H. Universitetsuddannelser i matematiske fag

H.1 Generelle kommentarer

På universiteterne optræder matematik, matematikundervisning og matematikkompetencer i mange forskellige fagområder, under mange forskellige former og med meget forskellig vægt.

På den ene side har vi uddannelserne i matematiske fag, som omtales nærmere i næste afsnit. På den anden side har vi uddannelser, hvori matematik er hjælpefag. Denne status som hjælpefag varierer inden for et bredt spektrum. I den ene ende kan det forudsættes, at de studerende allerede besidder visse matematiske kompetencer, som studiet uden videre trækker på (fx jura, medicin) uden at søge dem udbygget i selve studiet. Ind imellem findes dels studier (fx psykologi), der rummer kurser (ofte såkaldte "metodekurser"), som ikke har et matematisk navn, men som ikke desto mindre rummer matematiske kompetencer, fx i sammenhæng med data(re)præsentation og statistik, dels studier (fx geofag, biologi, kemi, økonomi), som rummer kurser i særligt tilpasset "fagrelevant" matematik. I den anden ende af spektret træffer vi studier (fx fysik og ingeniørfag), som trækker så massivt på en flerhed af matematiske kompetencer, at det ofte kan være vanskeligt at afgøre, hvor matematikken holder op, og faget begynder.

Det siger sig selv, at det ikke vil være muligt i en rapport som denne at yde denne mangfoldighed af studier, hvori matematik er hjælpefag, retfærdighed. Dertil er de fagspecifikke omstændigheder for varierende. Gennemgående for dem alle er dog, at modelleringskompetence, og de kompetencer som støtter den, står i centrum i alle disse studier. Det betyder, at også problemløsnings-, repræsentations-, symbolog formalisme-, samt hjælpemiddelkompetencerne sædvanligvis har en vis vægt. Hvor kompetencerne optræder, er det karakteristisk, at de sjældent optræder med fuld dækningsgrad, samtidig med at både den aktionsradius og det tekniske niveau, de udøves på, gerne er meget fokuseret på den studiefaglige substans, de skal bringes i spil over for.

Mangfoldigheden taget i betragtning har vi, som antydet, fundet det nødvendigt at afstå fra at eksemplificere kompetencerne i forhold til sådanne studier. Det beklager vi egentlig, bl.a. fordi en sådan eksemplificering kunne tjene til at artikulere, hvad matematiske kompetencer består i og gør godt for i disse forbindelser, men også fordi eksemplerne ville være klargørende for forståelsen af matematikundervisningens rolle i uddannelsessystemet som helhed. I stedet har vi bestræbt os på i eksemplificeringen af kompetencerne over for de matematiske fag, som skal omtales nedenfor, at vælge i det mindste nogle eksempler, som også kan være meningsfulde i forhold til matematik som hjælpefag.

H.2 Matematiske kompetencer i universitetsuddannelser i matematiske fag

Under denne rubrik inkluderer vi alle universitetsuddannelser, der sigter mod at uddanne matematikere til funktioner i forskning eller i videregående anvendelse af matematik, uanset hvilke titler, der benyttes for de studieprogrammer, uddannelserne foregår under. Vi tænker altså ikke kun på cand.scient.'er i matematik, men også på kandidater i forsikringsvidenskab, matematisk statistik, teoretisk datalogi, operationsanalyse osv. Vi er helt på det rene med, at disse uddannelser rummer andre væsentlige momenter end matematik, men at disse momenter oftest i en eller anden grad er sammenvævede med matematik. Sådan set omfatter denne gruppe også kommende lærere til gymnasiale og videregående niveauer, men de er jo viet et særligt kapitel i denne rapport og skal derfor ikke omtales nærmere her.

Fælles for disse uddannelser - og det der begrunder betegnelsen "matematiske fag" - er, at de alle forudsætter matematiske kompetencer med fuld dækningsgrad, om end med varierende vægt på de forskellige kompetencer. For såkaldt "rene" matematikere, dvs. personer der skal varetage matematisk forskning eller generelle anvendelsesfunktioner, lægges der traditionelt særlig vægt på tankegangs-, problembehandlings-, ræsonnements-, repræsentations- samt symbolog formalismekompetencerne, og nu og da hjælpemiddelkompetencerne, mens modellerings- og kommunikationskompetencerne ofte tillægges relativt mindre vægt. Omvendt lægges der for de "anvendte" matematikere særlig vægt på modellerings-, repræsentations- og hjælpemiddelkompetencerne, og nu og da også på kommunikationskompetence, hvilket imidlertid ikke må forstås sådan, at de øvrige kompetencer af den grund tillægges ringe vægt.

Forskellene mellem de matematiske uddannelser ligger i, at de enten fokuserer på særlige genstandsområder for matematikanvendelsen (såsom forsikringsanliggender, IT-systemer) eller på særlige, overgribende matematiske problemstillinger og fænomentyper af betydning for anvendelserne (stokastisk variation, optimering, operationer og beslutninger), eventuelt på en kombination af de to. Imidlertid kommer disse forskelle, som nævnt, ikke til udtryk i kompetencernes dækningsgrad, men i de sammenhænge og situationer, de udøves i. Dette er, på sin side, dels et spørgsmål om aktionsradius og teknisk niveau, hvor der i begge tilfælde er tale om en specialisering i retning af genstandsområder eller fænomentyper, dels et spørgsmål om forbindelsen til de matematiske emner (fx sandsynlighedsregning, statistik, diskret matematik og optimering), som kompetencerne bringes i spil overfor.

