænd og kvinder sammen - det skal man være lidt forsigtig med, men på det her område tør jeg godt - så giver 39 pct. af mændene og 30 pct. af kvinderne befolkningen tilsammen, og det må være 69 pct. Tager jeg fejl?" (www.folketinget.dk; 16. november 1999, lovforslag 78, 1. behandling, tale 20.)

Tabel 18
Andelen af af mænd og kvinder i forskellige aldersgrupper, der kom på folkebibliotekerne 1998.

Kilde: SFI, Kultur og fritidsaktivitetsundersøgelsen 1998.

B.2.8 Hjælpemiddelkompetence

Karakteristik

Gennem hele grundskolen består denne kompetence dels i at have kendskab til eksistensen og egenskaberne ved diverse former for relevante redskaber til brug for matematisk virksomhed, og have indblik i deres muligheder i forskellige slags situationer, dels i at være i stand til på reflekteret vis at betjene sig af sådanne hjælpemidler.

Fra mellemtrinnet og frem udvides karakteristikken til udover at fordre kendskab til diverse relevante redskabers muligheder også at indbefatte kendskab til disse redskabers begrænsninger.

Kommentar

Da det er centralt for alle hjælpemidler for matematisk virksomhed, at de involverer en eller flere typer af matematisk repræsentation, oftest i en særligt udviklet form, er hjælpemiddelkompetencen i slægt med repræsentationskompetencen. Da brugen af hjælpemidler også ofte er underlagt ret bestemte regler, og hviler på bestemte matematiske forudsætninger, er hjælpemiddelkompetencen tillige forbundet med symbol- og formalismekompetencen.

På begyndertrinnet udgøres hjælpemidlerne ikke mindst af konkrete materialer (inkl. skriveredskaber), men også omgangen med simple udgaver af it tilpasset alders- og undervisningstrinnet indgår selvfølgelig her.

Eksemplificering

Det ligger nærmest i sagens natur, at der her kan være tale om kompetence til tænksomt at omgås et bredt spektrum af konkrete materialer til støtte for begrebsdannelse, undersøgelse af sammenhænge og mønstre, efterprøvelse af hypoteser, indøvelse af rutiner osv. Geoboards, centicubes, diverse klods-, brik-, eller stangsystemer, kuglerammer, geometriske skabeloner, spirografer, linealer, passere, vinkelmålere, terninger, særligt indstreget papir, karton til foldning eller udskæring m.v. hører alle hjemme i denne sammenhæng.

Vi kan fx forestille os

• elever, der repræsenterer hele tal og løser additionsopgaver ved hjælp af centicubes.

• elever, som med en passer tegner to cirkler med samme radius, den ene med centrum i den andens periferi, forbinder cirklernes centre og skæringspunkterne med centrene og måler de fremkomne linjestykker med en lineal, med henblik på at finde mønstre og foreslå regler.

• elever, der vha. it-software af typen LOGO kan diktere instruktioner til hinanden og på den måde skabe figurer og mønstre, som kan diskuteres og undersøges.

• en lærer, der bruger demonstrationssoftware (fx Geometricks, Geometer's Sketchpad og andet) for at vise dynamisk geometrisk visualisering, fx af hvordan en hængslet firkant med faste sider kan omformes ved at "trække" eller "skubbe" i siderne.

• elever, der undersøger sammenhænge mellem de indgående størrelser i forskellige areal- og rumfangsformler ved at "trække" eller "skubbe" i hjørnerne på figuren vha. et geometriprogram.

• elever, der bruger lommeregnere eller regneark til at undersøge hypoteser om tal: "Hvad kan man sige om et tal, der fremgår af et andet ved multiplikation med fx 5?".

• elever, der - som led i at udvikle kendskab til hjælpemidlers muligheder og begrænsninger - vurderer resultatet af en regneoperation udført på lommeregner, og begynder at reflektere over fordele og ulemper ved at anvende forskellige programtyper.

B.3 Overblik og dømmekraft vedrørende matematik som fagområde i grundskolen

Ordene "overblik" og "dømmekraft" skal selvsagt forstås relativt til grundskoleelevers livsverden. For alle tre formers vedkommende tænkes der desuden først og fremmest på kendskab og erfaringer erhvervet i intim forbindelse med opbygningen af de ovenfor behandlede kompetencer. Jo tidligere i grundskoleforløbet, man befinder sig, jo mere intim vil forbindelsen være, og jo mindre mening vil det i praksis give at udskille udvikling af de forskellige former for overblik og dømmekraft som selvstændige læringsmål.