Af denne grund er der efter vores opfattelse ikke noget forgjort i at behandle kompetencerne i universitetsuddannelser i matematiske fag under ét. De eksempler, som er valgt nedenfor, er i de fleste tilfælde valgt fra de første par år af universitetsundervisningen. I ikke så få tilfælde kan selve det matematiske stof, der er indeholdt i eksemplerne, træffes i skolen - og det er bevidst - men det tekniske niveau, der fordres af den kompetence, som eksemplificeres, bringer den ikke desto mindre op på et universitært plan.

Vi har her, hovedsagelig af pladshensyn, udeladt de almene kommentarer, som i kapitel 4 var indføjet for at klargøre den enkelte kompetences relation til andre kompetencer.

H.2.1 Tankegangskompetence

Karakteristik

I universitetsuddannelserne i matematik består denne kompetence for det første i at være klar over hvilke slags spørgsmål, som er karakteristiske for matematik, i selv at kunne stille sådanne spørgsmål, og i at have blik for hvilke typer af svar, som kan forventes. Af særlig vigtighed er her matematikkens efterstræbelse af nødvendige og tilstrækkelige betingelser for et objekts besiddelse af en given egenskab.

Den består tillige i at kende, forstå og håndtere givne matematiske begrebers rækkevidde (og begrænsning) og deres forankring i diverse domæner, i at kunne udvide et begreb ved abstraktion af egenskaber i begrebet, i at kunne forstå hvad der ligger i generalisering af matematiske resultater og selv at kunne generalisere sådanne til at omfatte en større klasse af objekter.

Denne kompetence omfatter også det at kunne skelne, både passivt og aktivt, mellem forskellige slags matematiske udsagn og påstande, herunder "betingede udsagn", "destinitioner", "sætninger", "fænomenologiske påstande" om enkelttilfælde, og "formodninger" baseret på intuition eller erfaringer med specialtilfælde. Af særlig betydning er her forståelsen af den rolle, eksplicitte eller implicitte "kvantorer" spiller i matematiske udsagn, ikke mindst når de kombineres.

Eksemplificering

Karakteristiske spørgsmål i matematik har ofte en prototypisk skikkelse à la, "Findes der. . . ?", "Hvor mange. . . ?", "Kan det tænkes at. . . ?", "Er påstanden nødvendig eller tilstrækkelig, eller begge dele?", "Kan man slække på de gjorte forudsætninger uden at ændre konklusionen?".

Svarene kan typisk have formen "Ja, fordi. . . ", "Nej, fordi. . . ", "Påstanden er nødvendig, men ikke tilstrækkelig, som følgende eksempel viser. . . ", "Det afhænger af situationen, idet. . . ", "Det er et åbent spørgsmål. . . ", "Hvis. . . så. . . ", "Der gælder. . . hvis og kun hvis. . . ".

Konkrete illustrationer af karakteristiske spørgsmål og svar kunne fx være:

H.2.2 Problembehandlingskompetence

Karakteristik

I universitetsuddannelserne i matematik består denne kompetence dels i at kunne opstille, dvs. detektere, formulere, afgrænse og præcisere forskellige slags matematiske problemer, "rene" såvel som "anvendte", "åbne" såvel som "lukkede", dels i at kunne løse sådanne matematiske problemer i færdigformuleret form, egnes såvel som andres, og om fornødent eller ønskeligt på forskellige måder.

Eksemplificering

I betragtning af hvor centralt problemopstilling, problemformulering og problemløsning er i virksomheden i matematikundervisning på universitetsniveau, kan der gives endeløst mange eksempler på problemer og deres løsning. Eftersom problemløsning ofte er en kompliceret og langstrakt affære, er der grænser for hvor detaljerede eksempler vi kan give her. Nogle få kortere eksempler må række.

A:	"Hvis man ikke kan huske formlen for addition af en endelig kvotientrække, hvordan kan man da udlede den selv?"
B:	"Lad os betegne første led med a, kvotienten med q og antallet af led med n. Så skal vi altså finde summen aq0+aq1a+...+aqn-1. Lad os benævne denne sum sn, altså sn aq0+aq1+...+aqn-1 . Vi bemærker først, at hvis q=0 er opgaven overkommelig, idet sn=a for alle n. Noget tilsvarende gælder, hvis q=1, idet vi da har, at sn= na for alle n. I det følgende undtager vi derfor de tilfælde, hvor q=0,1.     Vi får nu den idé at forlænge den nævnte identitet med q, så vi opnår den ækvivalente identitet (q er jo ikke 0): qsn=aq1+aq2+...+aqn-1+aqn. Omskrives højresiden til a+aq1+aq2+...+aqn-1+aqn-a, ser vi, at den er lig sn+aqn-a. Da den samtidig var lig qsn, har vi i alt skaffet os ligningen sn+aqn-a=qsn til bestemmelse af sn (q er jo ikke 1). Løsningen er ."
A:	"Vi forestiller os en nål af længden 1 kastet på en plan, hvorpå der er givet et dobbelt uendeligt parallelbundt af linjer med afstanden 1 mellem to nabolinjer. Hvad er sandsynligheden for, at nålen skærer en linje?" (Dette problem kaldes ofte Buffons nåleproblem)
B:	"Det afgørende for problemstillingen er åbenbart, om nålens endepunkter ved kastet falder på hver sin side af en linje (eventuelt falder ét endepunkt, eller begge, på en af linjerne), eller om begge falder ægte mellem de samme to nabolinjer. I det første tilfælde er der skæring med en linje, i det andet tilfælde ikke. I alle fald er det udelukkende endepunkternes placering på normaler til linjebundtet, der har betydning, hvorimod en translation parallelt med linjebundtet ikke ændrer på, om skæring indtræder eller ej.     På den baggrund kan vi parametrisere nålens stilling således. Nålens stilling er givet dels ved den entydigt bestemte placering af dens "nederste" endepunkt (hvis nålen lander parallelt med linjebundtet regner vi det venstre for det nederste), dels ved den entydigt bestemte vinkel i intervallet [0,p[ , som nålen danner med linjerne i bundtet. Kaldes det nederste endepunkts afstand til den nærmeste overliggende linje for x,xÎ]0,1], og den vinkel, nålen danner med linjerne i bundtet (sædvanlig orientering), for F, fastlægges nålens placering entydigt af talparret (F,x)Î[0,p [x]0,1].    Vi kan nu slå fast, at nålen skærer en linje, netop hvis sin (F)>x. Antages nu talparrene (F,x) ligefordelt i [0,p [x]0,1], kan denne hændelse tillægges sandsynligheden "arealet under sinusgrafen på intervallet [0,p [ divideret med arealet af rektanglet". Dette er netop . Hermed er problemet løst."
A:	"Hvis man kun havde mønter med værdierne 3 og 5, hvilke beløb kunne man så betale med disse mønter? Hvad hvis værdierne var a og b (naturlige tal), a<b?"
B:	"Åbenbart kan der kun blive tale om heltallige beløb. Blandt dem kan man oplagt ikke betale beløbene 1, 2, 4 og 7. Men alle større heltalsbeløb kan rammes. Lad os først konstatere, at 6 kan nås med to 3-mønter, 8 med én af hver af mønterne, 9 med tre 3-mønter, og 10 med to 5-mønter. Kan vi indse, at alle beløb mellem 10 og 14 kan nås, er vi færdige, for så kan vi nå ethvert større beløb på følgende måde:    Ethvert naturligt tal, n, har en entydigt bestemt rest blandt tallene 0, 1, 2, 3, 4 ved division med 5. Det betyder, at der, hvis n er mindst 15, .ndes præcis ét helt tal p>2 og én rest r blandt 0, 1, 2, 3, 4, så at n=5p+r. Foretager vi nu omskrivningen n=5(p-2)+10+r, vil p-2 være et positivt helt tal, mens 10+r er et helt tal fra og med 10 til og med 14. Eftersom beløbet 5(p-2) kan betales med 5-stykker (p-2 stks), og beløbet 10+r falder inden for det fremhævede område og dermed pr. forudsætning også kan betales med 3- og 5-mønterne, kan også alle beløb fra og med 15 betales med disse mønter.    At beløbene 11, 12, 13 og 14 kan nås, ses ved simpel inspektion (11=2×3+5,12=4×3,13=3+2×5, 14=3×3+5). Hermed er problemet løst." (Vi afstår fra at bringe løsningen på det generaliserede problem.)
A:	"Hvis man skal udskære og rulle et stykke karton, så det fremstiller en skråt afskåret cirkulær cylinder, som i Planetariet i København, hvilken randkurve skal man så vælge i kartonets ene ende?"
B:	"Lad os antage at den færdige cylinder har radius r, og at det laveste punkt på det plane, skrå "tag" skal have afstanden m fra grundplanen, og det højeste afstanden M. Lad os derefter indlægge et tredimensionalt koordinatsystem i cylinderen, sådan at både tagets lavpunkt og dets højdepunkt ligger i xz-planen og har koordinaterne hhv. (r,0,m) og (-r,0,M), og sådan at cylinderens akse er zaksen.     Så vil aksens skæringspunkt med taget have koordinaterne (0,0(m+M)/2), mens   (M-m,0,2r) vil være en normalvektor til tagplanen. Repræsenterer vi det typiske punkt på skæringskurven mellem cylinderen og taget ved koordinaterne (r cost, r sin t,h(t)),t Î[0,2p[ er det essentielt højdefunktionen h, som skal bestemmes. Det sker ved at forlange, at vektoren fra cylinderaksens skæringspunkt med taget til punktet på randkurven er vinkelret på den valgte normalvektor til tagplanen, dvs. altså Heraf kan vi bestemme h: Foretrækker vi at parametrisere højden som funktion af buelængden s (svarende til den underste side på kartonstykket), fremfor som funktion af drejningsvinklen t, har vi s=( rt) sluttelig

Hermed er opgaven løst."