Ikke desto mindre er det som tidligere nævnt en central bestræbelse for dette projekt at bidrage til at mindske problemer med utilstrækkelig sammenhæng mellem de forskellige niveauer og trin i matematikundervisningen. I den forbindelse er det - ikke mindst i forhold til uddannelser, som skal indgå i symbiose med andre uddannelser - afgørende at undgå, at undervisningens "toning" skifter så markant fra et niveau til et andet, at man ikke kan genkende det som malet med den samme "palet". En sådan situation fremprovokeres let, hvis der undervejs i en udvikling pludselig bringes helt nye "grundfarver" i spil. Så er det bedre fra starten at have alle "grundfarverne" med på "paletten", og blot være bevidst om, at nogle af farverne til en start mest er med netop for fuldkommenhedens skyld og derfor skal bruges med varsomhed.

Når vi vælger at fastholde de forskellige former for overblik og dømmekraft i karakteristikken af grundskolens matematikundervisning, er det således primært for at fastholde læreren og andre medtilrettelæggeres opmærksomhed på, at det på alle niveauer og trin gør en forskel, om de perspektiver på matematik, som der her er tale om, gøres til genstand for udtrykkelig behandling, refleksion og artikulation, når lejligheden byder sig. Sådanne metafaglige diskussioner er velegnede som træning i at kunne "hæve sig op over" de mange konkrete erfaringer, man gør sig undervejs i undervisningen, og en sådan generel evne til at kunne operere på flere vidensniveauer er en forudsætning for ad åre at udvikle bevidst og artikuleret overblik og dømmekraft som dem vi her beskæftiger os med, jf. kommentarerne i afsnit 4.5 (side 66).

Netop fordi der udelukkende er tale om toninger på arbejdet med udviklingen af de otte kompetencer, mener vi, det vil være misvisende at forsøge at eksemplificere arbejdet med de tre former for overblik og dømmekraft vha. aktiviteter, som kunne tænkes at eksistere i deres egen ret. Den tætte forbindelse med kompetenceudviklingen mener vi bedre kommer frem ved at se på alle eksemplerne nævnt under hver kompetence i lyset af de generelle spørgsmål, som bruges til at eksemplificere tanken med hver af de tre former for overblik og dømmekraft i afsnit 4.5.

Således kan utallige eksempler genereres ved for hver gruppe af kompetenceeksempler at stille sig selv spørgsmålet: "Er nogle af disse eksempler - eller omformuleringer heraf - velegnede som erfaringsgrundlag for at kunne diskutere nogle af spørgsmålene i afsnit 4.5 eller forlængelser heraf, og er her og nu et passende tidspunkt for en sådan diskussion?"

B.3.1 Matematikkens faktiske anvendelse i andre fag- og praksisområder

Karakteristik

Gennem hele grundskolen er genstanden for denne form for overblik og dømmekraft den faktiske anvendelse af matematik til udenomsmatematiske formål inden for områder af dagligdags betydning. Denne anvendelse kommer i stand og til udtryk gennem bygningen og udnyttelsen af matematiske modeller.

Fra mellemtrinnet og frem bør den faktiske anvendelse af matematik til udenomsmatematiske formål inden for områder af samfundsmæssig eller videnskabelig betydning med gradvist større vægt supplere de dagligdags anvendelser som genstandsfelt.

Kommentar

På begyndertrinnet består dette punkt i, at eleverne erhverver et første kendskab til og begyndende erfaringer med den faktiske anvendelse af elementær matematik i det nære dagligliv, i hjemmet, blandt kammerater, i fritidslivet og i familieøkonomi. Fokus vil være på spørgsmålet om, hvad matematik bruges til i disse sfærer.

B.3.2 Matematikkens historiske udvikling, såvel internt som i samfundsmæssig belysning

Karakteristik

Gennem hele grundskolen er genstanden for denne form for overblik og dømmekraft det forhold, at matematikken har udviklet sig i tid og rum, i kultur og samfund.

På begynder- og mellemtrinnet forventes det ikke, at der arbejdes eksplicit med udviklingen af denne form for overblik og dømmekraft.

På afsluttende trin forventes arbejdet ekspliciteret gennem eksemplarisk velvalgte anekdotiske nedslag i matematikkens historie i tilknytning til de indholdselementer, som i øvrigt er på banen.

Kommentar

Det er vigtigt at forsøge at lægge et historisk perspektiv på velvalgte dele af det faglige stof, man beskæftiger sig med, og ikke (kun) arbejde med de historiske sider af faget i selvstændige velafgrænsede forløb.

B.3.3 Matematikkens karakter som fagområde