• "Middelalderens naturfilosoffer betragtede følgende problem, som de anså for et paradoks: Hvis en cirkelring ruller et stykke på en ret linje, vil det til enhver tid laveste punkt på den inderste, henholdsvis den yderste cirkel gennemløbe samme strækning. Hvordan kan det forenes med, at den inderste cirkel har kortere omkreds end den yderste? Er der tale om et paradoks? "

• "Undersøg hvad der sker i grænsen ved iteration af den affine funktion på R givet ved f(x)=ax+b. Dvs. undersøg fⁿ(x₀) for n®¥ for alle værdier af a,b,x,₀"

• "Hvorfor gælder den såkaldte 9-prøve, at 9 går op i et naturligt tal, opskrevet i 10-talsystemet, netop hvis 9 går op i tallets tværsum?"

H.2.3 Modelleringskompetence

Karakteristik

I universitetsuddannelserne i matematik består denne kompetence på den ene side i at kunne analysere grundlaget for og egenskaberne ved foreliggende modeller og at kunne bedømme deres rækkevidde og holdbarhed. Hertil hører at kunne "afmatematisere" (træk ved) foreliggende matematiske modeller, dvs. at kunne afkode og fortolke modelelementer og -resultater i forhold til det felt eller den situation som er modelleret. På den anden side består kompetencen i at kunne udføre aktiv modelbygning i en given sammenhæng, dvs. at bringe matematik i spil og anvendelse til behandling af anliggender uden for matematikken selv.

Aktiv modelbygning indeholder en række forskellige elementer. Først at kunne strukturere det felt eller den situation der skal modelleres. Dernæst at kunne gennemføre en matematisering heraf, dvs. en oversættelse af objekter, relationer, problemstillinger m.v. til et område af matematikken, resulterende i en matematisk model. At kunne behandle den opståede model, herunder løse de matematiske problemer den måtte give anledning til, samt at kunne validere den færdige model, dvs. bedømme dens holdbarhed både internt (i forhold til modellens matematiske egenskaber) og eksternt (dvs. i forhold til det felt og den situation modellen omhandler). Der indgår tillige at kunne analysere modellen kritisk, både i forhold til dens egen brugbarhed og relevans og i forhold til mulige alternative modeller, og at kunne kommunikere med andre om modellen og dens resultater. Endelig indgår det i aktiv modelbygning at have overblik over og kunne styre den samlede modelleringsproces.

eksemplificering

Når det gælder analysen af foreliggende (eller foreslåede) modeller, kanman fx

• undersøge den model, Danmarks Statistik benytter til jævnlige fremskrivninger af udviklingen i den næste 30-års-periode af den danske befolkning, fordelt på køn og alder, fx med henblik på klarlægge modellens følsomhed over for forandringer i nøgleparametre som fertilitet, dødskvotienter og migration osv.

• undersøge den preskriptive model, som benyttes til fejlrettende kodning af CD'ere. (Dette hører hjemme på et lidt videregående niveau.)

Hvad angår aktiv modelbygning, kan man fx opstille en model til behandling af udfordringer som de nedenstående. I alle tilfælde er det nødvendigt at foretage afgrænsninger, gøre antagelser, eller indhente data for at behandlingen kan foretages. I nogle tilfælde kan der desuden være brug for at tilegne sig nyt matematisk eller andet stof.

• "Hvor meget bliver et reb kortere af, at der slås en enkelt løkke på det?"

• En vurdering af hvor dyrt det er at tale i mobiltelefon.

• Opstilling af en generel model til balancering af kemiske ligninger, sådan at der både tages hensyn til stofbalancer og ladningsbalancer.

• "Hvordan hænger omdrejningstallet sammen med tidsforløbet i en videobåndoptager?"

• "Hvordan skal man stille henholdsvis spejlet på en overheadprojektor og projektionsskærmen, sådan at billedet af et rektangel bliver et rektangel?"

• En vurdering af hvor stor en del af energiforbruget i Danmark der kan dækkes af vindmøller, og hvor mange møller det ville give anledning til.

• "Hvordan udvikler antallet af AIDS-tilfælde i Danmark sig?"

• "Er der et sted, hvor det er bedst at stille sig for at kunne betragte et maleri i et museum?"

H.2.4 Ræsonnementskompetence

Karakteristik

I universitetsuddannelserne i matematik består denne kompetence på den ene side i at kunne følge og bedømme et matematisk ræsonnement, dvs. en kæde af argumenter fremsat af andre på skrift eller i tale til støtte for en påstand, specielt at vide og forstå hvad et matematisk bevis er, og hvordan det adskiller sig fra andre former for matematiske ræsonnementer, fx heuristiske ræsonnementer hvilende på intuition eller på betragtning af specialtilfælde, og at kunne afgøre hvornår et matematisk ræsonnement faktisk udgør et bevis, og hvornår ikke. Heri indgår at forstå den logiske betydning af et modeksempel. Det indgår tillige i kompetencen at kunne afdække de bærende idéer i et matematisk bevis, herunder skelne mellem hovedpunkter og detaljer, mellem idéer og teknikaliteter.

På den anden side består kompetencen i at kunne udtænke og gennemføre informelle og formelle ræsonnementer (på basis af intuition), herunder omforme heuristiske ræsonnementer til egentlige (gyldige) beviser.

Eksemplificering

Som eksempler på det at følge og bedømme et matematisk ræsonnement kan nævnes:

• Beviset for irrationalitet af Ö2.

Til illustration af hvad det kan betyde at vide og forstå, hvad et bevis (ikke) er, kan vi anføre følgende bevisforslag:

Afdækning af de bærende idéer i et (korrekt) bevis kan illustreres således:

• "Gauss' bevis for at 1+2+...+n=n(n+1)/2 hviler på den idé at man kan bestemme summen ved hjælp af en ligning. Ved at lægge tallet n+...+2+1 til venstresiden fås dels den søgte sum to gange, dels n parenteser hver bestående af to tal hvis sum er n+1. At udnytte dette til at udtrykke summen er derefter teknik (multiplikation af n med n+1 efterfulgt af løsning af en enkel ligning).

Dette bevis har en fordel fremfor et sædvanligt induktionsbevis, som har den svaghed, at det forudsætter et bud på summen, hvilket ikke er påkrævet i Gauss' bevis, som faktisk bestemmer summen."

• "Hovedidéen i det sædvanlige bevis for dimensionssætningen i lineær algebra ("For en lineær afbildning F af et endeligdimensionalt vektorrum V ind i et vektorrum W er summen af dimensionerne af nulrummet (kernen) og billedrummet for F lig dimensionen af V ") er følgende. Først opsøges en (endelig) basis for nulrummet for F, hvilket er muligt, da nulrummet er et underrum i det endeligdimensionale vektorrum V . Nu ved vi fra den almindelige teori, at denne basis kan suppleres op til en basis for hele V . Opsøger vi nu billederne ved F af disse supplerende basisvektorer, kan vi først indse, at de udspænder hele billedrummet for F (F's værdier på nulrummet er jo alle 0, så de bidrager ikke meget til festen), dernæst, at de faktisk er lineært uafhængige - hvilket følger af, at de er billeder af basisvektorer, sammenholdt med F's linearitet. Derved udgør de en basis for billedrummet. Deres antal er jo netop differensen mellem dimensionen af V og dimensionen af nulrummet for F, hvilket just er indholdet af dimensionssætningen."

Endelig kan selvstændig bevisførelse, fra heuristik til formelt bevis, illustreres med følgende eksempel:

• "Man må kunne bevise 9-prøvens korrekthed på basis af den observation, at 9 går op i 99, 999, 9999.
     
  Kernen i denne observation er jo i formaliseret form, at 9 altid går op i , som imidlertid er lig 10p 1 (addition af en endelig kvotientrække). Derved går 9 op i T, netop hvis 9 går op i , som jo præcis er tallet T's tværsum.
     
  Mere generelt går x-a (for x¹a) op i x^p-a^p, idet (x-a)(x^p-1+ax^p-2+a²+...+a^p-1)=x^p-a^p. For x=10 og a=1 fås resultatet for 9-prøven, mens vi med x 10 og a=-1 får den såkaldte 11- prøve. Er nemlig p lige, slutter vi, at 11=10-1(-1) går op i 10^p - (-1)^p-1, mens 11 for p ulige går op i 10^p-(-1)^p=10^p+1. Det betyder, at 11 går op i et tal, netop hvis det går op i tallets såkaldte alternerende tværsum, som for tallet defineres som a₀-a₁+a+...+(-1)ⁿa_n
    
  (Bemærkning: Det er også ved indsættelse af x=a+h i den nævnte formel, at det uden videre sluttes, at differenskvotienten for funktionen x®x^p(p>1) går mod pa^p-1.)

Man kunne også nævne en reparation af forudsætningerne og argumenterne i ovenstående "bevis" vedrørende sammensatte funktioner. Hvis fx g forudsættes at være kontinuert i b, er påstanden korrekt, og bevisskitsen kan udbygges og præciseres til et korrekt bevis.

H.2.5 Repræsentationskompetence

Karakteristik

I universitetsuddannelserne i matematik består denne kompetence dels i at kunne forstå (dvs. afkode, fortolke og skelne mellem) og betjene sig af forskellige slags repræsentationer af matematiske objekter, fænomener, problemer eller situationer (herunder symbolske, specielt algebraiske, visuelle, geometriske, grafiske, diagrammatiske, tabelmæssige eller verbale repræsentationer, men også konkrete repræsentationer ved materielle objekter), dels i at kunne forstå de indbyrdes forbindelser mellem forskellige repræsentationsformer for det samme sagsforhold og have kendskab til deres styrker og svagheder, herunder informationstab ogtilvækst, dels i at kunne vælge blandt og oversætte imellem forskellige repræsentationsformer for et givet sagsforhold, alt efter situation og formål.

Eksemplificering

På universitetsniveau er mængden af eksempler på denne kompetence af gode grunde ganske mange. Matematik på dette trin betjener sig uafbrudt af en mangfoldighed af symbolske, geometriske, grafiske, diagrammatiske, tabelmæssige, ITbårne, visuelle samt verbale repræsentationer. Også det at kunne oversætte mellem dem er på dagsordenen uafbrudt. Det er også ganske sædvanligt, at det samme matematiske objekt repræsenteres forskelligt i forskellige matematiske domæner og under anlæggelsen af forskellige synsvinkler. Vi indskrænker os til at give et mindre antal eksempler.

Det er velkendt, at universitetsmatematik betjener sig af et væld af symbolske repræsentationer, hentet fra adskillige alfabeter (latinsk, græsk, gotisk, hebraisk) samt fra særlige matematiske symbolbiblioteker.

Når det gælder visuelle repræsentationer i bred forstand kan nævnes

• Kombinerede Venn- og pilediagrammer - ofte ganske komplekse - benyttes dagligt til repræsentation af mængder, delmængder, og afbildninger i universiteternes matematikundervisning. Principdiagrammer for grafer (i den betydning ordet har i diskret matematik), matricer, funktordiagrammer og lignende, der også hører hjemme i denne forbindelse, kan ligefrem blive selvstændige matematiske objekter. Af særlig betydning er det her at kunne forstå og fortolke - og især undlade at overfortolke - indeholdet i sådanne diagrammer.

• Plane tegninger, gerne af semiperspektivisk art, til at repræsentere koordinatsystemer, geometriske objekter og funktionsgrafer i en, to og tre dimensioner er standard i universitetsmatematik.

På dette trin benyttes tegninger i planen jævnligt ikke blot til at repræsentere tredimensionale forhold, men også mangedimensionale forhold, som af oplagte grunde ikke lader sig afbilde direkte, og også af forhold som ikke er af egentlig geometrisk natur, men fx af algebraisk eller topologisk art. Man kan her fx tænke på mængdefigurer af en gruppe med sideklasser, Mandelbrotmængden, vektorfeltstegninger til repræsentation af differentialligninger, tegninger af Riemannflader for komplekse funktioner m.v.

Sådanne tegninger i dynamisk udgave, hvor ændringer som funktion af en diskret eller kontinuert varierende parameter (fx tid) er af betydning, hører selvfølgelig også hjemme her.

• Forskellige former for datarepræsenterende diagrammer, fx histogrammer, stolpediagrammer, lagkagediagrammer, boxplots, scatterplots osv. er af særlig betydning i statistiske sammenhænge.

• Tabeller benyttes i moderne matematik hovedsagelig til sammenfatning af information snarere end som redskab for manipulation.

• Repræsentationer ved hjælp af IT-systemer af matematiske objekter (frem for alt tal og geometriske genstande), fænomener og processer er det næppe påkrævet at komme nærmere ind på her.

Det samme matematiske objekt eller fænomen kan ofte gives mange forskellige matematiske repræsentationer, alt efter hvilket synspunkt der anlægges. Nu og da opstår så et informationstab. Fx kan lineære afbildninger af endeligdimensionale vektorrum repræsenteres på matrixform. Her kommer et par andre eksempler.

Komplekse tal kan fx repræsenteres som

En vis kendt konstant kan repræsenteres

Et andet eksempel er begrebet en plan i rummet, der kan repræsenteres som bl.a.

Endnu et eksempel er en ellipse, der bl.a. kan repræsenteres - geometrisk som et snit i en kegle eller en cylinder.

	-	som skyggen af en kugle.
	-	som billedet af en cirkel ved en passende affin transformation i planen.
	-	som det geometriske sted for alle de punkter, hvis afstande til to givne punkter har en konstant sum.
	-	som mængden af punktpar i et koordinatsystem, som opfylder ligningen (x/a)2+ (y/ b)2=1(a,b¹0).
	-	som en punktmængde i polære koordinater .

For alle eksemplerne går repræsentationskompetencen bl.a. ud på at forstå repræsentationerne, have klarhed over forbindelserne mellem dem, herunder informationstab og -gevinst ved overgang fra den ene til den anden, og over styrker og svagheder ved de enkelte repræsentationer, og på at være i stand til at vælge (mellem) en eller flere af dem.

H.2.6 Symbol- og formalismekompetence

I universitetsuddannelserne i matematik består denne kompetence dels i at kunne afkode symbol- og formelsprog, i at kunne oversætte frem og tilbage mellem symbolholdigt matematisk sprog og naturligt sprog, og i at kunne behandle og betjene sig af symbolholdige udsagn og udtryk, herunder formler. Dels i at have indsigt i karakteren af og "spillereglerne" for formelle matematiske systemer (typisk aksiomatiske teorier).

Eksemplificering

Det er åbenbart, at omgang med matematik på universitetsniveau automatisk indebærer en vidtstrakt omgang med matematiske symboler og formler, som skal kunne forstås, fortolkes og manipuleres. Symbolerne omfatter adskillige biblioteker, rækkende fra diverse alfabeter - de latinske, græske, gotiske og tilsvarende alfabeter - brugt i forskellige roller, over elementære talsymboler, regneoperationer, til diverse specialiserede symbolsæt. I betragtning af at store dele af matematikken rummer kalkulatoriske og symbolbehandlende elementer, er det næppe påkrævet at eksemplificere dette.

Derimod kan der måske være grund til på dette niveau at fremhæve betydningen af forståelsen af formel symbolsk syntaks, såsom ater meningsløse og ulovlige udtryk, og at f^-1(x) ikke er det samme som , heller ikke i situationer hvor begge udtryk giver mening, at x®f(x) ikke betyder, at x konvergerer mod f(x) osv. Hertil hører også, at det samme symbol ikke kan stå for forskellige ting i en given sammenhæng, mens forskellige symboler godt kan stå for den samme ting, indtil det er godtgjort, at der virkelig er tale om den samme ting, fx ved løsning af en ligning.

På universitetsniveau har man ofte brug for selv at vælge eller finde på symboler. Det indgår så i denne kompetence, at man kender til konventionerne for symbolvalg, fx at man, om end objekter i princippet kan kaldes hvad som helst, så længe der ikke er basis for misforståelser, traditionelt navngiver konstanter med bogstaver fra den første ende af alfabetet, mens variable gerne har betegnelser fra den sidste ende af det engelske alfabet s,t,u,v,w,x,y,z, mens man ikke benytter æ,ø,å. Til konventionerne hører også, at man undgår at benytte faste betegnelser, som fx p, e, R, i sammenhænge, hvor det kan give anledning til misforståelser. I sammenhænge hvor komplekse tal indgår, må man undgå at forveksle den imaginære enhed i med det naturlige tal i som løbevariabel eller indeks.

Ræsonneret manipulation af formler kræver vist ikke særlig illustration. Allerede eksemplerne ovenfor på de øvrige kompetencer rummer mange illustrationer af det.

Af særlig betydning på dette trin er evnen til at omgås formelle matematiske systemer, typisk i form af aksiomatiske teorier, såsom ikke-euklidisk geometri, gruppeteori, teorien for Riemannintegralet, sandsynlighedsteori osv., men også i form af kalkulatoriske formalismer, fx matrixregning og boolesk algebra. Her er den strenge overholdelse af det givne grundlag og de definere(n)de spilleregler for systemet essentiel. Men det indgår også her at kunne forstå og udnytte, at det selv samme korpus i en aksiomatisk teori ofte kan erhverves ved valg af et andet udgangspunkt og nogle andre aksiomer. Således kan abstrakt mål- og integralteori enten opbygges med udgangspunkt i målbegrebet, mens integralbegrebet så bliver afledet, eller omvendt med udgangspunkt i integralbegrebet, hvor så målbegrebet bliver afledet.

Lad os afslutte eksemplificeringen af denne kompetence med et par enkle eksempler.

Det at kunne afkode symbol- og formelsprog kan eksemplificeres ved

• at kunne udtrykke, at er en partiel differentialligning (den såkaldte diffusionsligning), der eftersøger de funktioner f af éndimensionalt sted x og tid t, som overalt og altid opfylder, at den partielle afledede med hensyn til tiden er identisk med den 2. ordens partielle afledede med hensyn til stedet.

• at kunne gøre rede for indholdet i, hvad der er blevet kaldt "verdens smukkeste formel":e^ip+1=0

• at afkode VarX =E(X-EX)² som et udsagn (faktisk en definition) om, at variansen af en stokastisk variabel er middelværdien af kvadratet på den centrerede stokastiske variabel.

Formulering af sproglige udsagn ved hjælp af symbol- og formelsprog kan eksemplificeres af, at det udsagn, at en reel funktionsfølge fn_n konvergerer uniformt (ligeligt) mod en funktion f på en mængde M, kan præciseres således

H.2.7 Kommunikationskompetence

I universitetsuddannelserne i matematik består denne kompetence dels i at kunne sætte sig ind i og fortolke andres matematikholdige skriftlige, mundtlige eller visuelle udsagn og "tekster", dels i at kunne udtrykke sig på forskellige måder og på forskellige niveauer af teoretisk eller teknisk præcision om matematikholdige anliggender, skriftligt, mundtligt eller visuelt over for forskellige kategorier af modtagere.

Eksemplificering

En hvilken som helst skriftlig eller mundtlig fremstilling af en matematisk aktivitet kan tjene til at eksemplificere udtrykssiden af kommunikationskompetencen. For eksempel falder det at kunne gøre rede for en matematisk betragtning, fx løsningen af en opgave eller et problem, eller indretningen af og egenskaberne ved en matematisk model, inden for denne. Tilsvarende vil afkodningen og fortolkningen af matematiske fremstillinger, fx i en lærebog, et foredrag, eller en videnskabelig artikel, eksemplificere, hvad man kunne betegne den modtagende side af kommunikationskompetencen.

Også evnen til at indgå i diskussioner med andre om matematikholdige emner kræver kommunikationskompetence.

På universitetsniveau er det at kunne udtrykke sig om det samme matematiske sagsforhold i et bredt spektrum af forskellige såkaldte "sproglige registre", af varierende begrebslig og teknisk specificitet, af særlig vigtighed.

Fx på den ene side at være i stand til at beskrive en sædvanlig differentialligning som en særlig slags ligning, hvor de ubekendte ikke er tal eller talsæt, men funktioner af én variabel, og hvor ligningen forbinder nogle af den ubekendte funktions afledede med funktionen selv og eventuelt andre givne funktioner af  den variable. Ligningens orden er ordenen af den højeste afledede som optræder. Og på den anden side at være i stand til at definere en n'te ordens sædvanlig differentialligning ved F(t,f¹(t),f¹¹(t),...,f⁽ⁿ⁾(t))=0 hvor F er en funktion fra en vis delmængde D af Rⁿ⁺² ind i R, og hvor der ved en løsning forstås en n gange differentiabel funktion f:I®R, på et åbent interval I i de reelle tal, som opfylder dels, at (t,f(t),f¹(t),f¹¹(t),...,f⁽ⁿ⁾(t)) Î D og dels, at (t,f(t),f¹(t),f¹¹(t),...,f⁽ⁿ⁾(t))=0 for alle t _ I. Her hører det også med at kunne bedømme, hvem der har brug for/glæde af at høre hvilken forklaring under hvilke omstændigheder.

H.2.8 Hjælpemiddelkompetence

Karakteristik

I universitetsuddannelserne i matematik består denne kompetence dels i at have kendskab til eksistensen og egenskaberne ved diverse former for relevante redskaber til brug for matematisk virksomhed, og have indblik i deres muligheder og begrænsninger i forskellige slags situationer, dels i at være i stand til på reflekteret vis at betjene sig af sådanne hjælpemidler.

Eksemplificering

Vi kan her nævne den tænksomme omgang med lommeregnere og computere, samt IT-software af typen Cabri-Géomètre, regneark, MathCad, Maple, Mathematica, statistikspakkerne SAS og R, osv., til brug for såvel kalkulationer som grafiske repræsentationer, empiriske undersøgelser, statistik og dynamisk visualisering osv. Datalogiske programmeringssprog som Pascal, C⁺⁺ og lignende kunne også komme på tale her. Også matematiske tekstbehandlingsprogrammer som TeX, hvori denne rapport er skrevet, er naturligt på dagsordenen på universitetsniveau.

Men også kendskab til eksistensen og mulighederne i fysiske modeller og maskiner til fremstilling af matematiske objekter og fænomener kunne komme på tale her. Eksempler på det er modeller af polyedre eller polyederoverflader, tråd-, plasticeller hindemodeller af flader fra differentialgeometri eller algebraisk geometri, maskiner til tegning af geometriske steder, maskiner til illustration af statistiske fordelinger (fx Galtons bræt).

H.3 Matematisk overblik og dømmekraft i universitetsuddannelser i matematiske fag

Det er vores opfattelse, at det for alle matematiske fag er vigtigt at sigte mod, at de studerende får opbygget alle de tre former for overblik og dømmekraft, vi opererer med i dette projekt. Det indebærer bl.a., at også personer, som skal beskæftige sig forskningsmæssigt med ren matematik, har brug for at besidde overblik og dømmekraft vedrørende matematikkens faktiske anvendelse såvel som dens historiske udvikling. Det indebærer tillige, at personer inden for anvendte matematiske fag opnår overblik og dømmekraft vedrørende matematikkens historiske udvikling og dens karakter som fagområde.

Vi er klar over, at dette synspunkt til dels er i modstrid med traditionen, og at efterstræbelsen af den slags overblik og dømmekraft i nogle kredse vil blive betragtet som enten en overflødig luksus eller som et privat anliggende for særligt interesserede, som er universitetet uvedkommende. Det er imidlertid vores opfattelse, at et sådant perspektiv på uddannelserne dels vil kunne bidrage til at øge rekrutteringen til de pågældende studier, dels vil styrke de kommende kandidaters muligheder for kompetent udøvelse af deres fremtidige erhverv, og endelig vil bidrage til, at folk med matematiske fag bedre kan kommunikere med omverdenen om matematikkens rolle i samfundet, og om hvad matematik går ud på og gør godt for.

H.3.1 Matematikkens faktiske anvendelse i andre fag- og praksisområder

Karakteristik

I universitetsuddannelserne i matematik er genstanden for denne form for overblik og dømmekraft den faktiske anvendelse af matematik til udenomsmatematiske formål inden for områder af dagligdags, samfundsmæssig eller videnskabelig betydning. Denne anvendelse kommer i stand og til udtryk gennem bygningen og udnyttelsen af matematiske modeller.

Eksemplificering

Sagen kan eksemplificeres af spørgsmål som:

• "Hvem uden for matematikken selv bruger den faktisk til noget?"

• "Til hvad?"

• "Hvorfor?"

• "Hvordan?"

• "Gennem hvilke midler?"

• "På hvilket grundlag?"

• "Med hvilke forudsætninger?"

• "Med hvilke konsekvenser?"

• "Hvad skal der til for at kunne bruge den?" M.v.

Karakteristik

I universitetsuddannelserne i matematik er genstanden for denne form for overblik og dømmekraft det forhold, at matematikken har udviklet sig i tid og rum, i kultur og samfund.

Eksemplificering

Af interesse er spørgsmål som:

• "Hvordan har matematikken udviklet sig gennem tiden?"

• "Hvad har været de indre og ydre drivkræfter i udviklingen?"

• "Hvilke slags aktører har været indblandet i udviklingen?"

• "I hvilke samfundsinstitutioner har den fundet sted?"

• "Hvordan har samspillet med andre felter været?" M.v.

Karakteristik

Som fagområde har matematikken sine egne karakteristika. Det er disse karakteristika, der i universitetsuddannelserne i matematik er genstand for den foreliggende type overblik og dømmekraft. Nogle karakteristika har matematikken tilfælles med andre fagområder, andre er den ret alene om.

Eksemplificering

Der tænkes her på spørgsmål som:

• "Hvad er karakteristisk for matematikkens problemstillinger, tankegange og metoder?"

• "Hvilke slags resultater leverer den, og hvad bruges de til?"

• "Hvad er en matematisk teori?"

• "Hvorfra kommer inspirationen til udvikling af matematiske teorier?"

• "Hvilken videnskabsteoretisk status har dens begreber og resultater?"

• "Hvordan er matematikken opbygget?"

• "Hvordan er dens forbindelse til andre discipliner?"

• "På hvilke måder adskiller den sig som videnskab fra andre discipliner?" M.v.

Denne side indgår i publikationen "Kompetencer og matematiklæring" som kapitel H af H
© Undervisningsministeriet 2002